高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-最值位置不迷惑單調(diào)區(qū)間始與末（含答案）

專題05最值位置不迷惑，單調(diào)區(qū)間始與末

【題型綜述】

函.數(shù)的最值

函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最小值.，對于最值，我

們有如下結(jié)論：一.般地.，如果在區(qū)間［。,切上函數(shù)=/(%)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有

最大值與最小值.

設(shè)函數(shù)在切上連續(xù)，在(。,6)內(nèi)可導(dǎo)，求/(X)在切上的最大值與最小值的步驟為：

(1)求/(%)在(。,人)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)/(%)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(a),/(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一

個(gè)是最小值.

函數(shù)的最值與極值的關(guān)系

(1)極值是對某一點(diǎn)附近(即一局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間切的整體而言；

(2)在函數(shù)的定義區(qū)間［〃,切內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒有)，但最大(小)值只有一個(gè)(或

者沒有)；

(3)函數(shù)尸(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，.而最值點(diǎn)可以.是區(qū)間的端點(diǎn)；

(4)對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

【典例指引】

例1.已知函,數(shù)/(x)=/cosx—x.

(1)求曲線y=〃力在點(diǎn)(0"(0))處.的切線方程;

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間0,］上的最大值和最小值.

例2.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=xe"-2x—l.

⑴關(guān)于x的方程=必一段+機(jī)在區(qū)間［1,3］上有解.，求相的取值范圍;

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)—a2/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例3.已知函數(shù)/z(x)=2d+3x2-12x+m(meH)的一個(gè)極值為一2.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間吃上的最大值為18,求實(shí)數(shù)上的值.

【新題展示】

1.12019江西新余市一中一模】已知函數(shù)f(x)=|2x-a|,g(x)=|bx+l|.

1

⑴當(dāng)b=l時(shí)，若-f(x)+g(x)的最小值為3,求實(shí)數(shù)a的值；

2

⑵當(dāng)b=-l時(shí)，若不等式f(x)+g(x)<l的解集包含求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

2.12019寧夏石嘴山三中期末】已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+lnx-

(1)若f(x)的圖像過點(diǎn)P(l,3),且在點(diǎn)P處的切線方程為y=2x+l,試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)b=l時(shí)，若函數(shù)f(x)V(2ax-l)(x+1)恒成立，求整數(shù)a的最小值.

【同步訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)〃司=優(yōu)—e(x+l)lna—4(a>0且owl),e為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)當(dāng)o=e時(shí)，求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間xe［0,2］上的最大值；

(II)若函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值.

2.已知函數(shù)應(yīng)《)=(無一Qe*,

(1)求人x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求1x)在區(qū)間［0,1］上的最小值.

C717jr

3.已知函數(shù)的/(%)=6ZX-C0SZXH——b圖象在點(diǎn)處的切線方程為y=5x-

4

⑴求。力的值;

⑵求函.數(shù)八％)在K值域.

.4.設(shè)函數(shù)〃x)=lnx—x,g(x)=xex-2x-l.

(1)關(guān)于x的方程“力=%2—弓x+機(jī)在區(qū)間［1,3］上有解，求相的取值范圍;

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g^x)-a>/(%)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

丫一1

5.已知函數(shù)/(%)=----Inx.

(I)求曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程.

(II)求.“X)的單調(diào)區(qū)間.

(III)求/(x)在1,e上的最大值和最小值.

6.已知函數(shù)f(x)=+-(a-l)x2-3ax+La6R.

2

(-I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(ID-當(dāng)a=3時(shí)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間［m,2］上的最大值為3,求m的取值范圍.

7.已知函數(shù)/(%)=/-ax.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在根,〃e［0,2］,且|加一〃使得=1,求證：iv—吼ve.

L」11/(〃)I

/、—X^+X"(X<1)

8.已知函數(shù)f(x)={...

alnx［x>l)

(1)求/(X)在區(qū)間(-00,1)上的極小值和極大值點(diǎn)。

(2)求/(x)在［-l,e］上的最大值.

9.已知函數(shù)/(x)=g%2-2x-31n%,=-x2~3x~-a(aeR).

