蘇科版 八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題 第9章中心對稱圖形-平行四邊形單元測試（基礎過關(guān)卷）（原卷版+解析）

【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】第9章中心對稱圖形—平行四邊形單元測試（基礎過關(guān)卷）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?常州期中）下列是四屆冬奧會會徽的部分圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A．B． C．D．2．(2023春?泰州月考）如圖，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，F(xiàn)是CB延長線上一點，△ADE≌△ABF，則可把△ABF看作是以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ADE（）A．順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形 B．順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到的圖形 C．逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形 D．逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到的圖形3．(2023秋?北碚區(qū)校級期末）下列說法不正確的是（）A．平行四邊形兩組對邊分別平行 B．平行四邊形的對角線互相平分 C．平行四邊形的對角互補，鄰角相等 D．平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等4．(2023春?如皋市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝110°，則∠D的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．110° D．120°5．(2023春?崇川區(qū)期中）如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A，B間的距離，在地面上確定點O，分別取OA，OB的中點C，D，量得CD＝10m，則A，B之間的距離是（）A．5m B．10m C．20m D．40m6．(2023春?張家港市校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上不同的兩點，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF7．(2023春?邗江區(qū)期末）如圖，點E，F(xiàn)在菱形ABCD的對角線AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED與BF的延長線交于點M．則對于以下結(jié)論：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．(2023春?張家港市校級月考）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．(2023秋?崇川區(qū)校級月考）以下圖形中：①線段；②等邊三角形；③矩形；④菱形；中心對稱圖形有（填序號）．10．(2023春?廣陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E，F(xiàn)，D分別是AB，BC，CA的中點，若CE＝5，則線段DF的長是．11．(2023秋?海安市期中）如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)58°得到△ADE，點C落在DE邊上，則∠B的度數(shù)是．12．(2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD＝14，AB＝4．則△OCD的周長為．13．(2023秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊向外作等邊△CDE，則∠AEC＝°．14．(2023春?張家港市校級月考）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點M為對角線BD上一動點，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為．15．(2023春?靖江市期中）如圖，四邊形ABCD是個活動框架，對角線AC、BD是兩根皮筋．如果扭動這個框架（BC位置不變），當扭動到∠A'BC＝90°時四邊形A'BCD'是個矩形，A'C和BD'相交于點O．如果四邊形OD'DC為菱形，則∠A'CB＝°．16．(2023春?靖江市校級月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，則四邊形BDFG的周長為．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(2023春?江陰市校級月考）如圖所示，已知線AB和點P，求作平行四邊形ABCD，使點P是它的對稱中心．18．(2023秋?泗洪縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．（1）AB＝6，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；（2）EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．19．(2023春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A'B'C'；（2）將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應的△A''B''C''，并寫出點B''的坐標．20．(2023?泉山區(qū)校級三模）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD的延長線上，BE＝DF，連接EF，分別交BC、AD于G、H．求證：EG＝FH．21．(2023春?鎮(zhèn)江期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長線交于點E，DE交AB于F．（1）求證：BC＝BE；（2）連接CF，若∠FDA＝∠FCB，判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由．22．(2023?亭湖區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點D是BC邊的中點，點F，E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE，連接BF，CE．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形．（2）當△ABC滿足條件時，四邊形BECF為菱形．（填寫序號）①AB＝AC．②∠BAC＝90°，③AB＝BC，④∠BCA＝90°．23．(2023?連云港模擬）如圖，在?ABCD的紙片中，AC⊥AB，AC與BD相交于點O，將△ABC沿對角線AC翻轉(zhuǎn)180°，得到△AB′C．（1）求證：四邊形ACDB'為矩形．（2）若四邊形ABCD的面積S＝12cm2，求翻轉(zhuǎn)后紙片重疊部分△ACE的面積．24．(2023秋?溧陽市期中）已知：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、AD上，CE＝CD＝1，∠EFB＝∠FBC．（1）求DF的長；（2）若點E、F分別在邊DC、AD的延長線上（如圖2），且上述條件不變，請你求出DF的長．【拔尖特訓】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題第9章中心對稱圖形—平行四邊形單元測試（基礎過關(guān)卷）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?常州期中）下列是四屆冬奧會會徽的部分圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：A．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．2．(2023春?泰州月考）如圖，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，F(xiàn)是CB延長線上一點，△ADE≌△ABF，則可把△ABF看作是以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ADE（）A．順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形 B．順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到的圖形 C．逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形 D．逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到的圖形【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，F(xiàn)是CB延長線上一點，△ADE≌△ABF，∴可把△ABF看作是以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形，故選：A．