中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相似三角形綜合壓軸題》專項(xiàng)提升練習(xí)附答案

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相似三角形綜合壓軸題》專項(xiàng)提升練習(xí)(附答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．三個等角的頂點(diǎn)在同一條直線上，稱一線三等角模型（角度有銳角、直角、鈍角，若為直角，則又稱一線三垂直模型）．解決此模型問題的一般方法是利用三等角關(guān)系找全等或相似三角形所需角的相等條件，利用全等或相似三角形解決問題．【證明體驗(yàn)】如圖1，在四邊形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，求證：．【思考探究】（2）如圖2，在四邊形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，當(dāng)時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．【拓展延伸】（3）請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3，在中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，若，求的長．2．綜合實(shí)踐，問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點(diǎn)連線的長度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進(jìn)行了研究．如圖1，在中，，分別取，的中點(diǎn)D，E，作．如圖2所示，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．

(1)探究發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過點(diǎn)B時，求的長．(3)延伸思考如圖4，在中，，分別取，的中點(diǎn)D，E．作，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，．當(dāng)邊平分線段時，求的值．3．如圖，為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，且交于，交于．

(1)寫出圖中兩對相似三角形；(2)連接，如果，，，求的長．4．如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，設(shè)移動時間為．(1)當(dāng)時，求的面積；(2)當(dāng)為多少時，的面積是？(3)當(dāng)為多少時，與是相似三角形？5．下面是小新同學(xué)在“矩形折疊中的相似三角形”主題下設(shè)計的問題，請你解答．如圖，已知在矩形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），先將矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于點(diǎn)H．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：寫出圖1中一個與相似的三角形：______．（寫出一個即可）(2)遷移探究：如圖2，若，，當(dāng)與的交點(diǎn)H恰好是的中點(diǎn)時，求陰影部分的面積．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時，延長，與的角平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，當(dāng)時，請直接寫出的值．6．【閱讀】如圖1，若，且點(diǎn)B、D、C在同一直線上，則我們把與稱為旋轉(zhuǎn)相似三角形．(1)【理解】如圖2，和是等邊三角形，點(diǎn)D在邊上，連接．求證：與是旋轉(zhuǎn)相似三角形．(2)【應(yīng)用】如圖3，與是旋轉(zhuǎn)相似三角形，，求證：①；②；(3)【拓展】如圖4，是四邊形的對角線，，，，試在邊上確定一點(diǎn)E，使得四邊形是矩形，并說明理由．7．綜合與實(shí)踐如圖1，已知紙片中，，為斜邊上的高（于點(diǎn)）．觀察發(fā)現(xiàn)（1）請直接寫出圖中的一組相似三角形．（寫出一組即可）

實(shí)踐操作第一步：如圖2，將圖1中的三角形紙片沿折疊（點(diǎn)為上一點(diǎn)），使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處；第二步：與交于點(diǎn)連接，然后將紙片展平．猜想探究（2）猜想四邊形是哪種特殊的四邊形，并證明猜想．（3）探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．如圖1，已知是的角平分線，可證．證明思路是如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形來證明．

(1)利用圖2證明；(2)如圖3，在中，，是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，，求的長．9．【教材原題】如圖①，在中，，且，，圖中的相似三角形是__________，它們的相似比為__________；【改編】將圖①中的繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，連接、．求證：；【應(yīng)用】如圖③，在和中，，，點(diǎn)D在邊上，連接，則與的面積比為__________．10．問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知是的角平分線，可證小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明．(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明；(2)基礎(chǔ)訓(xùn)練：如圖3，在中，，D是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．若，，求的長；(3)拓展升華：如圖4，中，，，為的角平分線，的中垂線交延長線于F，當(dāng)時，求的長．11．定義：兩個相似三角形，如果它們的一組對應(yīng)角有一個公共的頂點(diǎn)，那么把這兩個三角形稱為“陽似三角形”、如圖1，在與中，．所以稱與為“陽似三角形”，連接，則為“陽似比”．(1)如圖1，已知與為“陽似三角形”，其中，當(dāng)時，“陽似比”______；(2)如圖2，二次函數(shù)交x軸于點(diǎn)A和B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)M為直線在第一象限上的一個動點(diǎn)，且與為“陽似三角形”，連接，①當(dāng)點(diǎn)N落在二次函數(shù)圖象上時，求出線段的長度；②若，求的最小值．12．已知在中，，于點(diǎn)D．(1)在圖1中，寫出其中的兩對相似三角形．(2)已知，，將繞著點(diǎn)D按順時針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到，連接，BC．①如圖2，判斷與BC之間的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，B，在同一直線上時，求的長．13．定義：若一個四邊形能被其中一條對角線分割成兩個相似三角形，則稱這個四邊形為“和諧四邊形”，這條對角線叫“和諧線”．(1)如圖1，在的正方形網(wǎng)格中，有一個網(wǎng)格和兩個網(wǎng)格四邊形與四邊形，其中是被分割成的“和諧四邊形”的是______．(2)如圖2，平分，，，四邊形是被分割成的“和諧四邊形”，求長；(3)如圖3，A為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)B，C．在線段上有一個點(diǎn)，在射線上有一個點(diǎn)Q．P、Q兩點(diǎn)分別以個單位/秒，5個單位/秒的速度同時從出發(fā)分別沿BA，BC方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是以為和諧線分割的“和諧四邊形”，若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．14．【閱讀理解】小白同學(xué)遇到這樣一個問題：中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，延長、交于點(diǎn)，，，求的長．小白的想法是：過點(diǎn)作交于，再通過相似三角形的性質(zhì)得到、的比，從而得出的長．請你按照小白的思路完成解答．【解決問題】請借助小白的解題經(jīng)驗(yàn)，完成下面問題：中，平分交于，為邊上一點(diǎn)，，、為上兩點(diǎn)，，，為上一點(diǎn)，連接交、于、，，猜想并驗(yàn)證與的數(shù)量關(guān)系．15．【溫故知新】（1）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組認(rèn)真探究了課本P91第13題：如圖1，在正方形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，圖中有哪幾對相似三角形?把它們表示出來，并說明理由．①小華很快找出，他的思路為：設(shè)正方形的邊長，則，利用“兩邊分別成比例且夾角相等的兩個三角形相似”即可證明，請你結(jié)合小華的思路寫出證明過程；②小麗發(fā)現(xiàn)圖中的相似三角形共有三對，而且可以借助于與中的比例線段來證明與它們都相似．請你根據(jù)小麗的發(fā)現(xiàn)證明其中的另一對三角形相似；【拓展創(chuàng)新】（2）如圖2，在矩形中，E為的中點(diǎn)，交AB于F，連結(jié)．①求證：；②設(shè)，是否存在a值，使得與相似．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．（3）52．(1)(2)(3)3．(1)∽，∽(2)4．(1)(2)秒或秒(3)當(dāng)為或秒鐘，使與相似．5．(1)或（寫出一個即可）(2)陰影