2022-2023學(xué)年山西省部分學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年山西省部分學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)全集U=R，集合4={x∣3x>9},B={x∣-2≤x≤4},則（CuA）CB=（）

A.[-1,0）B,（0,5）C.[0,5]D.[-2,2]

2.在復(fù)平面內(nèi)，言對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型

車載動(dòng)力裝置），綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新

技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車.新能源汽車包括混合動(dòng)力電動(dòng)汽車（HEV）、純電動(dòng)汽車（BEV,包括太

陽能汽車）、燃料電池電動(dòng)汽車（FCEV）、其他新能源（如超級(jí)電容器、飛輪等高效儲(chǔ)能器）汽車

等.非常規(guī)的車用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2021年我國(guó)某地區(qū)新能源汽車的

前5個(gè)月銷售量與月份的統(tǒng)計(jì)表：

月份代碼X12345

銷售量y（萬輛）0.50.611.41.5

由上表可知其線性回歸方程為y=bx+016,貝必的值是（）

A.0.28B,0.32C.0.56D.0.64

4.已知sin（α=爭(zhēng)則的值為（）

,441—tana

33廠33

A.——od.-Lx.——D.

441616

2

5.（2%—?）（%+y）5的展開式中，∕y3的系數(shù)是（）

A.5B,15C.20D.25

2

6.已知函數(shù)f(x)=2cos?+y∕3sinωx-l(ω>0lx∈/?),若/（%）在區(qū)間（兀,2ττ）內(nèi)沒有零

點(diǎn)，則3的最大值是（）

aA.-6dB?-4。C—12uD--3

7.在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD為正方形，且PA_L平面4BCD,PA=3AB,則直線PB

與直線4C所成角的余弦值是（）

8.已知α=等，b=東c=≡-?≡,則()

32π96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知α>b>0,c>d>O,則下列不等式成立的是()

A.a-c>b-dB.-

dc

C.(α+b)c>(α+b)dD.ca+b>da+b

10.已知點(diǎn)4(-1,0),B(Lo)均在圓C：(%—3)2+(y—3)2=廠2&>0)外，則下列表述正確

的有()

A.實(shí)數(shù)r的取值范圍是(0,√Π)

B.?AB?=2

C.直線AB與圓C不可能相切

D.若圓C上存在唯一點(diǎn)P滿足4P1BP,貝IJr的值是3√Σ-1

11.已知函數(shù)y=∕(x+l)是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意Xi,x2∈[l,+∞),且XlWX2都有

>°成立,=?(ig8),b=f(l0g2^),c=f(eln2),則下列說法正確的是()

?l"2α02e4

A.函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間口,+8)上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱

C.c<b<a

D.函數(shù)f(x)在X=1處取到最大值

12.已知過拋物線C：y2=?的焦點(diǎn)尸的直線/交C于4B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AAOB的

面積為4,則下列說法正確的是()

A.弦ZB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(13,4√5)B.直線I的傾斜角為30。或150。

.IJDl∣4FHBFl_1

rC.IABl=16aγDλ.MB∣"1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知函數(shù)/(X)=aex+x2-8x的圖象在(OJ(O))處的切線斜率為-5,則α=.

14.已知向量&,3滿足I引=3|方|=3，(a-b)Lb，則sin<乙方>=—.

15.在三棱錐P-ABC中，PA=BC=2√5,PB=AC=√13,AB=PC=5,則三棱錐P-

ABC的外接球的表面積是

16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)Fi，F(xiàn)2,它們的離心率分別為ere2,點(diǎn)P為它們的一

個(gè)交點(diǎn)，且NFlPF2=季則“+e通取值范圍是

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛a"的前律項(xiàng)和為無，且%=3,an+1=2Sn+3(n∈N*).

(I)求｛αn｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛勾｝滿足時(shí)=幽空記數(shù)列｛與｝的前n項(xiàng)和為〃，求證：Tn<1，

an4

18.(本小題12.0分)

某大型工廠有6臺(tái)大型機(jī)器在1個(gè)月中，1臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障

是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為今已知1名工人每

月只有維修2臺(tái)機(jī)器的能力(若有2臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只

能逐臺(tái)維修，對(duì)工廠的正常運(yùn)行沒有任何影響)，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)得

到維修，就能使該廠獲得10萬元的利潤(rùn)，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修

工人1萬元的工資.

