2023-2024學年廣東省深圳市光明區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年廣東省深圳市光明區(qū)高二上冊期末數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.已知空間向量4=(Z2,1)/=(2,44+1),“〃〃，則實數(shù)；I=()

A.0B.+2C.-2D.2

【正確答案】C

【分析】利用空間共線向量的坐標運算即可求出結果.

【詳解】由α=(42,1),。=(2,4/1+1)M〃人

291

得到?=彳=士，解得2=-2.

2λλ+?

故選：C

2.已知兩條直線∕∣：3x+y-5=o和4：x-ay=0相互垂直，則。=()

A.—B.—C.—3D.3

33

【正確答案】D

【分析】根據(jù)兩直線垂直需滿足的條件建立關于。的方程求解即可.

【詳解】直線4：3x+y-5=0和3x-αy=0相互垂直，

則3X1+1X(―ɑ)=O,解得a=3.

故選：D.

3.雙曲線C：K-=1的離心率為()

510

A.y/sB.?∣3C.2D.>/2

【正確答案】B

【分析】求出。、〃、C的值，即可得出雙曲線C的離心率的值.

【詳解】在雙曲線C中，a=?/?>b—?/lθ>則C=Ja2+巨，

因此，雙曲線C的離心率為e=￡==6.

a

故選：B.

4.已知圓C3∕+y2=3與圓C∕(x+2)2+(y+2)2=6,則圓Cl與圓G的位置關系為()

A.相交B.外切C.外離D?內(nèi)含

【正確答案】A

【分析】利用圓與圓位置關系的判斷方法，求出兩圓圓心距、兩圓半徑之和及兩圓半徑之差,

從而判斷出兩圓的位置關系.

【詳解】因為圓G圓心為G(0,0),半徑為4=6,圓Cz圓心為G(-2,-2),半徑為4=逐，

所以IGCJ=J(O+2)2+(0+2)2=2夜,易知，r2-ri<?ClC2?<ri+n,

所以圓Cl與圓C?相交.

故選：A.

5.已知4-2,-1),3(2,1),若動點尸滿足直線Q4與直線m的斜率之積為g,則動點尸的軌

跡方程為()

A.—+=1,X≠+2B.—+=l,x≠±Λ∕6

6363

22

C.——},2=lx≠±2D.y2--=l,x≠±2

292

【正確答案】C

【分析】設出動點P(X,y)(χ≠±2),利用條件直接建立關系+P=?,化簡得出

-2-X2-x2

￡--/=l(x≠±2),從而得出結論.

【詳解】設P(x,y)(x≠±2),因為A(-2,-1),8(2,1),所以％=三二2,A?=占？，

又因為直線必與直線尸8的斜率之積為;，所以MZZ+p=[,

2-2-x2-x2

2

整理得,-y2=](χχ±2).

故選：C.

6.設點M為拋物線V=4x上的動點，點M在y軸上的投影為點N,點42,岳)，則

∣M4∣+∣MN∣的最小值為()

A.3B.4C.√5D.√K)-1

【正確答案】A

【分析】過點M作y的垂線，垂足為N,延長MN交拋物線的準線與點B,利用拋物線的

定義，結合IM4∣+∣MM=I4W∣+∣MB卜I=IAMl+1MFI-I≥∣AF∣-1,即可求解.

【詳解】由拋物線方程V=4x,可得其準線方程為x=-l,焦點坐標為尸(1,0),

過點”作y的垂線，垂足為N,延長MN交拋物線的準線與點8,

貝IJlMAl+1MNl=IAM+1MBl-I=IAM+1MEI-I≥∣AF∣-1=J(2-iy+(√I?-Oy7=3,

當且僅當AM,尸三點共線時，取等號，

所以∣M4∣+∣Λ∕N∣的最小值為3.

故選：A.

7.在三棱錐A-BCD中，AB,AC,A。兩兩垂直，AB=2,AC=AD=3,BE=ED,CF=2FD,

則異面直線AE與防所成角的余弦值為()

?√3r22√Bn2√13

3?1339

【正確答案】D

【分析】將三棱錐4-8Cc)放在一個長方體中，建立空間直角坐標系，求出向量AE,8尸，代

入夾角公式即可求解.

