廣東省清遠(yuǎn)市高橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省清遠(yuǎn)市高橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有三個(gè)球，一個(gè)球內(nèi)切于正方體的各個(gè)面，另一個(gè)球切正方體的各條棱，第三個(gè)球過正方體的各個(gè)頂點(diǎn)（都是同一正方體），則這三個(gè)球的體積之比為（

）

參考答案：C略2.已知實(shí)數(shù)，則下列不等式中成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B3.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．【分析】畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形，賦予幾何意義，是可行域中的點(diǎn)與點(diǎn)（0，0）連線的斜率，由圖求出取值范圍，從而求出所求即可．【解答】解：畫出可行域：設(shè)k=表示可行域中的點(diǎn)與點(diǎn)（0，0）連線的斜率，由圖知k∈[，2]∴∈[，2]∴=k﹣取值范圍為故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查畫出可行域、關(guān)鍵將目標(biāo)函數(shù)通過分離參數(shù)變形，賦予其幾何意義、考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)y=log2(x-1)的定義域?yàn)锳，實(shí)數(shù)集R為全集，則=

（

）A．（1,）

B．（,1

C．[1,

D．(,1

參考答案：B略5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，結(jié)合已知可求a1，d，進(jìn)而可求an，代入可得==，裂項(xiàng)可求和【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d由題意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故選A6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某三棱椎的三視圖，則該三棱錐的體積為A．

B.

C.D.4參考答案：B7.函數(shù)的圖像大致是（

）

參考答案：B8.“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)+2kπ時(shí)，滿足但不一定成立，即充分性不成立，當(dāng)時(shí)，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．9.“m∈（2，6）”是“方程+=1為橢圓方程”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】原方程要表示橢圓方程，需滿足，即2＜m＜6，且m≠4，所以看m∈（2，6）能否讓方程滿足這個(gè)條件，這樣即可判斷m∈（2，6）是否是方程表示橢圓方程的充分條件；然后看若方程表示橢圓方程，則它要滿足條件：2＜m＜6，且m≠4，這時(shí)候看能否得到2＜m＜6，這樣即可判斷m∈（2，6）是否是方程表示橢圓方程的必要條件；這樣即可找到正確選項(xiàng)．【解答】解：（1）若m∈（2，6），則：0＜m﹣2＜4，0＜6﹣m＜4，m﹣2=6﹣m時(shí)，m=4；∴方程不一定為橢圓方程；∴m∈（2，6）不是方程為橢圓方程的充分條件；（2）若方程為橢圓方程，則：，解得2＜m＜6，且m≠4，所以能得到m∈（2，6）；∴m∈（2，6）是方程表示橢圓方程的必要條件；∴m∈（2，6）是方程表示橢圓方程的必要不充分條件．故選：B．10.已知，且則一定成立的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若acosB=bcosA，則△ABC的形狀為．參考答案：等腰三角形【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．

【專題】計(jì)算題．【分析】利用正弦定理，將等式兩端的“邊”轉(zhuǎn)化為“邊所對(duì)角的正弦”，再利用兩角和與差的正弦即可．【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC的形狀為等腰三角形．故答案為：等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12.已知，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】求出p的等價(jià)條件，利用必要不充分條件的定義建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：p的等價(jià)條件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分條件，則，即，即≤m≤，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)充分條件和必要條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．13.某處有水龍頭3個(gè)，調(diào)查表明每個(gè)水龍頭被打開的可能性是0.1，隨機(jī)變量X表示同時(shí)被打開的水龍頭的個(gè)數(shù)，則_______（用數(shù)字作答）.參考答案：0.027【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式計(jì)算出的值.【詳解】由于每個(gè)龍頭被打開的概率為，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式有.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知圓C：x2﹣2ax+y2=0（a＞0）與直線l：x﹣y+3=0相切，則a=

．參考答案：3【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】聯(lián)立方程消去x由△=0解關(guān)于a的方程可得a值．【解答】解：∵圓C：x2﹣2ax+y2=0（a＞0）與直線l：x﹣y+3=0相切，∴聯(lián)立方程消去x可得4y2﹣2（a+3）y+6a+9=0，由△=（2）2（a+3）2﹣4×4×（6a+9）=0可得a=3或a=﹣1（舍去）故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及一元二次方程根的個(gè)數(shù)問題，屬中檔題．15.已知等比數(shù)列,若,則=．

參考答案：2略16.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從推導(dǎo)時(shí)原等式的左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是

．參考答案：

17.判斷命題的真假：命題“”是

命題（填“真”或“假”）．參考答案：真略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）法一、取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、證明MN∥平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結(jié)論得證；（2）連接CM，證得CM⊥AD，進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）證明：法一、如圖，取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，∵N為PC的中點(diǎn)，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，則NG∥AM，且NG=AM，∴四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG，∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，則sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，則EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，則NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，則MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中點(diǎn)，得AN==，在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF=，∴sin．∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為．19.

已知：0＜a＜b＜c＜d且a+d=b+c

求證：＜參考答案：證明：因?yàn)楹投际钦龜?shù)，

所以為了證明＜

只需證

（）2＜（）2

只需證

而a+d=b+c

即證

即證

ad＜bc

又a+d=b+c

所以d=b+c-a

即證：a(b+c-a)＜bc

即證：a2-(b+c)a+bc＞0

即證：(a-b)(a-c)＞0

而0＜a＜b＜c＜d

所以（a-b)(a-c)＞0顯然成立

所以原不等式成立。略20.設(shè)函數(shù)f（x）=a?ex﹣1（a為常數(shù)），且（1）求a值；（2）設(shè)，求不等式g（x）＜2的解集．參考答案：【考點(diǎn)】其他不等式的解法；函數(shù)的值．【分析】（1）將x=﹣1代入解析式，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出a的值；（2）由（1）化簡(jiǎn)g（x）的解析式，對(duì)x進(jìn)行分類討論，分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求出對(duì)應(yīng)的解，最后并結(jié)果并在一起．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=a?ex﹣1（a為常數(shù)），∴，即，則a=2；（2）由（1）得，f（x）=2?ex﹣1，則=，①當(dāng)x＜2時(shí)，不等式g（x）＜2為2?ex﹣1＜2，即ex﹣1＜1=e0，解得x＜1，②當(dāng)x＜2時(shí)，不等式g（x）＜2為＜2，即＜，則0＜x﹣1＜9，解得1＜x＜10，綜上可得，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1，10）．21.為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對(duì)100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，不超過100km/h的有15人．在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100km/h的人與性別有關(guān)．

平均車速超過100km/h人數(shù)平均車速不超過100km/h人數(shù)合計(jì)男性駕駛員人數(shù)401555女性駕駛員人數(shù)202545合計(jì)6040100（Ⅱ）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式與數(shù)據(jù)：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100km/h的人與性別有關(guān)．求出Χ2，即可判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100km/h的人與性別有關(guān)．（Ⅱ）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取1輛，駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）

平均車速超過100km/h人數(shù)平均車速不超過1