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文檔簡介

專題11立體幾何

名布臺折

一、混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關(guān)系致錯

1.如圖,在正方體ABCo-ABCQl中,E為的中點.求直線AA∣與平面A。E所成

角的正弦值.

【錯解】(H)以點A為坐標原點,AD,AB、AA∣所在直線分別為x、y、Z軸建立如

下圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-型,設(shè)正方體ABC。-ABCQl的棱長為2,則

A(0,0,0)?A(0,0,2)、0(2,0,2)、£(0,2,1),AD1=(2,0,2),

AE=(0,2,1),

,L/、?n-ADx=0[2x+2z=Q

設(shè)平面Af)IE的法向量為“=(χ,y,z),由《,得C>a?

、)I;?-AE=O[2y+z=0*

..n?AA42

令Z=_2,則x=2,y=l,則〃=(2,1,—2).cos<〃,A4,〉=W向=_詼=_§.

2

則sin<〃,AA>=y∣?-cos<n,AAi>=JV=寺,因此,直線AA∣與平面ARE所

成角的正弦值為逝.

3

【錯因】混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關(guān)系,實際上直線與平面所成的

角6的正弦值等于平面的法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值,即

sinθ=∣cos<n,AAf>∣o

【正解】以點A為坐標原用,AD^A5、AA所在直線分別為X、丁、Z軸建立如下圖所

小的空間向角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體ABCD-AiBlCtDi的棱長為2,則A(0,0,0)、

A(0,0,2),£),(2,0,2),£(0,2,1).AD1=(2,0,2),A£=(0,2,1).

M.yl/?—0

設(shè)平面AQE的法向量為"=(χ,χz),由L,

n?AE=O…

2x+2z=OJr---?-

得',、,令z=-2?則x=2.y=l,則〃=(2,1,-2).

,

2y+z=0'A

I._.I?∏-AAi?42

設(shè)向線AAi?平面AD1E所成ffj為。,則Sine=ICoS<n,AAi>?=1?rj-?-=——=

11∏?A4∣3×23

2

因此,直線AA」平面ARE所成角的正弦值為

二、忽略兩平面法向量的夾角與二面角平面角的關(guān)系致錯

2、如圖所示的幾何體是由棱臺4BC—4B∣G和棱錐。一A4ιGC拼接’

而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且NBAZ)=60。,

平面ABenBBl=8∣Cl=I.求二面角Ai-BD-Ci的余弦值.

[錯解】設(shè)BD.AC交于點O,以O(shè)為坐標原點,以Ql為X軸,以。。為N軸,如

圖建立空間直角坐標系,z軸顯然平行于直8B∣由四邊形ABCD是邊長為2的菱形,艮

Z840=60。,得OB=OD=?QA=OC=6

B(0,-1,0),D(0,l,0),β1(0,-l,l),A(^,0,0),c(-√3,0,0),卜、,

BA=(√3,1,0),BA1=SB1+BiAl=BBi+∣BΛ=(^y,∣,l).BD=(0,2,0),

設(shè)平面ABO的一個法向量為〃=(χ,y,z),

√3?

則aA"=EX+,y+z=o,令Z=君得y=o,x=_2,從而〃=卜2,0,6)

BD?n-2y=0,

同理BC1=BBx+B1C1=BB盧;BC=(-?,?,l),

yβ?

設(shè)平面MG的一個法向量為m=(%,y,zj,則■BGm=-W&+/+4=。,

BD`m—2y1=0,

L/?m`n2×(-2)+>∕3×Λ∕31

令Z=G,得%=。,玉=2,從而m=(2,0,4r3)Mcos<〃z,〃>=「pp|=-i=—j=---

故二面角A1-BD-Q的余弦值為一,.

【錯因】錯誤的認為兩平面法向量的夾角就等于二面角平面角,實際上是二面角的平面角大

小是向量Wl與912的夾角(或其補角).

【正解】設(shè)3RAC交尸點。,以。為坐標原點,以CA為#軸,以0。為y軸,如圖建M空間直角

坐標系,Z軸顯然平行于直B瓦山四邊形A8CZ)是邊長為2的菱形,且/540=60。,

得OB=O£)=1.0A=OC=68(0,-1,0),£>(0,1,0)出(O,T,1),A(后0,0),4-后0,0).

BA=(√3,1,0).BΛ,=BB1+B1Λ1=BB1+?BA=(―,?,D-?£>=(0,2,0).

