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文檔簡介
專題11立體幾何
名布臺折
一、混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關(guān)系致錯
1.如圖,在正方體ABCo-ABCQl中,E為的中點.求直線AA∣與平面A。E所成
角的正弦值.
【錯解】(H)以點A為坐標原點,AD,AB、AA∣所在直線分別為x、y、Z軸建立如
下圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-型,設(shè)正方體ABC。-ABCQl的棱長為2,則
A(0,0,0)?A(0,0,2)、0(2,0,2)、£(0,2,1),AD1=(2,0,2),
AE=(0,2,1),
,L/、?n-ADx=0[2x+2z=Q
設(shè)平面Af)IE的法向量為“=(χ,y,z),由《,得C>a?
、)I;?-AE=O[2y+z=0*
..n?AA42
令Z=_2,則x=2,y=l,則〃=(2,1,—2).cos<〃,A4,〉=W向=_詼=_§.
2
則sin<〃,AA>=y∣?-cos<n,AAi>=JV=寺,因此,直線AA∣與平面ARE所
成角的正弦值為逝.
3
【錯因】混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關(guān)系,實際上直線與平面所成的
角6的正弦值等于平面的法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值,即
sinθ=∣cos<n,AAf>∣o
【正解】以點A為坐標原用,AD^A5、AA所在直線分別為X、丁、Z軸建立如下圖所
小的空間向角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體ABCD-AiBlCtDi的棱長為2,則A(0,0,0)、
A(0,0,2),£),(2,0,2),£(0,2,1).AD1=(2,0,2),A£=(0,2,1).
M.yl/?—0
設(shè)平面AQE的法向量為"=(χ,χz),由L,
n?AE=O…
2x+2z=OJr---?-
得',、,令z=-2?則x=2.y=l,則〃=(2,1,-2).
,
2y+z=0'A
I._.I?∏-AAi?42
設(shè)向線AAi?平面AD1E所成ffj為。,則Sine=ICoS<n,AAi>?=1?rj-?-=——=
11∏?A4∣3×23
2
因此,直線AA」平面ARE所成角的正弦值為
二、忽略兩平面法向量的夾角與二面角平面角的關(guān)系致錯
2、如圖所示的幾何體是由棱臺4BC—4B∣G和棱錐。一A4ιGC拼接’
而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且NBAZ)=60。,
平面ABenBBl=8∣Cl=I.求二面角Ai-BD-Ci的余弦值.
[錯解】設(shè)BD.AC交于點O,以O(shè)為坐標原點,以Ql為X軸,以。。為N軸,如
圖建立空間直角坐標系,z軸顯然平行于直8B∣由四邊形ABCD是邊長為2的菱形,艮
Z840=60。,得OB=OD=?QA=OC=6
B(0,-1,0),D(0,l,0),β1(0,-l,l),A(^,0,0),c(-√3,0,0),卜、,
BA=(√3,1,0),BA1=SB1+BiAl=BBi+∣BΛ=(^y,∣,l).BD=(0,2,0),
設(shè)平面ABO的一個法向量為〃=(χ,y,z),
√3?
則aA"=EX+,y+z=o,令Z=君得y=o,x=_2,從而〃=卜2,0,6)
BD?n-2y=0,
同理BC1=BBx+B1C1=BB盧;BC=(-?,?,l),
yβ?
設(shè)平面MG的一個法向量為m=(%,y,zj,則■BGm=-W&+/+4=。,
BD`m—2y1=0,
L/?m`n2×(-2)+>∕3×Λ∕31
令Z=G,得%=。,玉=2,從而m=(2,0,4r3)Mcos<〃z,〃>=「pp|=-i=—j=---
故二面角A1-BD-Q的余弦值為一,.
【錯因】錯誤的認為兩平面法向量的夾角就等于二面角平面角,實際上是二面角的平面角大
小是向量Wl與912的夾角(或其補角).
【正解】設(shè)3RAC交尸點。,以。為坐標原點,以CA為#軸,以0。為y軸,如圖建M空間直角
坐標系,Z軸顯然平行于直B瓦山四邊形A8CZ)是邊長為2的菱形,且/540=60。,
得OB=O£)=1.0A=OC=68(0,-1,0),£>(0,1,0)出(O,T,1),A(后0,0),4-后0,0).
BA=(√3,1,0).BΛ,=BB1+B1Λ1=BB1+?BA=(―,?,D-?£>=(0,2,0).
