高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類） 課件全套 呂小俊 第1-6章 函數(shù)和極限 - 微分方程

第一章函數(shù)和極限

§1.1函數(shù)

CONTENT1函數(shù)2初等函數(shù)3三角函數(shù)目錄4反三角函數(shù)5區(qū)間函數(shù)Chapter1前言

宇宙間的一切事物都在不斷地變化,變化是絕對的,不變是相對的。在我們的日常生活中,我們會遇到各種各樣的量,比如溫度、產(chǎn)量、面積等,這些量是變化的,而相對的一些量是不變的。我們稱變化著的量為變量,相對不變的量為常量。自變量因變量1、函數(shù)的概念定義1設(shè)x,y是兩個(gè)變量,D是一個(gè)給定的非空數(shù)集.如果對于每個(gè)數(shù),變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng),那么稱y是x的函數(shù),記作其中,x稱為自變量,y稱為因變量.f是函數(shù)符號,它表示x與y的對應(yīng)法則.數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域,也記為Df,即.1、函數(shù)的概念

對

,按照對應(yīng)法則

f,

總有確定的值

y0(記為f(x0))與之對應(yīng),稱

f(x0)為函數(shù)在點(diǎn)

x0處的函數(shù)值.因變量與自變量的這種相依關(guān)系通常稱為函數(shù)關(guān)系.

當(dāng)自變量x取遍D的所有數(shù)值時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值

f(x)的全體構(gòu)成的集合稱為函數(shù)

f的值域,記為Rf或

f(D),即1、函數(shù)的概念注：構(gòu)成函數(shù)的要素為：定義域與對應(yīng)法則.它們的定義域和對應(yīng)法則均相等.定義域的確定：(1)對實(shí)際問題,根據(jù)問題的實(shí)際意義確定；(2)對抽象函數(shù)表達(dá)式,約定:定義域是使算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合.例如兩函數(shù)相等1、函數(shù)的概念例1判斷下列函數(shù)是否相同.解

(1)

的定義域?yàn)?/p>

所以的定義域?yàn)?、函數(shù)的概念例1判斷下列函數(shù)是否相同.解

(2)

對應(yīng)法則不同

所以1、函數(shù)的概念顯函數(shù)：函數(shù)

y由

x的解析表達(dá)式直接表示.例如：隱函數(shù)：函數(shù)的自變量

x與因變量

y的對應(yīng)關(guān)系由方程

來確定.例如：分段函數(shù)：函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi),具有不同的解析表達(dá)式.1、函數(shù)的概念例2

絕對值函數(shù)的定義域,值域.例3符號函數(shù)的定義域,值域.1、函數(shù)的概念例4

取整函數(shù),其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).例如,取整函數(shù)的定義域,值域.2、函數(shù)的幾何特性（1）.函數(shù)的有界性

定義2

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集,若存在一個(gè)正數(shù)M,使得對一切,恒有,則稱函數(shù)f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的有界函數(shù).函數(shù)的界2、函數(shù)的幾何特性注：定義中的正數(shù)M不存在,則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數(shù).結(jié)論：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.幾何意義：曲線

y=f(x)的圖像在區(qū)間D內(nèi)被限制在y=-M和

y=M兩條直線之間.2、函數(shù)的幾何特性注：(1)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有界,則正數(shù)M的取值不唯一.例如：在內(nèi)有界,我們也可以取M=2.(2)有界性與區(qū)間有關(guān).例如：在區(qū)間

(1,2)內(nèi)有界,但在區(qū)間

(0,1)內(nèi)無界.2、函數(shù)的幾何特性（2）.函數(shù)的單調(diào)性

定義3

設(shè)x1和x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù),若當(dāng)x1<x2時(shí)函數(shù)值,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加或遞增(如圖1所示);若當(dāng)x1<x2時(shí)有,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少或遞減(如圖2所示).例

討論函數(shù)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)槿稳∏覄t即所以,f(x)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).相應(yīng)的區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2、函數(shù)的幾何特性2、函數(shù)的幾何特性（3）.函數(shù)的奇偶性

定義4

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,若對任意的,恒有,則稱f(x)為奇函數(shù)；若對任意的,有,則稱f(x)為偶函數(shù).注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱(如圖a);奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱(如圖b).2、函數(shù)的幾何特性例如

函數(shù)

是奇函數(shù),函數(shù)

是偶函數(shù),而函數(shù)

既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).例5

判斷函數(shù)

的奇偶性.解

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?且所以f(x)為奇函數(shù).2、函數(shù)的幾何特性（4）.函數(shù)的周期性

定義5

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在常數(shù)T>0,使對任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數(shù),滿足上式的最小正數(shù)

T稱為f(x)的周期.注：若f(x)是周期為T的周期函數(shù),則在長度為T的兩個(gè)相鄰的區(qū)間上,其函數(shù)圖形的形狀相同.

