江蘇省南京市鼓樓實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期九年級開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年南京市鼓樓實驗中學(xué)九上期初卷

一.選擇題（共6小題。，12分）

1.方程Y-X=O的根為（）

A.xx=x2=0B.χ=l,x2=OC.xlD.——1，—0

2.用配方法將方程x2-4x-3=0變形，結(jié)果正確的是（）

A.(X-2)2-7=0B.(X-2)2-1=0C.(x+2)2-7=0D.(X+2)2-3=0

3.若方程χ2-2x+A=0有兩個實數(shù)根，則Z的取值范圍是（）

A.?>1B.k=lC.k<?D.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=-/的圖象先向右平移1個單位,再向上平移5個單位

后，得到的圖象的函數(shù)表達式是（）

D.y=-(x-l)2-5

5.已知二次函數(shù)y=fcγ2-7x-7的圖象和X軸有交點，則％的取值范圍是（）

777

?-QqB.k…一一C.k.,.--Kk≠OD.k>--Rk≠O

444

6.二次函數(shù)y=ɑ?'+?x+c（α≠0）中的自變量X與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如卜表:

X-3-2-1014

y1670-5-8-5

則下列結(jié)論：

Φα<0；

②當(dāng)函數(shù)值y<0時，對應(yīng)X的取值范圍是-l<x<5;

③頂點坐標(biāo)為（1,-8）；

④若點P（-2,y,）,Q（5,y2）在拋物線上，則%>力.

其中，所有正確結(jié)論的序號為（）

A.①③B.③④C.①④D.②④

二.填空題（共10小題，20分）

7.設(shè)x∣,Λ?是關(guān)于X的方程W-3x+2=0的兩個根，則芭+々=.

8.二次函數(shù)y=(x-2)2-3圖象的頂點坐標(biāo)是.

9.己知根是方程V-X-I=O的一個根，則代數(shù)式z√-m-2022的值是__.

10.某農(nóng)場的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從3000噸增加到3630噸，若設(shè)平均每年增產(chǎn)的

百分率為X,則所列方程為.

11.拋物線y=2(x+3)(x-2)與X軸的交點坐標(biāo)分別為.

12.若二次函數(shù)y=χ2+χ+l的圖象，經(jīng)過A(-3,y∣),B(-2,y2),C(g,%),三點y∣,y2,

力大小關(guān)系是—(用“<”連接).

13.當(dāng)α=l,b=,n,c=T5時，若代數(shù)式士亞三亞的值為3,則代數(shù)式土亞以竺

2a2a

的值為—.

14.函數(shù)y=-V+χ的部分圖象如圖所示，當(dāng)),<0時，X的取值范圍是.

15.設(shè)關(guān)于X的方程ɑr?+(α+2)x+94=0有兩個不相等的實數(shù)根x∣,X2,且XlCl<x2,那

么。取值范圍是—.

16.已知二次函數(shù)y=d-2(A+l)x+公-2/-3與X軸有兩個交點，當(dāng)人取最小整數(shù)時的二

次函數(shù)的圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折到X軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個

新圖象，則新圖象與直線y=x+帆有三個不同公共點時機的值是.

Ξ.解答題(共10小題，88分)

17.解下列一元二次方程：

(1)2(X-1)2=18

(2)3x(x-4)=x-4

(3)√-2x-5=0(用配方法)

(4)3%2—5X-2=O

18.已知關(guān)于X的一元二次方程f-2χ-2=0

（1）不解方程，判斷此方程根的情況；

（2）設(shè)F、2為方程的兩個根，求百W+與+x?的值?

19.已知二次函數(shù)y=α√-2的圖象經(jīng)過點（一1,一1）.

（1）求出這個函數(shù)的表達式；

（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并寫出此函數(shù)圖象的開口方向、

頂點坐標(biāo)、對稱軸及y隨X的變化情況：

（3）當(dāng)-掇Ik2時，y的取值范圍是多少？

（1）求加的取值范圍;

（2）若令丫=a-々）2,求出y與加的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值.

21.某單位院內(nèi)有一塊長30機，寬20〃?的矩形空地，準(zhǔn)備將其建成一個矩形花壇，要求在

花壇中修兩條縱向平行和橫向彎折的小道（如圖），剩余的地方種植花草，要使種植花草的

面積為532,/,那么小道進出口的寬度應(yīng)為多少米？（注：左右小道進出口的寬度相等，且

每段小道均為平行四邊形）

22.己知二次函數(shù)＞=α√+?χ+2的圖象經(jīng)過點(2,0)和點C.