22J?‰?

設(shè)平面43。的一個法向量為〃=(x,y,z).?rr

1

則產(chǎn).〃-7+寸+2=°n,令Z=G得y=0,x=-2,從而〃=卜2,0詞

BDn=Iy=O,'*

,二...#N

同理BC1=BBt+B1C1=BB]+;BC=(-?,?,l).

√31n

設(shè)平面BOCl的個法向量為根=(XI,χ,zj,則《'G.〃2=_萬占+/+4=0,

BDm=Iyx=Q,

m`n2x(-2)+GX石—1

令Zl=百、得y=0,%=2.從面機=(2,0,b),則COS<,",">=

I+W√7×√7-7

乂111圖可知A-BD-G為銳角,故-Hfii角A-BD-G的余弦值為?.

三、忽略異面直線所成角與向量夾角的關(guān)系致錯

3.在長方體ABCf)-AlBlGOl中,AB=3,BC=I,AAi=2,則異面直線SZ)I和BlC所成角

的余弦值為()

—迎√70

B.70J70

【錯解】選B,以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則3(1,3,0),Dι(0,0,2),Bι(l,3,2),C(0,3,0),則加=(一1,-3,2),

_BDr^C_~3_3√70

敲=(一1,0,-2),從而CoS〈赤,β[c)

一1曲標「5,小―70,

TT

【錯因】兩異面直線所成角的范圍(0,耳],而兩向量夾角的范圍為[(),乃],錯解中誤認為兩

向量夾角就是兩異面直線所成角。

【正解】選A以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則8(I,3,0),Dl(0,0,2),

β∣(l,3,2),C(0,3,0),則礪=(-1,-3,2),訛=(一1,0,~2),從而cos

BD-BC_-3需.又異面直線BD和Bc所成

<BDι,fi7c>iii

∣?Z)∣∣∣B7C∣

的角不可能為鈍角,其余弦值非負,所以,異面直線8。和BC所成角的余弦值為嚕.

四、忽視異面直線所成角的范圍致錯

4.直三棱柱ABC--AEC中,AC=BC=AA',ZACB=↑20o,E為8夕的中點,異面直線CE

與Ca所成角的余弦值是()

10

【錯解】A,如圖所示,直三棱柱/WC-A'3'C'向上方補形為直三棱柱ABC-A"ZTC",其中

ALB',C'分別為各棱的中點,取98"的中點?!?可知CE//C。,異面直線CE與CA所

成角即為C'D'與CA所成角.設(shè)C3=2,則CTy=√LC,A=2√2,AD'=后,

8+5-21

cosZACfD,=

2×2?∣2×?∣5

TT

【錯因】忽略了異面直線所成角的范圍(0,—],所以兩條異面直線所成角的余弦值一定是正

2

數(shù).

【正解】B,如圖所不,汽三棱柱ABC—AEC'向上方補形為直三棱柱ABC-AffBP",其中

A,,B',C'分別為各棱的中點,取?*的中點D¢,可知CE//C”,異而直線CE與CA所

成角即為C'£>'勺C'A所成角.設(shè)CB=2,則CTy=后,CA=2√2?AZ),=√2T,

s+52l

cosZACD'=~r=,故異面直線CE與CA所成角的余弦值為畫.

2×2√2×√555

5.在空間四邊形ABC。中,AB^CD,且異面直線AB與CO所成的角為60。,E,尸分別為

邊BC和AD的中點,則異面直線EF和AB所成的角為

【錯解】60。,如圖,設(shè)G是4C的中點,連接EG,GF,由已知得EG//

∣ΛB,FG//^CD,:.ZEGF是AB和CD所成的角,NGEF是AB和EF

所成的角.?.?A8=CO,.?.EG=GF,,GEF=NGFE.因為NEGF=60°,

AB和EF所成的角為NGEF=60。。

【錯因】NEGF不一定是AB和CD所成的角,還有可能是AB和CD所成的角的補角。

【正解】30°或60。,如圖,設(shè)G是AC的中點,連接EG,GF,由已知得

EG∕∕∣AB,FG//^CD,,NEGF或其補角是AB和CQ所成的角,

NGEF或其補角是AB和EF所成的甬.,:AB=CD,.'.EG=GF,

:.NGEF=NGFE.當NEGF=60°時,AB和EF所成.的角為NGEF=60°:

當NEGF=120°時,A8和EF所成的南為NGEF=30°.