⑴若X/x>0,/(x)2加恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)E(x)=〃x)—2g(x),若-x)在［1,5］上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

.10.已知函.數(shù)/(x)=—丁—4.

4

(I)若/(x)在x=§處取得極值“求實(shí)數(shù)a的值；

(II)在(D的條件下，若關(guān)于x的方程/(力=加在［-1,1］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

11.已知.函數(shù)〃x)=(x+a)lnx,g(x)=/_(m+1卜+3(其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))，

曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"(1))處的切線與x軸平行.

(1)求F(x)的單調(diào)區(qū)間；

~2~

(2)當(dāng)xe—,2e時(shí)，若函數(shù)/z(x)=才(力+g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

12.已知函數(shù)g(x)=x?-(2a+l)x+alnx

(1)當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)求?函數(shù)g(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值.

n2

13n-n-2

⑶在(1)的條件下，設(shè)，」=卬I-21nx，求證：V——>-----------(n>2),參考數(shù)據(jù):

一k-f(k)n(n+1)

k=2

瓜學(xué)⑼虬版m

專題05最值位置不迷惑，單調(diào)區(qū)間始與末

【題型綜述】

函數(shù)的最值

函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最小值，對于最值，我

們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間萬|上函數(shù)y=/（%）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有

最大值與最小值.

設(shè)函數(shù)/在切上連續(xù)，在（〃,/?）內(nèi)可導(dǎo)，求〃工）在切上的最大值與最小值的步驟為：

（1）求在（。,6）內(nèi)的極值;

（2）將函數(shù)/（%）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/（a）,/S）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一

個(gè)是最小值.

函數(shù)的最值與極值的關(guān)系

（1）極值是對某一點(diǎn)附近（即局部）而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間［。,句的整體而言；

（2）在函數(shù)的定義區(qū)間［心切內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€(gè)（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或

者沒有）；

（3）函數(shù)力（x）的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；

（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大（?。┲当卦跇O大（?。┲迭c(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

【典例指引】

例1.已知函數(shù)=excosx-x.

（1）求曲線y=在點(diǎn)（0"（0））處的切線方程；

（2）求函數(shù)〃x）在區(qū)間0,|上的最大值和最小值.

【思路引導(dǎo)】

（1）求切線方程首先求導(dǎo)，然后將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)得切線斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫直線方程即可,

（2）求函數(shù)在某區(qū)間的最值問題，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間的單調(diào)性確定最值的

取值地方從而計(jì)算得出最值

試題解析：⑴因?yàn)?(x)=e*cosx-x,所以/'(x)=e%8sx-sinx)-l,/,(0)=0.

又因?yàn)椤?)=1,所以曲線y=/(X)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程為>'=1

(2)(x)=e*(cosx-sinx)-1,貝U=e'(cosx-sinx-sinx—cosx)=-2e*sinx

當(dāng)智0卓時(shí)，l(x)<0,所以〃(x)在區(qū)間0$上單調(diào)遞減

所以對任意xe［()W］，有Mx)W〃(0)=0,即/'(x)W0.

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間0』上單調(diào)遞減

因此/Xx)在區(qū)間0:1上的最大值為"0)=1,最小值為彳

點(diǎn)評：對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用問題，特別是導(dǎo)數(shù)切線方程的求法一定要做到非常熟練，這是必須得分

題，而對于函數(shù)最值問題首先要能準(zhǔn)確求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)所給區(qū)間確定函數(shù)去最值的點(diǎn)即可

得到最值

例2.設(shè)函數(shù)〃x)=lnx,g-2%-1.

