2022-2023學年浙江省寧波市奉化區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年浙江省寧波市奉化區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）已知向量Z=（2,3），b=（-l,-2）'則（）

A.(3,5)B.(-5,-7)C.(5,8)D.(3,4)

2.（5分）復數(shù)z=ai+6（a,ftGR）是純虛數(shù)的充分不必要條件是（）

A.“WO且/?=0B.h=0C.〃=1且b=0D.a=b=O

3.（5分）水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正△人，

4C,則AABC的面積是（）

A.V3B.2V3C.V6D.276

4.（5分）某市場供應的電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%.若

從該市場供應的電子產(chǎn)品中任意購買甲、乙廠各一件電子產(chǎn)品，則該產(chǎn)品都不是合格品

的概率為（）

A.2%B.30%C.72%D.26%

5.（5分）設加，〃是不同的直線，a,0是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若"?_L〃，n//a,則加_LaB,若能〃0,0_La,則m_La

C.若m_La,a±p,則m〃0D.若"?_La,m_L0,貝ija〃0

6.（5分）若數(shù)據(jù)xi+m、冗2+加、…、物+加的平均數(shù)是5,方差是4,數(shù)據(jù)3川+1、3x2+1、…、

3切+1的平均數(shù)是10,標準差是s,則下列結(jié)論正確的是（）

A.6=2,s=6B.m=2,s=36C.m=4,s=6D.m=4,s=36

7.（5分）在銳角aABC中，角A,B,。的對邊分別為小b,c,且滿足c-b=2bcos4.若

入sinA-cos（C-B）V2恒成立，則實數(shù)人的取值范圍為（）

A.（-8,2A/2]B.（-8,2V2）C.（-8,]D.（-CO,）

33

?（分）二均為單位向量，且它們的夾角為,設;:滿足

85t?1,C2a94D5°

口+口|建，E=U+k￡aeR），則iZVl的最小值為（）

A.&B,亞C.匹D.3區(qū)

244

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）若復數(shù)z八行-i，則下列說法正確的是（）

A.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

B.團=4

Cz2=4-2V3i

D.z的共扼復數(shù)W=?+i

（多選）10.（5分）PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質(zhì)量的指標之一.劃分等級為：PM2.5

日均值在35陽加3以下，空氣質(zhì)量為一級：PM2.5日均值在35?75陽〃戶，空氣質(zhì)量為二

級：PM2,5日均值超過75用〃/為超標.如圖是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（單

位：用/加3）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法正確的是（）

B.前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差

C.這10天的日均值的中位數(shù)為41

D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差

（多選）11.（5分）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosA=3,C=2A,

4

則（）

A.ZVIBC為鈍角三角形B.C為最大的內(nèi)角

C.a：b：c=4：5：6D.A：B：C=2：3：4

（多選）12.（5分）如圖，在多面體中A8DCE,BA,BC,3。兩兩垂直，四面體AECD是

正四面體，F(xiàn),G分別為AE,8的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.BA=BC=BDB.FG//ABC.BQ〃平面ACED.BELCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）現(xiàn)有三張卡片，分別寫有“1”、“2”、“3”這三個數(shù)字.將這三張卡片隨機排序

組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)是奇數(shù)的概率是.

14.（5分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=S,ZAPB=ZAPC=ZBPC=40c,

過點A作截面，分別交側(cè)棱PB,PC于E,F兩點，則△AEF周長的最小值

15.（5分）體積為近的三棱錐P-ABC的頂點都在球。的球面上，平面ABC,PA=

6

2,2：BAC=-'A8=l,則球。的表面積為.

3

16.（5分）德國機械學家萊洛設計的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應用廣泛.如圖，分別以等邊

三角形48c的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為

萊洛三角形.若該等邊三角形48c的邊長為1,P為弧AB上的一個動點，則證.（麗+正）

的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知復數(shù)2=(2/n2-7/n+6)+(m2-m-2)i(mGR).

(1)若復數(shù)z為純虛數(shù)，求實數(shù)切的值；

(2)若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)機的取值范圍.

18.(12分)在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別小b,c,且bcosA+acosB=2ocosA.

(1)求角A的值；

(2)已知。在邊8c上，且B￡>=3Z)C,A￡>=3,求△A8C的面積的最大值.

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，以_L平面ABC。，四邊形4BCD為正方形，PA

=AB=4,G為PD中點.

(1)求證：AG_L平面PCD；

(2)求直線AC與平面PC。所成角.