(1)若點C坐標(biāo)為(1,3),

①求這個二次函數(shù)的表達式；

②當(dāng)-費*2時，直接寫出y的取值范圍.

(2)若點C坐標(biāo)為(1,〃?)且該函數(shù)的圖象開口向上，直接寫出”的取值范圍.

23.如圖，某隧道的截面由拋物線血＞和矩形ASCD構(gòu)成，整個圖形是軸對稱圖形.矩形

的長BC為8〃?，寬AB為2m,拋物線的頂點E到地面距離為6〃?.

(1)自建平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的解析式；

(2)一輛貨運卡車高4.5加，寬2.4m,它能通過該隧道嗎？

(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設(shè)有。4帆的隔離帶，則該輛貨

運卡車還能通過隧道嗎？

24.某超市銷售一種商品，成本為每千克50元.當(dāng)每千克售價60元時，每天的銷售量為

60千克，經(jīng)市場調(diào)查，當(dāng)每千克售價增加1元，每天的銷售量減少2千克.

(1)為保證某天獲得750元的銷售利潤，則該天的銷售單價應(yīng)定為多少？

(2)當(dāng)銷售單價定為多少時，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

25.已知二次函數(shù))，=(犬一2)。一根)(機為常數(shù)).

(1)求證：不論，"為何值，該函數(shù)的圖象與X軸總有公共點；

(2)若M(-l,0),N(3,0),該函數(shù)圖象與線段MN只有1個公共點，直接寫出機的取值范

圍；

(3)若點A(-l,α),B(],b),C(3,c)在該函數(shù)的圖象上，當(dāng)αbc＜O時，結(jié)合函數(shù)圖象，直

接寫出，”的取值范圍.

26.【閱讀材料】

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=”的形式.求解二元一次方程

組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次

方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化

為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解

法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想--轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程V-6∕+8X=0,

可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為X(X2-6X+8)=0,解方程X=O和d-6χ+8=0,可得方程

X3-6X2+8x=0的解.

【直接應(yīng)用】

3

方程X—6χ2+8x=0的解是XI=0,x2=.X3=.

【類比遷移】

解方程：?fx+2=X.

【問題解決】

如圖，在矩形ABa)中，AD=8,AB=2,點P在4)上，若PB+PC=IO,求Ap的長.

2023-2024學(xué)年南京市鼓樓實驗中學(xué)九上期初卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共6小題)

1.方程f-X=O的根為(

A.Xl=W=Oxl=1,x2=0C.xl=X2=-1

【解答】解：X2-X=O,

x(x-l)=0,

X-I=O或X=0,

解得：x1=1>x2=0>

故選：B.

2.用配方法將方程d—4x-3=0變形，結(jié)果正確的是()

A.(X-2)2-7=0B.(X-2)2-1=0C.(x+2)2-7=0D.(x+2)2-3=0

【解答】解：方程V-4x-3=0,

變形得：X2-4X+4-7=0,即(X-2)2-7=0.

故選：A.

3.若方程9-2χ+k=0有兩個實數(shù)根，則％的取值范圍是()

A.k>]B.k=lC.k<lD.k,,l

【解答】解：?關(guān)于X的方程V-2x+k=0有兩個實數(shù)根，

.?.Δ=(-2)2-4×l??=4-4?..0,

解得：k,,l.

故選：D.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=-f的圖象先向右平移1個單位，再向上平移5個單位

后，得到的圖象的函數(shù)表達式是()

A.y=-(χ+l)2+5B.y=-(χ-l)2+5C.^=-(x+l)2-5D.y=-(x-l)2-5

【解答】解：函數(shù)y=-Y的圖象先向右平移1個單位，再向上平移5個單位,

.?.平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,5),

平移后得到的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-1)z+5.

故選：B.

5.已知二次函數(shù)y=近2-7x-7的圖象和X軸有交點，則Z的取值范圍是()

7777

A.k>—B.k...—C.k...—且后HOD.k>—且A*0

4444

【解答】解：?二次函數(shù)y=^2-7x-7的圖象和X軸有交點，

∫k≠0

一]49+28k..θ'

7

k...—且k≠0?

4

故選：C.

6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中的自變量X與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:

X-3-2-1014

y1670-5-8-5

則下列結(jié)論：

φα<0;

②當(dāng)函數(shù)值y<0時，對應(yīng)X的取值范圍是T<x<5;

③頂點坐標(biāo)為(1,-8)；

④若點尸(-2,y),Q(5,%)在拋物線上，則y>當(dāng)?

其中，所有正確結(jié)論的序號為()

A.①③B.③④C.①④D.②④

【解答】解：由(0,-5),(4,-5)可得拋物線對稱軸為直線X=2,

由(1,-8),(4,-5)可得x>2時y隨X增大而增大，

拋物線開口向上，即a>0,

故①錯誤，不符合題意.

