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文檔簡介
河南省焦作市師專附屬中學2022-2023學年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若直線和⊙O∶沒有交點,則過的直線與橢圓的交點個數(shù)()A.至多一個
B.2個
C.1個
D.0個參考答案:B2.參考答案:B3.使不等式+>1+成立的正整數(shù)a的最大值是(
)(A)13
(B)12
(C)11
(D)10參考答案:B4.設X是一個離散型隨機變量,其分布列為X01P則q的值為(
)A.1
B.
C.
D.參考答案:C5.從焦點為F的拋物線y2=2px(p>0)上取一點A(x0,y0)(x0>)作其準線的垂線,垂足為B.若|AF|=4,B到直線AF的距離為,則此拋物線的方程為()A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x參考答案:A【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】設B到直線AF的距離為BC=,求出cos∠BAF=,設F到AB的距離為AD,則|AD|=|AF|cos∠BAF=3,即可得出結論.【解答】解:設B到直線AF的距離為BC=,由|AF|=|AB|=4,可得sin∠BAF=,∴cos∠BAF=,設F到AB的距離為AD,則|AD|=|AF|cos∠BAF=3,∴p+|AD|=4,∴p=1,∴此拋物線的方程為y2=2x.故選A.6.橢圓2x2+3y2=6的焦距是(
)A.2 B.2(﹣) C.2 D.2(+)參考答案:A【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【專題】計算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】把橢圓的方程化為標準形式,求出a、b、c的值,可得焦距2c的值.【解答】解:橢圓2x2+3y2=6可化為,∴c==1,∴橢圓2x2+3y2=6的焦距是2c=2,故選:A.【點評】本題考查橢圓的標準方程以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用,屬于基礎題.7.已知點A(l,2)在函數(shù)f(x)=ax3的圖象上,則過點A的曲線C:y=f(x)的切線方程是()A.6x﹣y﹣4=0 B.x﹣4y+7=0C.6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D.6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0參考答案:D【考點】6H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】由A在曲線上,求出a,再求導數(shù),設出切點,求出切線的斜率,再由兩點的斜率公式,得到方程,解出切點的橫坐標,得到斜率,再由點斜式方程,即可得到切線方程.【解答】解:由于點A(l,2)在函數(shù)f(x)=ax3的圖象上,則a=2,即y=2x3,y′=6x2,設切點為(m,2m3),則切線的斜率為k=6m2,由兩點的斜率公式得,=6m2,即有2m2﹣m﹣1=0,解得m=1或﹣,則切線的斜率為k=6或k=6×=,則過點A的曲線C:y=f(x)的切線方程是:y﹣2=6(x﹣1)或y﹣2=(x﹣1),即6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0.故選D.【點評】本題考查導數(shù)的應用:求切線的方程,注意考慮切點,同時考查直線方程的形式,考查運算能力,屬于易錯題.8.雙曲線﹣=1的焦點到漸近線的距離為() A.2 B. C.3 D.2參考答案:D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì). 【專題】計算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 【分析】先由題中條件求出焦點坐標和漸近線方程,再代入點到直線的距離公式即可求出結論. 【解答】解:由題得:其焦點坐標為(±4,0).漸近線方程為y=±x 所以焦點到其漸近線的距離d==2. 故選:D. 【點評】本題給出雙曲線的方程,求它的焦點到漸近線的距離.著重考查了點到直線的距離公式、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于基礎題. 9.已知正四面體棱長為4,則此正四面體外接球的表面積為()A.36π B.48π C.64π D.72π參考答案:B【考點】球的體積和表面積.【分析】將正四面體補成一個正方體,正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長,即可得出結論.【解答】解:將正四面體補成一個正方體,則正方體的棱長為4,正方體的對角線長為4,∵正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長,∴外接球的表面積的值為=48π.故選B.【點評】本題考查球的內(nèi)接多面體等基礎知識,考查運算求解能力,考查邏輯思維能力,屬于基礎題.10.下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是()A.f(x)=,g(x)=()2 B.f(x)=(x﹣1)0,g(x)=1C.f(x),g(x)=x+1 D.f(x)=,g(t)=|t|參考答案:D【考點】32:判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).【分析】判斷函數(shù)的定義域與對應法則是否相同,即可得到結果.【解答】解:f(x)=,g(x)=()2,函數(shù)的定義域不相同,不是相同函數(shù);f(x)=(x﹣1)0,g(x)=1,函數(shù)的定義域不相同,不是相同函數(shù);f(x),g(x)=x+1,函數(shù)的定義域不相同,不是相同函數(shù);f(x)=,g(t)=|t|,函數(shù)的定義域相同,對應法則相同,是相同函數(shù).故選:D.【點評】本題考查函數(shù)是否是相同函數(shù)的判斷,注意函數(shù)的定義域以及對應法則是解題的關鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則在點處的切線方程為_.參考答案:
12.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
參考答案:13.已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,若對于每一個正整數(shù)n,均有an=a1+logabn,則常數(shù)a=.參考答案:【考點】等比數(shù)列的通項公式;等差數(shù)列的通項公式.【分析】設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意列式求得d,q的值,則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求,代入an=a1+logabn,求解即可得到a值.【解答】解:設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,∵a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,∴,解得d=6,q=9,∴an=3+6(n﹣1)=6n﹣3,,代入an=a1+logabn得,,即loga9=6,∴.故答案為:.14.如圖所示,在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P,用A表示事件“點P恰好取自由曲線與直線x=1及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”,B表示事件“點P恰好取自陰影部分內(nèi)”,則P(B|A)=.參考答案:【考點】CM:條件概率與獨立事件.【分析】陰影部分由函數(shù)y=x與圍成,由定積分公式,計算可得陰影部分的面積,進而由幾何概型公式計算可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,陰影部分由函數(shù)y=x與圍成,其面積為(﹣x)dx=()=,A表示事件“點P恰好取自曲線與直線x=1及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”,面積為+=,則P(B|A)等于=.故答案為.【點評】本題考查幾何概型的計算,涉及定積分在求面積中的應用,關鍵是正確計算出陰影部分的面積.15.已知直線與圓交于兩點,過分別作的垂線與軸交于兩點,則______.
參考答案:4:試題分析:先畫出草圖,比較容易求出,再利用三角函數(shù)求出4即可考點:直線與圓的位置關系,弦長的計算16.二進制數(shù)化為十進制數(shù)是
.參考答案:86
17.在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建極坐標系,兩種坐標系取相同的單位長度.已知曲線C:psin2θ=2acosθ(a>0),過點P(﹣2,﹣4)的直線l的參數(shù)方程為,直線l與曲線C分別交于M、N.若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列,則實數(shù)a的值為.參考答案:提示:設點M對應的參數(shù)為,點N對應的參數(shù)為,則有,即直線參數(shù)方程代入到拋物線普通方程,得,有,代入得a=1三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.某校為“中學數(shù)學聯(lián)賽”選拔人才,分初賽和復賽兩個階段進行,規(guī)定:分數(shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復賽資格,某校有900名學生參加了初賽,所有學生的成績均在區(qū)間(30,150]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.(1)求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線;(2)從初賽得分在區(qū)間(110,150]的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學校座談交流,那么從得分在區(qū)間(110,130]與(130,150]各抽取多少人?(3)從(2)抽取的7人中,選出4人參加全市座談交流,設X表示得分在(110,130]中參加全市座談交流的人數(shù),學校打算給這4人一定的物質(zhì)獎勵,若該生分數(shù)在(110,130]給予500元獎勵,若該生分數(shù)在(130,150]給予800元獎勵,用Y表示學校發(fā)的獎金數(shù)額,求Y的分布列和數(shù)學期望.參考答案:(1)本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分;(2)5人,2人;(3)元.