20.(12分)根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI,為整數(shù))的不同.可將空氣質(zhì)量分級如表：

AQI[0,50J(50,100J(100,150J(150,200](200,250J(250,300J

級別一級二級三級四級五級(A)五級(B)

現(xiàn)對某城市30天的空氣質(zhì)量進行監(jiān)測，獲得30個AQ/數(shù)據(jù)(每個數(shù)據(jù)均不同)，統(tǒng)計繪

得頻率分布直方圖如圖所示.

(1)請由頻率分布直方圖來估計這30天AQ/的平均數(shù)；

(2)若從獲得的“一級”和“五級(8)”的數(shù)據(jù)中隨機選取2個數(shù)據(jù)進行復查，求“一

級”和“五級(8)”數(shù)據(jù)恰均被選中的概率；

(3)假如企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失S(單位：元)與4。/(記為3)的關(guān)系

式為

sjo,0<?<100

143-400,100<W<300

若將頻率視為概率，在本年內(nèi)隨機抽取一天，試估計這天的經(jīng)濟損失S不超過600元的

概率.

050100150200250300AQI

21.（12分）如圖，為測量鼓浪鄭成功雕像A8的高度及景點C與尸之間的距離（B,C,D,

產(chǎn)在同一水平面善個，雕像垂直該水平面于點B,且B,C,O三點共線），某校研究性學

習小組同學在C,D,尸三點處測得頂點A的仰角分別為45°,30°,30°,若NFCB

=60°,CD=16（V3-1）米

（1）求雕像AB高度；

（2）求景點C與尸之間的距離.

22.（12分）如圖，直四棱柱ABCD-AiBiCiOi的底面A8CZ）是菱形，E是4Q1的中點,

廠為線段BC上一點，AB=2,A4i=l,NBAD=60°.

（1）證明：當BF=FC時，O1F〃平面4EB；

（2）若BF八BC求二面角A--尸的余弦值為.

B

2022-2023學年浙江省寧波市奉化區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

??（5分）己知向量之=（2,3）-b=（-l,~2y則WV=（）

A.（3,5）B.（-5,-7）C.（5,8）D.（3,4）

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算的坐標表示求解作答.

【解答】解：因為向量之=（2,3），羨（-1,-2），

則224=2（2,-2）=（4,6）-（-1,-2）=（5,8）-

故選：C.

【點評】本題主要考查了平面向量的坐標運算，屬于基礎題.

2.（5分）復數(shù)z="i+%（dfeGR）是純虛數(shù)的充分不必要條件是（）

A.“W0且Z?=0B.b=0C.a—1Jib=0D.a—b—0

【分析】運用純虛數(shù)的定義求出參數(shù)的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求得結(jié)果.

【解答】解：因為復數(shù)z=ai+b（a,旄R）是純虛數(shù)的充要條件是a#0且b=0,

又因為”=1且6=0是“#0且6=0的充分不必要條件，

所以。=1且6=0是復數(shù)z=ai+b（a,beR）為純虛數(shù)的充分不必要條件.

故選：C.

【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

3.（5分）水平放置的AABC有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正

B'C,則△ABC的面積是（）

A.V3B.273C.氓D.276

【分析】首先計算AA'B'C的面積，然后乘以2&可求得原三角形ABC的面積.

【解答】解：:△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，

且正B'C'的面積為：1X2X2X—

22

二ZUBC的面積為2&S直觀圖=2&X百=2&.

故選：D.

【點評】本題考查直觀圖面積問題，考查數(shù)學運算能力及直觀想象能力，屬于基礎題.

4.（5分）某市場供應的電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%.若

從該市場供應的電子產(chǎn)品中任意購買甲、乙廠各一件電子產(chǎn)品，則該產(chǎn)品都不是合格品

的概率為（）

A.2%B.30%C.72%D.26%

【分析】利用相互獨立事件的概率公式求解即可.

【解答】解：設該產(chǎn)品都不是合格品為事件A,

則尸（A）=（1-90%）X（1-80%）=0.1X0.2=0.02=2%.

故選：A.

【點評】本題考查相互獨立事件的概率公式，屬于基礎題.

5.（5分）設,小〃是不同的直線，a,0是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若根n//a,則w_LaB.若加〃0,0J_a,則，"J_a

C.若，"J_a,a±p,則m〃0D.若根J_a,則a〃0

【分析】由直線、平面的位置關(guān)系逐一判斷即可得解.