【詳解】依題意，把三棱錐放在長方體中，如圖所示:

因為AB=2,AC=AD=3,BE=ED,CF=2FD,

以A為空間直角坐標系原點，AB,AC,AD分別為X,%z軸,

建立空間直角坐標系，則有：

A(0,0,0),B(2,0,0),EG,0,∣1,F(0,1,2),

所以AE=(1,0,∣),BF=(-2,1,2),

。)而

,AEBF?(1Ik2,1,22

所以cos(AE,BF)=；=?.

222

「+O?+修√(-2)+I+2

故選：D.

8.若拋物線χ2=2Py(P>0)上存在不同的兩點關于直線y=-gx+l對稱，則實數(shù)P的取值

范圍是()

A?(0,3)B,[θ,?)C,已+8)D.(*)

【正確答案】B

【分析】設A8所在的直線方程為y=2x+6,聯(lián)立方程組得至IJ△=16/+8獨>0,再由A,3

的中點在直線y=-gχ+l,求得b=-5p+l,代入即可求解.

【詳解】設拋物線f=2Py(P>0)上存在不同的兩點AB關于直線y=-]+l對稱，

設AB所在的直線方程為y=2x+b,

聯(lián)立方程組整理得Y-4PX-2g=0,其中A=16∕√+8g>0,

IX=2。)，

j

設A(Xl,%),8(X2,%)，貝L+?=4p,則y∣+3?=2(%+Λ?)+2?=8p+26,

又因為AB的中點在直線y=-gx+l,

可得4p+6=-gx2p+l,即6=-5p+l,

將匕=-5p+l代入16p2+8pi>>0,可得3/?-0<0,解得

所以實數(shù)P的取值范圍為(O，g).

故選：B.

二、多選題

22

9.已知片、B分別是雙曲線C:=-e=l(n>0力>0)的左、右焦點，P為雙曲線C上的

Crb~

動點，忸用=10,IP￡|-∣PR∣=6,點耳到雙曲線CJ條漸近線的距離為d,則下列選項正

確的有（）

A.雙曲線C的實軸長為3B.雙曲線C的離心率為g

C.|尸圖的最小值為2D.d=4

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求出”的值，可判斷A選項；利用雙曲線的離心率公式可判斷B

選項；利用雙曲線的焦半徑公式可判斷C選項；利用點到直線的距離公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，由雙曲線的定義可得IP耳∣-∣Pg∣=2α=6,可得α=3,

所以，雙曲線C的實軸長為6,A錯；

對于B選項，因為2c=由段=1（）,則c=5,所以，雙曲線C的離心率為e=∕∣,B對;

對于C選項，因為伊制-歸國=6>0,故點P在雙曲線C的右支上,

易知b="?-"=452-32=4,則雙曲線C的方程為之一?=1,

916

設點外的人），則尤°≥3,易知點月（5,0）,且這一耳=1,可得火=塔76,

9169

所以，IP∕?I=^/（?~5）^+%=-IOx0+25+-16=~1θ?+9

=？-3=乎-3≥5-3=2,當且僅當x0=3時，等號成立，C對;

b4

對于D選項,雙曲線C的漸近線方程為y=±r±鏟,即3=。,

4x5

所以，雙曲線C的焦點鳥（5,0）到漸近線4x+3y=0的距離為d==4,D對.

故選：BCD.

10.已知點一（題,九）和圓0:/+/=4,則下列選項正確的有（）

A.若點尸在圓。內(nèi)，則直線χ°χ+為y=4與圓。相交

B.若點尸在圓。上，則直線XoX+%y=4與圓。相切

C.若點P在圓。外，則直線XOX+%y=4與圓。相離

D.若直線AP與圓。相切，A為切點，則IPAl="x：+與-4

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)圓與直線的位置關系的判定方法，結合題意，即可對選項做出判斷.

