湖南省衡陽市祁東縣馬杜橋中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

湖南省衡陽市祁東縣馬杜橋中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.是方程至少有一個負(fù)數(shù)根的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是()

A．3

B．11C．38

D．123參考答案：B3.曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)為（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4參考答案：B【考點(diǎn)】極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．【分析】曲線的極坐標(biāo)方稱即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化簡可得結(jié)論．【解答】解：曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化簡為x2+（y﹣2）2=4，故選：B．4.若直線mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圓（x+3）2+（y+1）2=1的弦長為2，則的最小值為（）A．4 B．12 C．16 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】利用已知條件求出m，n的關(guān)系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：圓（x+3）2+（y+1）2=1的半徑為1，圓心（﹣3，﹣1）直線mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圓（x+3）2+（y+1）2=1的弦長為2，直線經(jīng)過圓的圓心．可得：3m+n=2．則=（）（3m+n）=（3+3++）≥3+=6．當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=1時取等號．故選：D．5.設(shè)a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實(shí)數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），則滿足條件的a，b，c的組數(shù)為（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】由題意確定a，b，從而可得滿足條件的a，b，c的組數(shù)．【解答】解：由題意2sin（3x﹣）=asin（bx+c），他們周期和最值相同，∵sin（bx+c）在b∈R，c∈[0，2π）的值可以取得±1，∴a=±2．同理：對任意實(shí)數(shù)x都成立，他們周期相同，∴b=±3．那么c∈[0，2π）只有唯一的值與其對應(yīng)．∴滿足條件的a，b，c的組數(shù)為4組．故選：D．6.若函數(shù)滿足：，則的最小值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B7.已知命題使命題，都有。給出下列結(jié)論①命題是真命題；②命題是真命題；③命題是假命題；④命題是假命題。其中正確的是（

）A.②③

B.②④

C.③④

D.①②③參考答案：A8.一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值為（）A．2 B．3 C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】在一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對角線的長，然后求出正方體的棱長．【解答】解：設(shè)球的半徑為：r，由正四面體的體積得：4××r××62=××62×，所以r=，設(shè)正方體的最大棱長為a，∴3a2=（）2，∴a=．故選D．9.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（）A.35

B.33

C.31

D.29參考答案：C10.某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤為（

）A.300萬元 B.252萬元 C.200萬元 D.128萬元參考答案：C【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，所以，當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值，此時最大值為200萬元，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，其中解答中熟記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，準(zhǔn)確判定函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）且與曲線相切的直線方程是

參考答案：12.給出下列命題：①直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，直線m的方向向量為b＝(2,1，－)，則l與m垂直．②直線l的方向向量為a＝(0,1，－1)，平面α的法向量為n＝(1，－1，－1)，則l⊥α.③平面α、β的法向量分別為n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，則α∥β.④平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，則u＋t＝1.其中真命題的序號是________．參考答案：①④[解析]①∵a·b＝(1，－1,2)·(2,1，－)＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)⊥m，故①真；②∵a·n＝(0,1，－1)·(1，－1，－1)＝0，∴a⊥n，∴l(xiāng)∥α或l?α，故②假；③∵n1與n2不平行，∴α與β不平行，∴③假；④＝(－1,1,1)，＝(－2,2,1)，由條件n⊥，n⊥，∴，即，∴，∴u＋t＝1.13.在棱長為a正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面CB1D1的距離是

參考答案：14.橢圓的長軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

，短軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

參考答案：，略15.已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l和x，y兩軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小時，，則橢圓的離心率為

.參考答案：16.橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動點(diǎn)，當(dāng)為銳角時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是

．（改編題）參考答案：17.為了分析某籃球運(yùn)動員在比賽中發(fā)揮的穩(wěn)定程度，統(tǒng)計了該運(yùn)動員在6場比賽中的得分，用莖葉圖表示如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．參考答案：【考點(diǎn)】BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】由莖葉圖先求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出該組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．【解答】解：由莖葉圖知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：=（14+17+18+18+20+21）=18，方差S2=[（14﹣18）2+（17﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（21﹣18）2]=5，∴該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為S=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分14分）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,且過點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若是橢圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.參考答案：(1)由已知得橢圓的長半軸a=2,半焦距c=,則短半軸b=1.……3分

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為………ks5u……5分

(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，ks5u

由，得……………………10分

由于點(diǎn)P在橢圓上,得,…………………13分

∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是……………14分19.22．（本題滿分12分）已知，函數(shù)．（1）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（2）如果函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍。參考答案：20.已知m∈R，命題P：對任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命題q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．（Ⅰ）當(dāng)a=1，p且q為假，p或q為真時，求m的取值范圍；（Ⅱ）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=1，根據(jù)p且q為假，p或q為真時，求出命題的等價條件即可求m的取值范圍；（Ⅱ）若p是q的充分不必要條件，建立不等式關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解（Ⅰ）∵對任意x∈[﹣1，1]，不等式x﹣1≥m2﹣3m恒成立∴（x﹣1）min≥m2﹣3m

即m2﹣3m≤﹣2解得1≤m≤2即p為真命題時，m的取值范圍是[1，2]．∵a=1，且存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立∴m≤1即命題q為真時，m≤1∵p且q為假，p或q為真，∴p、q一真一假當(dāng)p真q假時，則，即1＜m≤2，當(dāng)p假q真時，則，即m＜1，綜上所述，1＜m≤2或m＜1…（Ⅱ）當(dāng)a=0時顯然不合題意，當(dāng)a＞0時，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立命題q為真時m≤a∵p是q的充分不必要條件∴a≥2，當(dāng)a＜0時，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立命題q為真時m≤﹣a∵p是q的充分不必要條件∴a≤﹣2綜上所述，a≥2或a≤﹣2

…21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，若存在，使得對任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性；（2）存在，使得對任意的都有恒成立，等價于，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值，解不等式即可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?①當(dāng)時，因?yàn)?，，所以在上為增函?shù)，；②當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，；③當(dāng)時，在上為減函數(shù)，.（2）當(dāng)時，若存在，使得對任意的都有恒成立，則.由（1）知，當(dāng)時，.因?yàn)?，令，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增.所以，則，解得，又，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值，以及轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于綜合題.分類討論思想的常見類型

⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；

⑵問題中的條件是分類給出的；

⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；

⑷涉及