2023版高考數(shù)學一輪總復(fù)習檢測11-3二項分布與正態(tài)分布

11.3二項分布與正態(tài)分布

一、選擇題

1.(2022屆長沙長郡中學月考,7)某電視臺的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān),第一關(guān)與第二

關(guān)的過關(guān)率分別為**只有通過前一關(guān)才能進入下一關(guān),每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機會,且通過

每關(guān)相互獨立.一選手參加該節(jié)目，則該選手能進人第三關(guān)的概率為()

K.-B.∣C,-D.-

26916

答案B該選手闖過第一關(guān)的概率為PlW4X找,闖過第二關(guān)的概率為Pz94x所以該

333944416

選手能進入第三關(guān)的概率為p?×??.故選B.

9166

2.(2022屆武漢部分學校質(zhì)檢,5)在一次試驗中，隨機事件A,B滿足P(A)=P(B)=|,貝∣J()

A.事件A,B一定互斥

B.事件Λ,B一定不互斥

C.事件A,B一定互相獨立

D.事件A,B一定不互相獨立

答案B若事件A,B為互斥事件,則P(AUB)=P(A)+P(B)W>1,與OWP(AUB)Wl矛盾,所以

P(AUB)≠P(A)+P(B),所以事件A,B一定不互斥,所以B正確,A錯誤，由題意無法判斷

P(AB)=P(A)P(B)是否成立,所以不能判斷事件A,B是否互相獨立,所以C、D錯誤，故選B.

3.(2021遼寧丹東質(zhì)檢,2)10張獎券中有4張“中獎”獎券，甲乙兩人先后參加抽獎活動,每

人從中不放回地抽取一張獎券，甲先抽，乙后抽,在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率為

()

A.7B.-C.-D.-

53415

答案B根據(jù)題意，10張獎券中有4張“中獎”獎券，甲先抽,并且中獎,此時還有9張獎券,

其中3張為“中獎”獎券,則在甲中獎條件下，乙沒有中獎的概率P若,故選B.

4.(2022屆北京一六六中學10月月考,5)中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯

著效果,功不可沒三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”

分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出兩種，

事件A表示選出的兩種中有一藥,事件B表示選出的兩種中有一方,則P(B∣A)=()

答案D由題意得P(A)卑氣,P(AB)增W，

66

3

???P(B∣A)號*4?故選D.

P(A)24

5

5.(2022屆北京十三中開學考試,4)甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解出這個問題的概率是

?乙解出這個問題的概率是:,那么其中至少有1人解出這個問題的概率是()

42

.31k7.5

?.—rB4.—C.ɑDr.—

4888

答案D甲解不出這個問題的概率是1男，

乙解不出這個問題的概率是1會，

則甲、乙兩人均不能解出這個問題的概率為:χ∣?,

所以甲、乙兩人至少有一人解出這個問題的概率為ι-??

OO

故選D.

6.(2022屆江蘇蘇州調(diào)研,3)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(ξ≤l)=0.84,則

P(-l<ξ≤0)=()

Λ.0.34B.0.68C.0.15D.0.07

答案A由題意得P(g>l)=l-P(gWl)=l-0.84=0.16,阿

P(-l<ξWO)=I(I-0.16X2)=0.34.故選A.

7.(2022屆江蘇徐州期中,5)某單位招聘員工,先對應(yīng)聘者的簡歷進行評分,評分達標者進入

面試環(huán)節(jié),現(xiàn)有1000人應(yīng)聘,他們的簡歷評分X服從正態(tài)分布N(60,IO?),若80分及以上為達

標,則估計進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為()

(附:若隨機變量X~N(u,。，則

P(μ-σ<X<μ+σ)≈?≈O.6827,P(μ-2ɑ<X<μ+2ɑ)≈?0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3ɑ)≈?0.9973)

A.12B.23C.46D.159

答案BP(X280)=P(X2U+2。)=./'("-Ii上媼-。.：/。.02275,則估計進入面試環(huán)

節(jié)的人數(shù)為1000X0.02275=22.75=23,選B.