⑴關(guān)于x的方程“可=f一/+機(jī)在區(qū)間［1,3］上有解，求相的取值范圍；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)—恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(1)方程/(%)=必-g+機(jī)等價(jià)于/2(X)=1IW-必+1》=〃和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)

圖象可得7〃的取值范圍；⑵g(x)-a>恒成立等價(jià)于/(x)=g(x)—/(%)=%?/—Inx-x-12a

恒成立，兩次求導(dǎo)，求得/(%)的最小值為零，從而可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

in77

試題解析：(1)方程"X)=/一1元+機(jī)即為1nx一/+§元=冽，令，(%)=血一%2+§%(%>()),則

3r+12x3

h'(%)=1-2x+-=_(-)(-)；.?.當(dāng)xe［l,3］時(shí)，隨x變化情況如表：

x33x

3

X13

H)2(H

h,(x)+0—

4ln3-2

/z(x)/極大值\

3

/7(l)=|,A(3)=ln3-2<|,/7f|j=ln|+|,.?.當(dāng)xe[1,3]時(shí),/i(x)eln3-2,ln|+|

35

...加的取值范圍是ln3-2,ln-+-

24

(2)依題意，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)-/(x)2a恒成立，令廠(x)=g(x)-=-lnx-x-l(x>0),

則F(x)=(x+l)"-L-l=C±U(x-ex-il,令G(x)=x-ex-l,則當(dāng)x>0時(shí)，

XX

G'(x)=(x+l)-/>0,二函數(shù)G(x)在(0,+ao)上遞增，vG(0)=-1(O:G(1)=e-l)0,二G(x)存

在唯一的零點(diǎn)ce(OJ),且當(dāng)xe(Qc)時(shí),G(x)<0,當(dāng)xe(c,+x)時(shí)，G(x)>0,則當(dāng)xw(Qc)時(shí),

￡'(x)<0,當(dāng)xe(c,+8)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,二尸(x)在(O,c)上遞發(fā),在仁楨)上遞增，從而

F(x)2尸(c)=ce2—Inc—c—1,由G?=。得—1=O.ce:-1,兩邊取對數(shù)得lnc+c=0,

：-尸?=Q,：.F(x)之F(c)=0,二a40,即實(shí)額a的取值范圍是a<0.

例3.已知函數(shù)〃(x)=2x3+3x~-12x+m(^meR)的一個(gè)極值為一2.

(1)求實(shí)數(shù)"Z的值；

(2)若函數(shù)可可在區(qū)間忖上的最大值為18,求實(shí)數(shù)上的值.

【思路引導(dǎo)】

(1.)由題意得力(力=6/+6%-12=6(x+2)(x—l),函數(shù)/z(x)有兩個(gè)極值為耳―2)和令人⑴，從而

「3一

得到實(shí)數(shù)機(jī)的值；(2)研究函數(shù)/z(x)在區(qū)間k,-上的單調(diào)性，明確函數(shù)的最大值，建立關(guān)于實(shí)數(shù)上的方

程，解之即可.

試題解析：(1)由/z(x)=2d+3f-12%+加(加￡H),”得

"(%)=6x2+6x-12=6(%+2)(%-1),

令/?'(x)=0,得x=—2或x=l；令得—2<x<l；

令〃(x)>0,得x<-2或x>l.所以函.數(shù)A(x)有兩個(gè)極值為〃(-2)和令力⑴.

若〃(—2)=—2,^2x(-2)3+3x(-2)2-12x(-2)+m=-2,解得加=—22；

若41)=—2,W2xl3+3xl2-12xl+m=-2,解得加=5；

綜上，實(shí)數(shù)加的值為-22或5.

(2)由⑴得，A'(x),在區(qū)間[一oo,"|上的變化情況如下表所示：

3

XS-2)-2(-2,1)1

H)2

“(X)+0-0

9

Mx)/極大值m+20極小值m-7/m—

2

「9《31

由上表可知，當(dāng)上21時(shí)，函數(shù)%(可在區(qū)間kz-上的最大值為/-'=其值為■或3,不符

合題意.

當(dāng)左4-2時(shí),函數(shù)%(x)在區(qū)間上，上的最大值為方(-2)=愕+20,其值為-2或25,不符合題意.

2_]

當(dāng)一2(左<1時(shí)，要使函數(shù)%(x)在區(qū)間W上的最大值為18,必須使〃(左)=2后+3合一12k+加=18,

「3~\

且加=5(因?yàn)槿艏?一22,則極大值M-2)=a+20=-2<18,那么函數(shù)為(x)在區(qū)間k,-上的最

大值只可能小于一2,更小于18,不合題意).即力(無)=2后+3合一12k+5=18，所以

2左3+3標(biāo)一12左一13=0.所以無=匚4叵或左=一1.