拋物線對稱軸為直線x=2,且拋物線過點(-1,0),

拋物線與X軸另一交點坐標(biāo)為(5,0),

r.-l<x<5時，y<0,

.?.故②正確，符合題意.

?拋物線對稱軸為直線X=2,

.?.故③錯誤，不符合題意.

?拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2,且5-2<2-(-2),

故>1>必，

??.④正確，符合題意.

故選：D.

二.填空題(共10小題)

7.設(shè)x∣,々是關(guān)于X的方程W-3x+2=0的兩個根，則x∣+X；=3.

【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系玉+%=-2得j?+%=3.

a

故答案為：3.

8.二次函數(shù)y=(x-2)2-3圖象的頂點坐標(biāo)是_(2,-3)_.

【解答】解：二次函數(shù)y=(x-2)2-3圖象的頂點坐標(biāo)是：(2,-3).

故答案為：(2,-3).

9.已知，"是方程f-χ-l=0的一個根，則代數(shù)式>-m-2022的值是_-2021一

【解答】解：機是方程V—x—l=。的一個根，

IVT-/72—1=0,

.?∏Γ-m=?,

.?.rrΓ-m-2022=1-2022=-2021.

故答案為：-2021.

10.某農(nóng)場的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從3000噸增加到3630噸，若設(shè)平均每年增產(chǎn)的

百分率為X,則所列方程為_3000(1+x)2=3630一

【解答】解：設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為X；

第一年糧食的產(chǎn)量為：3000(l+x);

第二年糧食的產(chǎn)量為：3000(1+X)(I+x)=3000(1+%)2；

依題意，可列方程：3000(1+x)2=3630；

故答案為：3000(1+x)2=3630.

11.拋物線y=2(x+3)(x-2)與X軸的交點坐標(biāo)分別為_(-3,0)—(2,0)

【解答】解：當(dāng)0=2(x+3)(x-2),

解得：x=—3,x=2,

故拋物線y=2(x+3)(x-2)與X軸的交點坐標(biāo)分別為：(-3,0),(2,0).

故答案為：(-3,0),(2,0).

12.若二次函數(shù)y=V+χ+1的圖象，經(jīng)過4(-3,χ),β(-2,y2),C(∣,為)，三點M，J2-

力大小關(guān)系是_/<%<%_(用“<”連接)?

1Q

【解答】解：,y=x2+?+l=(x+-)2+—,

.?.圖象的開口向上，對稱軸是直線X=

2

.?.當(dāng)X>_J_時，y隨X的增大而增大，

2

A(-3,yl)關(guān)于直線x=-；的對稱點是(2,%),

8(-2,%)關(guān)于直線X=-g的對稱點是(1,y2),

工<1<2,

2

故答案為：y3<y2<yl.

13.當(dāng)α=l,b=m,c=-15?,若代數(shù)式土應(yīng)三還的值為3,則代數(shù)式土衛(wèi)三9

2a2a

的值為5_.

【解答】解：一元二次方程為加+二+c=0的兩個根為C=-H'"-4加，

2a

-b-?∣b2-Aac

Xj=，

22a

-b+?∣b2-4ac-b-?∣b2-4acc-15

..XtX)—,==——15,

2a2aa1

代數(shù)式上鋁”的值為3,

...代數(shù)式-b7bJac的值為_5,

2a

故答案為：-5.

14.函數(shù)y=-∕+］的部分圖象如圖所示，當(dāng)y<o時，X的取值范圍是_Tv%vO或

.?.-x(x2-1)=0,

/.-x(x+l)(x-l)=0,

.?.-X=O或x+l=0或x-l=0,

解得：x∣=0,x2=-?f七=1,

.??函數(shù)與X軸的交點坐標(biāo)為：(T,0),(0,0),(1,0),

結(jié)合圖象，當(dāng)y<0時，X的取值范圍是：—1VXVO或%>1.

故答案為：—1VXVo或x>l?

15.設(shè)關(guān)于X的方程G2+3+2)%+9α=0有兩個不相等的實數(shù)根%],x2,且％civ/，那

?

么。取值范圍是——<α<0.

—11—

【解答】解：,方程有兩個不相等的實數(shù)根，

△=(cι+2)~—4?！?。=—35Q~+4Q÷4>0,

解得：二<〃<2,

75

a+2?1

xl+x2=--------，xlx2=9,XI<I<X2,

.*.x∣—I<0,艾1—1>0,

,

..(x∣—l)(x2—1)VO，

,?x1x2-(Λ?÷?)÷1<O,

即9+9+l<O,

a

當(dāng)“<O時，解得“…一工；

11

當(dāng)a>0時，不等式無解，

2

-----VaV0，

11

22

乂τ7—Vα<一，

75

.?

a的取值范圍為——<“<0.