2、函數(shù)的幾何特性（4）.函數(shù)的周期性

定義5

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在常數(shù)T>0,使對任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數(shù),滿足上式的最小正數(shù)

T稱為f(x)的周期.例如三角函數(shù)

sinx與cosx均是R上的周期函數(shù),周期均為

.

tanx是周期為

的周期函數(shù).初等函數(shù)Chapter2第一部分：反函數(shù)定義6

設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镽f,對任一,都有唯一確定的

與之對應(yīng),且滿足

f(x)=y,則x是定義在Rf上,以y為自變量的函數(shù),稱為函數(shù)

y=f(x)的反函數(shù),記為2.通常將反函數(shù)記作

;4.函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線

y=x對稱;5.單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù).注：1.與互為反函數(shù);3.的定義域與值域分別為

y=f(x)的值域與定義域;

函數(shù)與其反函數(shù)第一部分：反函數(shù)

反函數(shù)的圖像:

的圖像關(guān)于直線

y=x對稱.

定義域?yàn)镈,值域?yàn)镽f

第一部分：反函數(shù)

求反函數(shù)的步驟：解出,交換x和y反函數(shù).

第一部分：反函數(shù)例7求函數(shù)的反函數(shù).解

的定義域?yàn)?/p>

值域?yàn)榻粨Qx和y,得反函數(shù)第二部分：基本初等函數(shù)常值函數(shù):

定義域：函數(shù)圖像：與x軸平行或重合.基本初等函數(shù)包括:

常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)冪函數(shù):

定義域：(為實(shí)數(shù))當(dāng)取不同值時(shí),定義域也不同.1.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像：過原點(diǎn)(0,0)和(1,1),在內(nèi)單調(diào)增加且無界.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像：單調(diào)減少且無界,曲線以x軸和y軸過點(diǎn)(1,1),在內(nèi)為漸近線.第二部分：基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù):

定義域：(a為常數(shù))1.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像:在x軸上方,且過點(diǎn)(0,1).函數(shù)單調(diào)增加且無界,值域：x軸的負(fù)半軸是曲線的漸近線.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)減少且無界,x軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數(shù)對數(shù)函數(shù):

定義域：(a為常數(shù))1.當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像:在y軸右方,且過點(diǎn)(1,0).函數(shù)單調(diào)增加且無界,值域：y軸的負(fù)半軸是曲線的漸近線.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)減少且無界,y軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像可知,定義域：值域：交換x和y,得反函數(shù)第二部分：基本初等函數(shù)正弦函數(shù):

定義域：三角函數(shù)包括:

值域：函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),是奇函數(shù),也是有界函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)余弦函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),是偶函數(shù),也是有界函數(shù).注:

正弦函數(shù)的圖像沿x軸向左平移,即得余弦函數(shù)的圖像.正割函數(shù):

余割函數(shù):

第二部分：基本初等函數(shù)正切函數(shù):

函數(shù)是奇函數(shù),并以為周期,

在內(nèi)單調(diào)增加,直線為其漸近線.定義域：值域：第二部分：基本初等函數(shù)余切函數(shù):

值域：函數(shù)是奇函數(shù),并以為周期,

在內(nèi)單調(diào)減少,直線為其漸近線.定義域：第二部分：基本初等函數(shù)

對于值域中的任何

y值,三角函數(shù)的自變量

x均有無窮多個(gè)值與之對應(yīng),因此在整個(gè)定義域上所有三角函數(shù)都不存在反函數(shù).注：只有限制

x的取值范圍后,才能考慮其反函數(shù).