(1)若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)，有工人進(jìn)行維修(例如：3臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故

障，則至少需要2名維修工人)，則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月

能正常運(yùn)行的概率；

(2)已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.

①記該廠每月獲利為X萬元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？

19.(本小題12.0分)

記ZkABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c.已知點(diǎn)。在邊√1C上，AB=BD=CD.

(1)證明：be=a2—C2；

(2)若cos4ABC=《，且C=L求△4BC的面積.

20.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，ABIAC,D,E分別為BIC的中點(diǎn).

(1)求證：DE〃平面4BC；

(2)若DEIBC,二面角A-BC-C的大小為最求直線BIC與平面BCD所成角的大小.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：W+?=l(α>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為①，4,?A1A2?=4,且過點(diǎn)(√I,苧),

(1)求C的方程；

(2)若直線A、=々。-4)(140)與(?交于“，N兩點(diǎn)，直線與&N相交于點(diǎn)G,證明：點(diǎn)

G在定直線上，并求出此定直線的方程.

22.(本小題12.0分)

-1

已知函數(shù)f(x)=αbιx+7其中α∈R

(1)若函數(shù)f(x)的最小值為。2,求α的值；

(2)若存在0</<上，且XI+%2=2,使得f(%1)=f(x2),求α的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)榧?={x∣3x>9}={x?x>2),B={x∣-2≤X≤4},

則Clx4=(x∣x≤2},

則(C√l)ClB={x?-2≤x≤2},

故選：D.

先解出不等式，再根據(jù)集合的運(yùn)算可解.

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解?3=-3i(lT)=-3i+3'=_3_3.

1

IΛ?TIJΛT.1+i(ι+u(ιτ)222

故言對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-1),位于第三象限.

故選：C.

先化簡(jiǎn)言，即可判斷.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可的，I=WX(I+2+3+4+5)=3,

-1

y=ξ×(0.5+0.6+1+1.4+1.5)=1,

???線性回歸方程為；=bx+0.W

.?.l=3b+0.16,解得b=0.28-

故選：A.

根據(jù)已知條件，求出4,y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解.

本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镾in(Q一/)=苧(SmQ—cosd)=苧

所以Sina—cosa=?,

兩邊同時(shí)平方得1—2siτιαcosα=?即SiTlaCOSa=?

48

sina_sina_Sinacosa_3

則l-tanα獨(dú)"cosα-sinα4,

CoSCr

故選：A.

先利用兩角差的正弦公式展開，然后結(jié)合同角平方關(guān)系可求SinaCosα,再對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)即

可求解.

本題主要考查了和差角公式，同角平方關(guān)系及商的關(guān)系在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

22

【解析】解：因?yàn)?2%—?)(%+y),=2%(X+y)，—+y)s,

又q(x+y)5的展開式通項(xiàng)為Sr+1=9帽?x5-r-yr=Cξ?x4~r-yr+2-

2x(x+y)、的展開式通項(xiàng)為Tm=2xC*5,χ5~k,yk=2C。?x6~k?ylc,

由｛：二：二］可得因此(2x-f)(x+y)5的展開式中，χ3y3的系數(shù)為2底一盤=15.

故選：B.

2

根據(jù)題意得到2x(%+yT與+y)5的展開式通項(xiàng)，列出方程即可得到結(jié)果.

本題考查二項(xiàng)式定理，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：/(x)=cosωx+y∕3sinωx=2sin{ωx+^),

當(dāng)％∈(πf2π),則3%+看∈(ωττ+^2ωτr+^),

若f(%)在區(qū)間(π,2兀)內(nèi)沒有零點(diǎn),

則：≥2τr—7Γ=7T,即T≥2τr,則打≥2ττ,即0<ω≤1,

2ω

則(M+看，2川Tr÷ɑ(2kπt2kπ+ττ),k∈Z,或(3Tr+^t2ωπ+3)G(2Mr—π,2kπ),

ωπ÷7≥2kπωπ+T≥2k-π

得\

或πjk∈Z?

2ωπ÷7O≤2kπ÷π2ωπ+76≤2kπ

ɑ）≤/c÷—（JO≤k—

?IZιz

即2k-?≤ω≤k+"^或2k—?≤ω≤fc—??

