四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第09講-排列組合公式（人教版）含詳解

第第頁(yè)第九講排列組合公式開(kāi)篇漫畫(huà)中，小高要想說(shuō)對(duì)口訣還真不容易！我們學(xué)過(guò)乘法原理，口訣第一個(gè)字有6種說(shuō)法，第二個(gè)字有5種說(shuō)法，依此類(lèi)推，口訣這六個(gè)字有種排法．我們也可以這樣理解：只有把口訣這六個(gè)字按照正確的順序排列好，才能練成高思神掌．把六個(gè)字排成一列，就是我們這一講要學(xué)習(xí)的排列．排列公式：從m個(gè)不同的元素中取出n個(gè)（），并按照一定的順序排成一列，其方法數(shù)叫做從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)的排列數(shù)，記作，它的計(jì)算方法如下：從從m開(kāi)始遞減地連乘n個(gè)數(shù)比如，從1、2、3、4中挑兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，十位上有1、2、3、4這4種選擇，十位選定后，個(gè)位可以從剩下的三個(gè)數(shù)字中選，有3種選擇．根據(jù)乘法原理可以知道，這樣的兩位數(shù)有個(gè)．我們也可以這樣理解，要組成兩位數(shù)相當(dāng)于從1、2、3、4中挑兩個(gè)數(shù)字排成一行，有種排法，所以這樣的兩位數(shù)有12個(gè)．關(guān)于排列數(shù)的計(jì)算，再給大家舉幾個(gè)例子：（從5開(kāi)始遞減地連乘4個(gè)數(shù)）；（從8開(kāi)始遞減地連乘3個(gè)數(shù)）；（從100開(kāi)始遞減地連乘1個(gè)數(shù)）．例題1計(jì)算：（1）；（2）；（3）．「分析」直接用公式計(jì)算，主要要從幾開(kāi)始乘，連乘幾個(gè)數(shù)．

練習(xí)1計(jì)算：（1）；（2）．

生活中的許多問(wèn)題其實(shí)就是排列問(wèn)題．例如，你回家后，發(fā)現(xiàn)桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一顆，你會(huì)按照什么順序來(lái)吃這三種糖？先吃哪個(gè)再吃哪個(gè)，有多少種方式呢？這其實(shí)就是一個(gè)排列問(wèn)題．例題2小高、墨莫、卡莉婭和宣萱四個(gè)人到野外郊游，其中三個(gè)人站成一排，另外一個(gè)人拍照，請(qǐng)問(wèn)：一共會(huì)有多少?gòu)埐煌恼掌?？「分析」本題要站成一排，順序有沒(méi)有影響？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一張還是兩張不同的照片？練習(xí)2有5面不同顏色的小旗，任取3面排成一行表示一種信號(hào)，一共可以表示出多少種不同的信號(hào)？拍聚會(huì)照趙項(xiàng)和童學(xué)是好朋友．一天，童學(xué)的父母帶著童學(xué)和趙項(xiàng)出去游玩．趙項(xiàng)酷愛(ài)攝影，提出要給童學(xué)拍全家福，童學(xué)一家以為只拍一張照片，就同意了．結(jié)果趙項(xiàng)要求童學(xué)一家在6個(gè)不同景點(diǎn)，按照“爸爸、童學(xué)、媽媽”、“媽媽、童學(xué)、爸爸”等6種排列方式全拍一遍，且每次拍照時(shí)每個(gè)人的動(dòng)作都不一樣．童學(xué)一家非常厭煩，但既然同意拍照了就只能硬著頭皮拍完這6張照片．一個(gè)月之后，班里有十人左右的同學(xué)聚會(huì)．童學(xué)說(shuō)：“咱們讓趙項(xiàng)來(lái)拍聚會(huì)照吧！”同學(xué)們應(yīng)聲附和，趙項(xiàng)一聽(tīng)，撒腿就跑，心想：“還不得累死我?。　迸c排列問(wèn)題相對(duì)，生活中也存在著許多不需要排序的問(wèn)題．例如，開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)了，老師要選出一部分同學(xué)組成拉拉隊(duì)，那么從全班同學(xué)中選出的這部分人有多少種可能呢？從全班同學(xué)中選出的這部分人，并不需要進(jìn)行排序，這其實(shí)就是一個(gè)組合問(wèn)題．比如，要從1、2、3、4中挑兩個(gè)不同的數(shù)，這時(shí)挑出1、2與挑出2、1都是一樣的，挑出1、3與挑出3、1也是一樣的．換句話(huà)說(shuō)，能組成的兩位數(shù)有個(gè)，但每?jī)蓚€(gè)數(shù)字可以對(duì)應(yīng)個(gè)兩位數(shù)，在這里只算作同一種挑法．因此，只是從1、2、3、4中挑兩個(gè)數(shù)而不考慮順序，有種方法．這就是組合公式的來(lái)由．組合公式：從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)（）作為一組（不計(jì)順序），可選擇的方法數(shù)叫做從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)不同的組合數(shù)，記作，它的計(jì)算方法如下：．給大家舉幾個(gè)例子：從5個(gè)不同的元素中取出2個(gè)作為一組，有種不同的方法；從5個(gè)不同的元素中取出3個(gè)作為一組，有種不同的方法．例題3計(jì)算：（1）；（2）；（3），；（4），．「分析」直接用公式計(jì)算，注意公式里每個(gè)數(shù)字的含義．練習(xí)3計(jì)算：（1）；（2）；（3）．例題4墨爺爺把10張不同的游戲卡分給墨莫和小高，并且決定給墨莫7張，給小高3張，一共有多少種不同的分法？「分析」從10張中取出7張給墨莫，這7張的順序是否有影響呢？應(yīng)該是排列數(shù)還是組合數(shù)呢？

