盤錦市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末經(jīng)典試題含解析

盤錦市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.橢圓三+二=1的長軸長為（）

164

A.2B.4

C.6D.8

2.在ABC中，=AB=AC=2,尸為ABC所在平面上任意一點(diǎn)，則+的最小值為（）

1

A.1B.——

2

C.-1D.-2

3.若函數(shù)（e+1）%+eln%+〃恰好有3個不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

9d,+co)B.[v,e+]蘆+8

4.過點(diǎn)4（3,3）且垂直于直線4x+2y-7=0的直線方程為

A.y=51+2B.y——2x+7

1513

C.y——xH—D.y——xH—

2222

5.已知拋物線9=2加（。＞0）的焦點(diǎn)為R,A為拋物線上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且Q4+?=（2,2）,則。=（）

A.4B.2

C.72D.2A/2

6.金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金

剛石的棱長為2,則它的體積為（）

7.已知數(shù)列｛4｝為遞增等比數(shù)列，為+。4=9，。2。=8,則數(shù)列｛為｝的前2019項和S2oi9=()

A.22019B.22018-1

C.22019-1D.22020-1

8.直線年+3y—3=0的傾斜角為()

A.-300B.300

C.1200D.150°

y2

9.已知正方形ABC。的四個頂點(diǎn)都在橢圓E:「+l(a>6〉0）上，若￡的焦點(diǎn)F在正方形ABC。的外面，則

a檸

￡的離心率的取值范圍是。

'2J

2〕

、2')

10.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,則兩人各射擊一次恰有一人中靶的

概率為（）

A.0.26B.0.28

C.0.72D.0.98

11.已知實(shí)數(shù)a,b滿足a<b,則下列不等式中恒成立的是（）

11

A.a2<b1B.—>-

ab

C.\a\<\b\D.2a<2h

2

12.若數(shù)列的通項公式為a,=?。海瑒t該數(shù)列的第5項為()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知拋物線。：丁2=22%(°>0)的焦點(diǎn)為尸，過歹的直線/交拋物線C于A8兩點(diǎn)，且1ABl口=6,則p的值為

14.已知點(diǎn)M(2,3),N(-3,1),則線段MN的垂直平分線的一般式方程為.

15.下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分).已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14,

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16,則％+y的值為

甲組乙組

908

x21歹58

7424

16.已知4-2,0),3(4,0),在直線/:4光+3y+機(jī)=0上存在點(diǎn)P,使叢上依，則機(jī)的最大值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知點(diǎn)”(2,-1),直線/:ax—3y+3=0,圓C:x?+9+2x—4y+3=0.

(1)若連接點(diǎn)”與圓心。的直線與直線/垂直，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若直線/與圓C相交于A,3兩點(diǎn)，且弦A3的長為生叵，求實(shí)數(shù)。的值

10

18.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝的前“項和為S,,S3=12且%=8.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式及S,；

(2)設(shè)2=不，求數(shù)列｛2｝的前"項和I.

19.(12分)設(shè)全集U=R,集合A=｛x|lWxW5｝,集合B=｛x|2-a<xWl+2a｝,其中“CR.

(1)若“xGA”是的充分條件，求。的取值范圍；

(2)若“xCA”是的必要條件，求a的取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=a(e*-ex)(aK0)

(1)討論“力的單調(diào)性：

(2)若/(x)>x+l對尤e[2,+oo)恒成立，求。的取值范圍

21.(12分)求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴經(jīng)過點(diǎn)尸卜20,0),Q(0,下);

(2)長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)

22.(10分)如圖，四棱錐P-ABC。中，上4,平面ABC。、底面ABC。為菱形，E為PD的中點(diǎn).

(1)證明：尸3//平面AEC；

(2)設(shè)PA=l,/a4D=120°,菱形ABC。的面積為2百，求二面角O—AE—C的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】由橢圓方程可直接求得.

【詳解】由橢圓方程知：a=4,.?.長軸長為2a=8.

故選：D.

2、C

【解析】以A3,AC為建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可得最小值

【詳解】如圖，以A3,AC為九,y建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(2,0),C(0,2),設(shè)P(x,y),

PA=(-x,-y),PB=(2-x,_y),PC=(—x,2—y),PB+PC(2-2x,2-2y),

PA-^PB+PC)=-x(2-2x)-y(2-2y)=2x2-2x+2y2-2y=2(x-1)2+2(y-1)2-1,

.?.當(dāng)％=3,丁=3時，叢?(尸3+00)取得最小值一1

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示

3、D

【解析】分析可知，直線與函數(shù)g(x)=；V一(e+l)x+elnx的圖象有3個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的

單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】令/(無)=0,可得一一(e+l)x+elnx,構(gòu)造函數(shù)g(x)=gx?-(e+l)x+elnx,其中x>0,

由題意可知，直線y=-。與函數(shù)g(x)的圖象有3個交點(diǎn),

gM)=x_(e+l)+±=(x-eg=1),由g，⑴=o,可得％=1或％=e,列表如下:

JCJC

X(0,1)1(Le)e(e,+8)

+0—0+

g(x)增極大值減極小值增

所以，g(x)極大值=g6=-e,g(x)極小值=g(e)=-#,

作出直線尸一。與函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示:

1111

由圖可知，當(dāng)—e9<—ci<------e時，即當(dāng)—Fe<〃<—e9時，

2222

直線y=-。與函數(shù)g⑺的圖象有3個交點(diǎn)，即函數(shù)/(%)有3個零點(diǎn).

