2023-2024學(xué)年河北省廊坊市馬莊英才中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2023年河北省廊坊市馬莊英才中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試

卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.集合力=3|邛4,xwR},B={x[x<*則“4二3”是“a>5”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

A

略

055

2.設(shè)凡是等差數(shù)列1口」的前浮項(xiàng)和，若%=5,則邑等于

A.1B.-1C.2D.2

參考答案：

答案：A

3.已知菱形ABC。的對(duì)角線AC長(zhǎng)為2,則=

A.1B.'/2c.2D,2戊

參考答案：

C

4.用3種不同顏色給甲、乙兩個(gè)小球隨機(jī)涂色，每個(gè)小球只涂一種顏色，則兩個(gè)小球顏色

不同的概率為（）

1125

A.3B.2C.3D.I

參考答案：

C

-1")"

5.若vx的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-540B.-162C.162D.540

參考答案：

A

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(l+2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

參考答案：

B

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題.

【分析】按多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則展開(kāi)，化簡(jiǎn)為a+bi(a,bGR)的形式，即可確定復(fù)數(shù)z

所在象限.

【解答】解：：z=i(l+2i)=i+2i=-2+i,

復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),

故選B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查.

1.

(0,x=0

7.已知符號(hào)函數(shù)sgnx=.-1，X50,f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)=f(x)-f(ax)

(a>l),則()

A.sgn=sgnxB.sgn=-sgnxC.sgn=sgnD.sgn=-sgn

參考答案：

B

【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】直接利用特殊法，設(shè)出函數(shù)f(X),以及a的值，判斷選項(xiàng)即可.

Ix>0

-0,x=0

【解答】解：由于本題是選擇題，可以采用特殊法，符號(hào)函數(shù)sgnx=-1，x<Q,f

(x)是R上的增函數(shù)，g(x)=f(x)-f(ax)(a>l),

不妨令f(x)=x,a=2,

貝!Jg(x)=f(x)-f(ax)=-x,

sgn=-sgnx.所以A不正確，B正確，

sgn=sgnx,C不正確；D正確；

對(duì)于D,令f(x)=x+l,a=2,

貝！jg(x)=f(x)-f(ax)=-x,

x>-1

0,X=-1

sgn=sgn(x+1)=-1,x<C-1

ri,x>0

0,x=0

sgn=sgn(-x)二-1

r-1,X>-1

0.x=~1

-sgn=-sgn(x+1)=1.Y-1；所以D不正確;

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)表達(dá)式的比較，選取特殊值法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的

積累，屬于中檔題.

8.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.命題“若/+/=0,則x=y=o”的逆否命題為

“若X,)，中至少有一個(gè)不為0則/+/W。"；

B,若命題則rpVx€/?.XJ-x+l>0.

C.AA?C'中，smW>Sin8是/>8的充要條件；

D.若向量瓦不滿足15<0,則左與豆的夾角為鈍角.

參考答案：

D

略

9.

X0T

/(x)=￡卜-月|

函數(shù)7的最小值為()

A.1103X1104B.1104X1105C.2006X2007D.2005X2

006

參考答案：

A

10.下列四個(gè)命題中：①4+BN2瘋；②“n③設(shè)X,y都是正數(shù)，

1,9

—十—

若X>=1,則x+y的最小值是12；④若IX—2Ive,ly—21V￡,則lx—

yI<2P,則其中所有真命題的個(gè)數(shù)有

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

參考答案：

B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知中心是坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)困,且C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的標(biāo)準(zhǔn)方

程為

參考答案:

-?IT=1

5

22

.一|--=1(a>b0)

橢圓的焦點(diǎn)位于'軸，則設(shè)橢圓的方程為『b2,

玷

橢圓過(guò)點(diǎn)'V,則：I，①

它的一個(gè)焦點(diǎn)為0),則4,②

2

(a5￡(iw.

①②聯(lián)立可得：八‘工】，貝曠的標(biāo)準(zhǔn)方程為三'

12.設(shè)直線2x+3y+l=0和圓x2+y2-2x-3=0相交于點(diǎn)A、B,則弦AB的垂直平分線方程

是.