第二部分：基本初等函數(shù)反正弦函數(shù):

定義域：反三角函數(shù)包括:

值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)增加的奇函數(shù).反正弦函數(shù)是正弦函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)反余弦函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)減少的非奇非偶函數(shù).反余弦函數(shù)是余弦函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)反正切函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)增加的奇函數(shù).反正切函數(shù)是正切函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第二部分：基本初等函數(shù)反余切函數(shù):

定義域：值域：函數(shù)圖像:是單調(diào)減少的非奇非偶函數(shù).反余切函數(shù)是余切函數(shù)在主值區(qū)間上的反函數(shù).第三部分：復(fù)合函數(shù)定義7

設(shè)函數(shù)

y=f(u)的定義域?yàn)镈f,而函數(shù)u=g(x)的值域?yàn)镽g,若,則稱函數(shù)

y=f[g(x)]為函數(shù)

y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),其中,x稱為自變量,y稱為因變量,u稱為中間變量.(2)復(fù)合函數(shù)還可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成,即中間變量可以有多個(gè).注:(1)只有當(dāng)

時(shí),兩個(gè)函數(shù)才可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù).第三部分：復(fù)合函數(shù)例10

第四部分：初等函數(shù)定義8由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合,并在定義域內(nèi)由一個(gè)解析式表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例如

都是初等函數(shù).第四部分：初等函數(shù)形如

的函數(shù),稱為冪指函數(shù),其中f(x)和g(x)均為初等函數(shù),且

f(x)>0,由恒等式

可知,冪指函數(shù)為初等函數(shù).例如

1.等都是冪指函數(shù),因此都是初等函數(shù).2.分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).三角函數(shù)Chapter3*第一部分：三角函數(shù)三角函數(shù)公式正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)第二部分：三角函數(shù)常用公式常用公式：

1.倍角公式：

2.平方公式：3.半角公式：4.和差公式：第二部分：三角函數(shù)常用公式常用公式：

5.和差化積：

反三角函數(shù)Chapter4*第一部分：反三角函數(shù)反三角函數(shù)公式反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)限制三角函數(shù)x的取值區(qū)間,使其在所選區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則存在三角函數(shù)的反函數(shù),即反三角函數(shù).區(qū)間Chapter5*第一部分：區(qū)間開區(qū)間：

實(shí)數(shù)集

a,b稱為區(qū)間的端點(diǎn),這些區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間,它們都可以用數(shù)軸上長度有限的線段來表示,如閉區(qū)間：

實(shí)數(shù)集

半開半閉區(qū)間：

第一部分：區(qū)間無限區(qū)間：

第二部分：鄰域定義9

設(shè)

為某個(gè)正數(shù),實(shí)數(shù)集,即開區(qū)間

稱為點(diǎn)a的

鄰域,記作,其中a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.點(diǎn)a的鄰域去掉中心a后的集合,即

稱為點(diǎn)a的去心鄰域,記為,其中

稱為a的左鄰域,稱為a的右鄰域.小結(jié)1.

函數(shù)的概念函數(shù)的定義，函數(shù)的運(yùn)算，求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的表達(dá)式等.2.

函數(shù)的特性有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性.3.

反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖像關(guān)于直線

y=x對稱.小結(jié)4.

基本初等函數(shù)常值函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)，反三角函數(shù).5.

復(fù)合函數(shù)簡言之,復(fù)合函數(shù)就是函數(shù)的函數(shù).6.

初等函數(shù)基本初等函數(shù)注意函數(shù)復(fù)合的條件.復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)謝謝！

§1.2

數(shù)列和函數(shù)的極限

CONTENT1

數(shù)列的極限2收斂數(shù)列的性質(zhì)目錄3函數(shù)的極限4函數(shù)極限的性質(zhì)引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認(rèn)為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認(rèn)為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

2009年,美國眾議院正式通過一項(xiàng)無約束力決議,將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”,

2011年,國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布,將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié),來源則是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率.引言

劉徽(約225年—約295年),魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家,山東省濱州鄒平市人,是我國古代歷史上第一位精確計(jì)算圓周率的數(shù)學(xué)家,他利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法:割圓術(shù),就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.引言

劉徽在數(shù)學(xué)上的主要成就之一就是為《九章算術(shù)》做注解,創(chuàng)立割圓術(shù)來計(jì)算圓周率的方法,含有極限觀念,他正確地計(jì)算出圓內(nèi)接正192邊形的面積,得出圓周率的近似值為3.14.在此基礎(chǔ)上,他又進(jìn)一步算出圓內(nèi)接正3072邊形的面積,得到圓周率的近似值為3.1416,等于現(xiàn)在通常計(jì)算中所規(guī)定的π值.引言

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程師愛瑪(EmmaHarukaIwao)在谷歌云平臺的幫助下,計(jì)算到圓周率小數(shù)點(diǎn)后31.4萬億位,即3.1415926535897,打破世界紀(jì)錄！以往人們都是用超級計(jì)算機(jī)計(jì)算π,愛瑪是第一個(gè)運(yùn)用云計(jì)算進(jìn)行計(jì)算的人.引言

2021年8月17日,美國趣味科學(xué)網(wǎng)站報(bào)道,瑞士研究人員使用一臺超級計(jì)算機(jī),歷時(shí)108天,將著名數(shù)學(xué)常數(shù)圓周率π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬億位,創(chuàng)下該常數(shù)迄今最精確值記錄.引言割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒詹シ乓哉呅蚊娣e正十二邊形面積……正邊形面積數(shù)列的極限Chapter1數(shù)列:第一部分：數(shù)列的概念自變量為正整數(shù)的函數(shù)其函數(shù)值按自變量n由小到大排列成的一列數(shù)稱為數(shù)列,簡記為其中稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng).