8.(2022屆全國學業(yè)質(zhì)量檢測,9)某公司為方便員工停車,租了6個停車位,編號如圖所示,公

司規(guī)定:每個車位只能停一輛車,每個員工只允許占用一個停車位,記事件A為“員工小王的

2

車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則

P(AIB)=()

123456

.I,3?1c3

?.—Br.--C.—D.—

61025

?c3

答案DP(AB)號臀*4

Γ?D)%?

?

9.(2021廣東深圳一模,5)己知隨機變量ξ~N(μ,σ)有下列四個命題：

^:P(ξ<a-l)>P(ξ>a+2).

乙：P(E>a)=0.5.

丙：P(ξ,Wa)=0.5.

T：P(a<ξ<a+l)<P(a+l<ξ<a+2).

如果只有一個假命題,則該命題為()

A.甲B.乙C.丙D.T

答案D由于乙、丙的真假性相同,所以乙、丙都是真命題,故a=u,根據(jù)正態(tài)密度曲線的

對稱性可知:P(&〈N-D>P(g>N+2),即甲為真命題,且P(N<ξ<口+1)>P("1<V<U+2),

所以丁是假命題,故選D.

10.(2020廣東深圳七中月考,5)某班有60名學生,一次考試后數(shù)學成績符合1~N(110,σ2),

若P(IOOW&W110)=0.35,則估計該班學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)為()

A.10B.9C.8D.7

答案BVξ"N(110,O2),Λμ=110,P(ξ>110)=0.5,

VP(100≤ξWllO)=0.35,ΛP(110≤ξ≤120)=0.35,

ΛP(ξ>120)≈P(ξ>110)-P(110≤ξ≤120)=0.5-0.35=0.15,故估計該班學生數(shù)學成績在

120分以上的人數(shù)為60X0.15=9.故選B.

二、填空題

11.(2022屆山東濟寧一中開學考試,14)已知隨機變量g~B(6,?),則

P(ξ=4)=,D(ξ)=.(用數(shù)字作答)

3

答案Ξl?i

水243,3

4

≡P(ζ=4)=C^i)g)?

D(ξ)=6×∣×(l-i)4

12.(2022屆山東濰坊10月段考，15)一項過關(guān)游戲規(guī)則規(guī)定:在第n關(guān)要拋擲一顆質(zhì)地均勻

的骰子n次,如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2",則算過關(guān).甲同學參加了該游戲,他連

過前兩關(guān)的概率是-

答案J

解析根據(jù)題意,第一關(guān),要拋擲一顆骰子1次,如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)大于2,即過關(guān)，

故過第一關(guān)的概率為a第二關(guān),要拋擲一顆骰子2次,如果2次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于4,

即過關(guān),分析可得,共6X6=36種情況,其中點數(shù)之和小于或等于4的有：

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),⑶1),共6種情況,故過第二關(guān)的概率為黑,由相互獨立

?bO

事件的概率乘法公式得,連過前兩關(guān)的概率是:x??

?Dy

13.(2022屆北京十三中開學考試，14)人們?yōu)榱私庖恢还善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化,往

往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的

概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗,人們估計,在利率下調(diào)的情況下，該只股票價

格上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下,其價格上漲的概率為40%,則該只股票將上漲

的概率為.

答案64%

解析記“利率下調(diào)”為事件A,則“利率不變”為事件7,“價格上漲”為事件C,

由題意知P(A)=60%,P(N)=40%,P(C∣A)=80%,P(C∣J)=40%,

P(C)=P(A)P(CIA)+P(A)P(CIJ)=48%+16%=64%.

14.(2022屆北京市八一學校開學考試，13)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器,第1車間

的次品率為0?15,第2車間的次品率為0.12,兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫,假設(shè)第

1,2車間生產(chǎn)的成品比例為2:3,今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格

的概率為.

答案0.868

4

解析設(shè)B=“隨機提一臺產(chǎn)品,該產(chǎn)品合格”，A,="產(chǎn)品為第i車間生產(chǎn)(i=l,2)”.由題意

得,P(A1)=O.4,P(A2)=O.6.P(B∣A1)=0.85,P(B∣A2)=0.88.由全概率公式得

P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(B∣A2)=0.4X0.85+0.6X0.88=0.868.Λ該產(chǎn)品合格的概率為

0.868.

