黑龍江省哈爾濱市122中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

黑龍江省哈爾濱市122中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.過拋物線＞2=4X的焦點廠的直線交拋物線于A3兩點，點。是原點，若|AF|=3；則AAO3的面積為()

A.叵B.&

2

c.呼0.272

2.點M是正方體ABC。-A4G2的底面ABC。內(nèi)(包括邊界)的動點.給出下列三個結(jié)論：

①滿足3G的點"有且只有1個；

②滿足D、M1B.C的點M有且只有1個；

③滿足//平面的點M的軌跡是線段.

則上述結(jié)論正確的個數(shù)是()

A.OB.1

C.2D.3

3.數(shù)列｛4｝滿足4+i=l-'("eN*),且q=2,則4022的值為()

an

A.2B.1

1

C.一D.-l

2

4.某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，

其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),(100,102),[102,104),[104,106],已知樣本

中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是.

A.90B.75

C.60D.45

5.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以

至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)

1212

12中的“L”代表無限次重復(fù)，設(shè)）一一12,則可以利用方程X=——求得了,類似地可得到正數(shù)

1■1---1--+-------1---1--+-------［1十-I-XX

72+72+72+7==（）

A.2B.3

C.272D.V2+1

6.已知S“為等比數(shù)列｛4｝的前"項和，S4=10,512=70,則§8=（）

A.30B.-20

C.-30D.30或-20

7.今天是星期四，經(jīng)過81°°天后是星期（）

A.三B.四

C.五D.六

222

8.曲線土+乙=1與曲線^—+。_=1也＜9）的（）

25925-k9-k

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.離心率相等D.焦距相等

9.下列雙曲線中，以（2,0）為一個焦點，以（1,0）為一個頂點的雙曲線方程是（）

AX-/=1B.—-/=1

4-3-

C.x2--=1D.x2-y2=1

3

io.將點河的極坐標化成直角坐標是（）

A.（5,5百）B.（573,5）

C.（5,5）D.（—5,—5）

11.若函數(shù)“力=f7,當(dāng)1＜尤^加時，平均變化率為3,則加等于（）

A.y/5B.2

C.3D.1

12.已知數(shù)據(jù)XI，X2，%,L,%的平均數(shù)是1方差是4,則數(shù)據(jù)%,馬，X3，L,須上的方差是（）

A.3.4B.3.6

C.3.8D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知曲線y=2x—lnx在點（1,2）處的切線與曲線y=（a—l）f+（a+3）x+5相切，則。=.

14.已知向量加=（2,1,0）與"=（/,a,。）是平面a的兩個法向量，貝!|a+Z?=

15.設(shè)a、尸、/是三個不同的平面，，九、〃是兩條不同的直線，給出下列三個結(jié)論：

①若mJ_a,n±a,則/*〃〃；

②若加J_a,m±j3,則tz〃尸；

③若al/,/3Vy,則all/3

其中，正確結(jié)論的序號為—

16.已知圓錐底面半徑為1,高為出，則該圓錐的側(cè)面積為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）區(qū)塊鏈技術(shù)被認為是繼蒸汽機、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機

器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，

居世界前列現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表

年份20152016201720182019

編號X12345

企業(yè)總數(shù)量y

2.1563.7278.30524.27936.224

（單位：千個）

5555

注：參考數(shù)據(jù)Zx=74691,ZX/=312.761,2z,.=10.980,J；x,.z;=40.457（其中z=lny）.

i=li=lz=li=l

_n___

2%/一〃盯__

附：樣本a，x）（i=l,2,…,72）的最小二乘法估計公式為6-------,由=亍—玩

Xx；-nx

i=i

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，y=a+樂與y=ce”“（其中e=2.71828…，為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方程類型適

宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程；

（3）為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司

參賽比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行

下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公

113

司”，已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為彳，甲勝丙的概率為-，乙勝丙的概率為二,若首場由甲乙比賽，則求甲

235

公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率.

2222

18.（12分）已知P：方程」—+二—=1表示焦點在x軸上的橢圓，q：方程」―+二―=1表示焦點在y軸

m-24-m2-m4-m

上的雙曲線，其中加eR.

（1）若“Y”為真命題，求加的取值范圍：

（2）若“。八4"為假命題，“pvq”為真命題，求加的取值范圍.