11

故答案為：一~—<a<0.

11

16.已知二次函數(shù)了二/一2(%+1?+二一2A-3與X軸有兩個交點，當(dāng)左取最小整數(shù)時的二

次函數(shù)的圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折到戈軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個

新圖象，則新圖象與直線y=x+%有三個不同公共點時，"的值是1或?.

【解答】解：?函數(shù)%/一2伏+1?+%2-2A-3與X軸有兩個交點，

.?.Δ=[-2(?+l)]2-4×l×(Γ-2?-3)>0,

解得上?一1,

當(dāng)左取最小整數(shù)時，k=0,

拋物線為y=d-2x-3,

將該二次函數(shù)圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折到X軸上方，圖象的其余部分不變，得到一

個新圖象，所以新圖象的解析式為y,=U-D2-4U,-1或

X扇)y=-(x-l)2+4(-1Λ?3).

①因為％=x+，"的%>。，所以它的圖象從左到右是上升的，當(dāng)它與新圖象有3個交點時它

一定過(一1,0)把(-1,0)代入％=x+"?得-1+帆=0所以加=1,

②X=-(X-I)2+4(-1M3)與y=x+m相切時,圖象有三個交點,

-(x-l)2+4=x+∕π,

Δ=l-4(w-3)=0,

解得m=-?

4

故答案為：1或竺.

4

三.解答題(共IO小題)

17.解下列一元二次方程：

(1)2(X-1)2=18

(2)3x(x-4)=x-4

(3)X2-2X-5=0(用配方法)

(4)3χ2-5x-2=O

【解答】解：(1)2(X-1)2=18,

X=4或x=-3

(2)3x(x-4)=x-4,

X=4或X=L

3

(3)X2-2x-5=0,

X2÷4x÷4=5,

(X÷2)2=5,

x+2=±y/5,

所以玉=—2÷#>,X2=-2—?∣5；

(4)3%2一5%-2=0,

TI

X=2或IX=——

3

18.已知關(guān)于X的一元二次方程/一2工一2=0

(1)不解方程，判斷此方程根的情況；

(2)設(shè)為、4為方程的兩個根，求為w+菁+4的值.

【解答】解：(1)?(-2)2-4×1X(-2)=12>0,

解得：方程具有兩個不相等的實數(shù)根

(2)一元二次方程為：f-2x—2=0,

.?xλ+x2=2,x1x2=-2,

.?.xxx2+菁+x2=0?

19.已知二次函數(shù)y=α√-2的圖象經(jīng)過點(-1,-1).

(1)求出這個函數(shù)的表達式；

(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并寫出此函數(shù)圖象的開口方向、

頂點坐標(biāo)、對稱軸及y隨X的變化情況；

(3)當(dāng)-掇Ik2時，y的取值范圍是多少？

W

【解答】解：(1).二次函數(shù)片加-2的圖象經(jīng)過點(T—l),

-1=CI—2,

.?a=l9

這個函數(shù)的表達式為y=Y-2;

(2)畫出函數(shù)y=f-2的圖象如圖:

由圖象可知，此函數(shù)圖象的開口向上、頂點坐標(biāo)為(0,-2)、對稱軸為y軸，當(dāng)x<0時，y隨

X的增大而減小，當(dāng)x>0時，y隨X的增大而增大；

(3)把x=2代入y=V-2得，y=2,

此函數(shù)圖象的開口向上、頂點坐標(biāo)為(0,-2),

.?.當(dāng)X=O時，y有最小值—2,

.?.當(dāng)-掇Ik2時，y的取值范圍是-2>,y<2.

20.已知關(guān)于苫的方程/一(2m-3)1+>+1=0有兩個實數(shù)根占，x2

(1)求m的取值范圍；

(2)若令y=ɑ-Xz)2,求出y與機的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值.

【解答】解：(1)方程/_(2〃?-3?+■+1=0有兩個實數(shù)根為，x2,

.,.Δ..0,

.?.(2m-3)2-4(>+1)..0,

5

二.成,—；

12

2

(2)xl+x2=2m-39x1?x2=W+1,

.,.(x∣-Λ^2)=(?i+尤2)~—4X1九2=Qm—3)~—4("廠+1)=-12m+5,

二.求出y與加的函數(shù)關(guān)系式為：y=-↑2m+5,

,由(1)知道∕n,,—,

.?.當(dāng)機=gy有最小值為0.

