四年級下冊數(shù)學競賽試題第01講-從洛書到幻方（人教版）含詳解

第第頁第一講從洛書到幻方492357816大家仔細觀察一下右側這個3行3列的數(shù)陣圖，很快就會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：它的每行、每列以及每條對角線上492357816幻方有大有小，剛才的這個幻方是3行3列的，因此也叫做三階幻方；如果幻方是4行4列的，我們就稱之為四階幻方；至于五階、六階幻方的含義依此類推．右圖是一個基本三階幻方，其實任意一個三階幻方都是可以由它變化而來的．比如用2至10構建一個三階幻方，那么只需要把基本三階幻方中的每一個數(shù)都加1即可；又如用2，4，6，…，16，18構建一個三階幻方，那么只需要把基本三階幻方中的每一個數(shù)都乘2即可．因此，學會構建三階幻方的方法，我們就可以很輕松地構建無數(shù)個三階幻方．我們先來學習一種很快構建三階幻方的方法．我國古代的數(shù)學家概括其構建方法為：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維突出”．如下圖所示：1和9對調(diào)1和9對調(diào)3和7對調(diào)12345678999274563814、2、8、6分別往外拉9927456381例題1用3，6，9，…，24，27這9個數(shù)構建一個三階幻方．「分析」用3，6，9，…，24，27構建三階幻方與用1~9構建三階幻方有什么聯(lián)系呢？

練習1用7，14，21，…，56，63這9個數(shù)構建一個三階幻方．下面我們來學習一般幻方的填法，包括三階、四階、五階或更高階幻方．例題2712142712142131116109「分析」每行、每列、每條對角線上所填數(shù)之和都相等，你能算出這個和是多少嗎？練習2712&495163811在右圖的方格表中填入恰當?shù)臄?shù)，使得每行、每列、每條對角線上的所填數(shù)之和都相等．那么“&”處所填的數(shù)是多少？8★A75有些時候一開始幻和是求不出來的，這個時候需要利用一類基本的數(shù)學思想——比較法來推導．如右圖三階幻方，我們?nèi)〕鲇泄哺瘢ā铮┑囊恍幸涣校捎谛泻团c列和相同，因此去掉“★”公共格后，剩下數(shù)的和仍然相同．也就是說，因此A就等于6．這種方法我們稱之為比較法，通過對有公共格的兩條直線進行比較分析，可以確定一些未知的空格．8★A75例題3請完成圖中的三階幻方：6358「分析」利用題目中已填的數(shù)是無法直接算出幻和的，可以利用“比較法”填出一些數(shù)，進而計算幻和嗎？練習3請完成圖中的三階幻方：141411722（1）幻和等于幻方中心方格內(nèi)所填數(shù)的3倍，如右圖所示，即幻和；（2）所有經(jīng)過中心方格的行、列或?qū)蔷€上的三個數(shù)，均構成等差數(shù)列；（3）位置如a、b、c所示的三個格子滿足如下關系：．492492357816（1）幻和等于；（2）4、5、6，2、5、8，9、5、1，3、5、7均成等差數(shù)列；（3），，，．利用以上的幾個性質(zhì)，就可以非?？旖莸靥畛鲇锌杖钡娜A幻方．例題4（1）請完成左下圖中的三階幻方．（2）在右下圖中的每個空格內(nèi)填入一個數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的3個方格中的各數(shù)之和都等于27．「分析」嘗試用一下三階幻方重要性質(zhì)解決問題吧！

練習4（1）請完成左下圖中的三階幻方．（2）已知右下圖這個幻方的幻和等于30，這個幻方中最大的數(shù)字是多少？711711796歐拉幻方如圖是一個歐拉幻方，它的每行或每列數(shù)之和為260，半行或半列之和為130．更妙的是一個國際象棋中的馬可以按照它的步法依正整數(shù)順序從1走到64．114831503316631830514636219143547249321534176452294452061361354425569402160285384124571237436552639105922542742758233811例題59378238468423087在圖中的每個空格內(nèi)填入一個數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的5個方格中的各數(shù)之和都相等．「分析」試著找一下交叉的兩個幻和，能否應用“比較法”填出一些格子，進而計算出幻和呢？