五、誤用垂直性質(zhì)定理致錯

6、已知兩個平面垂直,下列命題:

①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線;

②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線;

③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面;

④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題個數(shù)

是()

A.3B.2C.1D.0

【錯解】如圖在正方體ABCD-AtBlCtDi中,對于①A。IU平面AA1D1D,BQU平面ABCD,APi與

BD是異面直線,成角60。,①錯誤;②正確.

對于③,A。IU平面AΛIDQ,ADl不垂直于平面48CD;0?-7IC1

對于④,過平面440Q內(nèi)點。I,作DCΛ'M∏L

?;AQ_L平面。OCG,DCU平面QIDCG,.?.4"LQle.故正確,故選B.?∕b""?^7c

【錯因】“一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直"與“過B

一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線”,此垂線與另一個平面垂直”是不同的,關(guān)鍵是過點作

的直線不一定在已知平面內(nèi).

【正解】對于④,過平面A4G。內(nèi)點作DlC.??AD?L平面。DCCQiCU平面D∣DCC∣,

AD-LDC但DlC不垂直于平面ABCD,故④錯誤,故選C.

六、判斷線面、線線位置關(guān)系考慮不全致錯

7.若直線α與平面ɑ內(nèi)無數(shù)條直線平行,則。與α的位置關(guān)系是.

【錯解】a∕∕a

【錯因】沒考慮aua的情況。

【正解】由直線與平面平行的判定定理知,a可能平行于α,也可能在α內(nèi),故答案為@〃

α或aua

8、已知直線?!焙推矫姒?3,若aua,bua,a〃£,〃〃0,則α,夕的位置關(guān)系是.

【錯解】平行

【錯因】沒考慮直線m6的位置關(guān)系,

【正解】當。,匕相交時,α〃夕;當α,Z?平行時,α,Q平行或相交.答案為平行或相交。

9、若α〃“,直線a〃a,則“與夕的位置關(guān)系是.

【錯解】a∕∕β

【錯因】沒討論直線。與用的位置關(guān)系,

【正解】當。在/外時,a//β?當“在£內(nèi)時,”〃a也成立.所以“〃£或au/。

10.若直線/與平面ɑ內(nèi)的一條直線平行,則/和α的位置關(guān)系是()

A.IUaB.IHaC.IUa或IuaD./和α相交

【錯解】A

【錯因】直線與平面平行的判定定理中:平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,則該直線

與此平面平行,忽略了平面外這個重要條件,本題中直線/與平面ɑ內(nèi)的一條直線

平行,也可能∕ua.

【正解】C,由題意,直線/與平面ɑ內(nèi)的一條直線平行,若Iaa,山線面平行的判定定理,

則///ɑ,也有可能/uα.

七、證明線面平行、面面平行條件表達不全致錯

11.如圖,四棱錐P—ABCD中,四邊形ABC。是矩形,AB=BAO=2,ZV?D為正三

角形,且平面PAo_L平面A8C£>,E、尸分別為尸C、PB的中點.證明:防〃平面PA。;

【錯解】:E,尸分別為PC,PB的中點、,:.EFHBC.AD//BC,所以砂〃4),

,防〃平面PAD;

【錯因】證明過程中,沒有說明EFa平面PAD.

【正解】;E,尸分別為PC,PB的中氤,:?EFDBC.

?.?A8CQ是矩形,,AO〃BC,則EF〃4),

;A£>u平面PAC,EF<Z平面PAD,〃平面PAD;

12、如圖,四棱錐P-ABCD中,AO〃8CA5=8C=厘。,E,F,H分別為線段ADPC,CD的中

點4C與BE交于O點,G是線段OF上一點.

(1)求證:AP〃平面8EF;

(2)求證:GH〃平面以D

【錯解】證明⑴連接EC,;AD//BC.BC^AD.

:.BC=AE,&BC//AE,:.四邊形ABCE是平行四邊形,

:.。為AC的中點.又。尸是PC的中點,.?.FO//AP,

."P〃平面BEF.

(2)連接FHQH::F,H分別是PC,CD的中點,

.?.FH//PD,:.F"〃平面PAD.

又;。是BE的中點,”是Cn的中點,,OH//AD,:.OH//平面PAD.