22J?‰?
設(shè)平面43。的一個法向量為〃=(x,y,z).?rr
1
則產(chǎn).〃-7+寸+2=°n,令Z=G得y=0,x=-2,從而〃=卜2,0詞
BDn=Iy=O,'*
,二...#N
同理BC1=BBt+B1C1=BB]+;BC=(-?,?,l).
√31n
設(shè)平面BOCl的個法向量為根=(XI,χ,zj,則《'G.〃2=_萬占+/+4=0,
BDm=Iyx=Q,
m`n2x(-2)+GX石—1
令Zl=百、得y=0,%=2.從面機=(2,0,b),則COS<,",">=
I+W√7×√7-7
乂111圖可知A-BD-G為銳角,故-Hfii角A-BD-G的余弦值為?.
三、忽略異面直線所成角與向量夾角的關(guān)系致錯
3.在長方體ABCf)-AlBlGOl中,AB=3,BC=I,AAi=2,則異面直線SZ)I和BlC所成角
的余弦值為()
—迎√70
B.70J70
【錯解】選B,以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則3(1,3,0),Dι(0,0,2),Bι(l,3,2),C(0,3,0),則加=(一1,-3,2),
_BDr^C_~3_3√70
敲=(一1,0,-2),從而CoS〈赤,β[c)
一1曲標「5,小―70,
TT
【錯因】兩異面直線所成角的范圍(0,耳],而兩向量夾角的范圍為[(),乃],錯解中誤認為兩
向量夾角就是兩異面直線所成角。
【正解】選A以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則8(I,3,0),Dl(0,0,2),
β∣(l,3,2),C(0,3,0),則礪=(-1,-3,2),訛=(一1,0,~2),從而cos
BD-BC_-3需.又異面直線BD和Bc所成
<BDι,fi7c>iii
∣?Z)∣∣∣B7C∣
的角不可能為鈍角,其余弦值非負,所以,異面直線8。和BC所成角的余弦值為嚕.
四、忽視異面直線所成角的范圍致錯
4.直三棱柱ABC--AEC中,AC=BC=AA',ZACB=↑20o,E為8夕的中點,異面直線CE
與Ca所成角的余弦值是()
10
【錯解】A,如圖所示,直三棱柱/WC-A'3'C'向上方補形為直三棱柱ABC-A"ZTC",其中
ALB',C'分別為各棱的中點,取98"的中點?!?可知CE//C。,異面直線CE與CA所
成角即為C'D'與CA所成角.設(shè)C3=2,則CTy=√LC,A=2√2,AD'=后,
8+5-21
cosZACfD,=
2×2?∣2×?∣5
TT
【錯因】忽略了異面直線所成角的范圍(0,—],所以兩條異面直線所成角的余弦值一定是正
2
數(shù).
【正解】B,如圖所不,汽三棱柱ABC—AEC'向上方補形為直三棱柱ABC-AffBP",其中
A,,B',C'分別為各棱的中點,取?*的中點D¢,可知CE//C”,異而直線CE與CA所
成角即為C'£>'勺C'A所成角.設(shè)CB=2,則CTy=后,CA=2√2?AZ),=√2T,
s+52l
cosZACD'=~r=,故異面直線CE與CA所成角的余弦值為畫.
2×2√2×√555
5.在空間四邊形ABC。中,AB^CD,且異面直線AB與CO所成的角為60。,E,尸分別為
邊BC和AD的中點,則異面直線EF和AB所成的角為
【錯解】60。,如圖,設(shè)G是4C的中點,連接EG,GF,由已知得EG//
∣ΛB,FG//^CD,:.ZEGF是AB和CD所成的角,NGEF是AB和EF
所成的角.?.?A8=CO,.?.EG=GF,,GEF=NGFE.因為NEGF=60°,
AB和EF所成的角為NGEF=60。。
【錯因】NEGF不一定是AB和CD所成的角,還有可能是AB和CD所成的角的補角。
【正解】30°或60。,如圖,設(shè)G是AC的中點,連接EG,GF,由已知得
EG∕∕∣AB,FG//^CD,,NEGF或其補角是AB和CQ所成的角,
NGEF或其補角是AB和EF所成的甬.,:AB=CD,.'.EG=GF,
:.NGEF=NGFE.當NEGF=60°時,AB和EF所成.的角為NGEF=60°:
當NEGF=120°時,A8和EF所成的南為NGEF=30°.