3．(2023秋?北碚區(qū)校級期末）下列說法不正確的是（）A．平行四邊形兩組對邊分別平行 B．平行四邊形的對角線互相平分 C．平行四邊形的對角互補，鄰角相等 D．平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、平行四邊形兩組對邊分別平行，說法正確，不符合題意；B、平行四邊形的對角線互相平分，說法正確，不符合題意；C、平行四邊形的對角相等，鄰角互補，說法錯誤，符合題意；D、平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等，說法正確，不符合題意；故選：C．4．(2023春?如皋市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝110°，則∠D的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．110° D．120°【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠A+∠D＝180°，即可求出答案．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝110°，∴∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，故選：A．5．(2023春?崇川區(qū)期中）如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A，B間的距離，在地面上確定點O，分別取OA，OB的中點C，D，量得CD＝10m，則A，B之間的距離是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵點C，D分別是OA，OB的中點，∴AB＝2CD＝20（m），故選：C．6．(2023春?張家港市校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上不同的兩點，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF【分析】由平行四邊形的性質(zhì)或全等三角形的判定與性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、連接AC，交BD于O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、由AE＝CF不能判定四邊形AECF一定是平行四邊形，故選項B符合題意；C、∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，∴∠AFD＝∠CEB，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：B．7．(2023春?邗江區(qū)期末）如圖，點E，F(xiàn)在菱形ABCD的對角線AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED與BF的延長線交于點M．則對于以下結(jié)論：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】先由菱形的性質(zhì)得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠BFE＝80°，則∠EBF＝50°，然后證△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，進而得出①正確；由SAS證△ADE≌△ABE，得②正確；證出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正確；連接BD交AC于O，由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，再由直角三角形的性質(zhì)得OD＝CD＝BC，OC＝OD，則OC＝BC，進而得出④正確即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝30°，∵∠BFE＝∠BCE+∠CBF＝30°+50°＝80°，∴∠EBF＝180°﹣∠BEC﹣∠BFE＝180°﹣50°﹣80°＝50°，在△CDE和△CBE中，，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴∠DEC＝∠BEC＝50°，∴∠BEM＝∠DEC+∠BEC＝100°，∴∠BME＝180°﹣∠BEM﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故①正確；在△ADE和△ABE中，，∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正確；∵∠EBC＝∠EBF+∠CBF＝100°，∴∠BEM＝∠EBC，在△BEM和△EBC中，，∴△BEM≌△EBC（AAS），∴BM＝EC，EM＝BC，故③正確；正確結(jié)論的個數(shù)是3個，故選：D．8．(2023春?張家港市校級月考）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C． D．【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD＝，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案．【解答】解：連接PO，∵矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．(2023秋?崇川區(qū)校級月考）以下圖形中：①線段；②等邊三角形；③矩形；④菱形；中心對稱圖形有①③④（填序號）．【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【解答】解：等邊三角形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．線段、矩形、菱形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故答案為：①③④．10．(2023春?廣陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E，F(xiàn)，D分別是AB，BC，CA的中點，若CE＝5，則線段DF的長是5．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)三角形中位線定理求出DF．【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是AB的中點，∴AB＝2CE＝10，∵D、F分別是AC、BC的中點，∴DF＝AB＝5，故答案為：5．11．(2023秋?海安市期中）如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)58°得到△ADE，點C落在DE邊上，則∠B的度數(shù)是29°．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EAC＝∠DAB＝58°，∠BAC＝∠DAE＝90°，AE＝AC，∠B＝∠D，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)，即可求解．【解答】解：∵將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)58°得到△ADE，∴∠EAC＝∠DAB＝58°，∠BAC＝∠DAE＝90°，AE＝AC，∠B＝∠D，∴∠E＝∠ACE＝61°，∴∠D＝29°＝∠B，故答案為：29°．12．(2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD＝14，AB＝4．則△OCD的周長為11．【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，求出OC+OD即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，∵AC+BD＝14，∴CO+DO＝7，∵AB＝CD＝4，∴△OCD的周長為OD+OC+CD＝7+4＝11．故答案為：11．13．(2023秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊向外作等邊△CDE，則∠AEC＝45°．【分析】根據(jù)題意知△ADE是等腰三角形，且∠ADE＝90°+60°＝150°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)可求出底角∠AED的度數(shù)，然后利用等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．故答案為：45．14．(2023春?張家港市校級月考）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點M為對角線BD上一動點，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為2．【分析】連接MC，證出四邊形MECF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出EF＝MC，當MC⊥BD時，MC取得最小值，此時△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝2，即可得出結(jié)果．