612612

當(dāng)％=O時(shí),Y≤3≤>或一*3≤-1?（舍）,此時(shí)0<3≤[,

612612v12

當(dāng)A=I時(shí)，?L≤3≤m舍）或2≤3≤∣∣,

612vz1212

綜上O<3≤三或三≤ω≤γ∣>

即3的最大值為當(dāng)

故選：C.

利用輔助角公式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系建立不等式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系建立不

等式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：連接BD,與SC交于O點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E,連接OE,AE.

由中位線定理，可得。E〃PB,且IOEl=TlPB即有NaoE即為直線PB與直線AC所成角.

由PaJ■平面ABCD,設(shè)∣P4∣=3∣4B∣=3α,可得直角APZB中，IPBl=√IUα,∣0E∣=平a，在直

角APZC中，?AE?=^?PD?=^γa,

.?.△4。E為等腰三角形，

在正方形ABCD中，?AO?=^?AC?=^-a,

可得CoS乙40E-4”“-2、2。_U

口Jl尋C0S4A"C|0￡|√W10"

2

故選：D.

連接8。交AC于0,取PD的中點(diǎn)E,連接0E,4E.運(yùn)用中位線定理，可得NAOE即為直線PB與直線4C

所成角.運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，解AAOE,即可得到所求值.

本題考查異面直線所成的角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)/(X)=竽，其導(dǎo)數(shù)r(X)=江等泮，

??-??

在區(qū)間(0,^)上，tanx>X恒成立，則有Sim:>XCoS%恒成立，則有f'(x)<0在(0,方上恒成立，

則函數(shù)f(x)在(0工)上遞減，則有/(1)>∕G),即萼>普=噂，即α>b,

π2—√3Sinl2ττ-6+3√3-6sinl

C-∩---------------------=---------------------，

96318

而SiTll<Sinq=程則C—a>>0，即C>Q,

?LIo

故C>a>b,

故選：B.

根據(jù)題意，設(shè)f(χ)=要，求出f(χ)的導(dǎo)數(shù)，分析可得/(X)在(0,方上遞減，由此可得/Q)>/G),

變形可得α>b,利用作差法可得c—a>0,即c>a,綜合可得答案.

本題考查不等式的大小比較，涉及數(shù)字的估算，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BD

【解析】解：取Q=3>匕=2>0,c=2>d=l>0,則α—c=1=b—d=1,故A錯(cuò)誤;

由Q>b>0,c>d>0,可得Cd>0,ac>bd,

則號(hào)，=竺券｛>0,可得號(hào)>2,所以B正確；

decaac

取α=g,b=；,則α+b=*e(O,l),從而令<》，所以C錯(cuò)誤；

因?yàn)棣?b>0,所以基函數(shù)y=/+b在(o,+8)上是增函數(shù)，

則由c>d>θ,即得c<1+b>dα+b,則。正確.

故選：BD.

利用特殊值可判斷4根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判斷B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和塞函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD.

本題考查了不等式的基本性質(zhì)和基函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查點(diǎn)與圓、直線與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

由4、B均在圓外列關(guān)于r的不等式組，求得r的范圍判斷4；直接求出∣4B∣判斷B；由r的范圍及圓

心坐標(biāo)判斷C；由題意可得，點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓上，求出以48為直徑的圓的方程/+y2=

1,結(jié)合點(diǎn)P在圓C：(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)上，可得圓/+=1與圓C外切，且點(diǎn)P為

切點(diǎn)，再由圓心距與半徑的關(guān)系列式求解r判斷。.

【解答】

解：???點(diǎn)力(-1,0),B(LO)均在圓C：(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)?,

(—1—3)2+(0—3)2>N

????(1-3)2+(0-3)2>r2，解得O<r<√13.故A正確；

?>O

?AB?=2,故B正確;

由題知，直線48與X軸重合，?.?O<r<√13,且圓心坐標(biāo)為(3,3),當(dāng)r=3時(shí)，直線ZB與圓C相

切，與實(shí)際矛盾，故C錯(cuò)誤；

?.?4PJ.BP,二點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓上，

又A(-1,O),B(1,O),二點(diǎn)P在圓χ2+y2=1上，

又點(diǎn)P在圓C：(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)±,

點(diǎn)A(-LO),B(LO)均在圓C外，.?.圓/+y2=1與圓C外切，且點(diǎn)P為切點(diǎn)，

.?.1+r=J(3-0=+(3-0)2,BPr=3√2-1,故力正確.

故答案選：ABD.