【解答】解：對A選項，由〃?_L",〃〃a可得〃?〃a或加與a相交或n?ua,故A選項錯

誤；

對B選項，由加〃0,0_La可得zn〃a或，〃與a相交或"?ua,故8選項錯誤：

對C選項，若機_La,a±p,則〃z〃B或故C選項錯誤；

對。選項，若?n_La,則a〃0,故。選項正確.

故選：D.

【點評】本題考查空間中直線、平面間的位置關(guān)系，考查空間想象力，屬基礎題.

6.（5分）若數(shù)據(jù)xi+，"、X2+，"、…、的平均數(shù)是5,方差是4,數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、…、

3初+1的平均數(shù)是10,標準差是s,則下列結(jié)論正確的是（）

A.m—2,s=6B.m—2,s=36C.m—4,s=6D.in—4,s=36

【分析】根據(jù)題意，設數(shù)據(jù)可、地、?、尤”的平均數(shù)為7,標準差為。，利用平均數(shù)、方

差的計算公式分析〃八s的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設數(shù)據(jù)XI、X2、…、物的平均數(shù)為7,標準差為。，

數(shù)據(jù)3力+1、3x2+1、…、3%+1的平均數(shù)是10,

(3XI+1)+(3X+1)+---+(3X+1)3(xi+x+---+x)_

貝U―!----------2---------------=―1---2------—+1=3x+l=10，可得

nn

x=3,

而數(shù)據(jù)Xl+m、X2+〃?、…、即?+"?的平均數(shù)是5,

++

七+(x2+m)+…+%-)x<+x2--x_一下.

貝I布---------------------------——=------------+m=x+m=5，可得〃?=2，

nn

由方差公式可得

222

4

[(xj+m)-(x+m)]+[(X2m)-(x+m)]+???+[(xn+m)-(x+m)]

n

*2+22

[(3X1+1)-(3X+1)]+[(3X21)-(3X+1)]+*??+[(3xn+l)-(3x+l)]

n

2—22

9(xj-x)+9(X2~x)+---+9(x-x)

n=902=36,解得s=6.

n

故選：A.

【點評】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，注意數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差的計算公式，屬

于基礎題.

7.(5分)在銳角aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c-b=26cos4.若

AsinA-cos(C-B)<2恒成立，則實數(shù)人的取值范圍為()

A.(-8,2&]B.S，2^2)C.(-8,阻]D.(-8,蓊)

33

【分析】由c-6=2灰x)sA可得A=28,從而有C=TT-38,由不等式Asiivl-cos(C-8)

<2恒成立，可得2sii?2B-入sin2B+l>0恒成立，其中(―,2L),設r=sin2B,正

_64

(近，1),則有2尸-人/+1>0在土(近，1)上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出

22

不等式組求解即可.

【解答】解：因為c-b=2比osA,

所以sinC-sinB=2sinBcosA,

即有sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,

所以sirbAcosB-sinB=sinBcosA,

sinAcosB-sin8cosA=sin8,

sin(A-B)=sinB,

又因為A,B,C均為銳角,

所以A-Be(-—,2L),

22

所以A-8=8,A=2B,

C=n-A-B=it-3B,

所以cos(C-B)=cos(n-48)=-cos4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1,

0<A=2B<^~

0<B<^

因為1'所以看<2號

0<c=7T-3B<^

又因為入sinA-cos(C-B)<2恒成立,

即Asin2B-(2sin22B-1)<2<=>-2sin22B+Asin2B+l<2<=>2sin22B-Asin2B+l>0恒成立,

其中Be（乙，士），

64_

因為加（―,2L）,所以2%（―,2L）,sin2BG（亞，1）,

64322

設，=$抽23,/G（返?，1）,

2_

則有2a-笛+1>0在正（返，1）上恒成立，

2

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:

a

2-入+］》0

解得入wEl.

3

故選：C.

【點評】本題考查了三角恒等變換、正弦定理、二次函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔

題.

8.（5分）式，最均為單位向量，且它們的夾角為45°,設之，三滿足

|Z+1|=g,B=U+k￡（&eR），則戛-El的最小值為（）

14'4JL4

A.&B.叵C.叵D.

244

【分析】依題意求出Z，E的終點的軌跡，再由點到直線的距離公式求解.

