新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布微專題2離散型隨機(jī)變量均值與方差的實際應(yīng)用學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

微專題2離散型隨機(jī)變量均值與方差的實際應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，因此在實際決策問題中，常借助均值與方差的取值來決策一些實際問題．類型1均值的實際應(yīng)用【例1】(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？說明理由．[嘗試解答]解答概率模型的三個步驟(1)建模：即把實際問題概率模型化．(2)解模：確定分布列，計算隨機(jī)變量的均值．(3)回歸：利用所得數(shù)據(jù)，對實際問題做出判斷．類型2方差的實際應(yīng)用【例2】甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，且X和Y的分布列如下表：X012P0.60.10.3Y012P0.50.30.2根據(jù)次品數(shù)的均值和方差，試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．[嘗試解答]隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．類型3決策問題均值在決策問題中的應(yīng)用【例3】甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列問題．(1)記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和均值；(2)小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由．[嘗試解答]數(shù)學(xué)期望在決策型問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，它代表了隨機(jī)變量總體取值的平均水平．隨著社會的進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)期望在日常生活中和經(jīng)濟(jì)活動中的運用越來越廣，如個人的采購，投資風(fēng)險分析，企業(yè)的生產(chǎn)和經(jīng)營方案等，經(jīng)常需要對事物的進(jìn)展情況進(jìn)行決策，以便用最有利的方式來采取行動．人們常把數(shù)學(xué)期望作為決策參考的重要依據(jù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)期望討論某些經(jīng)濟(jì)問題，從而得到一些有意義的結(jié)論．方差在決策問題中的應(yīng)用【例4】某投資公司對以下兩個項目進(jìn)行前期市場調(diào)研．項目A：通信設(shè)備．根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結(jié)果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為712，16，a．項目B：新能源汽車．根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結(jié)果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為經(jīng)測算，當(dāng)投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等．(1)求a，b，c的值；(2)若將100萬元全部投到其中一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．[嘗試解答]均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定．(3)在決策中常結(jié)合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷．微專題2離散型隨機(jī)變量均值與方差的實際應(yīng)用例1解：(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因為57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．例2解：E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81．E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61．E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，兩者的均值相同，但乙的穩(wěn)定性比甲好，故可認(rèn)為乙的技術(shù)水平更高．例3解：(1)設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為a，當(dāng)a＝38時，X＝38×6＝228，P＝550當(dāng)a＝39時，X＝39×6＝234，P＝1050當(dāng)a＝40時，X＝40×6＝240，P＝1050當(dāng)a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2050當(dāng)a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550故X的所有可能取值為228，234，240，247，254．故X的分布列為X228234240247254P11121故E(X)＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝(2)甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，則甲公司送餐員日平均工資為80＋4×39.7＝238.8(元)，因為乙公司送餐員日平均工資為241.8元，238.8<241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘．例4解：(1)依題意，得712＋16＋a＝1，解得設(shè)投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，則X1和X2的分布列分別為X10.4x－0.2x0P711X20.3x－0.1xPbc所以E(X1)＝0.4x×712＋(－0.2x)×16＋0×14＝E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因為E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2．①又b＋c＝1，②由①②，解得b＝34，c＝1所以a＝14，b＝34，c＝(2)選擇項目B．理