21.某單位院內(nèi)有一塊長30a，寬20m的矩形空地，準(zhǔn)備將其建成一個矩形花壇，要求在

花壇中修兩條縱向平行和橫向彎折的小道(如圖)，剩余的地方種植花草，要使種植花草的

面積為532∕√,那么小道進出口的寬度應(yīng)為多少米？(注：左右小道進出口的寬度相等，且

每段小道均為平行四邊形)

【解答】解：設(shè)小道進出口的寬度為X米，依題意得

(30—2x)(20—x)=532.

整理，得d-35x+34=0.

解得％=1,x2=34.

34>20(不符合題意，舍去),

..?=1?

答：小道進出口的寬度應(yīng)為1米.

22.已知二次函數(shù)y=θχ2+?r+2的圖象經(jīng)過點(2,0)和點C.

(1)若點C坐標(biāo)為(1,3),

①求這個二次函數(shù)的表達式；

②當(dāng)-1領(lǐng)k2時，直接寫出y的取值范圍.

(2)若點C坐標(biāo)為(1,〃?)且該函數(shù)的圖象開口向上，直接寫出機的取值范圍.

4a+2h+2=0

【解答】解:⑴①把(2,0)和C(l,3)分別代入y=α√+6x+2得

α+?+2=3

解得

b=3

.?.這個二次函數(shù)的表達式為y=-2∕+3x+2;

②y=-2(x-?∣)2`

.?.當(dāng)x=3時，y有最大值”，

28

當(dāng)X=T時，y=-2x2+3x+2=-2-3+2=-3;

當(dāng)X=2時，y=-2x2+3x+2=-2×4+3×2+2=0,

.??當(dāng)-掇/2時，y的取值范圍為-3效，?;

(2)把(2,0)和C(l,in)分別代入y=爾+bx+2得I，"+2〃+2=°,

[a+b+2=m

解得4=1-〃？，

,該函數(shù)的圖象開口向上，

.?.4>O,

即1—7Π>0,

解得ZnVL

23.如圖，某隧道的截面由拋物線AED和矩形ABco構(gòu)成，整個圖形是軸對稱圖形.矩形

的長BC為8m，寬AB為2m,拋物線的頂點石到地面距離為.

(I)自建平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的解析式；

(2)一輛貨運卡車高45”，寬2.4〃?，它能通過該隧道嗎？

(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設(shè)有04〃的隔離帶，則該輛貨

運卡車還能通過隧道嗎？

【解答】解：(1)根據(jù)題意,A(-4,2),0(4,2),￡(0,6).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+6(〃≠0),把A(-4⑵或0(4,2)代入得

16<7+6=2.

解得：a=-■-.

4

拋物線的解析式為y=-工/+6.

(2)根據(jù)題意，把X=±1.2代入解析式,

得y=5.64???.

5.64m>4.5m,

??.貨運卡車能通過.

(3)根據(jù)題意，X=-0.2-2.4=-2.6，〃或X=O.2+2.4=2.6〃？，

把X=及.6代入解析式，

得y=4.3?m.

4.31m<4.5m，

：.貨運卡車不能通過.

24.某超市銷售一種商品，成本為每千克50元.當(dāng)每千克售價60元時，每天的銷售量為

60千克，經(jīng)市場調(diào)查，當(dāng)每千克售價增加1元，每天的銷售量減少2千克.

(1)為保證某天獲得750元的銷售利潤，則該天的銷售單價應(yīng)定為多少？

(2)當(dāng)銷售單價定為多少時，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設(shè)該天的銷售單價應(yīng)定為α元，

根據(jù)題意得：(。一50)[60-2(α-60)]=750,

整理得：X2-140.r+4875=0,

解得占=65,X2=15,

答：該天的銷售單價應(yīng)定為65元或75元；

(2)設(shè)銷售單價定為X元，銷售利潤為)，元，

根據(jù)題意得：y=(x-50)f60-2(X-60)]=-2X2+280x-9000=-2(x-7O)2+8OO,

—2<0，

.?.當(dāng)x=70時，)，有最大值，最大值為800,

答：當(dāng)銷售單價定為70時，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大，最大利潤是800元.

25.已知二次函數(shù)y=(x-2)(X-m)(m為常數(shù)).

(1)求證：不論，"為何值，該函數(shù)的圖象與X軸總有公共點；

(2)若M(-l,0),N(3,0),該函數(shù)圖象與線段MN只有1個公共點，直接寫出團的取值范

圍；

(3)若點A(TM),B(l,?),C(3,c)在