22_

19.（12分）已知雙曲線C：=―1=1（a>0,b>0）的一條漸近線的方程為—2y=0,雙曲線C的右焦

ab

點為F（3,0）,雙曲線C的左、右頂點分別為A,B

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過右焦點廠的直線/與雙曲線C的右支交于P,。兩點（點尸在x軸的上方），直線AP的斜率為左一直線5。的

斜率為42,證明：3為定值

20.（12分）如圖，在直四棱柱ABC?！?，AD//BC,AB1AD,AB=AD=AAl=2BC=2

4

（i）求二面角q-^c-D,的余弦值；

（2）若點尸為棱A。的中點，點。在棱A3上，且直線與。與平面4PQ所成角的正弦值為蠟，求A。的長

21.（12分）（1）若/（x）=-/V+mlnx在［1,+8）是減函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍；

（2）已知函數(shù)/（x）=gor3—gg+Dr+x+KaNl）在R上無極值點，求”的值.

22.（10分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項和為15,且%=3%+4q.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵若優(yōu)=2〃y（〃eN*）,記數(shù)列也｝前〃項和為S",求S”.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】拋物線V=4x焦點為尸（1,0）,準線方程為x=-1,

由|AF|=3得4（2,2四）,-0）或A（2,-2后）,B（g,也）

所以5乂底=；><|。司義|力_甫=白,2應(yīng)+后卜半，故答案為C

考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系

2、C

【解題分析】對于①，根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知點四即為A點，因此可判斷①正確；

對于②，根據(jù)線面垂直的判定可知耳平面2A3,,由此可判定”的位置，進而判定②的正誤；

對于③，根據(jù)面面平行可判定平面平面2AC,因此可判斷此時“一定落在AC上，由此可判斷③的正誤.

【題目詳解】如圖：

對于①，在正方體ABC。—46G2中，2ABCX,

若聞異于A,則過2點至少有兩條直線和BG平行，這是不可能的，

因此底面ABC。內(nèi)（包括邊界）滿足2M〃臺G的點”有且只有1個，即為A點，

故①正確；

對于②，正方體A3CD—44Gq中，A3,平面3CG瓦，與Cu平面3CG4，

所以A3,5c,

又B[CAXD,\D±AD,,所以3]C，AD],

而A3AR=A,A5,AD]u平面2AB澈月C,平面。1AB,

因此和BiC垂直的直線一定落在平面DXAB內(nèi)，

由加是平面ABC。上的動點可知，河一定落在AB上，這樣的點有無數(shù)多個，故②錯誤;

對于③，AG〔AC,ACu平面2AC，則4Gli平面AAC,

同理5G〃平面AAC,而AG?BqG,

所以平面ABCj平面'AC,而RM〃平面ABG，

所以DjM一定落在平面DXAC上,

由是河平面ABC。上的動點可知，此時河一定落在AC上，

即點”的軌跡是線段AC,故③正確，

故選：C.

3、D

【解題分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到%022=%，即可求解.

【題目詳解】解：由題意，數(shù)列｛4｝滿足%+1=1-，5eN*),且q=2,

an

口jQ2=~=-1，〃4=2,。5=~'9

可得數(shù)列｛4｝是以2,g,-1三項為周期的周期數(shù)列,

所以?2022=牝73x3+3=?3=?

故選：D.

4、A

【解題分析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)x2=0.3,頻數(shù)為36,

二樣本總數(shù)為斕乩

順息

?.?樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100+0.150+0.125)x2=0.75,

.?.樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120x0.75=90.

考點：頻率分布直方圖.

5、A

【解題分析】設(shè)x=[2+H7三，則》=反推，解方程可得結(jié)果.

【題目詳解】設(shè)x=42+E丁，則工=反；且x＞也，

所以％2=2+X，所以f―%—2=0，

所以(x—2)(x+l)=0,所以X=2或％=—1(舍).

所以，2+也+亞+「=2?

故選：A

【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：設(shè)x=12+是解題關(guān)鍵.

6、A

【解題分析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.

【題目詳解】由4=70同=10得3s4,則等比數(shù)列｛4｝的公比

s

12]—n1_〃121_,3

則,/八得^^=7,令q4=/〉o,則匚=7即1+/+/=7,

小)107-

S4

i—q

解得/=2或—3（舍去）,/=2,則5g=54+q4s4=30

故選：A

7、C

【解題分析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數(shù)是1,然后利用周期性進行計算即可

【題目詳解】解：一個星期的周期是7,

KMWOKX)K)

則8=(1+7)=1+C：0c.7+C>72+…+C器?7=1+(C；00-7+C372+―+C^7°),

即6°°除以7余數(shù)是1,

即今天是星期四，經(jīng)過000天后是星期五,

故選：C

8、D

【解題分析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長軸長、短軸長、離心率和焦距，比較可得答案.

22

【題目詳解】曲線上+乙=1表示焦點在X軸上的橢圓，長軸長為10,短軸長為6,

259

4

離心率為二，焦距為8,

22

曲線—一+上一=1（左＜9）焦點在*軸上的橢圓，長軸長為2mI,

25-k9-k

____4____________

短軸長為2^^二1，離心率為行T，焦距為入/25—Z—（9—Q=8,

故選：D

9、C

【解題分析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得。涉，即可選擇.