因?yàn)橐?<k<1,所以左=T士婆舍去.

4

綜上，實(shí)數(shù)上的值為-1.

【新題展示】

1.12019江西新余市一中一?！恳阎瘮?shù)f(x)=|2x-a|,g(x)=|bx+1|.

(1)當(dāng)b=l時(shí)，若-f(x)+g(x)的最小值為3,求實(shí)數(shù)a的值；

2

⑵當(dāng)b=-l時(shí)，若不等式f(x)+g(x)<2的解集包含［:1］,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

【思路引導(dǎo)】

⑴當(dāng)b=l時(shí)，化簡\(x)+g(x)的表達(dá)式，利用絕對值的幾何意義，求解最小值然后求解a即可.

2

(2)當(dāng)b=-l時(shí)，f(x)+g(x)<韭?2x-a|+|x-l|<：l,通過x的范圍，轉(zhuǎn)化去掉絕對值符號，推出。的范圍.

【解析】

1aaa

⑴當(dāng)b=i時(shí)，-f(x)+g(x)=|x—|+|x*l|a|x-x-l|=|-+lb

2222

因?yàn)?(x)+g(x)的最小值為3,所以解得a>8或4.

22

(2)當(dāng)b>1時(shí),f(x)+g(x)<lBP|2x-a|+|x-l|<l,

1a

當(dāng)時(shí)，|2x-a|+|x-l|<l?|2x-a|+l-x<l?|2x-a|<x,即一<x<a,

23

_1a1

因?yàn)椴坏仁絝(x)+g(x)<1的解集包含［-H,所以a

232

即1<a「，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(J).

22

2.12019寧夏石嘴山三中期末】已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+lnx-

(1)若f(x)的圖像過點(diǎn)P(l,3),且在點(diǎn)P處的切線方程為y=2x+l,試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)b=l時(shí)，若函數(shù)f(x)V(2ax-l)(x+1)恒成立，求整數(shù)a的最小值.

【思路引導(dǎo)】

(1)根據(jù)f'⑴=2且f⑴=3求得函數(shù)解析式，分別令f(x)>0求得x的范圍，可得函數(shù)f(x)增區(qū)間，￡?)<0求得乂

(Inx+x+1)

的范圍，可得函數(shù)f(X)的減區(qū)間；(2)函數(shù)%)/3*-1)僅+1)恒成立等價(jià)于22---------■二8區(qū)在區(qū)間⑹+―)

x+2x

內(nèi)恒成立，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定g(X)極值點(diǎn)X。的范圍，可得g(X)max的范圍，從而可得結(jié)果.

【解析】

(1)函數(shù)過點(diǎn)P(l,3)可知a-b=3,①，f'(x)=2ax-b+-,

X

.?/(l)=2a.b+l,2a-b+l=2,②，聯(lián)立①②可得

所以f(x)=?2x2+5x+Ig函數(shù)的定義域?yàn)?o,+8),

2

n,1-4x?5x+125-J415+,41

可矢口f(x)=-4x?5?—二一一>?4x?5x+l=0,%=----------9x2=---------

xx88

可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(。,V5.)fii,單調(diào)遞艇5間.1為41…

(2)由f(x)<(2ax-l)(x+1)可知ax?+Inx<(2ax-l)(x+1)，

(Inx+x+1)

因?yàn)閤>0,所以原命題等價(jià)于a2------在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恒成立.

x+2x

(Inx+x+1),-(x+l)(2lnx+x)

設(shè)g(x)=-----------，g(x)=

22

x+2x(x+2x)

可設(shè)h(x)=2lnx+x,在(0,+8)單調(diào)遞增，MhH=-2ln2+1<0,h(l)>0,

22

所以存在唯一的x。e(-,1),使得h(x0)=2lnx0+XO=O

且當(dāng)O<x<Xo時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x'x。，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

Inx。+x0+l1

所以當(dāng)X=X0時(shí)，g(x)有極大值，也為最大值，且g(X)max=---------=—

xo+2xo2x°

111

又Xn€(-,1)，所以1<2XO<2,；.-<—<1,可知azl,所以a的最小值為1.