練習(xí)4阿呆和阿瓜一起去圖書(shū)館借童話(huà)小說(shuō)，發(fā)現(xiàn)書(shū)架上只剩下6本不同的書(shū)，于是每人借了3本，那么他們一共有多少種不同的借法？例題5從1~5這5個(gè)數(shù)字中選出4個(gè)數(shù)字（不能重復(fù)）組成四位數(shù)，共能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？千位是1的四位數(shù)有多少個(gè)？其中比3000小的有多少個(gè)？「分析」組4位數(shù)，其實(shí)是要從5個(gè)數(shù)字中選4個(gè)排成一排，如果用排列進(jìn)行計(jì)算？千位是多少的數(shù)肯定比3000小？

例題6有3個(gè)人去圖書(shū)館借漫畫(huà)書(shū)，發(fā)現(xiàn)書(shū)架上只剩下8本不同的書(shū)．于是有1個(gè)人借了2本書(shū)，另外2個(gè)人每人借了3本書(shū)，那么他們一共有多少種不同的借法？「分析」我們不妨分步考慮：先讓1個(gè)人借2本，然后再讓1個(gè)人借3本，最后一個(gè)人借剩下的3本，那么一共有多少種情況呢？每一步改用排列還是組合呢？課堂內(nèi)外古典小說(shuō)中的排列組合一般認(rèn)為，中國(guó)古代社會(huì)科學(xué)發(fā)達(dá)，而自然科學(xué)和數(shù)學(xué)則相對(duì)落后．不過(guò)說(shuō)中國(guó)古代數(shù)學(xué)落后，也不盡然，像數(shù)學(xué)中的“排列組合學(xué)”就發(fā)達(dá)得很，甚至滲透到社會(huì)各個(gè)層面．譬如，古人很早就總結(jié)出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，沒(méi)有高明的排列組合知識(shí)，怎能將這些東西捏在一起？在日常生活中，尤其是飯局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能亂坐一氣的，讓那些習(xí)慣了圓桌會(huì)議的外國(guó)友人頭疼不已．在中國(guó)古典小說(shuō)中，這種“排列組合學(xué)”也是隨處可見(jiàn)．在《三國(guó)演義》中，這種數(shù)學(xué)還不甚發(fā)達(dá)．也就是說(shuō)劉備陣營(yíng)有五虎大將，曹營(yíng)有四大謀士等等．不過(guò)民間倒是對(duì)演義里的戰(zhàn)將武功有一個(gè)排名．“一呂二趙三典韋，四關(guān)五馬六張飛，七許八夏九姜維”．沒(méi)辦法，國(guó)人就是對(duì)這種排列組合異常著迷．在許多歷史和公案小說(shuō)中，這種數(shù)學(xué)到了令人眼花繚亂的地步．小說(shuō)《隋唐演義》在這方面可以說(shuō)是登峰造極．由于版本眾多，各種說(shuō)法也是熱鬧紛紜得很，大致有“一王三絕四猛十三杰十八條好漢”這樣一個(gè)“超強(qiáng)戰(zhàn)斗序列”．除了這樣的武功排名的排列組合，在古典小說(shuō)中還有其他的樣式．像《封神演義》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，計(jì)有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星惡煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帥、四大天王等等，將一個(gè)天上一個(gè)地下給安排得滴水不漏、井井有條，卻惟獨(dú)忘了給自己留個(gè)位置．《西游記》中也有“七十二般變化”、“三十六般變化”、“九九八十一難”，看來(lái)吳承恩老先生的乘法表學(xué)得不錯(cuò)，值得表?yè)P(yáng)．《紅樓夢(mèng)》里則有四大家族、金陵十二釵、副釵、又副釵等等，也是洋洋大觀．作業(yè)1. 計(jì)算：（1）；（2）．2. 計(jì)算：（1）；（2）；（3）．3. 海軍艦艇之間經(jīng)常用旗語(yǔ)來(lái)互相聯(lián)絡(luò)，方式是這樣的：在旗桿上從上至下升起3面顏色不同的旗幟，每一種排列方式就代表一個(gè)常用信號(hào)，如果共有6種不同顏色的旗幟，那么可以組成多少種不同的信號(hào)？4. 要從海淀區(qū)少年游泳隊(duì)的8名隊(duì)員中挑選3名參加全國(guó)的游泳比賽，有多少種不同的選法？5． 從3、4、5、6、7這5個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字（不能重復(fù)）組成三位數(shù)，共能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？635是從小到大的第幾個(gè)數(shù)？第九講排列組合公式例題1答案：12；5040；270詳解：（1）；（2）；

（3）．例題2答案：24詳解：從4個(gè)人中選3人出來(lái)排列，．例題3答案：10；30；5，5；120，120詳解：（1）；

（2）；

（3）；

（4），

例題4答案：120詳解：種分法．例題5答案：120；24；48詳解：（1）；（2）；

（3）比3000小的有1開(kāi)頭和2開(kāi)頭的，1千多的數(shù)和2千多的數(shù)一樣多，共有．例題6答案：560詳解：種．練習(xí)1答案：210；40簡(jiǎn)答：（1）；（2）．練習(xí)2答案：60簡(jiǎn)答：．練習(xí)3答案：56；60；45簡(jiǎn)答：．（1）；

（2）；

（3）．練習(xí)4答案：20簡(jiǎn)答：種．作業(yè)1答案：20；2478簡(jiǎn)答：（1）；（2）．作業(yè)2答案：21；54；0簡(jiǎn)答：（1）；

（2）；

（3）．作業(yè)3答案：120簡(jiǎn)答：