2022年江蘇省 南京市 鼓樓區(qū)南京師范大學(xué)附屬中學(xué)特長(zhǎng)生選拔招生數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022年江蘇省南京師大附中特長(zhǎng)生選拔招生數(shù)學(xué)試卷一、解答題1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．3．解方程組．4．如圖△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，則∠EDC＝．5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD為∠BAC的平分線，則AD＝．6．方程的正整數(shù)解（x，y）有組．7．如圖，B，C的坐標(biāo)分別為（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M為△ABC的內(nèi)切圓，則M的橫坐標(biāo)為．8．在直角三角形中，三邊長(zhǎng)均為兩位正整數(shù)，其中一條直角邊長(zhǎng)的十位與個(gè)位交換位置后，數(shù)值等于斜邊長(zhǎng)．求斜邊的長(zhǎng)．9．已知．（其中x＞1）．（1），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求y的最大值．10．已知，b為a的小數(shù)部分的相反數(shù)，求a3+b3+18ab．11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整數(shù)解（x，y）．

2022年江蘇省南京師大附中特長(zhǎng)生選拔招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、解答題1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．【分析】首先補(bǔ)項(xiàng)，進(jìn)而利用十字相乘法以及提取公因式法分解因式得出即可．【解答】解：x3﹣2x2﹣5x+6＝x3﹣3x2+（x2﹣5x+6）＝x2（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣2）＝（x﹣3）（x2+x﹣2）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分組分解法因式分解，正確分組得出是解題關(guān)鍵．2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．【分析】根據(jù)得1﹣2x＝，則（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022，4x2﹣4x＝2021，將原式化為[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3，再整體代入即可求解．【解答】解：∵，∴＝，∴（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022，∴4x2﹣4x＝2021，∴原式＝[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）3＝（﹣1）3＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．3．解方程組．【分析】計(jì)算②+3×①，利用和的立方公式先求出x+y的值，再代入①得一元二次方程并求解，最后利用代入法求出另一個(gè)未知數(shù)的值..【解答】解：，②+3×①，得x3+3x2y+3xy2+y3＝﹣19+18．∴（x+y）3＝﹣1．∴x+y＝﹣1．由x+y＝﹣1得x＝﹣1﹣y③．把③代入①，得﹣（﹣1﹣y）×y＝6．∴y2+y﹣6＝0．解這個(gè)方程得y1＝﹣3，y2＝2．把y1＝﹣3，y2＝2代入③，得x1＝2，x2＝﹣3．∴原方程組的解為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程，掌握和的立方公式、一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵4．如圖△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，則∠EDC＝20°．【分析】可以設(shè)∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y(tǒng)，根據(jù)∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，從而求解．【解答】解：設(shè)∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y(tǒng)，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因?yàn)锳D＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，則∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因?yàn)椤螦DC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y(tǒng)+40，解得x＝20，所以∠EDC的度數(shù)是20°．故答案為20°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．正確確定相等關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD為∠BAC的平分線，則AD＝．