由于一個(gè)數(shù)列完全由其一般項(xiàng)所確定,故也把數(shù)列簡稱為數(shù)列例11第二部分：數(shù)列的極限(1)(2)(3)(4)第二部分：數(shù)列的極限當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(1)的一般項(xiàng)無限接近于0;當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(2)的一般項(xiàng)無限接近于1;當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(3)的一般項(xiàng)

不是1,就是-1,

不接近于任何確定的常數(shù);當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列(4)的一般項(xiàng)無限增大,也不

接近于任何確定的常數(shù).觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限播放觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.實(shí)驗(yàn)表明:當(dāng)n無限增大時(shí),上述數(shù)列無限接近于1.思考:“無限接近”意味著什么？第二部分：數(shù)列的極限第二部分：數(shù)列的極限定義10如果當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列an無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做數(shù)列an的極限或說數(shù)列an收斂于A,記為

如果數(shù)列an沒有極限,就稱數(shù)列an發(fā)散.

讀作“當(dāng)n趨于無窮大時(shí),數(shù)列an的極限等于A或an趨于A”.例11或第二部分：數(shù)列的極限數(shù)列極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義定義11*

設(shè)有數(shù)列{xn}與常數(shù)a,若對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,使得對于n>N時(shí)的一切xn,不等式都成立,則稱常數(shù)a為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂于a,記為說明：(1)正數(shù)

是任意給定的(既是任意的,又是給定的).用來刻畫“xn無限趨近于a”的程度,越小,xn越接近于a；

(2)正整數(shù)N是隨

而定的,即N與

有關(guān),用來刻畫“n無限增大”的程度.數(shù)列極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義幾何意義：若,則對于任給的>0,無論它多么小,都存在正整數(shù)N,在{xn}中,從第N+1項(xiàng)開始以后所有各項(xiàng)全部落在a的

鄰域中,在這個(gè)鄰域之外,最多只有{xn}的有限項(xiàng).第二部分：數(shù)列的極限例12證明證

對任意給定的,要使不等式

成立,只需.因此,若取

時(shí),有,從而有

由定義可知,收斂數(shù)列的性質(zhì)Chapter2*第一部分：收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1*(唯一性)

若數(shù)列{xn}收斂,則其極限是唯一的.定理2*(有界性)

收斂數(shù)列是有界的.注:

定理2的逆命題不成立,即有界數(shù)列未必收斂.如

是有界數(shù)列,但它沒有極限.第一部分：收斂數(shù)列的性質(zhì)定理3*(保號性)

若,且

a>0(或a<0),則必存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),恒有xn>0(或xn<0).推論*若數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn>0(或xn<0),且若,則

定理4*(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)

若數(shù)列{xn}收斂于a,

則它的任一子數(shù)列也收斂于a.函數(shù)的極限Chapter3第一部分：時(shí)函數(shù)的極限定義12如果當(dāng)x的絕對值無限增大(即

時(shí)),函數(shù)f(x)的值無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的極限,記為注:

自變量x的絕對值無限增大指的是：x既可以取正值,也可以取負(fù)值,但其絕對值無限增大.第一部分：時(shí)函數(shù)的極限定義13’

當(dāng)(或)時(shí),函數(shù)

f(x)趨近于常數(shù)A,則稱常數(shù)A為(或)時(shí)的極限,記為注：第二部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義定義4*設(shè)函數(shù)f(x)在(M為正的常數(shù))時(shí)有定義,A為常數(shù),若對任意給定的正數(shù)(不論多么小),總存在正數(shù)X,使當(dāng)

時(shí),恒有則稱常數(shù)A為

時(shí)函數(shù)f(x)的極限,記為第二部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義幾何意義：

表示作直線

和,則總存在一個(gè)正數(shù)X,使得當(dāng)

時(shí),函數(shù)

y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間

練習(xí)例13用定義證明

證

對任意給定的,要使

只需,因此,取,則當(dāng)

時(shí),必有

于是由定義4知,

練習(xí)例14討論極限

是否存在.

