廣西南寧市2023-2024學(xué)年高二年級上冊教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣西南寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若直線過點（-1,2）,（2,2+73）,則此直線的斜率是（）

A.WB.-BC.6D.-73

33

2.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S”為其前〃項和，%=3,%=15,則S9的值為（）

A.48B.56C.81D.100

22

3.已知方程-=1表示雙曲線，則機的取值范圍是（）

2+mm+1

A.m>-\B.m>-2

C.-2<m<-1D.機<一2或機〉一1

、，、11

4.已知數(shù)列｛。〃｝滿足。1=3,-1，則”2021”2022”2023=（）

an

A.-1B.2C.12D.33

5.如圖，空間四邊形Q45C中，===c,點M在Q4上，且OM=2M4,

點N為中點，則MN=（）

A-B.3+4+L

232322

C.L+221

D.—a+—b——c

222332

6.在正項等比數(shù)列｛%｝中,6為其前〃項和,^530=13S10,S10+S30=140,貝！JS?。的值

為（）

A.10B.18C.36D.40

7.已知點4—1,1）和圓C（X-5）2+（y-7）2=4,一束光線從A經(jīng)％軸反射到圓C上

的最短路程是

A.672-2B.8C.476D.10

22

8.已知橢圓。：5+當(dāng)=1（〃〉/7〉0）的左、右焦點分別為小工，點45在。上，四邊形

ab

4月乙8是等腰梯形，則C的離心率的e取值范圍是（）

二、多選題

9.在正方體力BCD-ABCIA中，能作為空間的一個基底的一組向量有（）

A.AA,,AB,ACB.BA＞BC,BD

UUL1UUH

C.AC],BD\,CBiD.ADi,B\,AC

10.下列說法錯誤的有（）

A.若必＞0,則直線/：辦+州-2=0的斜率大于0

B.過點（2,-1）且斜率為一如的直線的點斜式方程為y+1=-6（*-2）

C.斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為＞=-2尤±3

D.經(jīng)過點（1,1）且在x軸和y軸上截距（截距均不為0）相等的直線方程為x+y-1=0

11.已知數(shù)列僅“｝,S”為其前”項和，下列說法正確的是（）

A.若S“=2/+〃+i,則｛%｝是等差數(shù)列

B.若S,,=2向-2,則｛%｝是等比數(shù)列

C.若■“｝是等差數(shù)列,則九=13%

D.若｛七｝是等比數(shù)列，且*0,q＞。,則

12.已知正方體ABC。-ABCA的棱長為1，H為棱&A（包含端點）上的動點，下列

命題正確的是（）

A.二面角A-A耳-C的大小為:

4

B.CH1BD

C.若。在正方形。CCB內(nèi)部，且|0同=孚，則點。的軌跡長度為個兀

試卷第2頁，共6頁

D.若田，平面夕，則直線C。與平面夕所成角的正弦值的取值范圍為

三、填空題

13.已知圓C的方程為爐+V-2x+6y=0,則圓C的半徑為.

14.已知A（U,1）,3（2,3,1）,C（3,l,3）,則加在AC上的投影向量的模為.

15.已知函數(shù)/（耳=。2+1（。＞0且a—）過定點A,直線區(qū)一y+2Z-1=0過定點B,

貝1%—

16.記數(shù)列應(yīng)｝的前“項和為S”，若q+?+?+L+%=〃，且a,*%是等比數(shù)列電｝

23n3

的前三項，則&=.

四、解答題

17.已知等軸雙曲線C的對稱軸都在坐標(biāo)軸上，并且經(jīng)過點43,-1）,求雙曲線C的標(biāo)

準(zhǔn)方程、離心率、實軸長.

18.已知等比數(shù)列｛《,｝的各項均為正數(shù)，且生+%+。4=39,%=2%+3a3.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列也｝滿足2=〃+%,求也｝的前幾項和T?.

19.已知圓C:(x+2)2+(y—5)-=16.

(1)已知直線/：2x-y+4=0,求該直線截得圓C的弦A2的長度；

⑵若直線4過點8(3,4)且與圓C相交于",N兩點，求二CMN的面積的最大值,并求此

時直線4的方程.

