四年級下冊數(shù)學競賽試題第09講-排列組合公式（人教版）含詳解

第第頁第九講排列組合公式開篇漫畫中，小高要想說對口訣還真不容易！我們學過乘法原理，口訣第一個字有6種說法，第二個字有5種說法，依此類推，口訣這六個字有種排法．我們也可以這樣理解：只有把口訣這六個字按照正確的順序排列好，才能練成高思神掌．把六個字排成一列，就是我們這一講要學習的排列．排列公式：從m個不同的元素中取出n個（），并按照一定的順序排成一列，其方法數(shù)叫做從m個不同元素中取出n個的排列數(shù)，記作，它的計算方法如下：從從m開始遞減地連乘n個數(shù)比如，從1、2、3、4中挑兩個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，十位上有1、2、3、4這4種選擇，十位選定后，個位可以從剩下的三個數(shù)字中選，有3種選擇．根據(jù)乘法原理可以知道，這樣的兩位數(shù)有個．我們也可以這樣理解，要組成兩位數(shù)相當于從1、2、3、4中挑兩個數(shù)字排成一行，有種排法，所以這樣的兩位數(shù)有12個．關于排列數(shù)的計算，再給大家舉幾個例子：（從5開始遞減地連乘4個數(shù)）；（從8開始遞減地連乘3個數(shù)）；（從100開始遞減地連乘1個數(shù)）．例題1計算：（1）；（2）；（3）．「分析」直接用公式計算，主要要從幾開始乘，連乘幾個數(shù)．

練習1計算：（1）；（2）．

生活中的許多問題其實就是排列問題．例如，你回家后，發(fā)現(xiàn)桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一顆，你會按照什么順序來吃這三種糖？先吃哪個再吃哪個，有多少種方式呢？這其實就是一個排列問題．例題2小高、墨莫、卡莉婭和宣萱四個人到野外郊游，其中三個人站成一排，另外一個人拍照，請問：一共會有多少張不同的照片？「分析」本題要站成一排，順序有沒有影響？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一張還是兩張不同的照片？練習2有5面不同顏色的小旗，任取3面排成一行表示一種信號，一共可以表示出多少種不同的信號？拍聚會照趙項和童學是好朋友．一天，童學的父母帶著童學和趙項出去游玩．趙項酷愛攝影，提出要給童學拍全家福，童學一家以為只拍一張照片，就同意了．結果趙項要求童學一家在6個不同景點，按照“爸爸、童學、媽媽”、“媽媽、童學、爸爸”等6種排列方式全拍一遍，且每次拍照時每個人的動作都不一樣．童學一家非常厭煩，但既然同意拍照了就只能硬著頭皮拍完這6張照片．一個月之后，班里有十人左右的同學聚會．童學說：“咱們讓趙項來拍聚會照吧！”同學們應聲附和，趙項一聽，撒腿就跑，心想：“還不得累死我啊！”與排列問題相對，生活中也存在著許多不需要排序的問題．例如，開運動會了，老師要選出一部分同學組成拉拉隊，那么從全班同學中選出的這部分人有多少種可能呢？從全班同學中選出的這部分人，并不需要進行排序，這其實就是一個組合問題．比如，要從1、2、3、4中挑兩個不同的數(shù)，這時挑出1、2與挑出2、1都是一樣的，挑出1、3與挑出3、1也是一樣的．換句話說，能組成的兩位數(shù)有個，但每兩個數(shù)字可以對應個兩位數(shù)，在這里只算作同一種挑法．因此，只是從1、2、3、4中挑兩個數(shù)而不考慮順序，有種方法．這就是組合公式的來由．組合公式：從m個不同元素中取出n個（）作為一組（不計順序），可選擇的方法數(shù)叫做從m個不同元素中取出n個不同的組合數(shù)，記作，它的計算方法如下：．給大家舉幾個例子：從5個不同的元素中取出2個作為一組，有種不同的方法；從5個不同的元素中取出3個作為一組，有種不同的方法．例題3計算：（1）；（2）；（3），；（4），．「分析」直接用公式計算，注意公式里每個數(shù)字的含義．練習3計算：（1）；（2）；（3）．例題4墨爺爺把10張不同的游戲卡分給墨莫和小高，并且決定給墨莫7張，給小高3張，一共有多少種不同的分法？「分析」從10張中取出7張給墨莫，這7張的順序是否有影響呢？應該是排列數(shù)還是組合數(shù)呢？