解

由函數(shù)

的圖形可知,

由于故

不存在.

第三部分：水平漸近線水平漸近線：若,則稱直線

y=C為函數(shù)

y=f(x)圖形的水平漸近線.例如,例13中直線

y=0為

的水平漸近線;例14中直線

及

均為

的水平漸近線.第四部分：時(shí)函數(shù)的極限考察函數(shù)當(dāng)x分別從左側(cè)和右側(cè)趨于0.5時(shí)的變化趨勢見下表.x00.10.30.40.49…0.5…0.510.60.91f(x)11.21.61.81.98…2…2.022.22.83由表可知,當(dāng)x無限接近于0.5時(shí),f(x)趨于常數(shù)2.我們稱當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)的極限為2.則當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)的極限為2.令第四部分：時(shí)函數(shù)的極限定義14如果當(dāng)x無限接近于定值

x0,即當(dāng)

時(shí)(在

x0處可以無定義),函數(shù)

f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)

f(x)當(dāng)

時(shí)的極限,記為

特例：

第五部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義定義15*設(shè)函數(shù)

f(x)在

x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,A為常數(shù).若對任意給定的(無論

多么小),總存在,使當(dāng)

時(shí),恒有則稱常數(shù)A為函數(shù)

f(x)當(dāng)

時(shí)的極限,記為說明：

(1)函數(shù)極限與

f(x)在點(diǎn)

x0處是否有定義無關(guān)；(2)與任意給定的正數(shù)

有關(guān)；第五部分：時(shí)函數(shù)極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義說明：(3)的幾何解釋:任意給定一正數(shù),作平行于x軸的兩條直線

和.根據(jù)定義,對于給定的,存在點(diǎn)

x0的一個(gè)

去心鄰域,當(dāng)

y=f(x)的圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x落在該鄰域內(nèi)時(shí),這些點(diǎn)對應(yīng)的縱坐標(biāo)落在帶形區(qū)域

內(nèi).第六部分：左、右極限左極限：當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x)趨于常數(shù)A,則稱A為

f(x)在點(diǎn)

x0處的左極限,記為,簡記為右極限：當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x)趨于常數(shù)A,則稱A為

f(x)在點(diǎn)

x0處的右極限,記為,簡記為注：

練習(xí)例15用定義證明.

證

當(dāng)

時(shí),任意給定,要使只要取,則當(dāng)

故由定義6知

練習(xí)例16設(shè),討論

是否存在.

解

因?yàn)樗?/p>

不存在.

練習(xí)例17設(shè),求.

解

因?yàn)樗?/p>

練習(xí)例18設(shè),求.

解

因?yàn)樗?/p>

不存在.函數(shù)極限的性質(zhì)Chapter4第一部分：函數(shù)極限的性質(zhì)定理5*

(1)(唯一性)若

存在,則其極限值唯一；

(2)(局部有界性)若

存在,則函數(shù)

f(x)在

x0的某去心鄰域內(nèi)有界；

(3)(局部保號性)若,且

A>0(或

A<0),則在

x0的某去心鄰域內(nèi)恒有(4)若,且在

x0的某去心鄰域內(nèi)

f(x)>0(或

f(x)<0),則有小結(jié)1.

數(shù)列極限的概念2.

收斂數(shù)列的性質(zhì)

收斂:

數(shù)列沒有極限.

發(fā)散:小結(jié)3.

函數(shù)極限的概念4.

函數(shù)左、右極限的概念5.

極限存在與左、右極限之間的關(guān)系時(shí)函數(shù)的極限:時(shí)函數(shù)的極限:或或或謝謝！

引言1.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒找?.割圓術(shù):

“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——?jiǎng)⒒辗祷赜^察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢.第二部分：數(shù)列的極限返回§1.3

無窮小與無窮大

CONTENT1無窮小2無窮大目錄無窮小Chapter1第一部分：無窮小的概念定義16極限為零的變量(函數(shù))稱為無窮小.例如

(1)函數(shù)sinx是當(dāng)

時(shí)的無窮?。?2)函數(shù)

是當(dāng)

時(shí)的無窮小；(3)

是當(dāng)

時(shí)的無窮小.第一部分：無窮小的概念說明：

(1)無窮小本質(zhì)上是這樣一個(gè)變量(函數(shù))：在某個(gè)過程(如

或)中,該變量的絕對值能小于任意給定的正數(shù).(2)無窮小不能與很小的數(shù)(如千萬分之一)混淆,但零可以作為無窮小的唯一常數(shù).(3)無窮小是相對于x的某個(gè)變化過程而言的.

