2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：隨機(jī)變量及其分布章節(jié)綜合

2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

隨機(jī)變量及其分布章節(jié)綜合

1.(2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模)從-2,-1,1,2,3這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”

為事件A,“兩數(shù)均為負(fù)數(shù)為事件8.則P(BIA)=.

2.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)網(wǎng)購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對本小區(qū)三月

份參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭的網(wǎng)購次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽

取10戶，分別記為A組和8組，這20戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜的次數(shù)如下圖：

曲

98O5

87531I24

9621478

03359

假設(shè)用頻率估計概率，且各戶網(wǎng)購生鮮蔬菜的情況互不影響.

(1)從一單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的概

率；

(2)從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記這兩戶中三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大

于20的戶數(shù)為X,估計X的數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)從A組和B組中分別隨機(jī)抽取2戶家庭，記。為A組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于

20的戶數(shù)，42為B組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，比較方差。G)與。(芻)

的大小.(結(jié)論不要求證明)

3.(2023?北京平谷?統(tǒng)考一模)“綠水青山就是金山銀山”，某地區(qū)甲乙丙三個林場開展植樹工程，2011-

2020年的植樹成活率(％)統(tǒng)計如下：(表中“/”表示該年末植樹)：

2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

甲95.59296.591.696.394.6////

乙95.191.693.297.895.692.396.6///

丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5

規(guī)定：若當(dāng)年植樹成活率大于95%,則認(rèn)定該年為優(yōu)質(zhì)工程.

(1)從乙林場植樹的年份中任抽取兩年，求這兩年都是優(yōu)質(zhì)工程的概率：

(2)從甲、乙、丙三個林場植樹的年份中各抽取一年，以X表示這3年中優(yōu)質(zhì)工程的個數(shù)，求X的分布列；

(3)若乙丙兩個林場每年植樹的棵數(shù)不變，能否根據(jù)兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹

成活率平均數(shù)的大??？

4.（2023?北京石景山?統(tǒng)考一模）某高?！爸参餇I養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長

效肥和緩釋肥對農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應(yīng)1,2,3三組.觀

察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.

株高增量（單位：厘米）(4,7]（7」（）］(10,13](13,16]

第1組雞冠花株數(shù)92092

第2組雞冠花株數(shù)416164

第3組雞冠花株數(shù)1312132

假設(shè)用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.

（1）從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計株高增量為（7,10］厘米的概率；

（2）分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株的株高增

量為（7,10］厘米，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

⑶用'4=1”表示第％組雞冠花的株高增量為（4,10］5=0”表示第人組雞冠花的株高增量為。0,16］厘

米，幺=1,2,3,直接寫出方差。芻，Dξ2,的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

5.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據(jù)答題

得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動

的高一學(xué)生，獲獎情況統(tǒng)計結(jié)果如下：

獲獎人數(shù)

性別人數(shù)

一等獎二等獎三等獎

男生200101515

女生300252540

假設(shè)所有學(xué)生的獲獎情況相互獨立.

（1）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎的概率；

（2）用頻率估計概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這

2名學(xué)生中獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

（3）用頻率估計概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎的概率為P。；從該地區(qū)高一男

生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎的概率為??；從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲

獎的概率為P2,試比較P。與巧包的大小.（結(jié)論不要求證明）

6.（2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模）交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，TPl越大代表擁堵

程度越高.某平臺計算TPI的公式為：TPI=tm并按TPl的大小將城市道路擁堵程度劃分為

如下表所示的4個等級:

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/p>

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPl的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖:

12月29日12月30日12月31日1月1日1月2日1月3日1月4日

——?——2023年----?----2022年

(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；

(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPl比2022年同日TPl高的

天數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X);

⑶把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPl依次記為

ava2,,%,將2022年同期TPI依次記為4也，，仿，記q=q.-%(i=1,2,,7),c=-^?.請直接寫出

7/=I

取得最大值時i的值.

7.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項等級如下

(單位：cm)：

立定跳遠(yuǎn)單項等級高三男生高三女生

優(yōu)秀26。及以上194及以上

良好245~259180J93

及格205~244150~179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機(jī)抽取12名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測試成績整理如下(精確到ICm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學(xué)的測試成績相互獨立.

