新教材同步備課2024春高中數學第8章成對數據的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2第2課時回歸分析及非線性回歸模型學生用書新人教A版選擇性必修第三冊

第2課時回歸分析及非線性回歸模型學習任務1．了解殘差、殘差圖的概念．(數學抽象)2．會通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果．(數學運算、數據分析)3．了解非線性回歸模型，掌握對數函數模型、指數函數模型和冪函數模型的求解過程．(數學運算、數學建模)設某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得的一些數據如表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數的散點圖近似描述y與x的關系，很顯然，這些散點不在一條直線附近．你能求出這個函數模型嗎？知識點1殘差及殘差圖(1)對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為________．通過經驗回歸方程得到的y稱為________，觀測值減去預測值稱為________．殘差是隨機誤差的估計結果．通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等．(2)作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或解釋變量的觀測值等，這樣作出的圖形稱為________．在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度________，說明模型擬合精度越高．(3)殘差分析：________是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為________．知識點2對模型刻畫數據效果的分析(1)殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以________，則說明經驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系．(2)(3)決定系數R2法：可以用R2＝來比較兩個模型的擬合效果，R2越________，模型擬合效果越差，R2越________，模型擬合效果越好．決定系數R2的取值范圍是什么？知識點3非線性回歸方程(1)非線性回歸分析的思想研究兩個變量的關系時，依據樣本點畫出散點圖，從整體上看，如果樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，就稱這兩個變量之間不具有線性相關關系，此時不能直接利用經驗回歸方程來建立兩個變量之間的關系．(2)非線性經驗回歸方程當回歸方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)時，稱之為非線性經驗回歸方程．當兩個變量不呈線性相關關系時，依據樣本點的分布選擇合適的曲線方程來擬合數據，可通過變量代換，利用線性回歸模型建立兩個變量間的非線性經驗回歸方程．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)殘差平方和越接近0，線性回歸模型的擬合效果越好． ()(2)在畫兩個變量的散點圖時，響應變量在x軸上，解釋變量在y軸上． ()(3)R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好． ()(4)在殘差圖中，縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號． ()2．在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的決定系數R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的決定系數R2為0.98B．模型2的決定系數R2為0.80C．模型3的決定系數R2為0.50D．模型4的決定系數R2為0.253．從某省“雙一流”大學中隨機選出8名女大學生，得到其身高x(單位：cm)與體重y(單位：kg)的數據如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的經驗回歸方程為y＝0.85x－85.71，則選取的女大學生身高為175cm時，相應的殘差為________kg．類型1殘差與殘差分析【例1】(1)對變量x，y進行回歸分析時，依據得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()ABCD(2)已知一系列樣本點(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的經驗回歸方程為y＝2x＋a，若樣本點(r，1)與(1，s)的殘差相同，則有()A．r＝s B．s＝2rC．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1[嘗試解答](1)殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經驗回歸方程的預報精度越高．(2)殘差是隨機誤差的估計值，ei＝y(tǒng)i－yi．[跟進訓練]1．兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數據如表所示：x99.51010.511y1110865其經驗回歸方程是y＝bx＋40，則相對應于點(11，5)的殘差為()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．已知某成對樣本數據的殘差圖如圖，則樣本點數據中可能不準確的是從左到右第________個．類型2殘差平方和與決定系數R2【例2】已知某種商品的價格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關系有如下一組數據：x1416182022y1210753(1)求y關于x的經驗回歸方程；(2)借助殘差平方和與R2說明回歸模型擬合效果的好壞．[嘗試解答]刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內說明選用的模型比較合適．(2)(3)決定系數R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．[跟進訓練]3．為研究質量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質量的6個物體進行測量，數據如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求經驗回歸方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進行殘差分析．