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文檔簡(jiǎn)介

§1.6

無窮小的比較

CONTENT1無窮小比較的概念2等價(jià)無窮小目錄無窮小比較的概念Chapter1

引例引例

當(dāng)

時(shí),x,3x,x2,sinx都是無窮小量,也就是說,當(dāng)

時(shí),x,3x,x2,sinx都趨近于零.但是,它們趨近于零的速度有差異,見下表：

快慢是相對(duì)的.如,x2比3x趨近于零的速度要快得多,此時(shí)

sinx與

x趨近于零的速度大致相同,此時(shí)

第一部分：無窮小比較的概念定義19設(shè)

是在自變量變化的同一過程中的兩個(gè)無窮小,且

(1)若

則稱

是比

高階的無窮小,記作

；

(2)若

則稱

是比

低階的無窮小；

(3)若

則稱

與

是同階的無窮??；特別地,若

則稱

與

是等價(jià)無窮小,記作

；(4)若

則稱

是

的k階的無窮小.

練習(xí)例39證明:當(dāng)

時(shí),為x的四階無窮小.證

因?yàn)楣十?dāng)

時(shí),為x的四階無窮小.例40當(dāng)

時(shí),求tanx-sinx關(guān)于x的階數(shù).解

因?yàn)楣十?dāng)

時(shí),tanx-sinx為x的三階無窮小.等價(jià)無窮小Chapter2第一部分：常用等價(jià)無窮小當(dāng)時(shí),常用的等價(jià)無窮小量：例如

當(dāng)

時(shí),.

第二部分：等價(jià)無窮小定理13設(shè)

是同一過程中的無窮小,且存在,則

證

定義設(shè)是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量,如果則稱與是等價(jià)無窮小量,記作~

練習(xí)例41求解

當(dāng)

時(shí),故

第二部分：等價(jià)無窮小注：(1)求兩個(gè)無窮小量商的極限時(shí),分子、分母可分別用它們的等價(jià)無窮小量代替.(2)只有當(dāng)分子或分母為函數(shù)的乘積時(shí)，各個(gè)乘積項(xiàng)量代換.(3)對(duì)于和或差中的函數(shù),一般不能分別用等價(jià)無窮小才可以分別用它們的等價(jià)無窮小量代換.

等價(jià)無窮小例42求解

練習(xí)例43求解

當(dāng)

時(shí),故

小結(jié)1.

無窮小比較的概念

高階無窮

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