11.【答案】BC

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以y=∕(χ)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，故B正確；

2

又因?yàn)閷?duì)任意Xi，X2∈［l,+∞),且XlHX2都有%≡S">0成立，

所以/(久)在［1,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1］上單調(diào)遞減，所以A錯(cuò)誤；

ln2

又因?yàn)棣?/(log28)=f(3),b=/(loge2?)=f(-ln2)=/(2+)2)，C=f(e)=/(2),

又2<m2+2<3,函數(shù)〈乃在［L+8)上單調(diào)遞增,

所以/(2)<∕(2+［n2)<f(3),

即c<b<α,故C正確；

由/0)在口,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1］上單調(diào)遞減，可得f(x)在X=I處取最小值，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

由函數(shù)y=∕(χ+l)是R上的偶函數(shù)，可得y=∕(χ)的圖象關(guān)于χ=l對(duì)稱，從而判斷B；

由任意與，x2∈［l,+∞),且打≠%2都有乙乎乎嚨>0成立，可得以/(尤)在口,+8)上單調(diào)遞增,

?l^2

在(-8,1］上單調(diào)遞減，從而判斷4；

由α=∕(3),6=∕(-Zn2)=∕(2+∕n2),c=f(2),從而可判斷C；

由/(x)的單調(diào)性可得/(x)在％=1處取最小值，從而可判斷D.

本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，也考查了圖象的平移變化，得出函數(shù)/(x)的單調(diào)性及對(duì)稱性是難點(diǎn)，

屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：斜率為零時(shí)不合題意，所以可設(shè)直線，的方程為X=my+1,

1,

聯(lián)立｛"2j?+消去%并整理得y2-4my-4=0,則y4+為=4m,yAyB=一4,

_1

又SAAOB=2X1X1以一JzB∣=4,

22

所以(以一油)2=(yi4+yβ)-4yi4yβ=16m÷16=64,解得zn=+√3,

所以直線/的傾斜角為30?；?50。，8正確;

2

∣4B∣=2+XA+XB=2+m(yj4+yB)+2=4+4τn—16,C正確;

弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(空,空)，BP(7,±2√3),A錯(cuò)誤;

IyAlIyH?,

IAFHS_SM30°SE30°_2|力力1

=1,D正確;

網(wǎng)

故選：BCD.

設(shè)直線，的方程為》=my+1,聯(lián)立消去不并整理得y2-4τny-4=0,利用中點(diǎn)坐

標(biāo)公式判斷4利用面積公式以及斜率與傾斜角的關(guān)系判斷&利用焦半徑公式判斷C；轉(zhuǎn)化為

IyHIyBl

研sE30°sin30

I"H?求解D.

?ΛB?IyA一功I

sin3Q°

本題考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】3

【解析】由函數(shù)/(x)=αe"+——8x,得/^'(x)=αe%+2x—8,

???函數(shù)/(乃圖象在(04(0))處切線的斜率為-5,

：.∕,(0)=α-8=—5=α=3；

故答案為：3.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)/(尤)圖象在(Oj(O))處切線的斜率為-1,得/(O)=-1,由此式可

求ɑ的值；

考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是基本知識(shí)的考查.

14.【答案】半

［解析］解：???（五一B）I方，??.（五一B）?B=0,

—?—?2

??a?b—b—0?

??a??bIcos<atb>=∣b/，

→2

一M、

?cos<Jab>=—b=r=1τ1

t∣α∣∣b∣1×33

：,sin<a,b>=Jl-cos2<a,b>=Jl-(?)2=?-

故答案為：苧.

根據(jù)(五一B)lB可得出方?2=0,進(jìn)而得到cos<優(yōu)石>=5再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系即可求解.

本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】29兀

【解析】解：將三棱錐P-ABC放到長(zhǎng)方體中，可得長(zhǎng)方體

的三條面對(duì)角線分別為2√5,舊,5，

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為a、b、c,

fVa2+b2=2√5(a=4

則J√c2+b2=√∏,解得b=2,

Wa2+c2=5Ic=3

而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為三棱錐和長(zhǎng)方體公共外接球的直徑2R,

222

所以(2R)2=a+b+c=29,

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4TTR2=29π.

故答案為：29π.

將三棱錐P-ABC放到長(zhǎng)方體中，根據(jù)題意求得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為

三棱錐和長(zhǎng)方體公共外接球的直徑2R,由此容易得解.