練習4阿呆和阿瓜一起去圖書館借童話小說，發(fā)現(xiàn)書架上只剩下6本不同的書，于是每人借了3本，那么他們一共有多少種不同的借法？例題5從1~5這5個數(shù)字中選出4個數(shù)字（不能重復）組成四位數(shù)，共能組成多少個不同的四位數(shù)？千位是1的四位數(shù)有多少個？其中比3000小的有多少個？「分析」組4位數(shù)，其實是要從5個數(shù)字中選4個排成一排，如果用排列進行計算？千位是多少的數(shù)肯定比3000小？

例題6有3個人去圖書館借漫畫書，發(fā)現(xiàn)書架上只剩下8本不同的書．于是有1個人借了2本書，另外2個人每人借了3本書，那么他們一共有多少種不同的借法？「分析」我們不妨分步考慮：先讓1個人借2本，然后再讓1個人借3本，最后一個人借剩下的3本，那么一共有多少種情況呢？每一步改用排列還是組合呢？課堂內(nèi)外古典小說中的排列組合一般認為，中國古代社會科學發(fā)達，而自然科學和數(shù)學則相對落后．不過說中國古代數(shù)學落后，也不盡然，像數(shù)學中的“排列組合學”就發(fā)達得很，甚至滲透到社會各個層面．譬如，古人很早就總結出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，沒有高明的排列組合知識，怎能將這些東西捏在一起？在日常生活中，尤其是飯局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能亂坐一氣的，讓那些習慣了圓桌會議的外國友人頭疼不已．在中國古典小說中，這種“排列組合學”也是隨處可見．在《三國演義》中，這種數(shù)學還不甚發(fā)達．也就是說劉備陣營有五虎大將，曹營有四大謀士等等．不過民間倒是對演義里的戰(zhàn)將武功有一個排名．“一呂二趙三典韋，四關五馬六張飛，七許八夏九姜維”．沒辦法，國人就是對這種排列組合異常著迷．在許多歷史和公案小說中，這種數(shù)學到了令人眼花繚亂的地步．小說《隋唐演義》在這方面可以說是登峰造極．由于版本眾多，各種說法也是熱鬧紛紜得很，大致有“一王三絕四猛十三杰十八條好漢”這樣一個“超強戰(zhàn)斗序列”．除了這樣的武功排名的排列組合，在古典小說中還有其他的樣式．像《封神演義》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，計有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星惡煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帥、四大天王等等，將一個天上一個地下給安排得滴水不漏、井井有條，卻惟獨忘了給自己留個位置．《西游記》中也有“七十二般變化”、“三十六般變化”、“九九八十一難”，看來吳承恩老先生的乘法表學得不錯，值得表揚．《紅樓夢》里則有四大家族、金陵十二釵、副釵、又副釵等等，也是洋洋大觀．作業(yè)1. 計算：（1）；（2）．2. 計算：（1）；（2）；（3）．3. 海軍艦艇之間經(jīng)常用旗語來互相聯(lián)絡，方式是這樣的：在旗桿上從上至下升起3面顏色不同的旗幟，每一種排列方式就代表一個常用信號，如果共有6種不同顏色的旗幟，那么可以組成多少種不同的信號？4. 要從海淀區(qū)少年游泳隊的8名隊員中挑選3名參加全國的游泳比賽，有多少種不同的選法？5． 從3、4、5、6、7這5個數(shù)字中選出3個數(shù)字（不能重復）組成三位數(shù)，共能組成多少個不同的三位數(shù)？635是從小到大的第幾個數(shù)？第九講排列組合公式例題1答案：12；5040；270詳解：（1）；（2）；

（3）．例題2答案：24詳解：從4個人中選3人出來排列，．例題3答案：10；30；5，5；120，120詳解：（1）；

（2）；

（3）；

（4），

例題4答案：120詳解：種分法．例題5答案：120；24；48詳解：（1）；（2）；

（3）比3000小的有1開頭和2開頭的，1千多的數(shù)和2千多的數(shù)一樣多，共有．例題6答案：560詳解：種．練習1答案：210；40簡答：（1）；（2）．練習2答案：60簡答：．練習3答案：56；60；45簡答：．（1）；

（2）；

（3）．練習4答案：20簡答：種．作業(yè)1答案：20；2478簡答：（1）；（2）．作業(yè)2答案：21；54；0簡答：（1）；

（2）；

（3）．作業(yè)3答案：120簡答：