三、解答題

15.(2022屆廣東廣雅中學10月月考，19)正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景,生產(chǎn)與科學實驗

中很多隨機變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述.例如，同一種生物體的身長、體

重等指標.隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷地深入人心,環(huán)保工作快速推進,很多

地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫的環(huán)境保護情況,在水庫中隨機捕撈了100

條魚稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn),魚的質(zhì)量X(單位:kg)近似服從正態(tài)分布N(2,。)如圖所示，

己知P(x<0.5)=0.04,P(x≤l.5)=0.26.

(1)若從水庫中隨機捕撈一條魚,求魚的質(zhì)量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率；

(2)從捕撈的100條魚中隨機挑出6條測量體重,6條魚的質(zhì)量情況如表.

質(zhì)量范圍(單位：kg)[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

條數(shù)132

①為了進一步了解魚的生理指標情況,從6條魚中隨機選出3條,記隨機選出的3條魚中質(zhì)量

在［2.5,3.5］內(nèi)的條數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

②若將選剩下的94條魚稱重微標記后立即放生,兩周后又隨機捕撈IOOo條魚,發(fā)現(xiàn)其中帶有

標記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu),促進種群的優(yōu)化,預(yù)備捕撈質(zhì)量在［2.5,3.5］內(nèi)的魚的總

數(shù)的40%進行出售,試估算水庫中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈質(zhì)量在［2.5,3.5］內(nèi)的魚的條數(shù).

解析(1)由正態(tài)曲線的對稱性可

知，P⑵5≤x≤3.5)=P(0.5≤x≤l.5)=P(x≤l.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22,

所以從水庫中隨機捕撈一條魚,魚的質(zhì)量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率為0.22.

(2)①隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,

5

P(X=O)=??P(X=1)??≈

V-4UV√%4U

/?C汨4

P(X=2)苛F?

所以X的分布列為

X012

4124

P

而________而而

數(shù)學期望E(X)=OX畀1×?+2×?=l?

②設(shè)水庫中共有N條魚,根據(jù)題意有H2,

則N=學X94=47000,

所以估計水庫中有47000條魚.

由(1)可知P(2.5WxW3.5)=0.22,則應(yīng)捕撈質(zhì)量在［2.5,3.5］內(nèi)的魚的條數(shù)為

47000X0.22X0.4=4136.

16.(2022屆江蘇蘇州調(diào)研，19)某學校實行自主招生,參加自主招生的學生從8個試題中隨機

挑選出4個進行作答,至少答對3個才能通過初試.已知甲、乙兩人參加初試,在這8個試題

中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.

(1)試通過計算,分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；

(2)若答對一題得5分,答錯或不答得0分,記乙答題的得分為Y,求Y的分布列及數(shù)學期望和

方差.

解析(1)?.?在8個試題中甲能答對6個，

+

.?.甲通過自主招生初試的概率P1=Φ7?>

又???乙能答對每個試題的概率為W

乙通過自主招生初試的概率P2=qG)?+qG)'嘿，

???ppp,甲通過自主招生初試的可能性更大.

(2)由題意可知，乙答對題的個數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4,X'B(4,

P(X=k)=CfdG)I(k=0,1,2,3,4)且Y=5X,

6

故Y的分布列為

Y05101520

13272781

P

256位T2864256

.,.E(Y)=E(5X)=5E(X)=5X4XV15,

4

D(Y)=D(5X)=52D(X)=25×4×∣×(1-1)=≤.

17.(2022屆北京一七一中學10月月考，19)在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學開展了

“優(yōu)化線上教育與學生線下學習相結(jié)合”的教育教學實踐活動.為了解某區(qū)教師對

A,B,CJ),E五類線上教育軟件的使用情況(每位教師都使用這五類教育軟件中的某一類且每

位教師只選擇一類教育軟件)，從該區(qū)教師中隨機抽取了100人,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表,其中

a>b,a,b∈N.

教育軟件類型ABCDE

選用的教師人數(shù)1015a30b

假設(shè)所有教師選擇使用哪類教育軟件相互獨立.