類型3非線性回歸分析【例3】為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數y的變化，收集數據如表所示：天數x/天123456繁殖個數y/個612254995190(1)用天數作解釋變量，繁殖個數作響應變量，作出這些數據的散點圖，根據散點圖判斷：y＝a＋bx與y＝c1ec2x哪一個作為繁殖的個數y關于時間x變化的回歸方程類型為最佳？xyzi=1i=1i=13.562.833.5317.5596.50512.04其中(2)根據(1)的判斷最佳結果及表中的數據，建立y關于x的回歸方程．[嘗試解答][母題探究](變設問)在本例條件不變的情況下，試估計第7天細菌繁殖個數．解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應變量為y．(2)畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數(冪、指數、對數函數、二次函數)作比較，選取擬合效果好的函數模型．(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題．(4)分析擬合效果：通過計算決定系數等來判斷擬合效果．(5)寫出非線性回歸方程．提醒：當數據量較大時，可采用計算器或者數學軟件來求回歸方程．[跟進訓練]4．(源自湘教版教材)實驗中獲得了某化學品的化學反應時間和轉化率的數據如表，試建立轉化率y關于反應時間x的回歸方程(結果保留三位小數)．時間x/min6080100120140150160170轉化率y/%6.139.9915.0220.9231.1138.8547.2555.051．下面四個殘差圖中，可以滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是()ABCD2．下列說法錯誤的是()A．殘差點分布的帶狀區(qū)域越窄，回歸方程的擬合效果越好B．殘差平方和越小，決定系數R2越大C．決定系數R2可以大于1D．通過經驗回歸方程得到的預報值是響應變量的可能取值的平均值，不一定是響應變量的精確值3．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性作試驗，并用回歸分析的方法分別求得相關系數r與殘差平方和m如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則________同學的試驗結果體現了A，B兩變量更強的線性相關性．4．在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現樣本點集中于某一條曲線y＝ebx＋a的周圍，令z＝lny，求得經驗回歸方程為z＝0.25x－2.58，則該模型的經驗回歸方程為________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．對模型刻畫數據效果的分析有哪些常見方法？2．決定系數R2與相關系數r一樣嗎？第2課時回歸分析及非線性回歸模型[必備知識·情境導學探新知]知識點1(1)觀測值預測值殘差(2)殘差圖越窄(3)殘差殘差分析知識點2(1)橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(3)小大思考提示：0≤R2≤1．課前自主體驗1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．A[R2越大擬合效果越好．]3．0.96[當x＝175cm時，y＝0.85×175－85.71＝63.04(kg)，∴相應的殘差e＝64－63.04＝0.96(kg)．][關鍵能力·合作探究釋疑難]例1(1)A(2)C[(1)用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．(2)樣本點(r，1)的殘差為1－2r－a，樣本點(1，s)的殘差為s－a－2．依題意得1－2r－a＝s－a－2，故s＝－2r＋3．]跟進訓練1．B[由于y＝bx＋40過樣本中心點(10，8所以8＝10b＋40，則b＝－3.2，因此y＝－3.2x＋40．當x＝11時，y＝－3.2×11＋40＝4.8，所以殘差e＝5－y＝5－4.8＝0.2．]2．6[原始數據中的可疑數據往往是殘差絕對值過大的那個數據，即偏離平衡位置過大．]例2解：(1)x＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y＝15×(12＋10＋7＋5所以b＝＝620-5×18a＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求經驗回歸方程是y＝－1.15x＋28.1．(2)列出殘差表為yi－y00.3－0.4－0.10.2yi－y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以所以回歸模型的擬合效果很好．跟進訓練3．解：(1)散點圖如圖所示．樣本點分布在一條直線附近，y與x具有線性相關關系．由表中數據，得x＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)y＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487i=1計算得b≈0.183，a≈6.285．故所求經驗回歸方程為y＝6.285＋0.183x．(2)列表如下：yi－y0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－y－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313可得所以R2＝1－0.0131814.6783≈0.9991回歸模型的擬合效果較好．(3)由殘差表中的數值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數據的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數據，重新建立回歸模型；由表中數據可以看出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質量成線性關系．例3解：(1)作出散點圖，如圖1所示．由散點圖看出樣本點分布在一條指數函數y＝c1ec2x的周圍，于是選擇y＝c(2)令z＝lny，則z＝bx＋x123456z1.792.483.223.894.555.25相應的散點圖如圖2．從圖2可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用經驗回歸方程來擬合．a＝z－bx＝1.115，得z＝則有y＝e0.69x+1.115．母題探究解：∵y＝e0.69x+1.115，∴當x＝7時，y≈382(個)，即第7天細菌繁殖個數約為382個．跟進訓練4．解：根據收集的數據作散點圖(圖1)．觀察散點圖可知，樣本點并沒有分布在某條直線附近，因而變量y與x之間沒有明顯的線性相關關系，所以不能直接利用線性回歸模型來刻畫這兩個變量之間的關系．根據已有的數學知識，可以認為樣本點分布在指數曲線y＝c1ec2x的附近，其中c1和c為