(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項的優(yōu)秀率；

(2)從該校全體高三男生中隨機(jī)抽取2人，全體高三女生中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為這3人中立定跳遠(yuǎn)單項等

級為優(yōu)秀的人數(shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)從該校全體高三女生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)“這3人的立定跳遠(yuǎn)單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件A,

“這3人的立定跳遠(yuǎn)單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件8.判斷A與B是否相互獨立.(結(jié)論不要求證明)

8.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內(nèi)甲進(jìn)

行了6次測試，乙進(jìn)行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測試成

績?nèi)缦卤恚?/p>

次數(shù)

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

同學(xué)

甲807882869593—

乙76818085899694

(1)從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中隨機(jī)選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；

(2)從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望EX；

(3)從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測試中隨機(jī)選取3次，設(shè)F表示這3次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望

Ey與(2)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)

9.(2023?北京房山?統(tǒng)考一模)某社區(qū)組織了一次公益講座.向社區(qū)居民普及垃圾分類知識.為了解講座效

果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民.讓他們在講座前和講座后分別回答一份垃圾分類知識向卷.這10位社區(qū)居民的

講座前和講座后答卷的正確率如下表：

號

1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號

準(zhǔn)確，\

講座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%

講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%

(1)從公益講座前的10份垃圾分類知識答卷中隨機(jī)抽取一份.求這份答卷正確率低于80%的概率;

(2)從正確率不低于90%的垃圾分類知識答卷中隨機(jī)抽取3份，記隨機(jī)變量X為抽中講座前答卷的個數(shù).求

隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)判斷此次公益講座的宣傳效果.并說明你的理由.

參考答案

1.1##0.25

4

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求出P(A)，P(AB),再由條件概率的概率公式計算可得.

【詳解】從-2,-1,1,2,3這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)有C；=IO種取法，

其中滿足兩數(shù)之積為正數(shù)的有C；+C；=4種取法，

滿足兩數(shù)之積為正數(shù)且兩數(shù)均為負(fù)數(shù)的有Cj=I種取法，

41

所以尸(A)=元,尸(AB)=布,

所以P⑻.A、)=君P(AB)=T1

故答案為：■—

4

3

2.(1)—

10

(2)1

(3)。(O)=D㈤

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；

(2)由題可知，X的可能取值為0,1,2,再分別求出對應(yīng)的概率，由期望公式即可求出；

(3)根據(jù)方差公式計算可知，DtJ=D&).

【詳解】(1)設(shè)“該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20”為事件C,在A組10戶中超過20次的有3戶，由

3

樣本頻率估計總體概率，則P(C)=布.

(2)由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為

37

二單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為正，X的可能取值為0,1,

2,所以,

3721212921

P(X=2)=-X—=—,E(X)=OX——+1×-÷2×——=1

101010010050100

(3)依題可知，&的可能取值為。，1，2,且。，乙服從超幾何分布，

%=0)=∣?=??,—)=等W，尸侑=2)尋AI

P(4Γ,=0)=??=L,尸(芻=1)=軍=工，尸(4=2)=與=2，

v-,C；o15v2'。15'2>c；o15

z3377

因為E(0)=2x15=+E(?)=2×-=-,所以，

7

八心。、3丫7f13YIJ3丫28

v715I5)15I5J15(5)75

。?)=.0高+VX(Iq)+?x(2^i}=H,所以，De)=O㈤?

3.(嗚2

(2)分布列見解析

(3)不能，理由見解析

【分析】(1)由古典概率的計算公式代入即可得出答案；

(2)求出X的可能取值，分別計算出其概率，即可得出分布列：

(3)分別求出兩個林場植樹成活率平均數(shù)即可判斷.