二平面。,尸〃平面又:G”u平面OHF,.?.G4〃平面PAD.

【錯因】(1)中沒有指出尸OU平面BEEAPC平面BEF;

(2)中沒有指出FHHOH=H.

【正解】(1)連接EC力〃8C,8C=%O,

.?.8C=AE,且BC//AE,:.四邊形ABCE是平行四邊形,

:.0為AC的中點.又■一是尸C的中點尸?!ˋP,

fOU平面8E尸,4∕'<t平面BEF,:.AP//BEF.

(2)連接FH,OH::F,H分別是PCeD的中點,

:.FH〃PD,:.FH〃斗南PAD.

又;。是BE的中點,”是CO的中點,二。,〃A平面PAD.

又F"∩OH=H,.?.平面?!笔ㄆ矫鍼AD.又:Gbu平面O"F,.?.GH〃平面PAD.

八、分析問題不全面致錯

13.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6π和4兀的矩形,則圓柱的體積是.

2πr=6π,

【錯解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為兒則體積V=Tr,兒由題意得

Λ=4π

ν=3,

解得J~所以V=36π2.

Λ=4π

【錯因】錯解中只考慮了6兀為底面周長的情況,而4兀也有可能為底面周長。

[2πr=6π,

【正解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為A,則體積V=πΛ,由題意得或

[Λ=4π

2πr=4π,

Λ=6π,

r=3,fr=2,.

解得彳或彳所以V=36π2或24π2.

∕z=4π[h=6π.

14、長方體的長、寬、高分別為3、2、1,從A到G沿長方體的表面的最短距離為

【錯解】根據(jù)題意,將長方體展開,如圖所示,

由圖可知線段ACi的長為最短距離,

有勾股定理得Aq=JAB2+BC;=3√2,

【錯因】長方體展開應(yīng)有三種可能,錯解中只考慮了一種,

【正解】根據(jù)題意,將長方體按照三種不同方式展開,如下圖所示:

結(jié)合長方體的三種展開圖,求得Aa的長分別是3應(yīng),廟,2后,所以最小值是3板.

九、斜二測畫法中混淆原圖與直觀圖關(guān)系致錯

15.如下圖,ATre是ΔABC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖,其中O'Bz=O'C'=l,OW=@,

2

那么,ABC的周長是.

【錯解】在ΔO,A,C,中,0'C=1,0'A'=—,ZAO'C=45,

2J

由余弦定理得:A1C2=0'C2+0'A'2-20'C-σA/cos45,//

得AC'=與1;同理AE=誓?;一/^z?,,?

所以周長為:避二?+丑北+2="+2。

22

【錯因】錯把直觀圖直接當原圖了.

【正解】6,斜二測直觀圖的畫法原則,橫坐標不變,縱坐標減半,所以5C=2,OA=204'=√3,

又因為8CLQ4.所以AC=AB=".+(百P=2,因此&A8C的周長為

2+2+2=6.

16.如圖,若三角形ABC,是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形ABC的直觀圖.已知

AB=4.NCAe=45°,三角形ARC'的面積為2√L則原平面圖形ABC中BC的長度為

【錯解】2右,因為AB'=4,NC'A8'=45°,且三角形A'8'C'的面積為C

20,所以SAZ(C=gA'8'χAC'sinNB'AC'=2√L所以A'C'=2,三角

形43'C'的原平面圖形如下所示:所以AC=A'C'=2,ΛB=4且AC_LAB,

所以BC=JAC2+4夕=26:K

【錯因】忽略了AC=2AC=4,長度應(yīng)該變?yōu)樵瓉淼?倍.注意,在直觀圖還原原圖時:與

X軸平行(重合)的線段長度不變;與V軸平行(重合)的線段長度直觀圖是原圖的一半.

【止解】4&,因為A萬=4,NeK8=45°,角形ABC的面積為2j∑?C

所以SABe=gA8xAC'sinNBAC'=2jΣ.所以AC'=2,.角形48右的

原平面圖形如下所示:所以AC=2A'C'=4,AB=4S,AC1AB,所以?j________

A

BC=^AC1+AB2=4√2:

十、混淆幾何體的表面積與側(cè)面積致錯

17.如圖所示的某糧倉(糧倉的底部位于地面上)是由圓柱和圓錐構(gòu)成的,若圓柱的高是圓錐高

的2倍,且圓錐的母線長是4,側(cè)面積是4兀,則制作這樣一個糧倉的用料面積為?

