第六章《平面向量及其應(yīng)用》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）（全解全析）

第六章《平面向量及其應(yīng)用》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）全解全析1．D【分析】由矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合各線段對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由圖知：，故A錯(cuò)誤；不相等，即，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D2．D【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過(guò)平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【詳解】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.3．D【分析】由梯形的幾何性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯(cuò)；因?yàn)椋瑒t，則，則，即，即，，則，，即為的中點(diǎn)，所以，，C錯(cuò)，D對(duì).故選：D.4．B【分析】由向量的線性關(guān)系確定的坐標(biāo)，應(yīng)用坐標(biāo)公式及已知模長(zhǎng)列方程求參數(shù)a.【詳解】由，又，所以，解得或（經(jīng)檢驗(yàn)均滿足）.故選：B5．C【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可得出，根據(jù)為銳角三角形可求得角的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得出，求出的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因?yàn)?，則，因?yàn)榇嬖谧畲笾担瑒t，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.6．B【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：，通過(guò)余弦定理可將等式化簡(jiǎn)整理為，通過(guò)三角函數(shù)圖像可知，同時(shí)通過(guò)基本不等式可知，即得，通過(guò)取等條件可知，，將其代入問(wèn)題中即可求解答案.【詳解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，兩邊同除得：，根據(jù)余弦定理得：，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述：且，故得：，此時(shí)且，，.故選：B7．B【分析】建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可得點(diǎn)C的軌跡，然后根據(jù)三角形相似將轉(zhuǎn)為求線段和最短，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】設(shè)，，則，，即C在以為圓心，2為半徑的圓上，如圖，取，則，又，所以有～，所以，又因?yàn)?，，所以．故選：B.8．A【分析】取的中點(diǎn)，作交于，過(guò)點(diǎn)作，連接，根據(jù)三角形重心和外心的定義可知，，在中，分別求出及，再利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，作交于，過(guò)點(diǎn)作，連接，根據(jù)三角形重心的定義可知，中，，則，所以和均為等腰直角三角形，，則，根據(jù)三角形外心的定義可知，由，則，則，，則，則，因?yàn)椋?，所以，所以，則，在中，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三心問(wèn)題，在三角形外心和重心的基礎(chǔ)之上利用余弦定理解三角形的問(wèn)題，關(guān)鍵是理解外心和重心的定義，有一定的難度.9．BD【分析】根據(jù)向量的基本概念即可求解.【詳解】對(duì)于A：向量相等需要滿足兩個(gè)條件：長(zhǎng)度相等且方向相同，缺一不可，故A錯(cuò)；對(duì)于B：根據(jù)相反向量的定義可知B正確；對(duì)于C：向量是矢量不能比較大小，故C錯(cuò)；對(duì)于D：根據(jù)三角形三邊關(guān)系知正確；故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，，與未必共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則與方向相反，故，B正確；對(duì)于C，由得：，即，不能推出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得：，但與方向未必相同，不能得到，D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則,由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD12．ACD【分析】A選項(xiàng)：利用余弦定理列等式即可；B選項(xiàng)：由題意得的范圍，即可得到的范圍；C選項(xiàng)：根據(jù)幾何的知識(shí)得到當(dāng)時(shí)，最大，利用三角形面積公式求面積即可；D選項(xiàng)：將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成，得到面積，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】在中，由余弦定理得，A正確；，則，所以，B錯(cuò)誤；易得當(dāng)時(shí)，取最大值，C正確；，其中，D正確．故選：ACD.13．【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)出的坐標(biāo)，從而可得，再求向量的模即可得出答案.【詳解】向量，，，又，，，，故答案為：.14．角A的平分【分析】根據(jù)分別表示平行于的單位向量，平分求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，而分別表示平行于的單位向量，所以平分，即平分，所以點(diǎn)D一定在的角A的平分線所在直線上，故答案為：角A的平分15．##.【分析】先根據(jù)題意求出，設(shè)正的邊長(zhǎng)為，，在中，由正弦定理可得，則，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小值，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，設(shè)正的邊長(zhǎng)為，，在中，，即，因?yàn)?，所?，在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，其中，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，所以的內(nèi)接正邊長(zhǎng)的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想，解題有關(guān)鍵是在中利用正弦定理表示出，從而可表示出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)變形可求出邊長(zhǎng)的最小值，考查計(jì)算能力，屬于較難題.16．【分析】設(shè)出得到，由不得關(guān)系得到，從而得到最小值.【詳解】由題意,可以設(shè)，則由得，由，所以，解得：即的最小值是.【點(diǎn)睛】對(duì)于向量相關(guān)的不等式，最值問(wèn)題，合理設(shè)出向量的坐標(biāo)，可以大大簡(jiǎn)化做題難度和計(jì)算量.17．(1)(2)(3)(4)【分析】平面向量的線性運(yùn)算法則依次求解即可.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.18．(1)(2)或【分析】（1）直接利用向量平行的坐標(biāo)公式求解；（2）直接利用向量垂直的坐標(biāo)公式和求模公式求解.【詳解】（1）由題中的條件可得，，若與平行，則有，解得；（2）設(shè)，所以，又，由，可得，由，可得.解得或，所以或.19．(1)，(2)【分析】（1）先由求得，再利用三角形面積公式可得，結(jié)合條件可得，的值，從而利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，從而求得，，再結(jié)合二倍角公式與余弦的和差公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，又，即，所以，即，解得（?fù)值舍去），則，所以，則，因?yàn)椋?，所?（2）在中，，由（1）可得，則，所以，，則，，所以.20．(1)兩船相距海里.(2)巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距海里.（2）當(dāng)巡邏艇經(jīng)過(guò)小時(shí)經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.21．(1)見(jiàn)詳解(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量加減法運(yùn)算，即可證明；（2）根據(jù)題意，用和表示，結(jié)合，，三點(diǎn)共線，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合（1）（2）用和分別表示出和，進(jìn)而可以表示出，再結(jié)合均值不等式與二次函數(shù)的最值，即可求解.（1）證明：因，所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點(diǎn)共線，所以，即.（3）設(shè)，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，令，因，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.因此，又因，所以，所以.22．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理和面積公式進(jìn)行求解；（2）由正弦定理和三角恒等變換求解；（3）解法一：設(shè)BC中點(diǎn)為D，推導(dǎo)出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函數(shù)單調(diào)性求出AD的取值范圍，從而求出