【解答】解：設水=7,OB=b，以7所在直線為X軸’垂直于7所在直線為y軸建立

平面直角坐標系,

則@1=(1,0),e2=

；|；+了|二巨，則點A(x,y)滿足(2

24+

工上,

即A的終點在圓足（x2)2

+’8

b=T'+ke->(A€R)，則點B(/,y')滿足(/，<)=(1+返_K

1222

故/=1,則8的終點在直線X-〉-1=0時,

則IZ-EI=I贏-祈I=I就I，其最小值為V2V2

V2

故選：C.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）若復數(shù)z=JE-i，則下列說法正確的是（）

A.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

B.|z|=4

c-z2=4-2V3i

D.z的共扼復數(shù)W=JE+i

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，復數(shù)模公式，復數(shù)的四則運算，共飄復

數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解：復數(shù)Z=F-i，

則Z在復平面內(nèi)對應的點（料，-1）位于第四象限，故A正確；

Iz|=V（V3）2+（-l）2=2,故B錯誤；

z2=（V3-i）2=3-l-2V3i=2-2V3故C錯誤；

z的共輾復數(shù)W=F+i，故。正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，復數(shù)模公式，復數(shù)的四則運算，共規(guī)復數(shù)的定

義，屬于基礎題.

（多選）10.（5分）PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質(zhì)量的指標之一.劃分等級為：PM2.5

日均值在35掰/??3以下，空氣質(zhì)量為一級：PM1.5日均值在35~75用/加3,空氣質(zhì)量為二

級：PM2.5日均值超過75照/〃產(chǎn)為超標.如圖是某地12月1日至10日PA/2.5的日均值（單

B.前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差

C.這10天的日均值的中位數(shù)為41

D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差

【分析】根據(jù)百分位數(shù)、極差、中位數(shù)、方差等知識確定正確答案.

【解答】解：10個數(shù)據(jù)為:30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,10X0.8=8,

故80%分位數(shù)為四箸=69,A選項錯誤.

5天的日均值的極差為41-30=11,后5天的日均值的極差為80-45=35,8選項正確.

中位數(shù)是空匹1=43,C選項錯誤.

2"

根據(jù)折線圖可知，前5天數(shù)據(jù)波動性小于后5天數(shù)據(jù)波動性，所以。選項正確.

故選：BD.

【點評】本題考查百分位數(shù)、極差、中位數(shù)、方差等知識，屬于基礎題.

（多選）11.（5分）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為.，b,c,cosA=3,C=2A,

4

則（）

A.aABC為鈍角三角形B.C為最大的內(nèi)角

C.ci：h：c=4：5：6D.AiB：C=2：3：4

【分析】對A,根據(jù)同角三角函數(shù)和兩角和與差的余弦公式即可判斷；對8和C,利用

正弦定理即可判斷；對利用反證法即可.

【解答】解：對A,由COSC=COS24=2COS2A-1=」>0,得4,C均為銳角，

________________8

則sinA=Ji一號）2斗,sinC=J『（?1）2

因為cosB--cos（A+C）--cosAcosC+sinAsinC=x-X=^->0,

484816

所以B為銳角，^ABC為銳角三角形，A錯誤；

由cosB=-5-,得sinB=J[_,

sinA<sin8<sinC,根據(jù)正弦定理得則A<B<C,

所以C為最大的內(nèi)角，故8正確；

對C,根據(jù)正弦定理有“：b：c=siaA：sinB：sinC=4：5：6,故C正確；

對。，若A：B：C=2：3：4,A+B+C=TT,貝！]R/L,cosB=—,不符合題意，故。錯

32

誤.

故選：BC.

【點評】本題考查正弦定理的應用，是中檔題.

（多選）12.（5分）如圖，在多面體中A8OCE,BA,BC,8。兩兩垂直，四面體AEC。是

正四面體，F(xiàn),G分別為4E,CC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.BA=BC=BDB.FG//ABC.BQ〃平面ACED.BELCD

【分析】利用勾股定理判斷A,將多面體ABDCE補形成如圖所示的正方體AMEN-

BCHD,利用正方體的性質(zhì)判斷B,C,連接BH,即可證明CDJ_平面8EH,從而判斷D

【解答】解：對于4由BA,BC,8。兩兩垂直，四面體AECO是正四面體，

可得BA^BD2=B^+BC2=BC2+BD2,

所以54=BC=BO,則選項A正確.

將多面體ABDCE補形成如圖所示的正方體AMEN-BCHD,

對于B：因為尸，G分別為AE,C。的中點，

所以由正方體的性質(zhì)可得/G〃A8,故B正確.