五、誤用垂直性質(zhì)定理致錯
6、已知兩個平面垂直,下列命題:
①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線;
②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線;
③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面;
④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題個數(shù)
是()
A.3B.2C.1D.0
【錯解】如圖在正方體ABCD-AtBlCtDi中,對于①A。IU平面AA1D1D,BQU平面ABCD,APi與
BD是異面直線,成角60。,①錯誤;②正確.
對于③,A。IU平面AΛIDQ,ADl不垂直于平面48CD;0?-7IC1
對于④,過平面440Q內(nèi)點。I,作DCΛ'M∏L
?;AQ_L平面。OCG,DCU平面QIDCG,.?.4"LQle.故正確,故選B.?∕b""?^7c
【錯因】“一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直"與“過B
一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線”,此垂線與另一個平面垂直”是不同的,關(guān)鍵是過點作
的直線不一定在已知平面內(nèi).
【正解】對于④,過平面A4G。內(nèi)點作DlC.??AD?L平面。DCCQiCU平面D∣DCC∣,
AD-LDC但DlC不垂直于平面ABCD,故④錯誤,故選C.
六、判斷線面、線線位置關(guān)系考慮不全致錯
7.若直線α與平面ɑ內(nèi)無數(shù)條直線平行,則。與α的位置關(guān)系是.
【錯解】a∕∕a
【錯因】沒考慮aua的情況。
【正解】由直線與平面平行的判定定理知,a可能平行于α,也可能在α內(nèi),故答案為@〃
α或aua
8、已知直線?!焙推矫姒?3,若aua,bua,a〃£,〃〃0,則α,夕的位置關(guān)系是.
【錯解】平行
【錯因】沒考慮直線m6的位置關(guān)系,
【正解】當。,匕相交時,α〃夕;當α,Z?平行時,α,Q平行或相交.答案為平行或相交。
9、若α〃“,直線a〃a,則“與夕的位置關(guān)系是.
【錯解】a∕∕β
【錯因】沒討論直線。與用的位置關(guān)系,
【正解】當。在/外時,a//β?當“在£內(nèi)時,”〃a也成立.所以“〃£或au/。
10.若直線/與平面ɑ內(nèi)的一條直線平行,則/和α的位置關(guān)系是()
A.IUaB.IHaC.IUa或IuaD./和α相交
【錯解】A
【錯因】直線與平面平行的判定定理中:平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,則該直線
與此平面平行,忽略了平面外這個重要條件,本題中直線/與平面ɑ內(nèi)的一條直線
平行,也可能∕ua.
【正解】C,由題意,直線/與平面ɑ內(nèi)的一條直線平行,若Iaa,山線面平行的判定定理,
則///ɑ,也有可能/uα.
七、證明線面平行、面面平行條件表達不全致錯
11.如圖,四棱錐P—ABCD中,四邊形ABC。是矩形,AB=BAO=2,ZV?D為正三
角形,且平面PAo_L平面A8C£>,E、尸分別為尸C、PB的中點.證明:防〃平面PA。;
【錯解】:E,尸分別為PC,PB的中點、,:.EFHBC.AD//BC,所以砂〃4),
,防〃平面PAD;
【錯因】證明過程中,沒有說明EFa平面PAD.
【正解】;E,尸分別為PC,PB的中氤,:?EFDBC.
?.?A8CQ是矩形,,AO〃BC,則EF〃4),
;A£>u平面PAC,EF<Z平面PAD,〃平面PAD;
12、如圖,四棱錐P-ABCD中,AO〃8CA5=8C=厘。,E,F,H分別為線段ADPC,CD的中
點4C與BE交于O點,G是線段OF上一點.
(1)求證:AP〃平面8EF;
(2)求證:GH〃平面以D
【錯解】證明⑴連接EC,;AD//BC.BC^AD.
:.BC=AE,&BC//AE,:.四邊形ABCE是平行四邊形,
:.。為AC的中點.又。尸是PC的中點,.?.FO//AP,
."P〃平面BEF.
(2)連接FHQH::F,H分別是PC,CD的中點,
.?.FH//PD,:.F"〃平面PAD.
又;。是BE的中點,”是Cn的中點,,OH//AD,:.OH//平面PAD.
二平面。,尸〃平面又:G”u平面OHF,.?.G4〃平面PAD.