【詳解】對于A,點P在圓。內(nèi)，則年+年<4,又點O到直線/尤+%y=4的距離

,所以直線/x+%y=4與圓O相離，故而A錯誤;

|4|

22

對于B,點P在圓。上,則x0+y0=4,又點。到直線x0x+%y=4的距離d=/一，=r

√V+V

所以直線XOX+%y=4與圓O相切，故而B正確；

|4|

2

對于C,點P在圓。外,則x0+為2>4,又點。到直線?x+為y=4的距離"=/J2<J

所以直線/x+%y=4與圓。相交，故而C錯誤；

對于D,若直線AP與圓。相切，A為切點，則IPAI=JPO2-產(chǎn)=J石+貨一4,故而D正確.

故選：BD.

IL偉大的古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢

圓的長半軸長和短半軸長乘積的幾倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓C的面積

為6兀，離心率為更，”,E是橢圓C的兩個焦點，尸為橢圓C上的動點，則下列選項正確

3

的有（）

A.橢圓C的標準方程可以為二+工=1B.△耳尸居的周長為10

94

C.?PFl?-?PF2?≤9D.cosZfJPE,≥-∣

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意求出“、b、c,即可判斷A；結合橢圓的定義即可判斷B；結合橢圓的定

義和基本不等式計算即可判斷C；根據(jù)余弦定理和基本不等式計算即可判斷D.

【詳解】A：由題意得，S=abπ=6π,則出?=6,

又e=3==82+c?,所以〃=3,Z?=2,c=石.

a3

22

當焦點在y軸上時，桶圓的標準方程為v方+?=1,故A正確；

B：由橢圓的定義知，的周長為2α+2c=6+2石，故B錯誤;

C:由橢圓的定義知，∣P用+∣pg∣=為=6,

所以|際HP用≤(忙繆竺?2=9,當且僅當IP6∣=∣pg∣=3時等號成立，故C正確;

D：在8中，由余弦定理，

16_161

得cosZf；PF=---------------12——?1=——

2∣圖

2PEllP2?PF1??PF2?2?PFl??PF2?----~189

當且僅當IPKl=IP閭=3時等號成立，故D正確.

故選：ACD.

12.已知正方體ABC。-A4GA的棱長為2,N為DA的中點，CM=λCCl,Ae[0,1],AM±

平面ɑ,下面說法正確的有()

A.若4=1,Qec,則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形

B.若2=1,平面α截正方體所得的截面面積的最大值為3百

C.若AM+MV的和最小，則；I=L

2

D.直線OC與平面α所成角的最大值為E

4

【正確答案】ABD

【分析】對于選項A,D,利用空間向量的坐標運算求解判斷即可；

對于選項B,畫出圖形，利用直線和平面垂直，結合面積求解即可；

對于選項C,利用展開圖，計算距離的最小值，判斷即可.