°222x°

【同步訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)〃0=優(yōu)—e(x+l)lna—工(a>0且owl),e為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)y=〃x)在區(qū)間xe[0,2]上的最大值；

(II)若函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值.

【思路引導(dǎo)】

⑴由導(dǎo)函數(shù)的解析式可得/(%)_=max{/(0),/(2)}=e2-3e--.

(2)由/''(力=。，得x=log〃e,分類討論。>1和0<。<1兩種情況可得。=L.

e

試題解析：(I)當(dāng)。=e時(shí)，/(x)=ex-e(x+l)--,/'(x)=e'-e,令/''(x)=0,解得x=1,

e

xe(0,l)時(shí),/'(x)<0；xe(l,2)時(shí),/'(x)>0,

2

,J(x)111al=max{/(0)J(2)}，而"0)=1-。-}/(2)=e-3e-1,

即〃xL="2)=e2-3"；.

(II)/(x)=a-e(x+l)ln(2--,/'(%)=優(yōu)ln〃-eln〃=-e),

令/⑴=0,得%=log",則

①當(dāng)〃>1時(shí)，ln〃>0,

X(-cc,logfle)log"(logfle,+co)

廣(X)—0+

極小值Z

所以當(dāng)x=log〃e時(shí)，有最小值“XL=/(log“e)=-elna-[,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)x-—00和％-?+8時(shí)，都有.+00,則

——elna——0?即elna—=0,

因?yàn)楫?dāng)。>1時(shí)，lna>0,所以此方程無解.

②當(dāng)0<a<l時(shí)，Intz<0,

X(-oo,logfle)log"(log/,+8)

/(x)—0+

/(X)極小值/

所以當(dāng)X=log/時(shí)，/(力有最小值“*虹=/(1(坦/)=一加4」，

因?yàn)楹瘮?shù)“X)只有一個(gè)零點(diǎn)，目當(dāng)XfY0和Xf+8時(shí)，都有〃X)fy,

所以/(x).=-elna--=Ogpdna+-=O(0<a<l)(*)

5nBlafa

設(shè)g(a)=dna+4(0<a<1),則g'(a)J_4=弋】，

aaaa"

令g'(a)=°，得a=L

e

當(dāng)0<a<1時(shí)，g，(a)<0；當(dāng)時(shí)，g'(a)>0;

ee

所以當(dāng)a=1時(shí)，g(fl)-；=dn-+e=0,所以方程(*)有且只有一解a=-.

es'"""Jee

綜上，a=-時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評：.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷

屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)

數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).(3.)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決

生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2..已知函數(shù)y(x)=(x—?el

(1)求八x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求危)在.區(qū)間［0,1］上的最小值.

【思路引導(dǎo)】

(1)f(x)=(x-k+1)ex,令f(x)=0,得x=k-l.由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)k-ISO時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上遞增，f(x)min=f(0)=-k；當(dāng)l<k/2時(shí)，函數(shù)f(x)在

k-1

區(qū)間［0,k-1］上遞減，(k-1,1］上遞增，f(x)min=f(k-l)=-e；當(dāng)k>2時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,

1］上遞減，f(x)rnin=f(1)=(1-k)e.

試題解析：(1?(無)=(尤一左+l)et

令［(x)=0,得了=左一1

當(dāng)x變化時(shí)，Kx)與了(尤)的變化情況如下：

X(—00,左一1)(L1)(k一1,+oo)

fix)—0+

於)一營一1

所以，人犬.)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,k—1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(左一1,+oo).

(2)當(dāng)左一，0,即依1時(shí)，函數(shù)近龍)在［0,L］上單調(diào)遞增，

所以八x)在區(qū)間［0,1］上的最小值為負(fù)0)=—左

當(dāng)04—lvl,即1<辰2時(shí)，

由⑴知川)在［0,左一.1)上單調(diào)遞減，在(左一1,1］上單調(diào)遞增，所以於)在區(qū)間［0,1］上的最小值為

Ak—l)=—ek~l.

當(dāng)上一拒1,即/2時(shí)，函數(shù)Ax)在［0,1］上單調(diào)遞減，

所以1x)在區(qū)間［0,1］上的最小值為7U)=(l—?e.