【分析】(1)求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線,即是求考試成績中位數(shù),只需滿足中位數(shù)兩側的頻率之和均為0.5即可;(2)先確定得分在區(qū)間與的頻率之比,即可求解;(3)先確定的可能取值,再求出其對應的概率,即可求出分布列和期望.【詳解】(1)由題意知的頻率為:,的頻率為:所以分數(shù)在的頻率為:,從而分數(shù)在的,假設該最低分數(shù)線為由題意得解得.故本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分.(2)在區(qū)間與,,在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機抽取7人,分在區(qū)間與各抽取5人,2人,結果是5人,2人.(3)的可能取值為2,3,4,則:,從而Y的分布列為Y260023002000(元).【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù),以及分層抽樣和超幾何分布等問題,熟記相關概念,即可求解,屬于??碱}型.19.(1)若命題“?x∈R,2x2﹣3ax+9<0”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍;(2)設p:|4x﹣3|≤1,命題q:x2﹣(2m+1)x+m(m+1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【專題】轉化思想;轉化法;簡易邏輯.【分析】(1)根據(jù)特稱命題為假命題,轉化為命題的否定為真命題,利用判別式△進行求解即可.(2)根據(jù)絕對值的性質(zhì)和十字相乘法分別求出命題p和q,再根據(jù)¬p是¬q的必要而不充分條件,可以推出p?q,再根據(jù)子集的性質(zhì)進行求解;【解答】解:(1)若命題“?x∈R,2x2﹣3ax+9<0”為假命題,即命題“?x∈R,2x2﹣3ax+9≥0”為真命題,則判別式△=9a2﹣4×2×9≤0,則a2≤8,即﹣2≤a≤2,即實數(shù)a的取值范圍是[﹣2,2].(2)∵p:|4x﹣3|≤1;p:﹣1≤4x﹣3≤1,解得≤x≤1,由x2﹣(2m+1)x+m(m+1)≤0得m≤x≤m+1,若¬p是¬q的必要而不充分條件,則¬q?¬p,¬p推不出¬q,可得p?q,q推不出p,∴解得0≤m≤,驗證m=0和m=滿足題意,∴實數(shù)m的取值范圍為:m∈[0,].【點評】本題考查充分條件必要條件的應用以及命題真假性的判斷和應用,本題求解中涉及到了一元二次方程有根的條件,及集合間的包含關系,有一定的綜合性.20.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,AP=AB=,點E是棱PB的中點.(Ⅰ)證明:AE⊥平面PBC;(Ⅱ)若AD=1,求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值.參考答案:【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定.【專題】空間位置關系與距離;空間角.【分析】(Ⅰ)由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB.又PA=AB,從而AE⊥PB.由三垂線定理得BC⊥PB,從而BC⊥平面PAB,由此能證明AE⊥平面PBC.(Ⅱ)由BC⊥平面PAB,AD⊥AE.取CE的中點F,連結DF,連結BF,則∠BFD為所求的二面角的平面角,由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值.【解答】(Ⅰ)證明:如圖1,由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB.又PA=AB,故△PAB為等腰直角三角形,而點E是棱PB的中點,所以AE⊥PB.由題意知BC⊥AB,又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影,由三垂線定理得BC⊥PB,從而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE.因為AE⊥PB,AE⊥BC,所以AE⊥平面PBC.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE.在Rt△PAB中,PA=AB=,AE=PB==1.從而在Rt△DAE中,DE==.在Rt△CBE中,CE==,又CD=,所以△CED為等邊三角形,取CE的中點F,連結DF,則DF⊥CE,∵BE=BC=1,且BC⊥BE,則△EBC為等腰直角三角形,連結BF,則BF⊥CE,所以∠BFD為所求的二面角的平面角,連結BD,在△BFD中,DF=CD=,BF=,BD==,所以cos∠BFD==﹣,∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值為﹣.【點評】本題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.21.(本題滿分12分)設f(x)=x3+
求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及其極值;參考答案:解:(1)解得
…………(4分)+0--0+↗極大值↙↙極小值↗
…………(8分)和單調(diào)減區(qū)間為和
…………….(10分)極大值為,極小值為……………(12分)略
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