河南省焦作市師專附屬中學2022-2023學年高二數(shù)學理測試題含解析

河南省焦作市師專附屬中學2022-2023學年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若直線和⊙O∶沒有交點，則過的直線與橢圓的交點個數(shù)（）A．至多一個

B．2個

C．1個

D．0個參考答案：B2.參考答案：B3.使不等式+>1+成立的正整數(shù)a的最大值是（

）（A）13

（B）12

（C）11

（D）10參考答案：B4.設X是一個離散型隨機變量，其分布列為X01P則q的值為（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：C5.從焦點為F的拋物線y2=2px（p＞0）上取一點A（x0，y0）（x0＞）作其準線的垂線，垂足為B．若|AF|=4，B到直線AF的距離為，則此拋物線的方程為（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設B到直線AF的距離為BC=，求出cos∠BAF=，設F到AB的距離為AD，則|AD|=|AF|cos∠BAF=3，即可得出結論．【解答】解：設B到直線AF的距離為BC=，由|AF|=|AB|=4，可得sin∠BAF=，∴cos∠BAF=，設F到AB的距離為AD，則|AD|=|AF|cos∠BAF=3，∴p+|AD|=4，∴p=1，∴此拋物線的方程為y2=2x．故選A．6.橢圓2x2+3y2=6的焦距是(

)A．2 B．2（﹣） C．2 D．2（+）參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】把橢圓的方程化為標準形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解：橢圓2x2+3y2=6可化為，∴c==1，∴橢圓2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故選：A．【點評】本題考查橢圓的標準方程以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，屬于基礎題．7.已知點A（l，2）在函數(shù)f（x）=ax3的圖象上，則過點A的曲線C：y=f（x）的切線方程是（）A．6x﹣y﹣4=0 B．x﹣4y+7=0C．6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D．6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0參考答案：D【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】由A在曲線上，求出a，再求導數(shù)，設出切點，求出切線的斜率，再由兩點的斜率公式，得到方程，解出切點的橫坐標，得到斜率，再由點斜式方程，即可得到切線方程．【解答】解：由于點A（l，2）在函數(shù)f（x）=ax3的圖象上，則a=2，即y=2x3，y′=6x2，設切點為（m，2m3），則切線的斜率為k=6m2，由兩點的斜率公式得，=6m2，即有2m2﹣m﹣1=0，解得m=1或﹣，則切線的斜率為k=6或k=6×=，則過點A的曲線C：y=f（x）的切線方程是：y﹣2=6（x﹣1）或y﹣2=（x﹣1），即6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0．故選D．【點評】本題考查導數(shù)的應用：求切線的方程，注意考慮切點，同時考查直線方程的形式，考查運算能力，屬于易錯題．8.雙曲線﹣=1的焦點到漸近線的距離為（） A．2 B． C．3 D．2參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】先由題中條件求出焦點坐標和漸近線方程，再代入點到直線的距離公式即可求出結論． 【解答】解：由題得：其焦點坐標為（±4，0）．漸近線方程為y=±x 所以焦點到其漸近線的距離d==2． 故選：D． 【點評】本題給出雙曲線的方程，求它的焦點到漸近線的距離．著重考查了點到直線的距離公式、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎題． 9.已知正四面體棱長為4，則此正四面體外接球的表面積為（）A．36π B．48π C．64π D．72π參考答案：B【考點】球的體積和表面積．【分析】將正四面體補成一個正方體，正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，即可得出結論．【解答】解：將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為4，正方體的對角線長為4，∵正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，∴外接球的表面積的值為=48π．故選B．【點評】本題考查球的內(nèi)接多面體等基礎知識，考查運算求解能力，考查邏輯思維能力，屬于基礎題．10.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2 B．f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1C．f（x），g（x）=x+1 D．f（x）=，g（t）=|t|參考答案：D【考點】32：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．【分析】判斷函數(shù)的定義域與對應法則是否相同，即可得到結果．【解答】解：f（x）=，g（x）=（）2，函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1，函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；f（x），g（x）=x+1，函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；f（x）=，g（t）=|t|，函數(shù)的定義域相同，對應法則相同，是相同函數(shù)．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)是否是相同函數(shù)的判斷，注意函數(shù)的定義域以及對應法則是解題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則在點處的切線方程為＿.參考答案：

