數(shù)值分析教教案9

牛頓-柯特斯求積公式的誤差估計1.牛頓-柯特斯求積公式的截斷誤差牛頓-柯特斯公式是一個插值型數(shù)值求積公式，當(dāng)用插值多項式代替進行積分時，其截斷誤差，即積分真值和近似值之差可推導(dǎo)如下。由插值多項的誤差估計可知，用次Lagrange多項式逼近函數(shù)時產(chǎn)生誤差為：其中。。對上式兩邊從到作定積分，便可得出它的截斷誤差：〔2-12〕2.數(shù)值求積公式的代數(shù)精度由式〔2-12〕可知，截斷誤差與被積函數(shù)、積分限密切相關(guān)，如果被積函數(shù)是一個次多項式，由于，那么，就會使。所以，被積函數(shù)為高次多項式時，能使求積公式〔2-11〕成為精確的等式，便成為衡量數(shù)值求積公式精確程度的一個指標。據(jù)此，提出數(shù)值求積公式代數(shù)精度這一概念。如果被積函數(shù)為任意一個次數(shù)不高于次的多項式時，數(shù)值求積公式一般形式的截斷誤差；而當(dāng)它是次多項式時，，那么說明數(shù)值求積公式具有次代數(shù)精度。一個數(shù)值求積公式的代數(shù)精度越高，表示用它求數(shù)值積分時所需逼近被積函數(shù)的多項式次數(shù)越高。3牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度等于如果被積函數(shù)是一個不大于次的多項式，那么，即；而當(dāng)是任意一個次多項式時，，故。所以，按照代數(shù)精度的定義可知，一般情況下，牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度等于；但當(dāng)為偶數(shù)時，其代數(shù)精度為。下面對此加以證明。定理2當(dāng)為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為。證明當(dāng)為次多項式時，〔〕牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度至少等于。假設(shè)設(shè)是一個次多項式，這時為一常數(shù)，而：因此，只要證明在為偶數(shù)時，，上述定理2就得證。為此，設(shè)，令于是：由于為偶數(shù)，不妨設(shè)，為正整數(shù)，那么。于是：再引進變換，那么，，代入上式右側(cè)，得出：最后的積分中被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以積分結(jié)果等于零，定理2得證。2.3幾個低次牛頓-柯特斯求積公式從上面的討論可知，用多項式近似代替被積函數(shù)進行數(shù)值積分時，雖然最高次數(shù)可是8，但是8次多項式的計算是非常繁雜的，一般常用的是下邊介紹的低次多項式。.矩形求積公式在牛頓-柯特斯求積公式中，如果取，用零次多項式〔即常數(shù)〕代替被積函數(shù)，即用矩形面積代替曲邊梯形的面積，那么有：=(2-13)根據(jù)牛頓-柯特斯求積公式的誤差理論式(2-12)，矩形求積公式的誤差估計為：梯形求積公式在牛頓-柯特斯求積公式中，如果取，用一次多項式代替被積函數(shù)，即用梯形面積代替曲邊梯形的面積，那么有：=其中，，查表可得，代入上式得出=(2-14)由于用一次多項式近似代替被積函數(shù)，所以它的精度是1，也就是說，只有當(dāng)被積函數(shù)是一次多項式時，梯形求積公式才是準確的。根據(jù)牛頓-柯特斯求積公式的誤差理論式(2-12)，梯形求積公式的誤差估計為(2-15)是被積函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在點的取值，。拋物線求積公式1.拋物線求積公式的推導(dǎo)在牛頓-柯特斯求積公式中，如果取，用二次多項式代替被積函數(shù)，即曲邊用拋物線代替，那么有：=其中，查表可得，代入上式得出：=(2-16)這就是拋物線求積公式。它的幾何意義是：用過三個點,的拋物線和構(gòu)成的曲邊梯形面積，近似地代替了被積函數(shù)形成的曲邊和構(gòu)成的曲線梯形面積。2.拋物線求積分公式的誤差下面對拋物線求積公式誤差進行估計。由于拋物線求積公式是用二次多項式逼近被積函數(shù)推得的，原那么上它的代數(shù)精度為2。但因多項式次數(shù)是偶數(shù)，據(jù)前面的定理知道，它的代數(shù)精度為3。過和三點，構(gòu)造一個的三次Lagrange插值多項式，且使。根據(jù)埃爾米特插值余項定理得：。對上式兩邊從到進行定積分，即可得到：(2-17)根據(jù)定積分中值定理可知，在上總有一點滿足下述關(guān)系：通過變量代換，很容易求得：把這個結(jié)果代入式(2-17)，便得出拋物線求積公式的誤差估計式：(2-18)數(shù)值積分實例【例2-1】試檢驗以下求積公式的代數(shù)精度。解記因為當(dāng)時左右兩端不等，故所給求積公式僅有三階精度?！纠?-2】試構(gòu)造以下求積公式，使其代數(shù)精度盡量地高，并證明所造出的求積公式是插值型的：解令原式對于準確，可列出方程解之得這樣構(gòu)造出的求積公式是注意到節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)直接計算知故所構(gòu)造出的求積公式是插值型?！纠?-3】判別以下求積公式是否是插值型的，并指明其代數(shù)精度：解這里關(guān)于拉格朗日插值基函數(shù)直接求積知,因此所給求積公式是插值型的。按定理1，含有2個節(jié)點的求積公式至少有1階精度。再考察，原式左端，而右端，左右兩端不相等。因此所給求積公式僅有1階精度?！纠?-4】構(gòu)造以下形式的插值型求積公式，并指明該求積公式所具有的代數(shù)精度：解按題設(shè)原式是插值型的，故有考慮到對稱性，顯然有，于是有求積公式由于原式含有3個節(jié)點，按定理1它至少有2階精度。考慮到其對稱性，可以猜到它可能有3階精度。事實上，對于原式左右兩端相等。此外，容易驗證原式對不準確，故所構(gòu)造的求積公式確實有3階精度。值得指出的