例如,當(dāng)

時(shí),是無窮小；

當(dāng)

時(shí),不是無窮小.第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當(dāng)

時(shí)的無窮小.證*

必要性

設(shè),則對任意給定的,存在,使當(dāng)

時(shí),恒有令,則

是當(dāng)

時(shí)的無窮小,且第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當(dāng)

時(shí)的無窮小.證*

充分性

設(shè)

其中A為常數(shù),是當(dāng)

時(shí)的無窮小,于是

因?yàn)?/p>

是當(dāng)

時(shí)的無窮小,故對任意給定的,存在,使當(dāng)

時(shí),恒有,即

從而.第二部分：無窮小的性質(zhì)定理7(1)有限個(gè)無窮小的和或差仍為無窮?。?2)有限個(gè)無窮小的積仍為無窮??；(3)無窮小與有界函數(shù)之積是無窮?。?/p>

常數(shù)與無窮小之積仍為無窮小.

練習(xí)例19求

解

因

時(shí),,故

時(shí),為有界函數(shù).又因

時(shí),x為無窮小,由定理1知,當(dāng)

時(shí),為無窮小,即無窮大Chapter2第一部分：無窮大的概念定義17當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x)的絕對值|

f(x)|無限增大(即大于預(yù)先給定的任意正數(shù)),則稱函數(shù)

f(x)為

時(shí)的無窮大,記為若,則稱函數(shù)

f(x)為

時(shí)的正無窮大(或負(fù)無窮大).例如第一部分：無窮大的概念是時(shí)的負(fù)無窮大量,是時(shí)的正無窮大量,即說明:無窮大是極限不存在的一種特殊情形.表示:極限不存在注:第一部分：無窮大的概念(1)無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆;(2)無窮大量與自變量的變化過程有關(guān);(3)無窮大量必?zé)o界,但反之不真.例如當(dāng)時(shí)是無界的,但不是無窮大.第二部分：鉛直漸近線鉛直漸近線：

若,則稱直線

為

y=f(x)圖形的鉛直漸近線.例如,

時(shí),的絕對值無限增大,即當(dāng)

時(shí),是無窮大,故,

x=1為

的鉛直漸近線.第三部分：無窮小與無窮大的關(guān)系定理8在自變量的同一變化過程中,若

f(x)為無窮大,則

為無窮小;反之,若

f(x)為無窮小,且,則

為無窮大.例如,因,故

；

因,故.

練習(xí)例20求解因?yàn)楦鶕?jù)無窮小與無窮大的關(guān)系有小結(jié)1.

無窮小的概念及性質(zhì)2.

無窮大的概念及鉛直漸近線3.

無窮小與無窮大的關(guān)系

謝謝！

§1.4

極限運(yùn)算法則

CONTENT1極限的四則運(yùn)算法則2復(fù)合函數(shù)的極限目錄極限的四則運(yùn)算法則Chapter1第一部分：極限的四則運(yùn)算法則定理9設(shè)

則第一部分：極限的四則運(yùn)算法則注：

定理中的(1)和(2)可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.推論：

設(shè)

存在,C為常數(shù),n為正整數(shù),則有

練習(xí)例21求

解

推廣：設(shè),則

練習(xí)例22求

解

注：設(shè)有理分式函數(shù),其中

分別為n次和m次多項(xiàng)式,且,則

練習(xí)求例23解商的法則不能用,又由無窮小與無窮大的關(guān)系,得

練習(xí)求例24解先約去不為零的公因式x-1

后再求極限,時(shí),分子和分母的極限都是零(型),消去零因子法

練習(xí)求例25解時(shí),分子和分母的極限都是無窮大(型),無窮小因子分出法先將分子分母除以x的最高次冪,分出無窮小,再求極限,

練習(xí)注:當(dāng)m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí),有無窮小因子分出法:分子和分母同除以自變量的最高次冪，以分出無窮小,然后再求極限的方法.

練習(xí)例26求

解

當(dāng)

時(shí),題設(shè)極限是無窮多個(gè)無窮小之和,先變形再求極限.

練習(xí)例28已知,求常數(shù)

a,b.解

由于

于是,上式中分子多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)為零,故有

解得

練習(xí)例29求

解

由于

且|sinx+cosx|<2,故由無窮小的性質(zhì),得

復(fù)合函數(shù)的極限Chapter2第一部分：復(fù)合函數(shù)的極限定理10(變量替換定理)設(shè)

y=f(u)與

u=g(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù).若,且,又,則有

練習(xí)例30求解(法一)作變換

u=sinx,則當(dāng)

時(shí),,得

練習(xí)例30求解(法二)小結(jié)2.