3.已知函數(shù)的/(x)=ax—cos2x+?6圖象在點(diǎn)處的切線方程為y=5x—?.

⑴求a,b的值;

⑵求函數(shù)/'(X)在―三三值域

【思路引導(dǎo)】

(1)求得了(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由已知切線的方程可得a力的方程組，解方程即可得到

所求；⑵求得〃x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃x)=3x-cos2x+?的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可得到

函數(shù)在K值域，

試題解析：⑴?."(x)=ax-cos2x+；6J'(x)=a+2s加2Kp為;r),又

+m=解得a=3,b=L

(2)由(1)知，/(x)=3x-cos2x+y,?."'(x)=3+2si〃2x23-2>0;函數(shù)/'(x)在

(萬1兀[兀、，/貼

,—.=--cos^r+—=—+1一函數(shù)

[21244

“X)在一三：上的值域?yàn)樯?1

4224

4.設(shè)函數(shù)“x)=lnx—%,g(x)=xex-2x-l.

(1)關(guān)于x的方程“力=必一?》+機(jī)在區(qū)間［1,3］上有解，求加的取值范圍；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)—a2/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(1)方程在一個(gè)區(qū)間上有解，可以轉(zhuǎn)化為In%-必+」%=加有解，研究該函數(shù)的單調(diào)性和圖像使得常函數(shù)

3

和該函數(shù)有交點(diǎn)即可。⑵該題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>0時(shí)，g(x)-恒成立，令產(chǎn)(x)=g(x)-/(%)

研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和最值即可。

1Q7

試題解析：(1)方程-彳X+冽即為瓜丫一/+二%=加

令方(x)=lnx-V+^-x(x>0|

則叫=—"

x33x

.?.當(dāng)xe[1,3]時(shí)，〃("(x)隨x變化情況如下表:

3

13

2加

“(%)+0-

4

。(無)/極大值\ln3-2

3

VA(l)=1,A(3)=ln3-2<|,/?||、,35

—In—1—,

24

「35-

「?當(dāng)％E[1,3]時(shí)，"(X)￡ln3-2,In—+—

,35

???加的取值范圍為ln3-2,In—+—

24

(2)依題意，當(dāng)％>0時(shí)，g(%)-/(%)2a恒成立

令尸(%)=??(x)-/(x)=-lnx-x-l(x>0),

=(x+l)-ex———1=------(x-ex-11

令G(x)=x4_l,則當(dāng)x>0時(shí)，G,(x)=(x+l)-ex>0,

???函數(shù)G(x)在(0,+oo)上遞增，,.-G(0)=-l<0,G(l)=e-l>0,

二.G(x)存在唯一的零點(diǎn)ce(01)，

且當(dāng)xe(O,c)時(shí)，G(x)<0,當(dāng)xe(c,+oo)時(shí),G(x)>0,

則當(dāng)xe(O,c)時(shí)，E*(x)<0,當(dāng)xe(c,+oo)時(shí),Ff(x)>0.

，尸(x)在(0,c)上遞減，在(c,+oo)上遞增,從而尸(x)之尸(c)=ce’Tnc-c-L

c

由G(c)=0得ce'—1=O;ce=1,兩邊取對數(shù)得lnc+c=0>

二尸(c)=0,.?.F(x)>F(c)=O,：.a<Q

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a40.

丫一1

5.已知函數(shù)/(%)=------Inx.

(I)求曲線y=在點(diǎn)］j處的切線方程.

(II)求〃無)的單調(diào)區(qū)間.

(III)求了(X)在1,e上的最大值和最.小值

【思路引導(dǎo)】

(I)首先.利用導(dǎo)函數(shù)求得切線的斜率為=2,結(jié)合函數(shù)在可得切線過點(diǎn)［g,-l+ln2)則切線方程

為：y=2x-2+ln2.

(II)結(jié)合函數(shù)的定義域求解不等式尸(x)>0和尸(x)<0可得〃x)單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為

(1,+00).

(III)結(jié)合(II)的結(jié)論.可得〃x)在1,1上單調(diào)遞增，在［l,e］上單調(diào)遞減.則〃x)s=〃l)=0.