【詳解】(1)乙林場植樹共7年，其中優(yōu)質(zhì)工程有4年，

從乙林場植樹的年份中任抽取兩年，這兩年都是優(yōu)質(zhì)工程為事件A,

4x3

所以P(A)=《=2d_=2Z=2

切以I)G7x6427-

2^1

(2)甲林場植樹共6年，其中優(yōu)質(zhì)工程有3年，

乙林場植樹共7年，其中優(yōu)質(zhì)工程有4年，

丙林場植樹共10年，其中優(yōu)質(zhì)工程有5年，

則X的可能取值為OJ2,3,

P(X=O)=第普嗑

C6，C7?lθ28

MX=I)=C；CC+c；CC+c；CC_5

')CCC14,

HX=2'=c；Ce+C1C；c+CeC」1

(^)-Cj)CC.28，

p(x=3)=窄CJq=L

v,C；CCo7

則X的分布列為：

(3)不能根據(jù)兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數(shù)的大小.

4141

因為乙、丙兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率分別為五，叼>展

則設(shè)乙、丙林場植樹成活率平均數(shù)分別為工,兀,

95.1+91.6+93.2+97.8+95.6+92.3+96.6

97.0+95.4+98.2+93.5+94.8+95.5+94.5+93.5+98.0+92.5

所以乙、丙這兩個林場植樹成活率平均數(shù)分別為：94.6,95.29,且丙林場植樹成活率大于乙林場植樹成

活率.

所以不能根據(jù)兩個林場優(yōu)質(zhì)工程概率的大小，推斷出這兩個林場植樹成活率平均數(shù)的大小.

4.⑴T

（2）分布列見解析，EX=三

（3）D?,<D?<D?2

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，得（7,10］厘米的總數(shù)，由古典概型概率

公式可得結(jié)果；

（2）首先估計各組雞冠花增量為（7,1（）］厘米的概率，然后可確定X所有可能的取值，根據(jù)獨立事件概率公

式可求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式可求得期望；

（3）由兩點分布方差計算公式可求得Dξ2,的值，由此可得大小關(guān)系.

【詳解】（1）設(shè)事件A為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為（7,10］厘米”，

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為（7,10］厘米，

7∩1

所以P（A）估計為券=%

（2）設(shè)事件8為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為（7,10］厘米”，

設(shè)事件C為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為（7,10］厘米”，

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，「⑻估計為獸=3P（C）估計為2

4054010

根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0123,且

221

P(X=O)=P(ABC)=P

?Ioo；

P(X=I)=尸(A而+而3+而C)=P(A)P⑻P(C)+P(Z)P⑻P(C)+P(?)P(耳)P(C)=

p(x=2)=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+F(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=—；

P(X=3)=P("C)=尸(A)P(B)P(C)=大，

則X的分布列為:

X0123

2111293

P

Ioo25Too50

ULyLVC21111C29C36

/jl?以EX=O×-----1-1×----F2×------F3X—=―

IOO251∞505

(3)Dξx<Dξ3<Dξ2

理由如下：

%?)=豢％=。)*，匕匚八1129cll2911319

所以Eζ,=1×----FoX—=—,DζιX__=____

14040401401600

皈=1)4=Vc=O)W_400

所以監(jiān)之弓+吟=；小=(ι-{H+("(HW^1600

^(?=0=∣5=p(?=o)=∣-所以E?=iχ(+0χ∣=?og3375

1600

所以。。＜。芻＜。&.

5.(1)-----

240

(2)分布列見解析，期望EX=T

⑶外葉

【分析】(1)直接計算概率P(A)=Kl；

。200^3(X)

(2)X的所有可能取值為0,1,2,求出高一男生獲獎概率和高一女生獲獎概率，再計算概率得到分布列,

最后計算期望即可;

(3)計算出Po=I丐口=:，比較大小即可.

【詳解】(1)設(shè)事件A為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名,

抽到的2名學(xué)生都獲一等獎”,

則尸⑷=疆=擊

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.

記事件8為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名,該學(xué)生獲獎”，

事件C為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名,該學(xué)生獲獎由題設(shè)知,事件B,C相互獨立,

且尸⑻估計為Iu;I'=1,pg估計為25+舄+403

10

28

所以P(X=O)=P(BC)=P(B)P(C)

50,

P(X=I)=P(比U初)=P(B)P(C)+P出)P(C)=Xl-總+(iTXQlI，

133

P(X=2)=P(Be)=P(B)P(C)=-×-=—.