本題考查三棱錐外接球的表面積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】（2,+8）

y

【解析】解：設(shè)點(diǎn)P為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，如圖,l

則|Pa|+∣PF2∣=2a1,IPFll-IPF2∣=2a2,

解得IPFll=%+c?,?PF2?=a1-a2,

在^FιPF2中，根據(jù)余弦定理可得：oX

O-

2277

?FIF2?=IPFlI2+IPF2I-2?PF1?-?PF2?-COS-,

?I

有O<+<1<+=4

c

Itlt2

所以e^+e^=t1+t2=t1+=彳；言1，

設(shè)α=4t1—3,貝!kι=勺^,且OV〃<1,

22U2+4U+31,I3、「

???"福l=4〃=ZQ+工）+L

又易知y=%+。在(0,1)上單調(diào)遞減,

???〃+（〉4,???e?+e2>2.

故答案為：(2,+8).

根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求出IPFIl，|P&I用a「a2表示,在4F∕F2中，根據(jù)余弦定理可得1招尸2『=

IPFI『+%|2-2|PFlI“Pal-cos等戈到內(nèi),a2,C的關(guān)系，然后整理成離心率解決.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，函數(shù)思想的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思

想，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)解：當(dāng)Ti=I時(shí)，a2=2S1+3,

B∣Jα2=2α1+3=9；

當(dāng)Ti≥2時(shí)，由a7l+ι=2Sn+3(neN*),

得α∏=2Srιτ+3>

兩式相減得斯+1=3αn.

又。2=3%,所以a。+1=3αn(n∈N*),

所以｛α,J是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

n1n

所以ajt=3×3^=3.

(2)證明:由(1)知奶=%

anJ

所以〃=1×?÷2×(?)2+…+Tl?(g)n,①，

?=ι×φ2+2×φ3+…+入?)n+ι②，

相減得到：|巴號(hào)+熱+熱+熱+???+￡一冊(cè)=斗產(chǎn)一向=A群P

所以Tn=：器?

又生十3>0,

乂4X3">U'

所以TTl<∣?

【解析】(1)直接利用已知條件和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出首項(xiàng)和公比，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公

式；

(2)利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和及放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，乘公比錯(cuò)位相

減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔

題.

18.【答案】解：(1)由該工廠只有1名維修工人，

所以要使工廠能正常運(yùn)行，最多只能出現(xiàn)2臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障.

工廠每月能正常運(yùn)行的概率=(l-i)6+?×i×(l-?)5+鬣X(?)2×(1-?)4=??.

(2)(i)X的可能取值為34,46,58.

P(X=34)=百6=*,P(X=46)=^?s×d-j)=?P(X=58)=l-?-?=g,

即X的分布列為：

X344658

D1357

P

的變瓦

則E(X)=34X*+46x號(hào)+58x∣J=娛

(ii)若該廠有3名維修工人，則該廠獲利的數(shù)學(xué)期望為6×10-3=57萬元.

?.?≡<57.

???該廠應(yīng)再招聘1名維修工人.

【解析】本題考查了二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于中檔題.

(I)由該工廠只有1名維修工人,所以要使工廠能正常運(yùn)行,最多只能出現(xiàn)2臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障.利

用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出.

(2)X的可能取值為34,46,58.利用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出概率分布列.

19.【答案】解：(1)證明：當(dāng)b=C時(shí)，點(diǎn)。在4處，不滿足題意，所以b≠c,

因?yàn)?B=BD=CD,所以4=2C,則SirM=sin2C=2sinCcosC,

22

則α=2ccosC,即α=2cX且生衛(wèi)，整理可得：bc=a-ci

2ab

(2)因?yàn)镃OS乙4BC="+：=?,且C=1,

2ac16

化簡(jiǎn)可得/=a2+1—又be=a2—c2,即b=α2—1,

O

Q

所以(M—1)2=+1—Q,整理可得：8Q3-24α+9=0,令2Q=3則/—121+9=0,

O

即(t-3)(t2+3t-3)=0,解得tι=3或灰=言且或t3=??勢(shì)＜0(舍去)，

由b=α2-i可得。＞1,而W紅＜ι,

所以t=3,則α=∣,

所以三角形4BC的面積為S=WaCSinB=④x,XIXIl-(?2=?.