()A

A.4√l5πB.(2√T5+4)π

C.(3√T5+4)πD.(4√B+4)π

【錯解】選A,設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則4τ∏?=4π,解得r=l,匕二二

所以h=y∣42-1=??∕T5,圓柱的側(cè)面積為2πr?2Λ=4?χJT5π,

【錯因】應(yīng)求該糧倉的表面積,錯解中只求了側(cè)面積。

【正解】選D設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則4τσ=4π,解得r==L所以h=y[FM=

√T5,圓柱的側(cè)面積為2nr?2h=4√13π,故制作這樣一個糧倉的用料面積為(4√記

+4)πo

18、把長、寬分別為4、2的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面,求這個圓柱的體積.

【錯解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為1,高為h.當2口=4,/=2時,〃=:h=l=2,

Q

所以V∣s?=πr∕j=-

【錯因】錯解中漏掉一種情況,解決此類問題一定要考慮全面.把矩形卷成圓柱時,可以以

4為底,2為高;也可以以2為底,4為高.

【正解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為1,高為h.

2Q

當2"=4,/=2時,r=-,h=l=2,所以YaI柱=兀,力=一.

ππ

1C4

當2口=2,/=4時,/,=一,h=i=4,所以V用上=Jrr2A=-.

兀π

綜上所述,這個圓柱的體積為&8或北4

ππ

易布題通關(guān)

1.設(shè)α,P為兩個不同的平面,則α〃夕的充要條件是()

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.α,尸垂直于同一平面

C.α,6平行于同一條直線D.α內(nèi)的任何直線都與夕平行

【答案】D

【詳解】

A選項,α內(nèi)有無數(shù)條直線與4平行,α?j4可能相交,A選項錯誤.

B選項,α,尸垂直于同一平面,α與夕可能相交,B選項錯誤.

C選項,α,6平行于同一條直線,α與P可能相交,C選項錯誤.

D選項,α內(nèi)的任何直線都與夕平行,則0∕/,D選項正確.

2.下列命題中正確的個數(shù)是()

①若直線。上有無數(shù)個點不在平面ɑ內(nèi),則〃〃a;

②若直線“〃平面ɑ,則直線。與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行;

③若直線α〃直線6,直線6〃平面α,則直線α〃平面a;

④若直線α〃平面α,則直線”與平面?內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.

A.OB.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

對于①,若直線α上有無數(shù)個點不在平面ɑ內(nèi),則直線α可能與平面α相交,也可能與平面

α平行,所以①錯誤,

對于②,當直線“〃平面"時,直線“與平面ɑ內(nèi)直線平行或異面,所以②錯誤,

對于③,當直線?!ㄖ本€6直線人〃平面α,則直線“〃平面α,或直線α在平面α內(nèi),所

以③錯誤,

對于④,當直線α〃平面α?xí)r,則直線。與平面α無公共點,所以直線。與平面ɑ內(nèi)的任意

一條直線都沒有公共點,所以④正確,

3.已知直線。力和平面α,且b在α上,“不在α上,則下列判斷錯誤的是()

A.若4〃a,則存在無數(shù)條直線b,使得“〃b

B.若々,。,則存在無數(shù)條直線人使得"力

C.若存在無數(shù)條直線b,使得8,則“〃a

D.若存在無數(shù)條直線b,使得:則a_La

【答案】D

【詳解】若a〃a,則。平行于過。的平面與α的交線c,當6〃C時,a∕∕b,則存在無數(shù)條

直線匕,使得“〃b,A正確:若α,α,4垂直于平面α中的所有直線,則存在無數(shù)條直

線匕,使得ill,B正確;若存在無數(shù)條直線b,使得。〃6,bua,α<zα,則。〃α,

C正確;

當α〃C時,存在無數(shù)條直線b,使得。11,D錯誤.