【錯因】(1)中沒有指出尸OU平面BEEAPC平面BEF;
(2)中沒有指出FHHOH=H.
【正解】(1)連接EC力〃8C,8C=%O,
.?.8C=AE,且BC//AE,:.四邊形ABCE是平行四邊形,
:.0為AC的中點.又■一是尸C的中點尸?!ˋP,
fOU平面8E尸,4∕'<t平面BEF,:.AP//BEF.
(2)連接FH,OH::F,H分別是PCeD的中點,
:.FH〃PD,:.FH〃斗南PAD.
又;。是BE的中點,”是CO的中點,二。,〃A平面PAD.
又F"∩OH=H,.?.平面?!笔ㄆ矫鍼AD.又:Gbu平面O"F,.?.GH〃平面PAD.
八、分析問題不全面致錯
13.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6π和4兀的矩形,則圓柱的體積是.
2πr=6π,
【錯解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為兒則體積V=Tr,兒由題意得
Λ=4π
ν=3,
解得J~所以V=36π2.
Λ=4π
【錯因】錯解中只考慮了6兀為底面周長的情況,而4兀也有可能為底面周長。
[2πr=6π,
【正解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為A,則體積V=πΛ,由題意得或
[Λ=4π
2πr=4π,
Λ=6π,
r=3,fr=2,.
解得彳或彳所以V=36π2或24π2.
∕z=4π[h=6π.
14、長方體的長、寬、高分別為3、2、1,從A到G沿長方體的表面的最短距離為
【錯解】根據(jù)題意,將長方體展開,如圖所示,
由圖可知線段ACi的長為最短距離,
有勾股定理得Aq=JAB2+BC;=3√2,
【錯因】長方體展開應(yīng)有三種可能,錯解中只考慮了一種,
【正解】根據(jù)題意,將長方體按照三種不同方式展開,如下圖所示:
結(jié)合長方體的三種展開圖,求得Aa的長分別是3應(yīng),廟,2后,所以最小值是3板.
九、斜二測畫法中混淆原圖與直觀圖關(guān)系致錯
15.如下圖,ATre是ΔABC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖,其中O'Bz=O'C'=l,OW=@,
2
那么,ABC的周長是.
【錯解】在ΔO,A,C,中,0'C=1,0'A'=—,ZAO'C=45,
2J
由余弦定理得:A1C2=0'C2+0'A'2-20'C-σA/cos45,//
得AC'=與1;同理AE=誓?;一/^z?,,?
所以周長為:避二?+丑北+2="+2。
22
【錯因】錯把直觀圖直接當原圖了.
【正解】6,斜二測直觀圖的畫法原則,橫坐標不變,縱坐標減半,所以5C=2,OA=204'=√3,
又因為8CLQ4.所以AC=AB=".+(百P=2,因此&A8C的周長為
2+2+2=6.
16.如圖,若三角形ABC,是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形ABC的直觀圖.已知
AB=4.NCAe=45°,三角形ARC'的面積為2√L則原平面圖形ABC中BC的長度為
【錯解】2右,因為AB'=4,NC'A8'=45°,且三角形A'8'C'的面積為C
20,所以SAZ(C=gA'8'χAC'sinNB'AC'=2√L所以A'C'=2,三角
形43'C'的原平面圖形如下所示:所以AC=A'C'=2,ΛB=4且AC_LAB,
所以BC=JAC2+4夕=26:K
【錯因】忽略了AC=2AC=4,長度應(yīng)該變?yōu)樵瓉淼?倍.注意,在直觀圖還原原圖時:與
X軸平行(重合)的線段長度不變;與V軸平行(重合)的線段長度直觀圖是原圖的一半.
【止解】4&,因為A萬=4,NeK8=45°,角形ABC的面積為2j∑?C
所以SABe=gA8xAC'sinNBAC'=2jΣ.所以AC'=2,.角形48右的
原平面圖形如下所示:所以AC=2A'C'=4,AB=4S,AC1AB,所以?j________
A
BC=^AC1+AB2=4√2:
十、混淆幾何體的表面積與側(cè)面積致錯
17.如圖所示的某糧倉(糧倉的底部位于地面上)是由圓柱和圓錐構(gòu)成的,若圓柱的高是圓錐高
的2倍,且圓錐的母線長是4,側(cè)面積是4兀,則制作這樣一個糧倉的用料面積為?