比較法就是通過對兩條有公共部分的直線進行幻和的比較，從而求出幻方中的一些未知數(shù)．這個方法不僅適用于幻方，也適用于一些與幻方類似（相等和數(shù)）的數(shù)陣圖問題．所以比較法在數(shù)學學習中是一種很重要的數(shù)學思想和解題方法．例題6319將319「分析」在填寫幻方時，我們常常找有公共方格的兩條直線進行比較分析，本題我們也可以用類似的方法．課堂內(nèi)外神秘的洛書相傳在我國遠古的伏羲氏時代，有一匹龍馬游于黃河，馬背上負有一幅奇妙的圖案，這就是所謂的《河圖》．有一只神龜出沒于洛水，龜殼上有一些神秘的符號，這就是所謂的《洛書》．伏羲氏知道后，就按照《河圖》、《洛書》編制八卦，用以推算歷法，預測吉兇等．在我國的古籍《周易》、《尚書》、《論語》中都有關于《河圖》、《洛書》的記載．《周易》的系辭篇里是這樣記載的：“河出圖，洛出書，圣人則之．”這與上述傳說頗相吻合．也許這一記載正是上述傳說的來源或記錄吧！明朝的程大位也曾說：“數(shù)何肇自圖書乎，伏羲氏得之以畫卦，大禹得之以序疇，列圣得之以開物．”意思是說：“數(shù)起源于什么？它起源于河圖、洛書嗎？伏羲氏得到它后，用它繪制出八卦；大禹得到它后，用客觀存在來規(guī)劃田疇，其客觀存在圣賢得到后，用來開發(fā)物產(chǎn)．”那么，河圖究竟是一個什么樣的圖案，洛書究竟是一些什么樣的書寫符號呢？這在《周易》、《論語》這些典籍中都沒有記載．直到宋代，朱熹經(jīng)解《周易》時，曾派他手下的學者蔡元定去四川，用高價才在民間收購到了華山道士搏傳出的《太極圖》、《河圖》、《洛書》等．其中《太極圖》與現(xiàn)在流傳的太極圖相同，而《河圖》《洛書》則是由一些圓圈點構成的圖形，洛書的形狀如左下圖所示．這與公元前一世紀時我國漢代的《大戴禮》一書中的九宮圖相合．所謂九宮，就是將一個正方形用兩組與邊平行的分割線，每組兩條，分割成的九個小正方格．每個小方格分別填入從1到9這九個自然數(shù)中的其中一個，不同的方格填入的數(shù)不同，使得三橫行中每一橫行三個數(shù)的和（叫行和），三縱列中每一縱列三個數(shù)的和（叫列和），兩條對角線中每一條對角線上三個數(shù)的和（叫對角和）都相等，等于．這樣得到的圖就叫九宮圖．與洛書相應的九宮圖如右下圖所示．作業(yè)用2、4、6、8、10、12、14、16、18這9個數(shù)構建一個三階幻方．

請將1~16填入圖中16個方格中，使得每行、每列及兩條對角線上的各數(shù)之和都相等．現(xiàn)在已經(jīng)填入了一些數(shù)，請補全這個幻方．

33164127713118請補全下面的三階幻方．

11271811271836已知下面這個幻方的幻和等于21，請補完這個三階幻方．

36將4、6、8、9、10、12、13、14、17填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每條直線上的數(shù)之和都相等．

44614☆第一講從洛書到幻方例題112276122769152124318×3詳解：這9個數(shù)由1~9這9個數(shù)乘3得到，因此可根據(jù)基本三階幻方的構建方法，將每個數(shù)乘3即可（如右上圖）．

例題2712171211421381116310596154詳解：由第1列可知幻和為，由于每行、每列、每條對角線上和相等，只要某行、某列、某條對角線有三個已知數(shù)，就可計算出另一個空格，如第1行第3個數(shù)為，其他空格依次類推．

例題3答案：

4477963558詳解：通過比較第1列和第2行，發(fā)現(xiàn)左上角的數(shù)是4，這時幻和就可以通過斜對角線求出來是18．

例題4答案29472947536181210529161386詳解：

（1）中間數(shù)是5，幻和就是15，接下來可根據(jù)幻和來填其它數(shù)．

（2）根據(jù)幻和是27，可填出幻方中心的數(shù)是9，其他可根據(jù)幻和依次填出．例題5291291104378265384684923830879a378238468423b087詳解：如右上圖，粗線圈圈出的第二行和第五列有公共格，因此可知；細線圈圈出的第五行和第二列有公共格，因此，由此可知對角線上五個數(shù)為8、4、8、2、4，和為26，因此幻和為26，可結合比較法和幻和填出剩下的空格．例題6103110319576112931詳解：使用比較法，右上圖中，粗線圈圈出的兩條直線有公共格，因此，可知a比b大8，則a、b可以是11、3，10、2，9、1，其中1、3、9都出現(xiàn)過，因此a、b只能是10、2．右上圖中，細線圈出的兩條直線也有公共格，因此，可知d比c大2，c、d不能是1、2、3、9、10，因此只能是5、7．剩下兩個格也可通過比較法確定．練習1詳解：可根據(jù)基本三階幻方的構建方法，將每個數(shù)乘7即可．

11411471215496105163811213答案：15

詳解：通過對角線可知幻和為34，從而可依次填出其他數(shù)，如右圖所示．

練習3答案：

141411293318372522簡答：通過比較第1行和斜對角線，發(fā)現(xiàn)中間數(shù)是18，這時幻和就可以通過斜對角線求出來是54．練習4答案：

7128109712810981061112711910119138簡答：

（1）中間數(shù)是9，幻和就是27，接下來可根據(jù)幻和來填其它數(shù)．

（2）根據(jù)幻和是30，可填出幻方中心的數(shù)是10，其他可根據(jù)幻和依次填出．作業(yè)1答案：

16212616212610148184簡答：由1~9基本三階幻方得來．作業(yè)2316510694316510694151277141132118簡答：根據(jù)1~16的總和，能夠算出幻和為，其它根據(jù)幻和可以一一填出．作業(yè)3答案：

1122273