所以X的分布列為

X012

28193

P

505050

02IQ31

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OXH+卜口+2'京=5

（3）P°>互愛,理由：根據(jù)頻率估計概率得

4o÷9o^^由⑵知PL1,“『a

05005020015210

13

故P+0=5IoJ=5°，

2^2^4^200

則4>%上

2

6.（Dy

（2）答案見解析

⑶i=6

【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的概率公式即可求解；

（2）結(jié)合題意先求出X的分布列，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式求解即可；

（3）結(jié)合題意先求得E*-0.065,進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的共2天,

所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為5.

（2）由圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPl高的天數(shù)只有1月3日和1月4日這2

天，

C3ι∩?

所以P(X=O)=苔=玉=于

P(X=I)年C2C120_4

535~7

P(X=2)=罟C1C2總5

7

所以X的分布列為:

X012

24?

P

777

數(shù)學(xué)期望E(X)=OX￡+lxg+2x；=T.

(3)由題意，q=01-?1=1.908-2.055=-0.147,

Q=%也=2.081-2.393=-0.312,

c3=?-?3=1.331-1.529=-0.198,

。4=4一仇=l?202-1.302=-0.1,

c5=a5-b5=1.271-1.642=-0.371,

c6=a6-?=2.256-1.837=0.419,

c7=r∕7-?7=2.012-1.755=0.257,

1〃1

所以干=—Zq=一、(-0.147-0.312-0.198-0.1-0.371+0.419+0.257卜-0.065,

7/=I7

所以卜-4取得最大值時，i=6.

7?(.

(2)?

(3)A與8相互獨立

【分析】(1)樣本中立定跳遠(yuǎn)單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,計算頻率得

到優(yōu)秀率的估計值；

(2)由題設(shè)，X的所有可能取值為OJ2,3.算出對應(yīng)概率的估計值，得到X的數(shù)學(xué)期望的估計值；

(3)利用兩個事件相互獨立的定義判斷即可.

【詳解】(1)樣本中立定跳遠(yuǎn)單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,

所以估計該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項的優(yōu)秀率為2=g;估計高三女生立定跳遠(yuǎn)單項的優(yōu)秀率為a=T.

(2)由題設(shè)，X的所有可能取值為OJ2,3.

P(X=O)估計為(I)W;

P(X=1)估計為Gχ∣×?∣×^+(∣)2×,j=^：

P(X-2)估計為G×^×-∣×^+?2；

552.jZIo

P(X=3)估計為(/x；二.

3ZIo

24517

估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OXX+lxχ+2xi+3x77=g

9918186

(3)P(A)估計為GXgXCj+C；XQjX；=,；

P(B)估計為UXyej+C；x(；［=；：

產(chǎn)(AB)估計為C；XLX(LT=3,

-2UJ8

P(AB)=P(A)P(B),所以A與8相互獨立.

4

8.(1)—

13

(2)X的分布列為

X123

131

p———

555

所以E(X)=IXg+2x]+3χg=￡=2.

(3)E(X)>E(N)

【分析】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，代入古典概型的概率計算公式即可求解；

(2)根據(jù)題意先求出所有X的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，列出分布列并計算出期望

即可求解；

(3)根據(jù)題意先求出所有y的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，計算出期望與(2)中期望

即可求解；

【詳解】(1)由題意可知：甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中，測試成績超過90分的共4次，由古典

4

概型的概率計算公式可得P=R,

4

所以從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測試中隨機(jī)選取一次，求該次測試成績超過90分的概率P=百.

(2)由題意可知：從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測試中隨機(jī)選取4次，這4次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)X的可能

取值為1,2,3,

則P(X=D=罟喈TP(X3警=含=|；ax=3)=罟喈W

所以X的分布列為

X123

?3?

P

555

所以E（X）=lχl+2χ2+3χl=W=2.

5555

（3）由題意可知：從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測試中隨機(jī)選取3次，這3次測試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)y