2227v16z64

【解析】(1)先得出bRC,然后根據(jù)條件得到4=2C,然后根據(jù)正弦定理以及余弦定理化簡(jiǎn)整理

即可證明；(2)由4ABC的值以及余弦定理化簡(jiǎn)得出∕=α2+i-9α,再由(1)可得(α?—1)2=

a2+l-^a,整理可得：8α3-24α+9=0,令2a=3然后求出t的值，結(jié)合三角形的性質(zhì)求出

O

α的值，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

本題考查了正余弦定理的應(yīng)用以及解三角形問題，涉及到解方程以及求解三角形面積問題，考查

了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)M,連接4M,EM,如圖:

11

則S.DA=^BB1,EM//BB1,且EM=

所以口4〃后“，月刀4=后時(shí)，所以四邊形AMED為平行四邊形，

所以DM〃4M,又AMUiMABC,DEΦW?ABC,所以DE〃面力BC；

(2)解：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-Xyz,

Z

設(shè)√4B=1,AC=b(b>O),AA1=2c(c>O),

則B(1,O,O),C(O,b,O),0(O,O,c),BI(Lo,2c),E(∣,∣,c),

所以屁=G4,0)，BC=(-l,h,O).???DE1BC,所以屁.配=0，所以b=1,

又近=(-1,1,0),前=(-l,0,c),設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為元=(Xy,z),

Un?BC=Oj所以尸［y=°,令X=L則y=l,z=-,所以元=(1,1J),

又平面ABD的一個(gè)法向量前=(0,l,0)>所以CoSl=I'常I,

所以2一聲甫，解得C=多所以記=(1,1,煙，又瓦？=(一1,1,-夜)，

所以CoS<希瓦？>=溫磊=”+毒：；+2=

所以直線Ble與平面BCD所成角為也

【解析】(1)取BC的中點(diǎn)M,連接4M,EM,利用平行四邊形以及直線與平面平行的判定即可求證;

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,利用空間向量即可求解.

本題考查了直線與平面平行，直線與平面所成角，以及與空間向量的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

(2a=4

21.【答案】解：(1)由題意可得，馬+三=i，得Q=2,6=√3,

U22b2

橢圓的方程為：?+?=l;

43

⑵由橢圓對(duì)稱性知G在X=Xo上，假設(shè)直線，過橢圓上頂點(diǎn)，則M(O,國(guó))，

.√3A〃83√3λ>VJX1??/3√3z

?=—N(ξ,—ξ―),IAlM：y=—(x÷2)^^A2N?y———2)，

聯(lián)立兩直線方程解得G(l,苧)，貝IJG在定直線X=1±.

當(dāng)M不在橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)M(∕,yι),/V(x2,y2)*

y=k(x—4)

聯(lián)立χ2^2_,得(3+4Ar2)x2-32k2x+64fc2-12=0,

T+T=1

32后64k2-12

???%1÷X=XlX2=

23+4∕C23+4/

IA1M-、=島5+2)，IA2N：丫=含(%-2)，

當(dāng)X=I時(shí)，3卷=W?,得2尤1犯-5Q1+刀2)+8=0,

?64fc2-1232k2,8(3+4∕C2)

???2--------n——5p-------y+-δ------y2=0N，顯然成立.

3+4√3+4/3+4/

G在定直線X=1上.

綜上所述，點(diǎn)G在定直線X=I上.

【解析】(1)由題意得α,將定點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得b,即可求得橢圓方程；

(2)分類討論，M在橢圓頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，求得直線匕求得AlM與&N方程，求得G點(diǎn)

坐標(biāo)，

當(dāng)M不在橢圓頂點(diǎn)時(shí)，將直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，表示出直

線AlM與AzN,當(dāng)X=I時(shí)，代入整理得2XIA?-5(xl+Λ?)+8=0，代入根與系數(shù)的關(guān)系成立，

即可證明G在定直線X=1上.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式的應(yīng)用，考

查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)函數(shù)定義域?yàn)閧x∣%>0},

、a1ax—1

""==H

若a≤0,則f'Q)V0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無最小值,

若Q>0,由/'(%)=0得X=?,

所以在(0,上，/,(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

在(2,+8)上，∕,(χ)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以/⑶的最小值，極小值為/(》=出*+a,

I

由a伍一÷a=a2,得"Q+a=1,

設(shè)g(α)=Ina+α,則g'(α)=