2022年天津楊柳青第四中學高二數學理上學期期末試卷含解析

2022年天津楊柳青第四中學高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線與拋物線有且只有一個公共點，則的值為（

）A.0

B.1或3

C.0或3

D.1或0參考答案：D略2.設a>b>c，n∈N，且+≥恒成立，則n的最大值為（

）（A）2

（B）3

（C）4

（D）5參考答案：C3.如圖，長方形的長度為4cm，寬度為2cm，向這個長方形投一塊小石頭落在陰影部分的概率（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C4.一組數據的平均數是4.8，方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是（）A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6參考答案：D【考點】極差、方差與標準差；眾數、中位數、平均數．【分析】首先寫出原來數據的平均數表示式和方差的表示式，把數據都加上60以后，再表示出新數據的平均數和方差的表示式，兩部分進行比較，得到結果【解答】解：設這組數據分別為x1，x2，…，xn，若其平均數是4.8，方差是3.6，則有1=（x1+x2+…+xn）=4.8，方差S12=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]=3.6；若將這組數據中的每一個數據都加上60，則數據為60+x1，60+x2，…，60+xn，則平均數2=[（60+x1）+）60+x2）+…+（60+xn）]=60+4.8=64.8，方差S22=[（60+x1﹣64.8）2+…+（60+xn﹣64.8）2]=3.6；故選：D．【點評】本題考查數據的平均數、方差的計算，關鍵是掌握數據方差、平均數的計算公式．5.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10、15、…這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16、25、…這樣的數稱為“正方形數”．從如圖中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28參考答案：D【考點】F1：歸納推理．【分析】題目中“三角形數”的規(guī)律為1、3、6、10、15、21…“正方形數”的規(guī)律為1、4、9、16、25…，根據題目已知條件：從圖中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．可得出最后結果．【解答】解：這些三角形數的規(guī)律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形數是這串數中相鄰兩數之和，很容易看到：恰有21+28=49．故選D．6.在三角形ABC中，如果，那么等于A．

B．

C．

D．（改編題）參考答案：B7.若復數

（為虛數單位)，是z的共軛復數，則在復平面內，復數對應的點的坐標為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：D【考點】異面直線及其所成的角．【分析】連接B1G，EG，先利用長方形的特點，證明四邊形A1B1GE為平行四邊形，從而A1E∥B1G，所以∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角，再在三角形B1GF中，分別計算三邊的長度，利用勾股定理即可得此角的大小【解答】解：如圖：連接B1G，EG∵E，G分別是DD1，CC1的中點，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四邊形A1B1GE為平行四邊形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴異面直線A1E與GF所成角為90°故選D【點評】本題考查了空間異面直線所成的角的作法、證法、算法，長方體的性質及其中的數量關系的應用，將空間問題轉化為平面問題的思想方法9.4個男生4個女生站成一排，要求相鄰兩人性別不同且男生甲與女生乙相鄰，則這樣的站法有（）A．576種 B．504種 C．288種 D．252種參考答案：B【考點】排列、組合及簡單計數問題．【分析】把男生甲與女生乙排在一起作為一個元素，剩余3個男生與3個女生，按照男生、女生不相鄰的插空排法共有?不同的站法；再把男生甲與女生乙放入，符合條件的是??種不同的站法．【解答】解：4個男生4個女生站成一排，把男生甲與女生乙排在一起作為一個元素，剩余3個男生與3個女生，按照男生、女生不相鄰的插空排法，有?=6×24=144種不同的站法；現在有7個位置把男生甲與女生乙放入，符合條件的是：??=×7×144=504．故選：B．10.一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是

（

）A. B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數列的前n項和，則＝___________參考答案：12.冪函數的圖象過點，則其解析式為

參考答案：13.中，若，，，則_______

參考答案：14.已知函數是定義在上的偶函數，且當時，.若函數有4個零點，則實數a的取值范圍是__________．參考答案：【分析】根據對稱性，在上有兩個不同的實根，即在上有兩個不同的實根，等價轉化為直線與曲線有兩個交點，利用導數求得函數單調性與最值，結合圖象，即可求解.【詳解】由是偶函數，根據對稱性，在上有兩個不同的實根，即在上有兩個不同的實根，等價轉化為直線與曲線有兩個交點，而，則當時，；當時，，所以函數在上是減函數，在上是增函數，于是，且，結合圖象，可得.【點睛】本題主要考查了利用導數研究方程的零點問題，其中解答中根據函數的奇偶性，把函數的零點轉化為直線與曲線有兩個交點，利用導數得出函數的單調性與最值，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.15.如圖，設橢圓的左右焦點分別為，過焦點的直線交橢圓于兩點，若的內切圓的面積為，設兩點的坐標分別為，則值為________________．參考答案：略16.已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則|