【詳解】以點。為坐標原點，DA,DC,OA所在直線分別為x、了、Z軸建立空間直角坐

標系，

對于選項A,設平面。交棱AA于點E，設雙瓦0,2),A(2,0,0),

當幾=；時，點M(0,2,l),AM=(-2,2,1),

因為AMj,平面α,OW平面α,Ee平面α,OE=S,0,2),

所以AM_L￡)E,即AM"=-2b+2=0,

得6=1,所以E(l,0,2),

所以點E為棱AA的中點,

設平面α交棱A用于F,同理可知點F為棱于1的中點,即F(2,l,2),

故EF=(1,1,0),而DB=(2,2,0),

所以EF=LQB

2

所以EF//DB且EF≠DB,

由空間兩點間距離公式得，|明=G+0+22=石,

由B(2,2,0),F(2,l,2),則忸Fl=J(2-2)2+(2-1)2+(2-0)2=√5,

所以DE=BF,

所以四邊形BDEF是等腰梯形，

故選項A正確；

對于選項B,當2=1時，M與G點重合，連接A。，BD，AtB,AC,

在正方體中，CG?L平面ABa),

因為BDu平面ABa),所以CGLBO,

因為四邊形ABC。是正方形，所以ACIBO,

因為CCJAC=C,所以平面ACG,

因為AGU平面ACC-所以8￡>_LAG，

同理可證AG，A。，

因為BoAtD=D,所以ACl，平面AgD,

所以48。是其中一個截面圖形,

易知A3。是邊長為2&的等邊三角形，其面積為E=￥x(2√∑)2=2石，

設E,F,Q,N,G,H,分別為A",A耳，BB],BC,CD,OA的中點。易知六

邊形EFQVG”是邊長為&的正六邊形，其面積為52=^x(0)2χ6=3石，

且平面EFQNGH〃平面ABD,

所以AGJ.平面EFQNGH,

所以六邊形EFQNG”也是其中一個截面圖形，

易知，六邊形EFQNG”是最大截面，

所以平面α截正方體所得的截面面積的最大值為3后，

故選項B正確；

對于選項C,將矩形ACGA與正方形CG。。延展到一個平面內(nèi)，如下圖所示,

若AM+MN的和最小，則A、M、N三點共線，

因為CG//OR,所以如=絲=?2,一=2—0,

DNAD2√2+2

因為DN=1,所以MC=2-0，

所以CM=紀&CG，故2≠1,

2'2

故選項C錯誤;

對于選項D,A(2,0,0),B(2,2,0),設點M(0,2,4)(0≤α42),

因為AWl平面α,

則AM為平面α的一個法向量，且AM=(-2,2,α),DC=AB=(0,2,0),

設直線OC與平面4所成角為巴

,.?DC-AM?42

所以sin小皿M卜同可lrE,

因為0≤α≤2,當α=0時sin，最大，

最大值為正，此時O==，

24

故直線OC與平面α所成角的最大值為：，

故選項D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.已知直線/的方程為1+5=l,則直線/的傾斜角α=.

【正確答案】135°

【分析】根據(jù)直線的方程求得直線/的斜率為A=T,得到tanα=7,進而求得ɑ的值.

【詳解】由題意，直線/的方程為]+]=l,可得直線/的斜率為Z=-1，即tana=-1,

又因為O≤a<180，所以a=135.

故答案為.135

14.已知A,B,C,D四點共而且任意三點不共線，平面A8C。外一點0,滿足

OD=3OA+2OB+λOC，則λ=.

【正確答案】-4

【分析】根據(jù)題意和空間向量的基本定理列方程，解之即可求解.

【詳解】由題意得，因為A、8、C、。滿足四點共而且任意三點不共線，

OD=3OA+2OB+λOC，

所以3+2+X=l,解得∕l=T.

故-4.

15.過點P(-2,3)作圓E∕2+y2-4χ+2y=o的兩條切線，切點分別為M,N,則直線MN的

方程為.

【正確答案】4x-4γ-7=0

【分析】先求出切線PM的長，再求出以P(-2,3)為圓心，IpMl為半徑的圓的方程，從而得

出直線MN即為兩圓交點的連線，聯(lián)立兩圓方程即可求出結果.

【詳解】因為圓E:f+y2-4x+2y=0,所以圓心為E(2,-1),半徑z?=石，

2

所以IPEI="(-2-2)2+(3+I)。=4√2,?PM?=IPM=y∣?PE^-r=√32-5=3石，

所以，以P(-2,3)為圓心，IPMl=30為半徑的圓的方程為(x+2/+(y-3)2=27,

即X2+/+4x-6γ-14=0,

所以M,N為兩圓的公共點，即直線MN為兩圓公共弦所在的直線，

聯(lián)立Y+j2-4x+2y=0?x2+γ2+4x-6y-14=0,

得至∣J8x-8y—14=0,即4x-4y-7=0.

故4x-4y-7=O

22

16.已知O為坐標原點，直線/：y="+f與橢圓交于4,B兩點,P

erh'

為AB的中點，直線OP的斜率為幻，若-=<H0<-2,則橢圓的離心率的取值范圍為

43

【正確答案】［g,'F)?

【分析】設A(Ay),5(出,%)，。(/，為)，根據(jù)題意利用兩點坐標表示斜率公式和中點坐標

公式可得尿°=2?二專；由點差法可得尿。=-4，進而?!?<??i<2,結合離心率的概念

x↑-X2a34’4

即可求解.