【分析】過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DE＝AD，CF＝AC＝，再由銳角三角函數(shù)定義得CG＝1，然后由S△ABD+S△ACD＝S△ABC得出AB?DE+AD?CF＝AB?CG，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，則∠DEA＝∠CFA＝∠CGA＝90°，∵∠BAC＝60°，AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴DE＝AD，CF＝AC＝×＝，在Rt△ACG中，sin∠GAC＝＝sin60°＝，∴CG＝AC＝×＝1，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴AB?DE+AD?CF＝AB?CG，∴AB?DE+AD?CF＝AB?CG，即×AD+AD＝×1，解得：AD＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．6．方程的正整數(shù)解（x，y）有3組．【分析】利用已知條件將方程變形整理為（x+8）（y﹣8）＝﹣64，分析兩數(shù)相乘所有的可能，找出符合題意的解的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵，去分母得：8y+xy＝8x，∴（x+8）（y﹣8）＝﹣64，又∵x與y是正整數(shù)，兩整數(shù)之積為﹣64，∴存在三種情況：①，解得：；②，解得：；③，解得：．故方程的正整數(shù)解（x，y）有3組．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非一次不定方程（組），解答本題的關(guān)鍵是將方程整理為整式方程后再進(jìn)行分析解決，在解這類方程組，要認(rèn)真分析題中各個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解，難度較大．7．如圖，B，C的坐標(biāo)分別為（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M為△ABC的內(nèi)切圓，則M的橫坐標(biāo)為3．【分析】由切線長(zhǎng)定理推出BD﹣DC＝6，而B(niǎo)D+CD＝10，即可求出OD長(zhǎng)，于是即可得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【解答】解：⊙M為△ABC的內(nèi)切圓，分別與AB，AC，BC相切于P，N，D，連接MD，∴AP＝AN，PB＝BD，CD＝CN，MD⊥BC，∵AB﹣AC＝6，∴AP+BP﹣（AN+NC）＝6，∴BP﹣CN＝6，∴BD﹣CD＝6，∵B，C的坐標(biāo)分別為（﹣5，0）和（5，0），∴OB＝OC＝5，∴BD+CD＝OB+OC＝10，∴CD＝5﹣3，∴OD＝OC﹣CD＝5﹣（5﹣3）＝3，∴M的橫坐標(biāo)是3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的切線長(zhǎng)定理．8．在直角三角形中，三邊長(zhǎng)均為兩位正整數(shù)，其中一條直角邊長(zhǎng)的十位與個(gè)位交換位置后，數(shù)值等于斜邊長(zhǎng)．求斜邊的長(zhǎng)．【分析】設(shè)斜邊為10a+b，則有一直角邊為10b+a，設(shè)另一直角邊為m，其中a，b為一位正整數(shù)，m為兩位正整數(shù)，然后由勾股定理得出m＝32×11（a+b）（a﹣b），再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出a，b的值即可．【解答】解：設(shè)斜邊為10a+b，則有一直角邊為10b+a，設(shè)另一直角邊為m，其中a，b為一位正整數(shù)，m為兩位正整數(shù)，顯然a＞b，由勾股定理得，m2＝（10a+b）2﹣（10b+a）2＝（11a+11b）（9a﹣9b）＝32×11（a+b）（a﹣b），由3≤a+b≤17，1≤a﹣b≤8，可知（奇偶性要相同），解得，∴斜邊的長(zhǎng)為65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，關(guān)鍵是三角形三邊之間的關(guān)系確定a，b的值．9．已知．（其中x＞1）．（1），求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求y的最大值．【分析】（1）將原式的分子和分母中的括號(hào)去掉，分子分母再同時(shí)除以x2得，分母再根據(jù)配方法得，最后將用t替換即可解答；（2）根據(jù)基本不等式得≥＝20，以此即可求得y的最大值．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝，∵，x＞1，∴（t＞0）；（2）∵＝（t＞0），∴≥＝20，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)等號(hào)成立，∴y≤，即y的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用、函數(shù)關(guān)系式、基本不等式，熟練掌握a+b（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)（a＞0，b＞0）是解題關(guān)鍵．10．已知，b為a的小數(shù)部分的相反數(shù)，求a3+b3+18ab．【分析】先將a進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算，從而確定a與b之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決此題．【解答】解：＝．∵6＜，∴6＜a＜7．∴a的小數(shù)部分是a﹣6．∴b＝6﹣a．∴a+b＝6．∴a3+b3+18ab＝（a+b）3﹣3ab（a+b）+18ab＝63﹣18ab+18ab＝216．【點(diǎn)評(píng)】本題主考查分母有理化、無(wú)理數(shù)的估算、代數(shù)式求值，熟練掌握分母有理化、無(wú)理數(shù)的估算是解決本題的關(guān)鍵．11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整數(shù)解（x，y）．【分析】將方程變形為（x+2y+1）（x+7y+1）＝11，根據(jù)整數(shù)解的定義可得方程組或或或，解方程組即可．【解答】解：x2+9xy+14y