參考答案：

3x-2y-3=0

【考點(diǎn)】直線的一般式方程；直線和圓的方程的應(yīng)用.

【分析】聯(lián)立直線與圓的解析式得到交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)

坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積等于-1,由直線AB的斜率得到中垂線的斜率，即可得到

中垂線的解析式.

‘2x+3y+l=0

<n2

【解答】解：聯(lián)立得：xz+y-2x-3=0解得：13x2-14x-26=0,同理解得13y?+18y-

7=0

*1+*2/1+/2

因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x=2,y=2),利用根與系數(shù)的關(guān)系可

79

得：M(13,-13)；

2

又因?yàn)橹本€AB：2x+3y+l=0的斜率為-E，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積等于-1可知垂直平

3

分線的斜率為2

93_7_

所以弦AB的垂直平分線方程為y+l3=2(X-T3),化簡(jiǎn)得3x-2y-3=0

故答案為3x-2y-3=0.

【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)的斜率乘積為-1,會(huì)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件

能寫出直線的一般方程，以及掌握直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.

13.已知點(diǎn)P,A,B,C在同一球面上，PA_L平面ABC,AP=2AB=2,AB=BC,且標(biāo)?標(biāo)=0,則

該球的表面積是.

參考答案：

6n

【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積；LR：球內(nèi)接多面體.

【分析】利用PAL平面ABC,AP=2AB=2,AB=BC,且屈?前=0,可擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高

分別為1,1,2,其對(duì)角線長(zhǎng)度為＞1+1+4=捉,可得球的半徑，即可求出球的表面積.

【解答】解：VAB?BC=0,

；.AB_LBC,

：PA_L平面ABC,

可擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為1,1,2,其對(duì)角線長(zhǎng)度為3+1+4=&,

返

球的半徑為2,

冗.(返)2

球的表面積是4JIR2=42=6”.

故答案為：6n.

14.設(shè)“W乂，一元二次方程--4X+M=0有正數(shù)根的充要條件是”=

參考答案：

3或4

略

x=14/cosaX=COS0

15.已知直線G：=i加a1為參數(shù)），處y=仙,（o為參數(shù)）.

當(dāng)3時(shí)，則G與c的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

參考答案：

略

16.記“點(diǎn)M(x,y)滿足x//Wa(a>0)”為事件A,記“M(x,y)滿足

'x-y+l》O

,5x-2y-440

2x+y+2>0”為事件B,若P(B1A)=1,則實(shí)數(shù)a的最大值為一.

參考答案：

1

2

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【分析】畫出約束條件表示的可行域，利用條件概率，判斷圓與可行域的關(guān)系，再求出a

的最大值.

<5x-2y-440

【解答】解：M(x,y)滿足2x+y+2>0,畫出可行域如圖所示三角形；

記”點(diǎn)M(x,y)滿足x'+JWa(a>0)“為事件A,

x-y+l》O

<5x-2y-440

記“M(x,y)滿足2x+y+2》0”為事件B,

若P(B|A)=1,說(shuō)明圓的圖形在可行域內(nèi)部，

實(shí)數(shù)a的最大值是圓與直線x-y+l=O相切時(shí)對(duì)應(yīng)的值，

此時(shí)d=r,

1

即修F,

解得a=2,

1

所以實(shí)數(shù)a的最大值為

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性規(guī)劃的基本應(yīng)用問(wèn)題，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，

是中檔題.

x+y<4

(xj)滿足，1y2x

17.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P的直線/與圓Ud+y=14相交

于A、B兩點(diǎn)，則M卻的最小值為一

參考答案：

4

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.(本小題滿分7分)選修4—2:矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系中，矩陣”對(duì)應(yīng)的變換將平面上任意一點(diǎn)變換為點(diǎn)

改工+工3。

（1）求矩陣膻的逆矩陣

（2）求曲線布+，-1=。在矩陣”的變換作用后得到的曲線b的方程.