【詳解】設Aa,χ),B(X2，%)，尸(%，％)，

則k=q,x0=空,％=”近，

x1-X222

22

所以Zo=&=W1,得/二耳二與.

?司+工2不一考

+和

將4、8兩點坐標代入橢圓方程，得

兩式相減，得丘戈?+EK=o,有國二軍=-；,所以*=-1,

2121

abX1-XjaO

.3^..1,3h21nIa1-c23

由一--<kk()<--,得a—<—-<—,即El一<<—，

434/33/4

由e=￡,得<<1一/<1，即J<e2<?∣?,解得,<e<

a344323

所以橢圓的離心率的取值范圍為q,g).

故答案為.(/,lf)

四、解答題

17.如圖，在正方體ABeO-A耳GA中，M,N,E,尸分別為棱A8,8C,A4l,的中點,

連接CDl,EM,MN,EN,NF,EF.

（1）證明：RC”平面EMN；

（2）證明：E,F,N,M四點共面.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量平行的性質(zhì)，結合線面平行的判定定理進

行證明即可：

（2）根據(jù)空間共面定理進行證明即可.

【詳解】（1）設正方體的棱長為2,如圖建立空間直角坐標系：

則。(O,O,O),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),R(0,0,2),A(2,0,2),C1(0,2,2),旦(2,2,2),

則M(2,L0),N(l,2,0),E(2,0J),F(0,l,2),

D1C=(0,2,-2),ME=(O,-1,1),

則有AC=—2ME,故。C〃ME,

因為。Ca平面EMV,MEU平面EMN,

則有。∣C∕/平面EMV；

(2)EF=(-2,1,1),EM=(0,1,-1),EN=(-1,2,-1),

貝IJ有EF=-3EM+2EN,則向量E尸、EM、EN共面,

必有E,F,N,M四點共面

18.已知O為坐標原點，尸為拋物線C:y2=2*(p>0)的焦點，拋物線C過點M(6,-6).

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)已知直線/與拋物線C交于A,B兩點，且OAJ_O3,證明：直線/過定點.

【正確答案】⑴丁=6x

(2)證明見解析

【分析】(1)將M(6,-6)代入拋物線即可求解；

(2)設Aa,y),B(x2,%),直線/的方程為叼=XT,(小0)，將直線/與拋物線進行聯(lián)立

可得/+%=6",凹必=-6f,結合aLOB可得1=6,即可求證

【詳解】(1)因為拋物線C過點M(6,-6),

.?.(-6)2=2pχ6,解得p=3,

.?.拋物線C的標準方程為)，2=6x.

(2)設Aa直線/的方程為my=xT,(r*O)，

聯(lián)立，？:t?化為丁-6my-6r=0,

[y=6x

Δ=36m2+24r>O,

?,.M+必=6m?My2=—，

?；OAYOB,

?*-OAOB=xlx2+My2=。靠)+%%=+1)=。，∕≠O,

解得r=6,滿足△=36濟+24f>0,

二直線/的方程為Wy=X-6,

.?.直線過定點(6,0).

19.已知直線/:(m+2)x—(2m+l)y—3=0(meR),直線/分別與X軸正半軸、)，軸正半軸交

于A,B兩點.

(1)證明：直線/過定點；

(2)已知點P(-l,-2),當PA.pQ最小時，求實數(shù)的值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)w=-∣

【分析】(1)根據(jù)直線恒過定點的求法列出方程組，解之即可求解；

⑵有(1),設直線方程為2+W=l,α>0,“0,可得N+:=1,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐

abab

標表示和基本不等式中“1”的用法可得直線/的方程，即可求解.

【詳解】(1)已知直線心(機+2)X(2機+l)y-3=0(機∈R),

則（X—2y）m+2x-y-3=0,

x-2y=0x—1

由,解得

2x-y-3=0y=ι

即直線/過定點(2,1)；

(2)設直線的方程為二+;=1,。>02>0,

ab

則A(4,0),3(0,b),又直線I過定點(2,1),

則42+；1=1,又點P(T,-2),貝IJ

ab

PA?PB=(tι+l,2)?(1,?+2)=a+26+5=(∣?+j)(a+26)+5=9+；+(≥9+2^Σ∣=13,

當且僅當絲=4即α=2?即a=4,6=2時取等號，

ab

所以直線/的方程為x+2y-4=0,

所以直線/過(4,0),即4?！?2)-3=0,

解得加=-?.