復(fù)合函數(shù)的極限1.

極限的四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則、“消去零因子法”、“無窮小因子分出法”、“有理化法”

變量替換定理：謝謝！

§1.5

極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

CONTENT1極限存在準(zhǔn)則2兩個(gè)重要極限目錄極限存在準(zhǔn)則Chapter1第一部分：極限存在準(zhǔn)則定理11(夾逼準(zhǔn)則)(1)若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足下列條件：

1)2)

則數(shù)列{xn}的極限存在,且(2)假設(shè)在x0的某去心鄰域內(nèi)有,

且有

則極限limf(x)存在,

且有

練習(xí)例31求

解

設(shè),因,又

由夾逼準(zhǔn)則得

第一部分：極限存在準(zhǔn)則定義18

若數(shù)列{xn}滿足條件,則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的；若數(shù)列{xn}滿足條件,則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少的.

單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.定理12

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.注：

收斂的數(shù)列必定有界,但有界的數(shù)列不一定收斂.

練習(xí)例32設(shè)有數(shù)列

求

解

顯然,故數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{xn}有界.因?yàn)?假定

,則有

故{xn}是有界的.

根據(jù)定理2知

存在.設(shè),因?yàn)?/p>

練習(xí)解

例32設(shè)有數(shù)列

求

所以

即

解得

所以

兩個(gè)重要極限Chapter2第一部分：兩個(gè)重要極限1.注:

例如：看作看作(型)

練習(xí)例33

求

解

例34

求

解

第一部分：兩個(gè)重要極限2.例如看作或(型)注：

或

練習(xí)例35（1）求

（2）

求

解

解

練習(xí)（3）

求

（4）求

解

解

練習(xí)例36（1）

求

解

例36（2）

求

解

令,則,且

時(shí),,于是由例12得

練習(xí)例37

求

解

應(yīng)用案例例38

設(shè)有一筆本金A0存入銀行,年利率為r,則第一年年末結(jié)算時(shí),其本利和為

若一年分兩期計(jì)息,每期利率為,且前一期的本利和為后一期的本金,則第一年年末的本利和為

應(yīng)用案例若一年分n期計(jì)息,每期利率為,且前一期的本利和為后一期的本金,則第t年年末的本利和為

稱為第t年年末本利和的離散復(fù)利公式.

應(yīng)用案例令,則表示利息隨時(shí)計(jì)入本金,因此,第t年年末的本利和為

稱為第t年年末本利和的連續(xù)復(fù)利公式.本金A0稱為現(xiàn)在值或現(xiàn)值,第t年年末本利和An(t)或A(t)稱為未來值.已知現(xiàn)在值A(chǔ)0,求未來值A(chǔ)n(t)或A(t),稱為復(fù)利問題；已知未來值A(chǔ)n(t)或A(t),求現(xiàn)在值A(chǔ)0,稱為貼現(xiàn)問題,這時(shí)稱利率r為貼現(xiàn)率.

小結(jié)1.

極限存在性定理2.

兩個(gè)重要極限

夾逼定理1.2.或謝謝！

§1.6

無窮小的比較

CONTENT1無窮小比較的概念2等價(jià)無窮小目錄無窮小比較的概念Chapter1

引例引例

當(dāng)

時(shí),x,3x,x2,sinx都是無窮小量,也就是說,當(dāng)

時(shí),x,3x,x2,sinx都趨近于零.但是,它們趨近于零的速度有差異,見下表：

快慢是相對的.如,x2比3x趨近于零的速度要快得多,此時(shí)

sinx與

x趨近于零的速度大致相同,此時(shí)

第一部分：無窮小比較的概念定義19設(shè)

是在自變量變化的同一過程中的兩個(gè)無窮小,且

(1)若

則稱

是比

高階的無窮小,記作

；

(2)若

則稱

是比

低階的無窮小；

(3)若

則稱

與

是同階的無窮??；特別地,若

則稱

與

是等價(jià)無窮小,記作

；(4)若

則稱

是

的k階的無窮小.