2

【題目詳解】因為雙曲線的一個焦點是（2,0）,故可設(shè)雙曲線方程為工=1,

a

SLCI2+b2=4

又(1,0)為一個頂點，故可得。=1,解得廿=3,

2

則雙曲線方程為：必—匕=1.

3

故選：C.

10、A

【解題分析】本題考查極坐標與直角坐標互化

由點M的極坐標I。.：知夕=10,，=工

\3/3

X=PCOS0，廳、717tL

極坐標與直角坐標的關(guān)系為｛."，所以UI.的直角坐標為x=10cos丁=5,y=10sin==5,

y=psm。13)33

即(5,5⑹

故正確答案為A

11、B

【解題分析】直接利用平均變化率的公式求解.

【題目詳解】解：由題得勢=/(”')_/(1)=^1=一+]=3,.?.一二2.

?%m—1m—1

故選：B

12、B

【解題分析】利用方差的定義即可解得.

[題目詳解]由方差的定義，(%-x)+NT+(3-X)=,

所以數(shù)據(jù)%,%2，為3，L，/,X的方差為:

故選:B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2或10

【解題分析】求出y=2x—Inx在九=1處的導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，與y=(a—1)￡+(。+3)]+5聯(lián)立，利用A=0可

求.

【題目詳解】令/(X)=2x-lnx,g(x)=(?-l)x2+(a+3)x+5,

貝!|/'(x)=2—L/'⑴=2—1=1,

X

可得曲線y=/(x)在點(1,2)處的切線方程為y=x+1.

y=x+l

聯(lián)立,得(a—+(a+2)x+4=0,

y=(a—1)x~+(a+3)x+5

。一1H0

,解得a=2或a=10.

A=a2-12a+20=0

故答案為：2或10.

14、2

【解題分析】由“=2m且”為非零向量可直接構(gòu)造方程求得a,b,進而得到結(jié)果.

a2-2A

。=0a=2

【題目詳解】由題意知：〃=Xm(2wO),4解得:(舍)或＜:.a+b=2.

'b=0b=0

8=0

故答案為：2.

15、①②

【解題分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【題目詳解】a、B、/是三個不同的平面，加、〃是兩條不同的直線.

對于①，若加_La,由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得m〃",故①正確;

對于②，若加J_a,加工分，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得。〃尸，故②正確;

對于③，若a，/,/3工丫,考慮墻角處的三個平面兩兩垂直，可判斷尸相交，則?！ㄈf不正確

故答案為：①②

【題目點撥】本題考查空間中線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、2兀

【解題分析】由已知求得母線長，代入圓錐側(cè)面積公式求解

【題目詳解】由已知可得r=l,h=6,則圓錐的母線長1=后三=2,

二圓錐的側(cè)面積S=nrl=2n

故答案為2n

【題目點撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求法，側(cè)面積公式S=nrl.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)y=ce*

(2)y—?0.7517%—0.0591

⑶—

10

【解題分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷y關(guān)于x的回歸方程為非線性方程;

（2）令z=lny,將y關(guān)于x的非線性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為z關(guān)于x的線性關(guān)系，利用最小二乘法求解;

（3）利用相互獨立事件的概率相乘求求解；

【小問1詳解】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)y=ce"'適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量.

【小問2詳解】

&

■y=Ce,Iny=dx+Vac,

令z=lny,貝！Jz=6k+lnc',

55

10.980_IL%1+2+3+4+5

丫_i=l

=2.196A—

555

40.457—3x10.98

由公式計算可知b=號......-=0.7517,

^xr-nx55-45

i=l

Inc=z-rfx=2.196-0.7517x3=-0.0591

Iny=0.7517x-0.0591,即

..」ny=0.7517%—0.0591,即丁=e°75i7x-°059i

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=e°-75I7x-00591

【小問3詳解】

設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為A事件.

皿…、11123112113

232352253210

3

所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為二.

18、(1)加<3或mN4

⑵（2,3]

【解題分析】（1）先假設(shè)。命題為真命題，求出加的取值范圍，下為真命題，取補集即可

（2）假設(shè)q命題為真命題，求出冽的取值范圍，根據(jù)題意，則命題假設(shè)，和命題q—真一假，分類討論求加的取值

范圍

【小問1詳解】

解：若。為真命題，則〃?一2>4-〃2>0,

解得3（機<4,

若“Y”為真命題，則0為假命題，或機N4；

【小問2詳解】

4-m>0,

若q為真命題，則｛…2〉o,

解得2<加<4,

若為假命題，貝！|為真命題,

則。與4一真一假，

3<m<4,

①若，真q假，則

m<2或m>4,

解得me0，

m<3或加>4,

②若。真夕假，貝!I。,

2<m<4,

解得2<加<3,

綜上所述，me0u（2,3]=（2,3],即加的取值范圍為（2,3].