故選：D.

4、D

113

【解析】過點(diǎn)4(3,3)且垂直于直線4x+2y—7=0的直線斜率為不，代入過的點(diǎn)得到y(tǒng)=—九+彳.

222

故答案為D.

5、B

【解析】依題意可得設(shè)A?，%),根據(jù)。4+。9=(2,2)可得x0=2-g%=2,根據(jù)A為拋物線上一

點(diǎn)，可得p=2.

【詳解】依題意可得歹[究,o],設(shè)

由。4+?=(2,2)得(%,%)+§,0)=(2,2),

所以玉)+々=2,%=2,所以%=2—y0=2,

因為A為拋物線上一點(diǎn)，所以2?=2p(2—^),解得。=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】由幾何關(guān)系先求出一個正四面體的高，再結(jié)合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.

【詳解】如圖，設(shè)底面ABC。中心為。，連接CO,E。，由幾何關(guān)系知,

ICO\=A/2,|EO\=J|EC『_|OCf=,2-(可=0,則正八面體體積為

7、C

【解析】根據(jù)數(shù)列｛4｝為遞增的等比數(shù)列，。1+。4=9,4-。3=8,利用“4,4”法求得q,q,再代入等比數(shù)列的前〃

項和公式求解.

【詳解】因為數(shù)列｛4｝為遞增等比數(shù)列，

所以%+%二％+q/=9,%=a；?=8,

解得：q=l,q=2,

i_92019

所以

故選:C

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進(jìn)而可求出傾斜角.

【詳解】因為直線氐+3y—3=0的斜率為卜=1皿01=-g，所以傾斜角a=150°.故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結(jié)果.

9、C

【解析】如圖由題可得進(jìn)而可得/+€—1>。，即求.

a+b

22

【詳解】如圖根據(jù)對稱性，點(diǎn)O在直線y=x上，可設(shè)。(x,x),x>0,則［+0=1,

ab

可得Z?2<ac，

：.c1+ac-a1>0，即f+e-i,。，又e<l

解得嚀！<e<l.

故選：C.

10、A

【解析】依據(jù)獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.

【詳解】記甲中靶為事件4,乙中靶為事件片

貝！|尸(4)=0.8,尸(Z)=0.2,尸(3)=0.9,尸(耳)=0.1

甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，

則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為

P(A)-P(豆)+P3P(A)=0.8x0.1+0.9x0.2=0.26

故選：A

11、D

【解析】利用特殊值排除錯誤選項，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項.

【詳解】。=一1,匕=1時，a<b,但/=廿，所以A選項錯誤.

。=-18=1時，a<b,但工<工，所以B選項錯誤.

ab

。=一13=1時，a<b,但同=網(wǎng)，所以C選項錯誤.

>=2‘在R上遞增，所以a<bo2〃<2J即D選項正確.

故選：D

12、C

【解析】直接根據(jù)通項公式，求。5；

2I

【詳解】3一二百，

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

【解析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立/與拋物線方程，表示出求其最值即可.

【詳解】已知/色,0）,設(shè)x=+4（%,yj,B（x2,y2）,

p

x=my-\——0-

則2=>y-2pmy-p9=0,

y~=2px

2

VA>0,所以％+%=2pm,yry2=-p，

；?|AB|=Ji+療J%_%|=Ji++y2y—4%%=2M1+加）..2p，當(dāng)且僅當(dāng)帆=0時，取

/.2p=6=>p=3.

故答案為：3.

14、10x+4y—3=0

【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得MN的中點(diǎn)和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得

直線方程，化為一般式即可

【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N的中點(diǎn)為（-,，2）,

2

3-12

可得直線MN的斜率為k=---=-,

L一（一力3

由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為k'=--,

2

故可得所求直線的方程為：y-2=-|x（x+1）,

化為一般式可得10x+4y-3=0

故答案為：10x+4y-3=0

15、9

【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14可得無=4,

,8+24+15+18+10+y,_

乙組的平均t數(shù)：---------------------=16,解得：y=5,

貝！1：%+丁=4+5=9

點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的

數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)

16、11

【解析】設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件知PAP3=0,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得P點(diǎn)位于圓(x-+/=9上，再根據(jù)尸存

在于直線/：4x+3y+加=0上，可知直線和圓有交點(diǎn)，因此列出相應(yīng)的不等式，求得機(jī)范圍，可得機(jī)的最大值.