參考答案：

0

2

■J"2"l=0

(1)

試題分析：矩陣，是線性代數(shù)中的基本概念之一，一個(gè)mxii的矩陣就是wxit個(gè)數(shù)排成m

行H列的一個(gè)數(shù)陣.由于它把許多數(shù)據(jù)緊湊的集中到了一起，所以有時(shí)候可以簡(jiǎn)便地表示

一些復(fù)雜的模型.矩陣乘法看起來(lái)很奇怪，但實(shí)際上非常有用，應(yīng)用也十分廣泛，，掌握

ab

相乘k*

,列方程組求得.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)尸（工力在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為-WS,

貝卷X吩C：）?,

（2n

M~

1分

又ysf

0-

3

T,

3J3分

（2）設(shè)點(diǎn)在矩陣”對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為

則

即*5分

4⑶*2

，代入4*+，T=°,得I3)3

即變換后的曲線方程為x+A+l=0.?7分

考點(diǎn)：1、求逆矩陣；2、矩陣的應(yīng)用.

19.在AABC中，角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別是a,b,c滿足b'+cMjc+a、

(I)求角A的大?。?/p>

(II)已知等差數(shù)列差J的公差不為零,若aiCosA知,且a2,a4,a.成等比數(shù)列,求

4

｛anan+l)的前n項(xiàng)和S?.

參考答案:

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)；余弦定理.

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

999

b+c-abe1j.

【分析】(I)由已知條件推導(dǎo)出詼—=2U=2,所以COSA=2由此能求出

n

A=T.

2

(II)由已知條件推導(dǎo)出(ai+3d)=(ai+d)(ai+7d),且dWO,由此能求出an=2n,從

--—111——

而得以an&n+l=n(n+1)=n進(jìn)而能求出｛anan+l｝的前n項(xiàng)和S0.

【解答】解：(I)?.?苗+(?-/=元,

b12+,c2_a2bLe1

/.2bc2bc=2,

_1

.*.cosA=2,

n

VAe(0,n),,A=3.

(II)設(shè)｛aj的公差為d,

VaiCosA=l,且a4,成等比數(shù)列，

12

/.ai=cosA=2,且為-d2?38,

(ai+3d)之二(ai+d)(ai+7d),且dWO,解得d=2,

=

??an2n,

---11_1

anan+l=n(n+1)=nn+1,

11_11_111

/.Sn=(1-2)+(23)+(34)+,,,+(nn+1)

1_n_

=1-n+l=n+l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的大小的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)

真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.

20.(本小題滿分14分)

已知橢圓’亍泊(通>"的右焦點(diǎn)與拋物線02丁=4萬(wàn)的焦點(diǎn)尸重

合，

橢圓匚；與拋物線巳在第一象限的交點(diǎn)為F,『“卜5.

⑴求橢圓G的方程；ks5u

⑵若過(guò)點(diǎn)A：一1，。)的直線與橢圓g相交于〃、曾兩點(diǎn)，求使兩+否?=或成立

的動(dòng)點(diǎn)￡的軌跡方程;

⑶若點(diǎn)R滿足條件(2),點(diǎn)T是圓卜-1)+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，求國(guó)刀的最大值.

參考答案：

(本小題主要考查求曲線的軌跡方程、直線、橢圓、拋物線等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)

合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力

和創(chuàng)新意識(shí))

⑴解法1：拋物線；/="的焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1.0),準(zhǔn)線為x=-i,

設(shè)點(diǎn)「的坐標(biāo)為依據(jù)拋物線的定義，由?"卜三，得解得

2

=-

3.

..........1分

?.?點(diǎn)戶在拋物線上，且在第一象限,

“F=4X；解得

26

＞。=亍.

..?點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(22⑹

..........2分

..?點(diǎn)戶在橢圓/b3

_4_8

上，；.彳+獷=—1...........3分

又C=l,且

—=/+J=/+i,

..........4分

解得=3.

??.橢圓C1的方程為

23

xy1

43

..........5分

解法2:拋物線的焦點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(1.0),

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為>。，%>0.

產(chǎn)力

，(而7?；=今①

..........1分

???點(diǎn)尸在拋物線C2：V=4x上，

.?.乂=4%②

%，加=巫

解①②得為3,°3.