對于C：易知BD〃CH,C77C平面ACE=C,

所以80與平面ACE不平行，故C錯誤.

對于。：連接易知CDVEH,

因為BHCIEH=H,BH,EHu平面BE”，

所以CD_L平面BEH,

又8Eu平面BEH,

所以C￡>_LBE,故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于基

礎題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）現(xiàn)有三張卡片，分別寫有“1”、“2”、“3”這三個數(shù)字.將這三張卡片隨機排序

組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)是奇數(shù)的概率是2.

-3-

【分析】計算出這三張卡片隨機排序包含的所有基本事件的個數(shù)以及末位是2包含的基

本事件個數(shù)，計算出偶數(shù)的概率，再用對立事件知識即可解.

【解答】解：依題意，這三張卡片隨機排序包含的所有基本事件的個數(shù)為A,=6個，

而該三位數(shù)是偶數(shù)包含A2=2個基本事件，

所以該三位數(shù)是偶數(shù)的概率是尸=2=工，

63

則三位數(shù)是奇數(shù)的概率為1-1=2,.

33

故答案為：2.

3

【點評】本題考查了古典概型的概率計算，考查了排列數(shù)的計算，屬于基礎題.

14.（5分）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=PC=S,ZAPB=ZAPC=ZBPC=40°,

過點A作截面，分別交側(cè)棱PB,PC于E,尸兩點，則△AEF周長的最小值為_873_.

【分析】畫出側(cè)面展開圖，不難求得結(jié)果.

【解答】解：將三棱錐由雨展開，如圖，

則圖中NAM=120°,

AAi為所求，

由余弦定理可得^i=^82+82+2X8x8Xy=8V3>

故答案為：8日.

【點評】本題考查棱錐的側(cè)面展開圖，表面距離的最小值的求法，是基礎題.

15.（5分）體積為限的三棱錐P-ABC的頂點都在球。的球面上，物，平面ABC,PA=

6

2,NBAC=22L，A8=l,則球。的表面積為87T.

3

【分析】利用體積公式推出AB?3C=1,再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接

球半徑R的最小值，代入求出即可.

【解答】解：由三棱錐P-ABC的體積為近，且％=2,

6

得到V=?JL8A?8Csin27r=近,

3236

：.AB'BC=\,

AC

設三角形A8C的外接圓的半徑為八則2r=-,

Slrrl-

則由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-BC-COS^L=AB2+BC2+AB'BC^3AB'BC=3,當

3

且僅當A8=8C=1成立，

故AC的最小值為我，

a

所以2r》臀=2,r的最小值為1,

V3

2

球的半徑/?='1+=2的最小值為R=百互=&.

則球。的表面積的最小值是4n/?2=8n.

故答案為：8n.

【點評】本題考查三棱錐外接球的表面積的求法，是中檔題.

16.（5分）德國機械學家萊洛設計的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應用廣泛.如圖，分別以等邊

三角形A8C的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為

萊洛三角形.若該等邊三角形ABC的邊長為1,P為弧AB上的一個動點，則寇.（麗+正）

的最小值為1-V7.

-2-

A

【分析】可設/PCB=e,0<0《告，然后得出

PA*(PB+PC)=(CA-CP)*(CB-2CP)，進行數(shù)量積的運算即可得出

(PB+PC)=y-2cos0-V3sin0，然后根據(jù)輔助角公式即可求出最小值.

-11.■?,,?

【解答】解：設/PCB=。，0<6<-^，則：PA-(PB+PC)=

3

(CA-CP)-(CB-CP-CP)=(CA-CP)*(CB-2CP)=

Ck-CB+2CP2-2CA-CP-CP-CB=y+2-2cos)-cos6

2cos6-V5sin9=sin(8+Q)，其中tan@=，二

。<萼，

62

?兀/G/K/5兀

66

.??8+0號時，瓦?痂+五)取最小值■Iw?.

故答案為：1-77.

【點評】本題考查了向量數(shù)量積的運算及計算公式，輔助角公式，考查了計算能力，屬

于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知復數(shù)2=(2/M2-7/n+6)+(m2-m-2)i(wGR).

(1)若復數(shù)z為純虛數(shù)，求實數(shù)〃?的值；

(2)若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)機的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：(1):復數(shù)z=(m2-5m+6)+(m2-m-2)i(mGR)為純虛數(shù),

/.2m2-7〃z+6=0且川-機,-2￥0,解得m=~；

2

(2)二?復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,

.2m2-7m+6>0加曰

.J,解得-1<根<亙；

<02

故實數(shù)m的取值范圍(-1,3).