20.如圖，在直角梯形A3CD中，ABUCD,ZDAB=90°,AD=DC=-AB.以直線

2

AB為軸，將直角梯形ABC。旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF,且AFLAZX

⑴求證：￡)///平面3CE；

在線段上是否存在點,使得直線和平面所成角的正弦值為邛

(2)DFPAFBCP?若存

試卷第4頁，共6頁

在，求出名的值；若不存在，說明理由.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點尸到點(1,0)的距離與到直線x=-l的距離相等，記動

點P的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵直線/與C相交異于坐標(biāo)原點的兩點N,若OMLON,證明：直線/恒過定點，

并求出定點坐標(biāo).

22.如圖，己知點〃在圓O:無2+丁=4上運動，MNLy軸(垂足為N),點。在M0的

延長線上，且|QN|=2|MN|.

(1)求動點Q的軌跡方程；

⑵直線/：y=g尤+加與(1)中動點。的軌跡交于兩個不同的點A和3,圓。上存在兩

點C、D,滿足|C4|=|CB|,|D4|=|r?|,求根的取值范圍；

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)兩點間的斜率公式計算出結(jié)果.

【詳解】因為直線經(jīng)過(-1,2),(2,2+力卜

所以直線的斜率為2；f=手

故選：A.

2.C

【分析】由題意先列方程把4,d求出來，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解.

%=%+2d=3—3

【詳解】設(shè)數(shù)列的首項和公差分別為4和d,

%=%+6d=15[d=3

9'8

\Sq=-3?9——?381.

92

故選：C.

3.A

【分析】由雙曲線的性質(zhì)求出即可.

22

【詳解】方程一^--=1表示雙曲線,

2+mm+1

因為冽2+2>0恒成立，

所以加+1>0,

解得m>-l,

故選：A.

4.A

【分析】利用遞推關(guān)系計算可得數(shù)列｛4｝是周期數(shù)列，即可計算出結(jié)果.

【詳解】由遞推公式代入計算可得的=%=1-爹=一展4=1-31

3~2

可得數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)歹U,

所以〃2021〃2022〃2023=〃2a3〃]二-1

故選：A.

5.B

答案第1頁，共14頁

【分析】直接根據(jù)圖形的性質(zhì)分解向量即可.

【詳解】由題意M7V=M0+0N=OA+ON=OA+-(OB+OC}=a+-b+-c.

7

'~'332、322

故選：B.

6.D

【分析】由已知可得，。=10,S3。=13。，再由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)和等比中項的性質(zhì)求出

即可.

【詳解】易知=10,邑。=13。，

5；。，邑廠九，邑。-S'”為等比數(shù)歹I],

2

(i^20-^io)-1^10(^30$20),

代入數(shù)據(jù)可得($20-101=10?(130S20),

解得52。=40或邑。=-30(舍)

所以S?。=40.

故選：D.

7.B

【分析】點A(-1,1)關(guān)于x軸的對稱點B(-1,-1)在反射光線上，當(dāng)反射光線過圓

心時，光線從點A經(jīng)x軸反射到圓周C的路程最短，最短為|BC|-R.

【詳解】由反射定律得點A(-1,1)關(guān)于x軸的對稱點B(-1,-1)在反射光線上，

當(dāng)反射光線過圓心時，

最短距離為|BC|-R=J(5+爐+(7+]『-2=10-2=8,

故光線從點A經(jīng)x軸反射到圓周C的最短路程為8.

故選B.

答案第2頁，共14頁

【點睛】本題考查光線的反射定律的應(yīng)用，以及兩點間的距離公式的應(yīng)用.

8.B

【分析】根據(jù)給定條件，可得48//片乙，利用橢圓的性質(zhì)得再結(jié)合橢圓的定

義求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得.

【詳解】令橢圓C的半焦距為c,依題意，ABHg,如圖,

由橢圓性質(zhì)知，橢圓上一點到焦點的距離的最小值為長軸端點到相鄰焦點的距離,

c1

于是2c=WBHA耳-解得e上,\AF\=2a-\AF\=2a-2c,

a32i

1TT

在△人耳工中，AFAF=ZAFF=ZBAF=-ZBAF<-,

2{2122i6

顯然c°s"/G=蕓^=十>6解得e-173-1

-

2aA/3+12

所以C的離心率的e取值范圍是,<e〈且二1

32

故選：B

9.AC

【分析】根據(jù)空間中不共面的三個向量可以作為空間向量的一個基底，從而求解.