所以切線方程為：y+1-加2=2；

艮fl：y=2x—2+加2?

<2)/(@=二，

廣

令r(x)>o,得x<i；

令ra)<o,得x>i.

???〃x)單調(diào)增區(qū)間為(0J),

單調(diào)減區(qū)間為(1+20).

(3)xe—,e時(shí)，

f(x)在1,1上單調(diào)遞增,

在［Le］上單調(diào)遞減.

6.已知函數(shù)f(x)=+-(a-l)x2-3ax+1,a6R.

2

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)a=3時(shí)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,2]上的最大值為3,求m的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(I)對函數(shù)求導(dǎo)可得f(x)=3(x-l)(x+a),令f(x)=0得X]=l,x2=-a.

分類討論可得當(dāng)a時(shí)，f(x)在(-8,1)和(-a,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)在(1,-a)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)在

(一8,+8)單調(diào)遞增；當(dāng)a>-l時(shí)，f(x)在(-8,-a)和(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)在(-a,l)內(nèi)單調(diào)遞減；

(II)當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)的解析式f(x)=x3+3x2-9x+l,xC[m,2]，則4x)=3(x+3)(x-1)，討論函數(shù)的單調(diào)性可得

怵極大=f(>3)=28，f(x)極小=f(l)=-4,且f(2)=3<28,則m的取值范圍是(-8,-3].

試題解析:f(x)=3x2+3(a-l)x-3a=3(x-l)(x+a)?

令。x)=0^X]T，X2=a.

⑴當(dāng)-a=1,即a=-1時(shí)，f(x)=3(x-球a0,小)在(-+8)單調(diào)遞增.

(n)當(dāng)-a<1,即aa1時(shí)，

當(dāng)小2或x卜時(shí)f(x)>0，則在(?~,x2)fil(x1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)*2VX<A時(shí)fix)<0，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減.

(.Hi)當(dāng)-a>1,即a?1時(shí),

當(dāng)xg或X卜?時(shí)f'(x)>0,f(x)在(-8“和%+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)％VX<4時(shí)f'(x)<0，f(x)在風(fēng)力)內(nèi)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a?時(shí)，"X)在(-8“和廝+8)內(nèi)單調(diào)遞增,f(x)在(x#xj內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)a-l時(shí)，f(x)在(--+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>-1時(shí)，但在(■8,勺)和(X[,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減.(其中x/I%=-a)

(〃)當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=x，+3x?-9x+l,xC[m,2「f(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1)

令f(x)=0,得X]=l,X2=-3.

將X,f'(x)，f(x)變化情況列表如下：

X1-3'-3.111

f'(x)+0-04-

f(x)/極大極小/

由此表可得f(x)極大=f(-3)=28,f(x)極小=f(l)=-4.

又f(2)=3<28,

故區(qū)間[m,2]內(nèi)必須含有一3，即m的取值范圍是(-8,-3]

7.已知函數(shù)=

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在加,[0,2],且同一初21,使得'(J=1,求證：14一色一Ve.

【思路引導(dǎo)】

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)導(dǎo)數(shù)值大于零或小于零的不等式的解；(2)根據(jù)題意對。進(jìn)行分類

討論，當(dāng)aw0時(shí)顯然不行，。>0時(shí)，不能有加,〃e(lna,+oo)，設(shè)0W加<〃W2,則由04根<lna<〃<2

即可，利用單調(diào)性即可證出.

試題解析：(D當(dāng)。=2時(shí)，f(x)=ex-2x=>f(x)=ex-2,

yf(x)>0=>x>ln2,由/''(x)<0=x<ln2,

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(E2.+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(70』n2).

(2)由，(x)=/-a,當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>0,此時(shí)〃x)在R上單調(diào)遞增;

由巧事=1可得加=〃，與加一同相矛盾，

所以a>Q,且〃x)的單調(diào)遞熠區(qū)間為(Inq+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(v?[na).