(1)若某校共有300名教師,試估計該校教師中使用教育軟件C或E的人數(shù)；

(2)從該區(qū)教師中隨機抽取3人,估計這3人中至少有2人使用教育軟件D的概率；

(3)設(shè)該區(qū)有3000名教師,從中隨機抽取1人,記該教師使用教育軟件C或D的概率估計值為

P∣；該區(qū)學校M有600名教師,其中有200人使用教育軟件C,100人使用教育軟件D,從學校M

中隨機抽取1人,該教師使用教育軟件C或D的概率為P?;從該區(qū)其他教師(除學校M外)中隨

機抽取1人,該教師使用教育軟件C或D的概率估計值為L試比較P1,2和P、的大小.(結(jié)論

不要求證明)

解析(1)由表格數(shù)據(jù)可知，10+15+a+30+b=100,則a+b=45,所以樣本中教師使用教育軟件C

或E的人數(shù)為45,

故估計該校教師中使用教育軟件C或E的人數(shù)為300X粉135.

(2)設(shè)事件F為“從該區(qū)教師中隨機抽取3人,至少有2人使用教育軟件D”.

7

由題意知,樣本中IOO名教師使用軟件D的頻率為喘吊.用頻率估計概率,從該區(qū)教師中隨機

抽取一名教師,估計該教師使用教育軟件D的概率為高

記被抽取的3人中使用教育軟件D的人數(shù)為X,則X~B(3,?).

所以P(X=2f(蓄X(IW)需，

P(X=3F(3X(IW)°喘,

所以P(F)=P(X=2)+P(X=3)嗡=?

⑶PzVPKPa

詳解：由⑴及已知知,a>b且a+b=45,則a≥23,即100個人中使用教育軟件C或D的至少有

CnS八LC/A?m∣ιnK3O、53、1n200+1001n3000XPI-(200+100)a+20r∏?.a÷20?+30a~20π

23+30=53(人),貝1|PFLP3=_旃6~F?因為IiFF，且

a》23,所以Ps>P∣恒成立,故P2<P,<P3.

18.(2022屆廣東汕頭金山中學期中，19)如圖，李先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū),從家

開車到公司上班路上有匚、L兩條路線,L∣路線上有兒、A2、A,三個路口，各路口遇到紅燈的

概率均為;;Lz路線上有BnB2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

Δ4?

WJ____4

0<'

'+—l‰/

BlB2

(1)若走L路線,求最多遇到1次紅燈的概率；

(2)若走k路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學期望；

(3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條較

好的上班路線,并說明理由.

解析⑴設(shè)“走L路線最多遇到1次紅燈”為事件A,則P(A)=0x(9+qxTx(l-J4.

所以走Ll路線,最多遇到1次紅燈的概率為去

(2)依題意,X的可能取值為0,1,2.

P(X=O)=(IT)X(I-州P(X=DVX(I-X焉P(χ=2)??

隨機變量X的分布列為

X012

8

102020

所以E(X)=OXL?1X2+2χUI.

(3)設(shè)選擇L路線遇到紅燈次數(shù)為Y,隨機變量Y服從二項分布Y~B(3,0,所以E(Y)=3×?

因為E(X)VE(Y),所以選擇Lz路線上班較好.

19.(2022屆(新高考)第一次月考，19)數(shù)學建模是高中數(shù)學核心素養(yǎng)的一個組成部分,數(shù)學

建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn).為全面推動數(shù)學建?；顒拥拈_展,某學校舉行

了一次數(shù)學建模競賽活動，已知該競賽共有60名學生參加,他們成績的頻率分布直方圖如

圖.

(1)為了對數(shù)據(jù)進行分析,將60分以下的成績定為不合格,60分以上(含60分)的成績定為合

格.為科學評估該校學生數(shù)學建模水平,決定利用分層隨機抽樣的方法從這60名學生中選取

10人,然后從這10人中抽取4人參加座談會.記ξ為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù),求€

的分布列和數(shù)學期望；

(2)已知這60名學生的數(shù)學建模競賽成績X