,,1

4.如圖,Rt?(9AB是一個平面圖形的直觀圖,若O'B'=√2,則∕y'

這個平面圖形的面積是()√×

A.1B.-?∣2C.2y∣2D.4??f^-~貸----

【答案】C

【解析】由已知得Rt?0,A'B'中,直角邊。'B'=√2,則RtZXO'A'B1的面積S

=1,由原圖形的面積與直觀圖面積之比為1:乎,可得原圖形的面積為2√i

5、在高為百的正三棱柱ABC-AqG中,ΔA5C的邊長為2,0為棱片G的中點,若一只螞蟻

從點A沿表面爬向點。,則螞蟻爬行的最短距離為()

A.3B.2√3C.3√2D.2

【答案】A

【解析】如圖1,將矩形BCqG翻折到與平面ABC共面的位置BCC;B;,此時,爬行的最短距離

為AO'=2√L如圖2,將"B,G翻折到與平面ABBIA共面的位置ABIG',易知

4。=例=6/。44=120。,此時爬行的最短距離4。'=3;如圖3,將矩形BCgG翻折到

與平面ABB,\共面的位置3CC'8「此時,爬行的最短距離AfT=2#I.

C,'

圖1圖2圖3

綜上,小螞蟻爬行的最短距離為3.故選A..

6.如圖,在四面體ABCQ中,AB=CQMN分別是BC、AO的中點,若AB與CQ所成角的大

小為60。,則MN與CD所成角的大小為()

A.30°B.60°

C.30°或60°D.15°或60°

【答案】C

【解析】取3。中點。,連接M。、No在四面體ABCD中,ΛB=CD,M?N分別是BC、4D

的中點43與CC所成角的大小為60o,,MO〃8,M9//A3,MO=^CD.

NO=-AB

2

NNMo是MN和C。所成的角或所成角的補角,NMON=60或120,MO=NO

;?NNMO=60或NNMo=30,,MN?CQ所成角為6()或30.故選C.

7.(多選題)已知正方體ABC。-ABCQI,尸是棱CG的中點,以下說法正確的是()

A.過點P有且只有一條直線與直線AB,4。都相交

B.過點P有且只有一條直線與直線AB,AR都平行

c.過點尸有且只有一條直線與直線A8,Aq都垂直

D.過點P有且只有一條直線與直線AB,AA所成角均為45。

【答案】AC

【解析】選項A.過點P與直線AB相交的直線必在平面弘8內(nèi),

過點尸與直線AP相交的直線必在平面PAp內(nèi),故滿足條件的直線必為兩平面的交線,顯

然兩平面有唯一交線,A正確;

選項B.若存在一條直線與AB,AA都平行,則AB//A",矛盾,B不正確;

C選項.因為AA〃A。,若∕?LAA則若∕?LAB,貝UL平面ABCO,顯然滿足條件

的直線唯、即CG,C正確;

D選項.取3B∣,的中點E,F,連PE,PF,則PE〃A2,PFHAB,

若/與直線A3,A。所成角為45。,則/與PE,PF所成角為45。,顯然NEP尸的角平分線

及其外角平分線均符合,D不正確.

8.已知空間中兩個角α,β,且角α與角夕的兩邊分別平行,若a=30。,則4=()

A.30°B.150°

C.30°或150°D.60°或120°

【答案】C

【解析】;角ɑ與角”的兩邊分別平行,.?a與A相等或互補,又a=30°,.?∕=30°或150°.

9.在正方體A5CD-A山CQi中,E,F分別是線段8C,CQ的中點,則直線48與直線

EF的位置關(guān)系是()

A.相交B.異面C.平行D.垂直

【答案】A

【解析】如圖所示,連接BA,CDι,CQl與CQ交于點尸,由題意,易得.J?_____C1

四邊形48CA是平行四邊形,在平行四邊形48Sl中,E,尸分別是線?!罦'?'?

段8C,Cd的中點,:.EF//BD\,又A山∩BQ∣=8且A∣,B,E,尸共面,

ABE

則直線48與直線EF相交.

10.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是()

A.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面

B.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面

C.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面

D.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面

【答案】D

【解析】由兩個平面平行的判定定理可知,如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個平面

平行,那么這兩個平面平行.故可知D符合.

11.“直線。與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線α與平面M垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推

出“直線"與平面例垂直”,反之可以,所以是必要不充分條件.