若we(-oojna),則由再)=/(修)可得再=與，與|再一引21相矛盾，

同樣不能有msne(Ina,+8),

不妨設(shè)0Vm＜打42＞貝ij由04加＜Ina＜?＜2,

因?yàn)椤▁)在(丸Ina)上單調(diào)遞減，在(lna/7)上單調(diào)遞增，且黑'=1,

所以當(dāng)冽SxW〃時(shí)，/(X)</(w)=/(?).

由0W?n<〃W2,|?I-M|>1,可得le［犯〃］,故/⑴=/(〃)，

又/(x)在(YC』na)上單調(diào)遞減，且OSmvlna,所以〃加)4〃0),

所以/⑴4/(0),同理/⑴4/(2),即{6~0~\,解得e—14a4/-e,

e—a<e'-2a

所以14，一We.

e—1

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題.

處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點(diǎn)，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性

及極值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求

函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉

及技巧比較多，需要多加體會.

/、—+x~(x<1)

8.已知函數(shù)/(%)={(、.

alnx［x>l)

(1)求F(x)在區(qū)間(-00,1)上的極小值和極大值點(diǎn)。

(.2)求/(x)在［-l,e］上的最大值.

【思路引導(dǎo)】

(1)當(dāng)％<1時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得了(X)在區(qū)間(-oo,l)上的極小值和極大值點(diǎn)；(2)

分兩種情況-iWxWe討論，分別利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f(x)在上的

極大值，與區(qū)間端點(diǎn)值的函數(shù)值比較即可的結(jié)果.

9

試題解析：(1)當(dāng)％<1時(shí)，/'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令/(x)=0,得x=0或x=當(dāng)x變

化時(shí)，/(x)J(x)的變化情況如下表：

f（x）極小值極大值

7

.?.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)〃x)取得極小值，/(0)=0,函數(shù)〃x)取得極大值點(diǎn)為x=(.

(2)①當(dāng)-1W時(shí)，〃切=-1+X2,由3)知，函數(shù)“X)在［-L0］和薦1；上單調(diào)遞減，在0:1

上單調(diào)遞增，?.?/(-1)=2,/；|'=±!/(0)=0,二/(X)在［T1)上的最大值為2.

②當(dāng)IWXWC時(shí)，/(x)=alnx,當(dāng)aWO時(shí)，/⑺在［L。］上單調(diào)遞增，二=。，綜上所述,

當(dāng)a之2時(shí)，“X)在［Te］上的最大值為a；當(dāng)a<2時(shí)，>'(力在［T。］上的最大值為2.

9..已知函數(shù)〃x)=；x2-2x-31n%,g(x)-3x-：a(aeR).

⑴若V%>0,加恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)戶(%)=/(%)—2g"),若尸(力在［1,5］上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【,思路引導(dǎo)】

(1)V%>0,"%”加恒成立，即求/('Yin之也在(°，+°°)上恒成立⑵函數(shù)/(%)=/(%)—2g(%)

在［1,5］上有零點(diǎn)，等價(jià)于方程/⑴―2g(x)=0在［1,5］上有解，化簡，#1x2-4x+31nx=a.設(shè)

A(x)=1x2-4x+31nx,研究單調(diào)性，畫出圖像即得解.

.試題解析：(1)由題意，得了(X)的定義域?yàn)?0,+8),

廠(力二廠2—=，；3="+1*—3)%>。，二r(x)、f(x)隨］的變化情況如下表：

(0,3)3（3,+00）

/（x）—0+

/(X)單調(diào)遞減.極小值一單調(diào)遞增

33

所以=/（3）=-31n3.-"%”用在（0,+oo）上恒成立，m<---31n3.

(2)函數(shù)/(x)=〃x)-2g(x)在［L5］上有零點(diǎn)，等價(jià)于方程”x)-2g(x)=0在［L5］上有解.

化簡，得L/-4x+31nx=a.設(shè)%(x)=工/-4x+31nx.則*(x)=x-4+：=("T,

22xx

7i(5)-/i(l)=31n5-4=ln53-lne4>0.

作出〃(x)在［L5］上的大致圖象(如圖所示).

所以，當(dāng)31n3—tWaW31n5-三時(shí)，-x2-4x+31nx=a^±［L5］±^jS.

222

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是31n3-