【詳解】由題意得：如下圖所示：

對于A項：凡，AB，AC不共面，能作為空間的一個基底，故A項正確；

對于B項：BD=BA+BC，所以：BA>BC>8。共面，不能作為空間的一個基底，故B項

答案第3頁，共14頁

錯誤;

對于C項：AC],BD],C4不共面，能作為空間的一個基底，故C項正確；

對于D項：BA｛+AC=(8A+AAJ+(AB+BC)=AAt+BC=AAt+AD=ADi,

所以：AD「網(wǎng)，AC共面，不能作為空間的一個基底，故D項錯誤.

故選：AC.

10.ACD

【分析】由直線的點斜式方程，截距式方程，斜截式方程判斷選項的正誤.

【詳解】對于A,ab>Q,則直線/：依+力-2=0的斜率為左=<0,A錯誤;

b

對于B,過點(2,-1)且斜率為一石的直線的點斜式方程為殲1=-石。-2),B正確；

對于C,斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x+3,C錯誤；

對于D,截距不為0時，設(shè)在x軸和y軸上截距相等的直線方程為2+上=1,

aa

將(1,1)代入，即：+:=1，a=2,即得>微=1，

所以經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為x+y-2=0,D錯誤.

故選：ACD.

11.BC

【分析】利用4=S“-S,T，〃22判斷A,B選項的正誤，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

及通項公式判斷C,D選項的正誤.

【詳解】對于A,Sn=2rr+n+1,S,7=2(九-+〃-1+1,n>2,

所以a“=S“一S,T=4-1,n>2,因為q=岳=4,不符合上式，

[4n=l

所以為=；,、…不是等差數(shù)列，A錯誤；

對于B,S“=2"+i-2,S,T=2"-2,n>2,

an=Sn-Sn_x=T,n>2,因為％=岳=2,符合上式，所以4=2”，

｛七｝是等比數(shù)列，B正確；

答案第4頁，共14頁

對于C,｛風(fēng)｝是等差數(shù)列，有幾=("'+?創(chuàng)3=四產(chǎn)=]3%,故C正確;

對于D,%＞0,夕＞。，

S],S3-S；=%x(q+ciyQ+%q2)—(q+)=,(1+q+)—Q；(1+2q+/)=.<0,

所以%S3<S；,D錯誤.

故選：BC

12.BCD

【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，得到二面角的大??；B選項，

由S-￡)B=O得到垂直關(guān)系;C選項，推出。在以C為圓心，也為半徑的四分之一圓弧上，

3

求出軌跡長度；D選項，CH=(L-Uz)為平面口的法向量，求出直線8與平面口所成角的

正弦值，根據(jù)OW/zWl求出取值范圍.

【詳解】由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),A(l,0,0),4(0,0,1),G(0,1,1),4(1,1,1),

設(shè)”(1,0,〃)，其中0＜及1,

對于A：AB}=(0,1,1),AD1=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),

設(shè)平面AB｝D｝的法向量為根=(x,y,z),

m-AB.=0y+z=0

則即

—x+z=Q

m-AD1=0

取z=l,貝U%=Ly=-i,故m=(1,一1,1).

答案第5頁，共14頁

n-AB,=Ob+c=Q

設(shè)平面的。的法向量為〃=貝卜，即

n-AC=O-a+b=O'

取〃=1,貝IJQ=1,C=-1,

故”=(1,1,-1).故85(見九)-11

而二面角D「AB「C為銳二面角,

6x6-3

故其余弦值為j不為日,故二面角。-A4-C的平面角不是:‘故A錯誤.

對于B：CH=(1,-1,li),DB=(1,1,0),故“力臺二。，即C//_L3。，故B正確.

對于c：由。在正方形。CGA內(nèi)部，且［0耳=羊，

若E,f分別是CRCG上的點，S.CE=CF=—,此時=B尸=氈，

33

由圖知：。在冊上，即。在以C為圓心，弓為半徑的四分之一圓弧上,

所以點0軌跡的長度為，x2兀、正=立兀；故C正確.