|的值是__________參考答案：略17.已知、是過拋物線（）的焦點的直線與拋物線的交點，是坐標原點，且滿足，，則的值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.“奶茶妹妹”對某時間段的奶茶銷售量及其價格進行調查，統(tǒng)計出售價x元和銷售量y杯之間的一組數據如下表所示：價格x55.56.57銷售量y121064通過分析，發(fā)現銷售量y對奶茶的價格x具有線性相關關系．（Ⅰ）求銷售量y對奶茶的價格x的回歸直線方程；（Ⅱ）欲使銷售量為13杯，則價格應定為多少？注：在回歸直線y=中，，=﹣．=146.5．參考答案：【考點】線性回歸方程．【專題】函數思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據回歸系數公式計算回歸系數；（2）把y=13代入回歸方程計算x．【解答】解：（Ⅰ）==6，==8．=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，==﹣4，=8+4×6=32．∴銷售量y對奶茶的價格x的回歸直線方程為=﹣4x+32．（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．答：商品的價格定為4.75元．【點評】本題考查了線性回歸方程的解法和數值估計，屬于基礎題．19.（本小題滿分14分）

某慈善機構舉辦一次募捐演出，有一萬人參加，每人一張門票，每張100元，在演出過程中穿插抽獎活動，第一輪抽獎從這一萬張票根中隨機抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動，第二輪抽獎由第一輪獲獎者獨立操作按鈕，電腦隨機產生兩個數，如果則電腦顯示“中獎”，抽獎者獲得9000元獎金；否則若電腦顯示“謝謝”，則不中獎。

（I）已知小曹在第一輪抽獎中被抽中，求小曹在第二輪抽獎中獲獎的概率；

（II）若小葉參加了此次活動，求小葉參加此次活動收益的期望；

（III）若此次募捐除獎品和獎金外，不計其它支出，該機構想獲得96萬元的慈善款，問該慈善機構此次募捐是否能達到預期目標。參考答案：共9個，…………2分設“小曹在第二輪抽獎中獲獎”為事件，且事件所包含的基本事件有共2個，∴．

……5分（Ⅱ）設小葉參加此次活動的收益為，的可能取值為．

………6分，，．

…………9分∴的分布列為9009900………10分∴．

…………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，購票者每人收益期望為．∵有一萬人購票，除獎金和獎品外，不計其它支出，∴該機構此次收益期望為元=萬∴該慈善機構此次募捐能達到預期目標………………14分略20.已知函數f（x）=ax2﹣4x+b，（a∈R，b∈R）（1）若函數f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；（2）若b=﹣4a，解關于x的不等式f（x）＞﹣8．參考答案：解：（1）函數f（x）有最小值3，∴a＞0，=3，∴b=+3，f（1）=a﹣4+b=a+﹣1，∴f（1）+2a=3a+﹣1≥2﹣1=4﹣1．即f（1）+2a的最小值為4﹣1．（2）當b=﹣4a時，不等式f（x）＞﹣8，可化為ax2﹣4x﹣4a+8＞0，①當a=0時，不等式即為﹣4x+8＞0，x＜2，②當a＞0時，原不等式即為（x﹣2）[x﹣（﹣2）]＞0，當a＞1時，x＞2或x＜﹣2，當a=1時，x≠2，當0＜a＜1時，x＞﹣2或x＜2，③當a＜0時，原不等式即為（x﹣2）[x﹣（﹣2）]，即﹣2＜x＜2，∴當a＜0時不等式的解集為（﹣2，2），當a=0時，不等式的解集為（﹣∞，2），當1＞a＞0時，原不等式解集為（﹣2，+∞）∪（﹣∞，2）當a=1時，原不等式解集為（x|x≠2，x∈R}，當a＞1時，原不等式解集為（2，+∞）∪（﹣∞，﹣2）略21.已知圓O：，直線.（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB=時，求k的值.（2）若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點；（3）若EF、GH為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值.參考答案：（1）∵∠AOB=，∴點O到l的距離

………2分∴=·

………4分（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設.其方程為：即

又C、D在圓O：上∴

即

………7分由

得

∴直線CD過定點

………9分（3）設圓心Ogc直線EF、GH的距離分別為.則

………11分∴

∴當且僅當即時，取“=”∴四邊形EGFH的面積的最大值為.