2

【點評】本題考查了復數(shù)的幾何意義的應用和純虛數(shù)的概念，屬于基礎題.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別a,h,c,且反osA+〃cosB=2ccosA.

(1)求角A的值；

(2)已知。在邊8c上，且BO=3OC,AO=3,求△ABC的面積的最大值.

【分析】(1)利用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理，即可求出cosA和A的值.

(2)根據(jù)平面向量的線性表示，用藤、正表示標，用數(shù)量積求模長，根據(jù)基本不等式

求出爐的最大值，由此求出△A8C面積的最大值.

【解答】解：(1)△ABC中，bcosA+acosB=2ccosA,

由正弦定理得sin8cosA+sirt4cosB=2sinCcosA,

所以sin(4+8)=2sinCcosA,

因為A+8+C=TI,所以sin(4+8)=sinC,

所以sinC=2sinCcosA,

又因為C是△ABC的內(nèi)角，所以sinC#0,所以cos4=』；

2

又因為4是△ABC的內(nèi)角，所以A=三.

3

(2)因為玩=3而所以標-瓦=3(菽-元i)，所以無iq疝號記

所以9=上標2+且它2+旦族.菽，

16168

即9==-^c2+-^-b2+-^-bc,

161616_

由基本不等式得：9,耳c+3bc=^hc,當且僅當人=生應，c=4?時等號成立；

816163

所以AABC面積的最大值為2X16義返=4料.

22

【點評】本題考查了解三角形的應用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，%J_平面A8C￡>,四邊形4BCD為正方形，PA

=4B=4,G為P。中點.

(1)求證：AG_L平面PCD；

（2）求直線AC與平面尸CQ所成角.

【分析】（1）由題意可證得AGJ_PD,CO_L面出力，進而可證得CDJ_4G,再由線面垂

直的條件可證得結(jié)論；

（2）由（1）及題意可知/ACG為直線AC與平面PCD所成角，再由所給的線段長度，

可得NACG的正弦值，進而求出它的大小.

【解答】解：（1）證明：因為南，平面4BC￡>,%u面出，

所以面以。，面ABCD,而四邊形A8C￡>為正方形，所以CD1.AD,

又面PADn面ABCD=AD,CDcfflABCD,

可證得C￡）_L面PAD,

因為4Gu面PAD,

所以CDLAG,

因為a=AB=4,G為PC中點，所以AGLPD,

由CDCPD=D,

可證得AG_L平面PCD；

（2）連接CG,由（1）可得CG為AC在面PC。內(nèi)的投影，

所以/ACG為直線AC與平面PCO所成角，ZACGe[O,—],

2

因為四邊形ABC。為正方形，fi4=AB=4,

AryPD|'V2AD1

所以sinZACG=—=-^=——=-------=—,

ACV2ABV2AD2

所以NACG=30°.

所以直線AC與平面PC。所成角30°.

D

B

【點評】本題考查線面垂直的證法及線面角的求法，屬于中檔題.

20.（12分）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQ/,為整數(shù)）的不同.可將空氣質(zhì)量分級如表：

AQ1[0,501（50,100]（100,150]（150,200]（200,250]（250,3001

級別一級二級三級四級五級（4）五級（B）

現(xiàn)對某城市30天的空氣質(zhì)量進行監(jiān)測，獲得30個A。/數(shù)據(jù)（每個數(shù)據(jù)均不同），統(tǒng)計繪

得頻率分布直方圖如圖所示.

（1）請由頻率分布直方圖來估計這30天AQI的平均數(shù)；

（2）若從獲得的“一級”和“五級（B）”的數(shù)據(jù)中隨機選取2個數(shù)據(jù)進行復查，求“一

級”和“五級（B）”數(shù)據(jù)恰均被選中的概率；

（3）假如企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失S（單位：元）與AQ/（記為3）的關(guān)系

式為

’0,0<?<100

s=W

40）-400,100<W<300

若將頻率視為概率，在本年內(nèi)隨機抽取一天，試估計這天的經(jīng)濟損失S不超過600元的

概率.

磊

9麗

x

g

7兩

面

儡

4呼

麗

曲

冊

進行求

列算式

法直接

值的方

求平均

直方圖

分布

頻率

利用

件，

的條

給定

根據(jù)

】(1)

【分析

答；

；

解答