436

對于D：設(shè)直線8與平面夕所成的角為夕

因為CHL平面夕，故CH=(1,-U)為平面夕的法向量,

而DC=(0,1,0),

,DCCHJ(O,I,O)-(I,-I,/Q|_i

故sinO=cos(￡(C,C?)=^~n~L

1、〃\DC\-\CHV1+1+/J2yJlr+2

而/ze[0,l],

故/Je￡，(，故D正確.

Jr+2L32.

故選：BCD.

13.回

答案第6頁，共14頁

【分析】根據(jù)圓的一般式方程與標(biāo)準(zhǔn)式方程之間的轉(zhuǎn)化即可求解.

【詳解】由圓C:x2+y2-2x+6y=0,整理可得：(x—l)?+(^+3?=10,

則圓C的半徑為風(fēng).

故答案為：Vw

14.正/及

22

【分析】由投影向量的定義再結(jié)合數(shù)量積公式即可得解.

【詳解】因為4(14,1),5(2,3,1),C(3,l,3),所以油=(1,2,0),AC=(2,0,2),

I、AB-AC1X2+2X0+0X220

則AB在AC上的投影向量的模為M?cosa==飛耳而=顯=3.

故答案為：顯.

2

15.5

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，直線過定點和兩點間距離公式解出即可.

【詳解】/(2)=a°+l=2,r.4(2,2)；

由依-y+2"l=0得：y+1=>(》+2),.??直線恒過定點3(—2,-1)；

■■■\AB\="2一2)2+32)2=5.

故答案為：5.

16.1296

【分析】首先由遞推關(guān)系算出4=〃，求出S“=必詈，再由等比中項得到aM=,xs—,

解出左=5,最后由基本量法求出2=b1Xg"T=6"T,求出最后結(jié)果即可.

【詳解】依題意，?+與+?++%=〃，

123n

故當(dāng)"=1時，4=1,

當(dāng)*2時，幺+?+也=〃一1,

123n—1

依題意，兩式相減可得，冬=1,則%="，

n

因為當(dāng)〃=1時，也滿足

答案第7頁，共14頁

所以，??=?(?>1),故S.=也羅；

因為ak+l,Si是等比數(shù)列低｝的前三項，

所以""=￡XS"3，

則仕+仔=(b3)丁+4),

化簡得，k2—3^—10=0,解得左=5或左=—2(舍去)

所以4=寺=1,b2=a6=6,

所以等比數(shù)列也｝的公比4=g=6,通項公式b?=偽xqi=6力，

故々=64=1296.

故答案為：1296

17.方程為:一1=1,離心率0,實軸長4夜

【分析】根據(jù)等軸雙曲線的性質(zhì)利用待定系數(shù)法求解方程，即可由性質(zhì)求解.

【詳解】由題可知，雙曲線C是等軸雙曲線，設(shè)方程為尤2一丁=%(租N0)

因為點4(3,-1)在雙曲線C上，代入方程得：32-(-l)2=m.

解得根=8.

所以雙曲線C的方程為――產(chǎn)=8,雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為《―M=l,

88

并且。=2頂，b=2叵,

貝Uc=4,

Q4/~

離心率，="=運=應(yīng)'

實軸長2a=40.

18.(1)(??=3"-1

【分析】(1)根據(jù)條件建立關(guān)于6,4的方程組，然后解出即可得答案;

(2)利用分組求和法求出答案即可.

答案第8頁，共14頁

+。3+。4=39

【詳解】（1）

[%=2〃4+3%

劣(g+42+/)=39

，??'；：，2,q>°，解得

%q=2%q+3%q

1n1

(2)由題可知包=幾+3"i,Tn=1+2+--+n+1+3++3,

.T_〃(1+〃)1-3〃_3n+n2+n-l

〃21-32

19.(i)2vn

(2)面積最大值為8,直線方程為x+y-7=?；?x—17y+47=0

【分析】（1）法1：求出圓心和半徑，得到圓心到直線/的距離，利用垂徑定理得到弦長；

法2：聯(lián)立直線與圓的方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式求出答案；

法3：聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求出答案；

（2）設(shè)出直線方程y-4=匕（尤-3）,求出圓心C到直線的距離,利用垂徑定理表達出面積S,

7

求出最大值，并得到尤=T,k2=^,得到直線方程.

【詳解】（1）法1：圓C的圓心坐標(biāo)為C（-2,5）,半徑廠=4,

1-4-5+41r

圓心C到直線/的距離”=/。.