()A
A.4√l5πB.(2√T5+4)π
C.(3√T5+4)πD.(4√B+4)π
【錯解】選A,設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則4τ∏?=4π,解得r=l,匕二二
所以h=y∣42-1=??∕T5,圓柱的側(cè)面積為2πr?2Λ=4?χJT5π,
【錯因】應(yīng)求該糧倉的表面積,錯解中只求了側(cè)面積。
【正解】選D設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則4τσ=4π,解得r==L所以h=y[FM=
√T5,圓柱的側(cè)面積為2nr?2h=4√13π,故制作這樣一個糧倉的用料面積為(4√記
+4)πo
18、把長、寬分別為4、2的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面,求這個圓柱的體積.
【錯解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為1,高為h.當2口=4,/=2時,〃=:h=l=2,
Q
所以V∣s?=πr∕j=-
【錯因】錯解中漏掉一種情況,解決此類問題一定要考慮全面.把矩形卷成圓柱時,可以以
4為底,2為高;也可以以2為底,4為高.
【正解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為1,高為h.
2Q
當2"=4,/=2時,r=-,h=l=2,所以YaI柱=兀,力=一.
ππ
1C4
當2口=2,/=4時,/,=一,h=i=4,所以V用上=Jrr2A=-.
兀π
綜上所述,這個圓柱的體積為&8或北4
ππ
易布題通關(guān)
1.設(shè)α,P為兩個不同的平面,則α〃夕的充要條件是()
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.α,尸垂直于同一平面
C.α,6平行于同一條直線D.α內(nèi)的任何直線都與夕平行
【答案】D
【詳解】
A選項,α內(nèi)有無數(shù)條直線與4平行,α?j4可能相交,A選項錯誤.
B選項,α,尸垂直于同一平面,α與夕可能相交,B選項錯誤.
C選項,α,6平行于同一條直線,α與P可能相交,C選項錯誤.
D選項,α內(nèi)的任何直線都與夕平行,則0∕/,D選項正確.
2.下列命題中正確的個數(shù)是()
①若直線。上有無數(shù)個點不在平面ɑ內(nèi),則〃〃a;
②若直線“〃平面ɑ,則直線。與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行;
③若直線α〃直線6,直線6〃平面α,則直線α〃平面a;
④若直線α〃平面α,則直線”與平面?內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.
A.OB.1C.2D.3
【答案】B
【詳解】
對于①,若直線α上有無數(shù)個點不在平面ɑ內(nèi),則直線α可能與平面α相交,也可能與平面
α平行,所以①錯誤,
對于②,當直線“〃平面"時,直線“與平面ɑ內(nèi)直線平行或異面,所以②錯誤,
對于③,當直線?!ㄖ本€6直線人〃平面α,則直線“〃平面α,或直線α在平面α內(nèi),所
以③錯誤,
對于④,當直線α〃平面α?xí)r,則直線。與平面α無公共點,所以直線。與平面ɑ內(nèi)的任意
一條直線都沒有公共點,所以④正確,
3.已知直線。力和平面α,且b在α上,“不在α上,則下列判斷錯誤的是()
A.若4〃a,則存在無數(shù)條直線b,使得“〃b
B.若々,。,則存在無數(shù)條直線人使得"力
C.若存在無數(shù)條直線b,使得8,則“〃a
D.若存在無數(shù)條直線b,使得:則a_La
【答案】D
【詳解】若a〃a,則。平行于過。的平面與α的交線c,當6〃C時,a∕∕b,則存在無數(shù)條
直線匕,使得“〃b,A正確:若α,α,4垂直于平面α中的所有直線,則存在無數(shù)條直
線匕,使得ill,B正確;若存在無數(shù)條直線b,使得。〃6,bua,α<zα,則。〃α,
C正確;
當α〃C時,存在無數(shù)條直線b,使得。11,D錯誤.