12.已知機,〃是兩條不同的直線,ɑ,用是兩個不同的平面,貝∣J()

A.若m_La,a_L夕,則,w〃4

B.若相〃α,n?et,則機

C.若WUα,nC.a,m//β,n//β,則α〃夕

D.若加〃α,n∕∕a,則加〃〃

【答案】B

【解析】在如圖所示的正方體中依次判斷各個選項.A選項,面A8CDJ?面

面此時面可知錯誤;選項,則內(nèi)必

ADDiAi,A4∣?LA8CQ,AAlUAOO∣Aι,ABm∕∕a,α

存在直線,使得又〃?La,則“J√,可知〃■!""?,可知B正確:C選項,取AΛ和。A

中點E和尸,可知AQl〃面A88,EF//?ABCD,A∣D∣,EFU面AQQ∣4,此時面A。AAl

?L面A8C。,可知C錯誤;D選項,AAi〃面8CC∣8],A?!鍮CG8∣,此時4Aι∏4O=A,

可知D錯誤.

13.下列說法中正確的是.(填序號)

①若“,6是兩條直線,且“〃〃,那么“平行于經(jīng)過6的任何平面;

②若直線“和平面α滿足a∕∕a,那么〃與α內(nèi)的任何直線平行;

③平行于同一條直線的兩個平面平行;

④若直線”,人和平面α滿足a//a,h<la,則匕〃α.

【答案】④

【解析】對于①,??梢栽诮?jīng)過b的平面內(nèi),故①錯誤;對于②,α與α內(nèi)的直線平行或異

面,故②錯誤;對于③,兩平面也可以相交,故③錯誤:對于④,a∕∕b,a∕∕a,Ma,則b

//a,故④正確.

14、某圓錐母線長為2,底面半徑為小,則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最

大值為.

【答案】2

【解析】如圖所示,ZVlBC是圓錐的軸截面.OC=OB=小,AC=A8=2,

OA=Λ∕∑2-(?j?)2=1,所以NOAC=:,ZBAC=^,所以任意截面AABO

TT

的面積為5X2X2XSinN84力=2XSinN84。,當NBAo=]時,截面面積

最大為2X1=2.

15.如圖,已知南,平面ABC,8SAC,則圖中直角三角形的個數(shù)為

【答案】4

【解?析】?.?fi4J■平面A8C,AB,AC,BCU平面ABe,.?.∕?_LA8,PA-LAC,

R?±BC,則△/?B,△%(;為直角三角形.又8C?LAC,ILACHPA=A,

.?.BC?L平面B4C,從而BCLPC,因此aABC,ZiPBC也是直角三角形.

16.如圖所示,已知斜二測畫法畫出的.ABC的直觀圖VAEC*是邊長為。的正三角形,則原

ABC的面積為.

B'

【答案】&2

2

【解析】過點C'作c'M,〃y軸,且交/軸干點加、

過C作CTyJ軸,且交V軸于點Z)¢,則CTy=走,

2

ZCMDr=45o,ΛC,M,≈-a,

2

三角形的高CM=隔,底邊長為%其面積為S=?"而=等A

17.如圖所示,VAEa表示水平放置的ABC的斜二測畫法下的直觀圖,A?在x'軸上,BC

與x'軸垂直,且B'C'=3,貝k43C的邊AB上的高為

過點C'作Cz>'∕∕y'軸,交X,軸于點?!?則NCTzB'=45".

???在氏B'C7X中,B'C'=3,???C'D'=3√L

所以“BC的邊AB上的高C0=2C'D'=6√L

18.如圖,已知正三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱長為底面邊長的2倍,M是側(cè)棱CG的中點,

則異面直線AA和BM所成的角的余弦值為

【答案】跡

20

【詳解】正三棱柱ABC-AB£的側(cè)棱長為底面邊長的2倍,設(shè)AB=α,則M=2α,取BBl

中點N,AB中點E,連接NE,NJ,EC】,CE,如下圖所示:

則/ENG即為異面直線A4和BM所成的角或其補角,所以EN=gAB]=*~a,

222222

ECi=EC+CC1=-∣α+4α=^-a,CIN=BM=區(qū),所以在AENG中由余弦定理可

252192

NC2+NE2-EC22ct+7a-Ta3√W

得CoSNENG=1::>1=----------/=-=—,因為異面直線夾角的取值

2NCγNE2χ√∑αx跑20

2

范圍為(0,、,所以異面出線4片和BM所成的角的余弦值為嚕,

19.如圖,在四棱錐P—ABCD中,A3//CD,ZBAP=ZCDP=90°.

(1)證明:平面PAB±平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-。的余弦值.

【解析】(1)由已知∕BAP=NCDP=90°.得ABJ_AP.COJ_P。,由于AB//CD,

故A5,PD,從而A6_L平面Q4D,又A

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