12.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

參考答案：13.已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，滿足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若對于每一個正整數(shù)n，均有an=a1+logabn，則常數(shù)a=．參考答案：【考點】等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的通項公式．【分析】設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意列式求得d，q的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求，代入an=a1+logabn，求解即可得到a值．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，∴，解得d=6，q=9，∴an=3+6（n﹣1）=6n﹣3，，代入an=a1+logabn得，，即loga9=6，∴．故答案為：．14.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P，用A表示事件“點P恰好取自由曲線與直線x=1及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，B表示事件“點P恰好取自陰影部分內(nèi)”，則P（B|A）=．參考答案：【考點】CM：條件概率與獨立事件．【分析】陰影部分由函數(shù)y=x與圍成，由定積分公式，計算可得陰影部分的面積，進而由幾何概型公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，陰影部分由函數(shù)y=x與圍成，其面積為（﹣x）dx=（）=，A表示事件“點P恰好取自曲線與直線x=1及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，面積為+=，則P（B|A）等于=．故答案為．【點評】本題考查幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應用，關鍵是正確計算出陰影部分的面積．15.已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則______.

參考答案：4:試題分析：先畫出草圖，比較容易求出,再利用三角函數(shù)求出4即可考點：直線與圓的位置關系，弦長的計算16.二進制數(shù)化為十進制數(shù)是

．參考答案：86

17.在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線C：psin2θ=2acosθ（a＞0），過點P（﹣2，﹣4）的直線l的參數(shù)方程為，直線l與曲線C分別交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，則實數(shù)a的值為．參考答案：提示：設點M對應的參數(shù)為，點N對應的參數(shù)為，則有，即直線參數(shù)方程代入到拋物線普通方程，得，有，代入得a=1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校為“中學數(shù)學聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：分數(shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復賽資格，某校有900名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間(30,150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間(110,150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學校座談交流，那么從得分在區(qū)間(110,130]與(130,150]各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設X表示得分在(110,130]中參加全市座談交流的人數(shù)，學校打算給這4人一定的物質(zhì)獎勵，若該生分數(shù)在(110,130]給予500元獎勵，若該生分數(shù)在(130,150]給予800元獎勵，用Y表示學校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學期望．參考答案：（1）本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【分析】（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應的概率，即可求出分布列和期望.【詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分數(shù)在的頻率為：，從而分數(shù)在的，假設該最低分數(shù)線為由題意得解得．故本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分．（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關概念，即可求解，屬于?？碱}型.19.（1）若命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設p：|4x﹣3|≤1，命題q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯．【分析】（1）根據(jù)特稱命題為假命題，轉化為命題的否定為真命題，利用判別式△進行求解即可．（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)和十字相乘法分別求出命題p和q，再根據(jù)￢p是￢q的必要而不充分條件，可以推出p?q，再根據(jù)子集的性質(zhì)進行求解；【解答】解：（1）若命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，即命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”為真命題，則判別式△=9a2﹣4×2×9≤0，則a2≤8，即﹣2≤a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是[﹣2，2]．（2）∵p：|4x﹣3|≤1；p：﹣1≤4x﹣3≤1，解得≤x≤1，由x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0得m≤x≤m+1，若￢p是￢q的必要而不充分條件，則￢q?￢p，￢p推不出￢q，可得p?q，q推不出p，∴解得0≤m≤，驗證m=0和m=滿足題意，∴實數(shù)m的取值范圍為：m∈[0，]．【點評】本題考查充分條件必要條件的應用以及命題真假性的判斷和應用，本題求解中涉及到了一元二次方程有根的條件，及集合間的包含關系，有一定的綜合性．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=，點E是棱PB的中點．（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若AD=1，求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，從而AE⊥PB．由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，由此能證明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中點F，連結DF，連結BF，則∠BFD為所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形，而點E是棱PB的中點，所以AE⊥PB．由題意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．因為AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．在Rt△PAB中，PA=AB=，AE=PB==1．從而在Rt△DAE中，DE==．在Rt△CBE中，CE==，又CD=，所以△CED為等邊三角形，取CE的中點F，連結DF，則DF⊥CE，∵BE=BC=1，且BC⊥BE，則△EBC為等腰直角三角形，連結BF，則BF⊥CE，所以∠BFD為所求的二面角的平面角，連結BD，在△BFD中，DF=CD=，BF=，BD==，所以cos∠BFD==﹣，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值為﹣．【點評】本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．21.（本題滿分12分）設f(x)=x3+

求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及其極值;參考答案：解：（1）解得

…………(4分)+0--0+↗極大值↙↙極小值↗

…………(8分)和單調(diào)減區(qū)間為和

…………….(10分)極大值為，極小值為……………(12分)略