練習(xí)例39證明:當(dāng)

時(shí),為x的四階無窮小.證

因?yàn)楣十?dāng)

時(shí),為x的四階無窮小.例40當(dāng)

時(shí),求tanx-sinx關(guān)于x的階數(shù).解

因?yàn)楣十?dāng)

時(shí),tanx-sinx為x的三階無窮小.等價(jià)無窮小Chapter2第一部分：常用等價(jià)無窮小當(dāng)時(shí),常用的等價(jià)無窮小量：例如

當(dāng)

時(shí),.

第二部分：等價(jià)無窮小定理13設(shè)

是同一過程中的無窮小,且存在,則

證

定義設(shè)是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量,如果則稱與是等價(jià)無窮小量,記作~

練習(xí)例41求解

當(dāng)

時(shí),故

第二部分：等價(jià)無窮小注：(1)求兩個(gè)無窮小量商的極限時(shí),分子、分母可分別用它們的等價(jià)無窮小量代替.(2)只有當(dāng)分子或分母為函數(shù)的乘積時(shí)，各個(gè)乘積項(xiàng)量代換.(3)對于和或差中的函數(shù),一般不能分別用等價(jià)無窮小才可以分別用它們的等價(jià)無窮小量代換.

等價(jià)無窮小例42求解

練習(xí)例43求解

當(dāng)

時(shí),故

小結(jié)1.

無窮小比較的概念

高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價(jià)無窮小、k階無窮小2.

等價(jià)無窮小小結(jié)3.

常用的等價(jià)無窮小當(dāng)時(shí),謝謝！

§1.7

函數(shù)的連續(xù)性

CONTENT1連續(xù)與間斷的概念2連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)目錄3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)與間斷的概念Chapter1

引言

例

自然界中有許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的,而且這種變化往往是連續(xù)不斷的.如氣溫的變化,河水的流動(dòng)都是隨著時(shí)間而連續(xù)地變化,這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.第一部分：函數(shù)的增量

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x由變到時(shí),函數(shù)y相應(yīng)地由變到，因此函數(shù)相應(yīng)的增量為注:

是一個(gè)不可分割的整體記號.第一部分：函數(shù)的增量當(dāng)

趨于零時(shí),函數(shù)

y對應(yīng)的增量也趨向于零,即

那么就稱函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

處連續(xù).第二部分：連續(xù)與間斷的概念令則得當(dāng)時(shí),有而當(dāng)時(shí),有則定義20

設(shè)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0的某鄰域內(nèi)有定義.

(1)若,則稱

f(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù),并稱

x0為

f(x)

的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)；

(2)若

f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),則稱

f(x)在(a,b)內(nèi)

連續(xù)；

(3)若

x0不是

f(x)的連續(xù)點(diǎn),則稱

x0為

f(x)的間斷點(diǎn),或稱

f(x)在點(diǎn)

x0處間斷.第二部分：連續(xù)與間斷的概念第二部分：連續(xù)與間斷的概念(1)函數(shù)

f(x)在點(diǎn)處有定義;函數(shù)

f(x)在點(diǎn)處連續(xù),必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：(2)極限存在;(3)注：

練習(xí)例試證函數(shù)在x=0處連續(xù).證幾何解釋：若

f(x)連續(xù),則曲線

y=f(x)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線；若

x0是

f(x)的間斷點(diǎn),則曲線

y=f(x)在點(diǎn)

處發(fā)生斷裂.如圖所示,函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)共有三個(gè)間斷點(diǎn):x1,x2,x3.第二部分：連續(xù)與間斷的概念第三部分：單側(cè)連續(xù)的概念定義21(1)若

f(x)在點(diǎn)

x0的某左鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點(diǎn)

x0處左連續(xù)；若

f(x)在點(diǎn)

x0的某右鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點(diǎn)

x0處右連續(xù).第三部分：單側(cè)連續(xù)的概念定義21(1)若

f(x)在點(diǎn)

x0的某左鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點(diǎn)

x0處左連續(xù)；若

f(x)在點(diǎn)

x0的某右鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點(diǎn)

x0處右連續(xù).(2)若

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)a處右連續(xù)、在右端點(diǎn)b處左連續(xù),則稱

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).第三部分：單側(cè)連續(xù)的概念注：函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)

練習(xí)例44討論函數(shù)

在點(diǎn)

x=0和

x=1處的連續(xù)性.

解

在點(diǎn)

x=0處,有

由此可知

因此,f(x)在

x=0處連續(xù).

練習(xí)例44討論函數(shù)

在點(diǎn)

x=0和

x=1處的連續(xù)性.

解

在點(diǎn)

x=1處,有

因左、右極限不相等,故

不存在,故

x=1是

f(x)的間斷點(diǎn).

但是,由