【詳解】設(shè)尸(x,y)，則PA=(—2—x,—”PB=(4—x,—y),

由題意可知PAP3=0,

所以(x+2)(x—4)+y"=0>即(x—I)?+y~=9,

即滿足條件Q4，依的點(diǎn)尸在圓(X—1)2+y2=9上，

又根據(jù)題意P點(diǎn)存在于直線4x+3y+m=0上，

則直線4x+3y+m=0與圓(x—1)2+丁=9有交點(diǎn)，

故有圓心(1,0)到直線4x+3y+m=0的距離小于等于圓的半徑，

即?5W3,解得—19WmWn,

則m的最大值為11,

故答案為：U.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)3(2)實(shí)數(shù)。的值為1和9

【解析】(1)由直線垂直，斜率乘積為-1可得。值；

(2)求出加以到直線/的距離，由勾股定理求弦長，從而可得參數(shù)值

【小問1詳解】

)Z7

圓C:(尤+1)2+(y—2)=2,/.C(—L2),:.kMC=—\,=—,

I_LMC>—'(-1)——1>；.a=3

【小問2詳解】

圓C半徑為0,設(shè)圓心C到直線A3的距離為d,

化簡得：?2-10a+9=0>解得：。=1或。=9

所以實(shí)數(shù)。的值為1和9.

18、(1)an=2n,Sn=/i(ra+l)

n

⑵Tn=

H+1

【解析】（D設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為2,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于％、d的方程組，解出這兩個量的值，利用等差

數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列｛4｝的通項公式，利用等差數(shù)列前n項和公式求出S"；

（2）求得用=工-——,利用裂項相消法即可求得

nn+1

【小問1詳解】

,、[a.=a,+3d=8

設(shè)等差數(shù)列｛??｝的公差為d,由js=3q+3d=12，解得％=d=2，

所以a”=al+{n-i)d=2〃,

故數(shù)列｛??｝的通項公式an=In,Sn=-2；2"）=“（“十。；

【小問2詳解】

由⑴可得

,11_1_1

所以a=不

+n〃+1

n

所以北=

n+\J〃+1〃+1

19、(1)(2,-H?)

(2)

【解析】(1)由“xeA”是的充分條件，可得A=從而可得關(guān)于。的不等式組，解不等式組可得答案;

⑵“xeA”是“xeB”的必要條件，可得然后分6=0和6W0兩種情況求解即可

【小問1詳解】

由題意得到A=[l,5],

由“xCA”是“xWB”的充分條件可得AU5,

2-?<1

則,cu，解得a>2,

1+2。>5

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+8).

【小問2詳解】

由“xCA”是“xWB”的必要條件可得3UA,

當(dāng)3=0時，2-a>l+2a,即時，滿足題意,

3

當(dāng)5/0時，即a》,時，貝卜1<2-?

31+2tz<5

解得工WaWl.

3

綜上aWL

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8』.

20、(1)答案不唯一，具體見解析

(2),+8

【解析】(1)求導(dǎo)得/'(x)=a(e'—e),在分?！?,。<。兩種情況討論求解即可;

V*1

(2)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為。>—「對％e[2,+”)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)最值即可.

eex

【小問1詳解】

解：函數(shù)的定義域為7?,/,(x)=?(e'-e)

當(dāng)a>0時,令/'(力>0,得x>l,令r(x)<0,得光<1；

當(dāng)a<0時，令/'(%)>0,得x<1,令/'(1)<0,得X>1

綜上，當(dāng)a>0時，/(尤)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時，/(力在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減

【小問2詳解】

解：由⑴知，函數(shù)8(力=6"—0；在[2,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)>g(2)=e(e-2)>0,

JV+1

所以/(x)>x+l對尤G[2,+8)恒成立等價于a>-....對xe[2,+8)恒成立

eex

i、e-xe*

設(shè)函r數(shù)+則"(x)=(e-x廣

設(shè)p(x)=e—xe*(x22),則p'(x)=—(x+l)e*<0,則0(%)在[2,+8)上單調(diào)遞減,

所以Mx)〈M2)=e—2e2<0,貝!|〃(x)<0,

所以h(x)在[2,”)上單調(diào)遞減，

3

所以無=無(

(x)1mx2)=^3^;

故,即。的取值范圍是(一1,+8]

e2-2ele2-2e)

22

21、(1)L+匕=1；

85

2

尤2y尤2

(2)一+_/=1或匕+—=1.

9819

【解析】(1)由已知可得4=2攻，b=B且焦點(diǎn)在X軸上，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)由已知可得。=3,b=l,此時焦點(diǎn)在x軸上，或。=9,6=3,此時焦點(diǎn)在丁軸上，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

【小問1詳解】

解：橢圓經(jīng)過點(diǎn)尸(-2&,0),Q(0,拓)，

a=272-b=5且焦點(diǎn)在x軸上，

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

85

【小問2詳解】

解：長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)尸(3,0),

當(dāng)P點(diǎn)在長軸上時，a=3,b=l,此時焦點(diǎn)在工軸上,

此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+V=1；

9

當(dāng)尸點(diǎn)在短軸上時，〃=9,b=3,此時焦點(diǎn)在>軸上,

22

此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上+乙=1.

981

2

龍2