也+（T

則截得的弦長AB=2y116-d2=2，16-5=2VH；

法2：設(shè)A（石孫％），聯(lián)立方程組得,

2x-y+4=0

，(x+2)2+(y-5)2=16

消，得5尤2-11=0,

由韋達定理得無]+x2=0,=—■—.

|AB|=Vl+22x/o-4xl-y|=2711；

法3：設(shè)4（4%）,3（%,為），聯(lián)立方程組得,

答案第9頁，共14頁

2x-y+4=0

*(x+2)2+(y-5)2=16

消y得5d—ii=o,解得玉=叵,％=-叵，

1525

mil20+2岳20-2755

則％=----5----，%=---------，

|AB|=否三)包20一濘;=2而

(2)圓C的圓心坐標(biāo)為C(-2,5),半徑尸=4,

當(dāng)直線4的斜率不存在時，與圓沒有交點，舍去,

設(shè)直線4的方程為J—4=匕(％—3),即幻-y+4-3左=0,

I―5k-11

則圓心C到直線4的距離為4=—7==",

也+1

2

又4CMN的面積S=J&X2/16-d：=4J16_&2=_8)+64,

所以當(dāng)4=2夜時S取最大值8,

?_5k—11i—

由4=-^=^=242,得17婷+1。尢一7=0,

qk+1

7

解得用=—1,k2=—,

所以直線4的方程為1+y—7=?；?元-17y+47=0.

20.(1)證明見解析;

DP]_

⑵存在，而

2

【分析】(1)借助旋轉(zhuǎn)的意義，結(jié)合平行四邊形證得8//歷，再利用線面平行的判定推理

即得.

(2)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點尸的坐標(biāo)，利用空間向量求出線面的正

弦，列出方程求解即得.

【詳解】(1)將直角梯形ABCD繞著AB旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF，則CD=EF,且CD//EF,

因此四邊形CDFE為平行四邊形，則DfV/CE,又CEu平面BCE,。月①平面3CE,

所以。///平面BCE.

答案第10頁，共14頁

(2)由AF_LAD,ZZMS=90°,/E4S=90。，得AD,AB,AF兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，直線AD,AB,AF分別為％y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

令A(yù)D=1,有Afi=2DC=2AD=2,則A(0,0,0),0(1,0,0),F(0,0,1),B(0,2,0),C(l,l,0),

假定在線段D尸上存在點尸滿足條件，

DP

設(shè)---=m(0<m<1),則DP=znZXF=zn(—1,0,1)=(一人0,加)，P(1—m,0,m),

DF

當(dāng)機=0時，此時尸與。重合，直線"和平面BCD垂直，不滿足所成角的正弦值為駕，

舍去；

當(dāng)機W0時，設(shè)平面5cp的法向量為〃=(%,y,z),BC=(1,-1,0),PC=

BCn=x-y=0

則J,令元=機，得幾=(加,利加+1),而Ab=(O,O,l),

PC?n=mx+y-mz=Q

設(shè)直線"和平面8cp所成的角為，，則

+1

sinQ=|cos<AF,ri)\=J.^-=親，

I||n|J濟+/+(冽+1)2vl1

而加>0,解得加=1，即點尸為線段。尸的中點，

2

所以在線段。尸上存在點P,使得直線"和平面8c尸所成角的正弦值為斗，此時

DP_1

DF-2-

21.(1)產(chǎn)=4尤

⑵證明見解析，(4,0)

【分析】(1)利用拋物線的定義或者直接把條件轉(zhuǎn)化可得答案；

(2)設(shè)出方程》=5+〃，利用垂直可得〃=4,進而得到定點或者利用直線的兩點式方程,

結(jié)合韋達定理可得定點.

【詳解】(1)法一：因為P到點(1，。)的距離與到直線x=T的距離相等；

答案第11頁，共14頁

所以尸的軌跡是以(1,0)為焦點x=-l為準(zhǔn)線的拋物線故可設(shè)C的方程為/=2Px5>0),

則有]=1所以。=2,

故C的方程為/=4x.

法二：設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)則有J(x-1)2+/=卜+[,

所以(x+l)2+y2=G+[)2.

BPy2=4x,所以C的方程為V=4x.

(2)法一：設(shè)/方程為x=7肛+〃(〃w0),M(X[,%),"(無2，必)，

因為QW