,,1
4.如圖,Rt?(9AB是一個平面圖形的直觀圖,若O'B'=√2,則∕y'
這個平面圖形的面積是()√×
A.1B.-?∣2C.2y∣2D.4??f^-~貸----
【答案】C
【解析】由已知得Rt?0,A'B'中,直角邊。'B'=√2,則RtZXO'A'B1的面積S
=1,由原圖形的面積與直觀圖面積之比為1:乎,可得原圖形的面積為2√i
5、在高為百的正三棱柱ABC-AqG中,ΔA5C的邊長為2,0為棱片G的中點,若一只螞蟻
從點A沿表面爬向點。,則螞蟻爬行的最短距離為()
A.3B.2√3C.3√2D.2
【答案】A
【解析】如圖1,將矩形BCqG翻折到與平面ABC共面的位置BCC;B;,此時,爬行的最短距離
為AO'=2√L如圖2,將"B,G翻折到與平面ABBIA共面的位置ABIG',易知
4。=例=6/。44=120。,此時爬行的最短距離4。'=3;如圖3,將矩形BCgG翻折到
與平面ABB,\共面的位置3CC'8「此時,爬行的最短距離AfT=2#I.
C,'
圖1圖2圖3
綜上,小螞蟻爬行的最短距離為3.故選A..
6.如圖,在四面體ABCQ中,AB=CQMN分別是BC、AO的中點,若AB與CQ所成角的大
小為60。,則MN與CD所成角的大小為()
A.30°B.60°
C.30°或60°D.15°或60°
【答案】C
【解析】取3。中點。,連接M。、No在四面體ABCD中,ΛB=CD,M?N分別是BC、4D
的中點43與CC所成角的大小為60o,,MO〃8,M9//A3,MO=^CD.
NO=-AB
2
NNMo是MN和C。所成的角或所成角的補角,NMON=60或120,MO=NO
;?NNMO=60或NNMo=30,,MN?CQ所成角為6()或30.故選C.
7.(多選題)已知正方體ABC。-ABCQI,尸是棱CG的中點,以下說法正確的是()
A.過點P有且只有一條直線與直線AB,4。都相交
B.過點P有且只有一條直線與直線AB,AR都平行
c.過點尸有且只有一條直線與直線A8,Aq都垂直
D.過點P有且只有一條直線與直線AB,AA所成角均為45。
【答案】AC
【解析】選項A.過點P與直線AB相交的直線必在平面弘8內(nèi),
過點尸與直線AP相交的直線必在平面PAp內(nèi),故滿足條件的直線必為兩平面的交線,顯
然兩平面有唯一交線,A正確;
選項B.若存在一條直線與AB,AA都平行,則AB//A",矛盾,B不正確;
C選項.因為AA〃A。,若∕?LAA則若∕?LAB,貝UL平面ABCO,顯然滿足條件
的直線唯、即CG,C正確;
D選項.取3B∣,的中點E,F,連PE,PF,則PE〃A2,PFHAB,
若/與直線A3,A。所成角為45。,則/與PE,PF所成角為45。,顯然NEP尸的角平分線
及其外角平分線均符合,D不正確.
8.已知空間中兩個角α,β,且角α與角夕的兩邊分別平行,若a=30。,則4=()
A.30°B.150°
C.30°或150°D.60°或120°
【答案】C
【解析】;角ɑ與角”的兩邊分別平行,.?a與A相等或互補,又a=30°,.?∕=30°或150°.
9.在正方體A5CD-A山CQi中,E,F分別是線段8C,CQ的中點,則直線48與直線
EF的位置關(guān)系是()
A.相交B.異面C.平行D.垂直
【答案】A
【解析】如圖所示,連接BA,CDι,CQl與CQ交于點尸,由題意,易得.J?_____C1
四邊形48CA是平行四邊形,在平行四邊形48Sl中,E,尸分別是線?!罦'?'?
段8C,Cd的中點,:.EF//BD\,又A山∩BQ∣=8且A∣,B,E,尸共面,
ABE
則直線48與直線EF相交.
10.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是()
A.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面
B.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面
C.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面
D.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面
【答案】D
【解析】由兩個平面平行的判定定理可知,如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個平面
平行,那么這兩個平面平行.故可知D符合.
11.“直線。與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線α與平面M垂直”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推
出“直線"與平面例垂直”,反之可以,所以是必要不充分條件.