（2）證明見解析.

【解題分析】（1）由題可得c=3,2=或，即求；

a2

（2）由題可設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理法即證

【小問1詳解】

由題意可知在雙曲線C中,c=3,—=,c2=a2+b2>

a2

4=2,

解得

b=后

X2

所以雙曲線C的方程為上--=1;

45

【小問2詳解】

證法一：由題可知4(—2,0),5(2,0),

設(shè)直線/：丁=左(％-3),。(%,弘)，。(馬,％)，

由,得(5—4左2)x2+24左2尤—36左2—20=0,

5%2-4/=20、7

小〉0,W36尸+20

貝!IX[+々=>0,

4^-5-4k2—5

.k,=^-%

''1%+2“2'

占_%(%2—2)_(不一3)(%2—2)_玉%2—2玉一3九2+6_石%—3(石+/)+石+6

后2%(玉+2)(x2-3)(%,+2)%+2々一6千%一3(芯+%2)+5%2—6

36左2+203%4424k2

0H------------%+6

4左2—54左2—54k2—5

36左2+203々4)

+5%2—6

4k2-54k2-5

12F-1012尸一10

止―5—%九2

4人2—51

50—60F(12^2-1025;

+5%2_5一九2

I2—

4r—54k57

k,1

當(dāng)直線/的斜率不存在時，/心3,此時

綜上，2為定值

證法二：設(shè)直線P。方程為x=my+3,2(%,%),。(占,％)，

x=my+3,/

聯(lián)立得四十=20整理得Gim2-4)V+30my+25=0,

由過右焦點尸的直線/與雙曲線C的右支交于P,。兩點,

5m2-4w0,

-30m八

—；——>0.

5m2-42

則「。解得0＜加＜

75，

5m"-4

A=（30m）2—4x25x（5療—4）〉0,

—30m25一+%-30m65/、

%+%=

5m2—4兇為—5療_4'%必25

由雙曲線方程可得4(—2,0),5(2,0),勺=。，&=上

%］十/%2—

Vx=my+3,/.x2-2=my2+1,+2=my1+5,

5zA15

X=X（%-2）=%（外+1）=期必+必=-6（、+%）+%=6%—6%=_1

%一%（石+2）-%（沖1+5）一期%+5%-_沁?+%）+5%--2%+至%—5

6'66

證法三：設(shè)直線產(chǎn)？方程為x=/*+3,P（x2,y2）,

x=my+3,/,2、，

聯(lián)立得I5/jy2_2Q整理得（5m-4）/+30my+25=0,

由過右焦點F的直線/與雙曲線C的右支交于P,。兩點，

5m2-4w0,

-30m

—：——>0.

5m2-42

解得

則4<。0<m<忑'

5m2-4

A=（30m）2—4x25x（5病—4）〉0,

???乂+%=答二，乂%=3■二，由雙曲線方程可得4(一2,0),5(2,0),

5m—45m—4

75k_5

所以占=1{

KBPk24kPB,k2

25

%.%=3V2=5m2-4

xx-1x2-2(myx+1)+m(％+%)+1

25

__________5m2_4______________________________25

一_225~'-30m,-25m2-30/n2+5m2-4T

m---z--------\-m-----z------bl1

5m—45m—4

0x0」

...e4I25J5為定值

2

20、(1)-,(2)AQ=1

【解題分析】(1)推導(dǎo)出以A為原點，分別以AB,AD,所在的直線為％軸,

y軸，Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求二面角。-4C-R的余弦值;

(2)設(shè)AQ=〃0<2<2),則Q(40,0),求出平面與PQ的法向量，利用空間向量求出AQ的長

【題目詳解】解(1)在直四棱柱ABC。—A4GA中，

因為44)_1_平面ABC。，ABi平面ABC。，ADu平面ABC。,

所以A3,AApA。，然，

因為ABLAD,所以以A為原點，分別以AB,AD,A4所在的直線為x軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標系，

因為AB=AD==2BC=2,

所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),￡>(0,2,0),A(0，。，2),4(2,0,2),Q(2,1,2),。(0,2,2),

所以4〃=(一2,2,0),B,C=(0,1,-2),

設(shè)平面4c2的一個法向量為n=(x,y,z),則

n-B,D,=-2x+2y=0

〈,，令x=2,則〃=(2,2,1),

n-BxC=y-2z=0

ULU

因為平面4cC,所以平面4cle的一個法向量為A5=(2,0,0)，

設(shè)二面角G-4C-2的平面角為a,由圖可知a為銳角,

所以二面角G-4。一