【解答】解：連接MC，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四邊形MECF為矩形，∴EF＝MC，當MC⊥BD時，MC取得最小值，此時△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝2，∴EF的最小值為2；故答案為：2．15．(2023春?靖江市期中）如圖，四邊形ABCD是個活動框架，對角線AC、BD是兩根皮筋．如果扭動這個框架（BC位置不變），當扭動到∠A'BC＝90°時四邊形A'BCD'是個矩形，A'C和BD'相交于點O．如果四邊形OD'DC為菱形，則∠A'CB＝30°．【分析】由題意得，CD′＝CD，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到DD′＝CD，推出△CDD′是等邊三角形，求得∠D′CO＝60°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BCD′＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】解：由題意得，CD′＝CD，∵四邊形OD'DC為菱形，∴DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等邊三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°，∵四邊形A'BCD'是個矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A'CB＝30°，故答案為：30．16．(2023春?靖江市校級月考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，則四邊形BDFG的周長為20．【分析】首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD＝FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，設GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點D是AC中點，∴BD＝DF＝AC，∴四邊形BGFD是菱形，設GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，故四邊形BDFG的周長＝4GF＝20．故答案為：20．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(2023春?江陰市校級月考）如圖所示，已知線AB和點P，求作平行四邊形ABCD，使點P是它的對稱中心．【分析】根據(jù)中心對稱的概念及平行四邊形的性質(zhì)可得P為四邊形的對角線的交點，由此作圖即可．【解答】解：如答圖所示．作法：①連接AP并延長至C，使PC＝PA．②連接BP并延長至D，使PD＝PB．③連接BC、CD、DA．四邊形ABCD即為所求．18．(2023秋?泗洪縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．（1）AB＝6，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；（2）EF與AD有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，再由AB＝6，AC＝8，可得答案；（2）根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線證明．【解答】（1）解：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分別是AB、AC的中點，∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，∵AB＝6，AC＝8，∴AE+ED＝6，AF+DF＝8，∴四邊形AEDF的周長為6+8＝14；（2）證明：EF⊥AD，理由：∵DE＝AE，DF＝AF，∴點E、F在線段AD的垂直平分線上，∴EF⊥AD．19．(2023春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0）．（1）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A'B'C'；（2）將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應的△A''B''C''，并寫出點B''的坐標（3，2）．【分析】（1）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出A′、B′、C′點的坐標，然后描點即可；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應點A″、B″、C″即可．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'為所作；（2）如圖，△A''B''C''為所作，點B''的坐標為（3，2）．故答案為（3，2）．20．(2023?泉山區(qū)校級三模）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD的延長線上，BE＝DF，連接EF，分別交BC、AD于G、H．求證：EG＝FH．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG與△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．21．(2023春?鎮(zhèn)江期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長線交于點E，DE交AB于F．（1）求證：BC＝BE；（2）連接CF，若∠FDA＝∠FCB，判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：AD∥BC，AD＝BC，又由平行四邊形的判定得：四邊形AEBD是平行四邊形，又由平行四邊形的對邊相等可得結(jié)論；（2）利用“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”推知四邊形ABCD是矩形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵AE∥BD，∴四邊形AEBD是平行四邊形．∴AD＝EB．∴BC＝BE；（2）四邊形ABCD是矩形．理由如下：∵AD∥EC，∴∠FDA＝∠FEC．∵∠FDA＝∠FCB，∴∠FEC＝∠FCB，∴FF＝FC．又∵BC＝BE，∴FB⊥BC，即∠BCD＝90°．又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形．22．(2023?亭湖區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，點D是BC邊的中點，點F，E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE，連接BF，CE．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形．（2）當△ABC滿足①條件時，四邊形BECF為菱形．（填寫序號）①AB＝AC．②∠BAC＝90°，③AB＝BC，④∠BCA＝90°．【分析】（1）由已知條件，據(jù)AAS證得△CFD≌△BED，則可證得CF＝BE，繼而證得四邊形BECF是平行四邊形；（2）由AB＝AC，BD＝CD，得到FE⊥BC，由△BDE≌△CDF得ED＝FD，即EF、BC互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形BECF是菱形．【解答】（1）證明：在△ABC中，D是BC邊的中點，∴BD＝CD，∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED，在△CFD和△BED中，∴△CFD≌△BED（AAS），∴CF＝BE，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（2）解：滿足條件①時四邊形BECF為菱形．理由：若AB＝AC時，△ABC為等腰三角形，∵AD為中線，∴AD⊥BC，即FE⊥BC，由（1）知，△CFD≌△BED，∴BD＝CD，ED＝FD，∴平行四邊形BECF為菱形．故答案為：①．23．(2023?連云港模擬）如圖，在?ABCD的紙片中，AC⊥AB，AC與BD相交于點O，將△ABC沿對角線AC翻轉(zhuǎn)180°，得到△AB′C．（1）求證：四邊形ACDB'為矩形．（2）若四邊形ABCD的面積S＝12cm2，求翻轉(zhuǎn)后紙片重疊部分△ACE的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件求證出四邊形ACDB′是平行四邊形，進而求出四邊形ACDB′是矩形；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)求出△ACD的面積，因為△AEC和△EDC可以看作是等底同高的三角形，所以S△AEC＝S△ACD＝3cm2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB平行且等于CD．∵△AB′C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，∴AB＝AB′