12.已知機,〃是兩條不同的直線,ɑ,用是兩個不同的平面,貝∣J()
A.若m_La,a_L夕,則,w〃4
B.若相〃α,n?et,則機
C.若WUα,nC.a,m//β,n//β,則α〃夕
D.若加〃α,n∕∕a,則加〃〃
【答案】B
【解析】在如圖所示的正方體中依次判斷各個選項.A選項,面A8CDJ?面
面此時面可知錯誤;選項,則內(nèi)必
ADDiAi,A4∣?LA8CQ,AAlUAOO∣Aι,ABm∕∕a,α
存在直線,使得又〃?La,則“J√,可知〃■!""?,可知B正確:C選項,取AΛ和。A
中點E和尸,可知AQl〃面A88,EF//?ABCD,A∣D∣,EFU面AQQ∣4,此時面A。AAl
?L面A8C。,可知C錯誤;D選項,AAi〃面8CC∣8],A?!鍮CG8∣,此時4Aι∏4O=A,
可知D錯誤.
13.下列說法中正確的是.(填序號)
①若“,6是兩條直線,且“〃〃,那么“平行于經(jīng)過6的任何平面;
②若直線“和平面α滿足a∕∕a,那么〃與α內(nèi)的任何直線平行;
③平行于同一條直線的兩個平面平行;
④若直線”,人和平面α滿足a//a,h<la,則匕〃α.
【答案】④
【解析】對于①,??梢栽诮?jīng)過b的平面內(nèi),故①錯誤;對于②,α與α內(nèi)的直線平行或異
面,故②錯誤;對于③,兩平面也可以相交,故③錯誤:對于④,a∕∕b,a∕∕a,Ma,則b
//a,故④正確.
14、某圓錐母線長為2,底面半徑為小,則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最
大值為.
【答案】2
【解析】如圖所示,ZVlBC是圓錐的軸截面.OC=OB=小,AC=A8=2,
OA=Λ∕∑2-(?j?)2=1,所以NOAC=:,ZBAC=^,所以任意截面AABO
TT
的面積為5X2X2XSinN84力=2XSinN84。,當NBAo=]時,截面面積
最大為2X1=2.
15.如圖,已知南,平面ABC,8SAC,則圖中直角三角形的個數(shù)為
【答案】4
【解?析】?.?fi4J■平面A8C,AB,AC,BCU平面ABe,.?.∕?_LA8,PA-LAC,
R?±BC,則△/?B,△%(;為直角三角形.又8C?LAC,ILACHPA=A,
.?.BC?L平面B4C,從而BCLPC,因此aABC,ZiPBC也是直角三角形.
16.如圖所示,已知斜二測畫法畫出的.ABC的直觀圖VAEC*是邊長為。的正三角形,則原
ABC的面積為.
B'
【答案】&2
2
【解析】過點C'作c'M,〃y軸,且交/軸干點加、
過C作CTyJ軸,且交V軸于點Z)¢,則CTy=走,
2
ZCMDr=45o,ΛC,M,≈-a,
2
三角形的高CM=隔,底邊長為%其面積為S=?"而=等A
17.如圖所示,VAEa表示水平放置的ABC的斜二測畫法下的直觀圖,A?在x'軸上,BC
與x'軸垂直,且B'C'=3,貝k43C的邊AB上的高為
過點C'作Cz>'∕∕y'軸,交X,軸于點?!?則NCTzB'=45".
???在氏B'C7X中,B'C'=3,???C'D'=3√L
所以“BC的邊AB上的高C0=2C'D'=6√L
18.如圖,已知正三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱長為底面邊長的2倍,M是側(cè)棱CG的中點,
則異面直線AA和BM所成的角的余弦值為
【答案】跡
20
【詳解】正三棱柱ABC-AB£的側(cè)棱長為底面邊長的2倍,設(shè)AB=α,則M=2α,取BBl
中點N,AB中點E,連接NE,NJ,EC】,CE,如下圖所示:
則/ENG即為異面直線A4和BM所成的角或其補角,所以EN=gAB]=*~a,
222222
ECi=EC+CC1=-∣α+4α=^-a,CIN=BM=區(qū),所以在AENG中由余弦定理可
252192
NC2+NE2-EC22ct+7a-Ta3√W
得CoSNENG=1::>1=----------/=-=—,因為異面直線夾角的取值
2NCγNE2χ√∑αx跑20
2
范圍為(0,、,所以異面出線4片和BM所成的角的余弦值為嚕,
19.如圖,在四棱錐P—ABCD中,A3//CD,ZBAP=ZCDP=90°.
(1)證明:平面PAB±平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-。的余弦值.
【解析】(1)由已知∕BAP=NCDP=90°.得ABJ_AP.COJ_P。,由于AB//CD,
故A5,PD,從而A6_L平面Q4D,又A
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