4

20.如圖，在三棱錐A-BCZ)中，平面ABC/平面88,A8=AC=8C=8E>=2,CD=2√3.

(1)求Ar)的長度；

(2)求平面ABC與平面AC。夾角的余弦值.

【正確答案】(1)√I6

z0λ3√13

13

【分析】(1)以B為坐標原點，BC所在直線為X軸，建立空間直角坐標系，寫出A,。兩

點的坐標，即可得線段A。的長；

(2)分別求得平面ACO與平面ABC的法向量〃?,”，再由空間向量的夾角公式計算即可得

解.

【詳解】(1)以B為坐標原點，BC所在直線為X軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

y

平面ABC-Z平面Bez),平面ABeC平面BcC)=BC,y軸U平面Be￡>,Y軸_LBC,可知

y軸J.平面ABC,

BC?+BD?-CD?4+4—12

COSNC8。=

2BC?BD2×2×22

又NCBr>€(0。,180。)，貝IJNCBD=I20。，ZDBy=30°,

則D(-l,√3,0),A(l,0,√3),C(2,0,0),

所以A。=(-2,6,-K),CA=(-1,0,6)，

所以IAQl=J4+3+3=9.

(2)設平面48的法向量為"?=(x,y,z),

∕w?AD=O-2犬+6y-6z=O

則,即

AH-CA=O-x+?∣3z=0

令z=l,貝IJX=G,y=3,所以加二(百,3/)，

易知平面ABC的一個法向量為〃=(OJO),

設平面ABC與平面ACD夾角為6,

則COSe=ICOSI=I"?"I=-γ=^—??/??,

',Imllnl√13×113

故平面ABC與平面AC。夾角的余弦值為士叵.

13

21.己知過點PQ-D的直線/與圓E:/+V-4x-6y+4=0交于A,B兩點，M為AB的中

點,直線/與直線mx+2y+4=0相交于點M

⑴當IA8∣=2夕時，求直線/的方程；

(2)證明：PM.*7+尸4/8為定值.

【正確答案】(i)y=χ-ι或y=7χ-i

(2)證明見解析

【分析】(1)由弦長公式結合距離公式得出直線/的方程；

(2)分別聯(lián)立直線/和圓、直線機的方程，利用韋達定理結合向量的運算求解即可.

【詳解】(1)圓的方程可化為(X-2)2+3-3)2=9,

因為(0-2/+(-l-3)2=20>9,所以點尸在圓外.

當ABlX軸時，∣A8∣=2√^Z=26，不滿足IABl=2√7,即/的斜率存在.

設直線/的方程為y=履-1,圓心(2,3)到直線尸履-1的距離為4=亨".

因為IA81=2",所以2幣=2的-42,4=0，即~~=五.

整理得二-8Z+7=0,解得女=1或k=7.

故直線/的方程為y=χ-ι或y=7χ-ι.

(2)證明：當直線/的斜率不存在時，直線/:x=0,

x=0

聯(lián)立(x.2)2+(y-3f=9得出—±石，不妨設A(0,3-石),8(0,3+班)

/、IX—0_、

則M(0,3),聯(lián)立?+2y+4=o'可得N(zO，一2).

則叢，8=(0,4_6)(0,4+石)=16-5=11,PM?PN=(0,4)?(0,T)=T.

則PM?PN+PA?PB=7.

當直線/的斜率存在時，設為y=區(qū)-L

y=kx-?

聯(lián)立/7/?z得(1+公卜2_(弘+4?+11=0.

(Λ-2)+(y-3)=9/

Δ=(8Λ+4)2-44(l+?2)>0,即5公+16A-7>0,

8&+411

…二bgE'

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PA?PB=(x1,y1÷l)?(x2,γ2+l)=x1x2+Λx1x2=(l+fe)???=