...點(diǎn)F的坐標(biāo)為

2⑻

..................2分

-Ci+

..?點(diǎn)尸在橢圓一b1

_4_+_8_=1

上，.?.彳3^=.........3分

又c=l,且

a3=b2+c2=b'+1,

..................4分

解得J=4?=3.

...橢圓射的方程為

x2y21

43

..................5分

（2）解法L設(shè)點(diǎn)”（加必）、"（知乃）、&

則尸亞=（%-LyJ,FN=（與-1,為）,FR=（x-

.FM+FN=（x,+-2,必+乃）

FM+FN^FR,

.Xi+Xj-2**-1,^)+^.尸①

6分

:好、曾在橢圓G上,

(可士切看二2)+(乂+%3？)=0

上面兩式相減得43.②

(x+l)&F1一%)_.

把①式代入②式得43-.

當(dāng)近工為時(shí)，得

=3(x+l)

七?占41y.③.........7

分

設(shè)劃?的中點(diǎn)為Q,則Q的坐標(biāo)為

怨3

???M、￡、Q、月四點(diǎn)共線，

即

y

M-必_5.>

七?町i±l+ix+3

2^④.........8分

■X二3(/+1)

把④式代入③式，得x+3-4)，，

化簡(jiǎn)得

4/+3（?+4x+3）=0

.........9分

當(dāng)原=通時(shí),可得點(diǎn)火的坐標(biāo)為（-3,0）,

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)火（-3,0）在曲線4y+3（/+4x+3）=。上.

動(dòng)點(diǎn)云的軌跡方程為

4/+3（xJ+4x+3）=0.........I。分

解法2：當(dāng)直線MV的斜率存在時(shí)，設(shè)直線力必9的方程為="（x+D,

>=k（x+1）,

42/

由巳++=1消去九得（3+缺>+*+止-12=。

設(shè)點(diǎn)時(shí)3，必）、》（與，為）、R（x,y）,

姆

X[+X）----------------------r

則?23+4好，

%+當(dāng)=之+1）+無(wú)（與+I）=*（個(gè)+々+2）=

.…6分

斤川=（z-1,必）,兩=（芻一1,為），尸&=（x-1,y）

?FM+FN=（$+X]-2,必+為）

FM+FN=FR,

Axl+xa-2=x-L^1+y2=^

y=----6-k----

3+4k3.②

...........7分

①-②得

1

4〉，③

...........8分

把③代入②化簡(jiǎn)得

4八3K+4X+3）=0（*）...........9分

當(dāng)直線?的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為x=-1,

依題意，可得點(diǎn)火的坐標(biāo)為（一土。），

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)網(wǎng)TO）在曲線4y+3（x、4x+3）=0上

動(dòng)點(diǎn)火的軌跡方程為

4y3+312+4K+3）=0

⑶解：由⑵知點(diǎn)Ra力的坐標(biāo)滿足4,+3（/+4x+3）=0,

即4y，=-3（/+4x+3）,

由y20,得-3（x2+4x+3）N0,解得

-34x4-1..........11分

?.圓卜W+/=I的圓心為"（L。），半徑r=1,

...網(wǎng)=&-『+-=j（x-W，+4x+3）

=17（x-w）3~105

...........12分

.?.當(dāng)x=-3

13分

時(shí)，附L=4+】=5

...........14分

（x=cos0

21.（2015秋?大理州校級(jí)月考）若曲線G：1廠sinS（e為參數(shù)），曲線C?：

\二acos,

產(chǎn)bsin?（?為參數(shù)）,以0為極點(diǎn)，x的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線1：e=a

兀

a——

與Cl,G分別交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)a=o時(shí)，|PQ|=2,當(dāng)2時(shí)，P與Q重合.

（I）把3、C2化為普通方程，并求a,b的值;

5條

(II)直線1：尸-1+號(hào)t(t為參數(shù))與&交于A,B兩點(diǎn)，求|AB|.

參考答案:

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程.

7T

a——

【分析】(I)消去參數(shù)，即可把G、C2化為普通方程，當(dāng)2時(shí)，P與Q重合，即可

求a,b的值；

5條