18.2.3 正方形 人教版數(shù)學八年級下冊課件

18.2.3

正方形

學習目標1．探究正方形的概念、性質(zhì)和判定方法。2．能用正方形的概念、性質(zhì)和判定進行推理與計算。正方形的定義：菱形正方形有一個角是直角正方形即是特殊的矩形又是特殊的菱形。正方形具有矩形性質(zhì)的同時也具有菱形形性質(zhì)。正方形矩形有一組鄰邊相等

（1）把一張長方形紙片按如圖方式折一下，就可以裁出正方形紙片,為什么？（2）如何從一塊長方形木板中裁出一塊最大的正方形木板呢？解：這樣得到的是一組鄰邊相等，并且一個角是直角的平行四邊形，因此它是正方形。解：上面（1）中正方形的面積最大。平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的包含關(guān)系想一想小結(jié):正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。?正方形的性質(zhì)=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)四條邊相等四個角都是直角相等、垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角ABCDO邊----角----對角線----菱形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)對稱性------是軸對稱圖形正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸是什么？快速搶答例

求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.思考：圖中共有___個等腰直角三角形.已知：如圖，四邊形ABCD是

，對角線AC、BD相交于點O．求證：△ABO、△

、△

、△____是全等的等腰直角三角形．正方形BCOCDODAO8證明：∵四邊形ABCD是

，∴AC=

，AC

BD，AO=

=

=

.∴△ABO、△

、△

、

△

是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO

△CDO__△DAO.正方形BDBCOCDODAO≌≌BOCODO1、如圖,ABCD是一塊正方形場地.小華和小芳在AB邊上取定了一點E,測量,EC=30m，EB=10m.這塊場地的面積和對角線分別是多少？解：∵四邊形ABCD是正方形.∴∠ABC=90°,AB=BC在Rt△EBC中,EC=30m,EB=10m,有BC===m∴=BC2=()2=800m2∴

AB=BC=m在Rt△ABC中,AB=BC=m,有AC==40m2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O分析：要證明BM＝CN，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個三角形全等?MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。你能完成證明嗎???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°條件夠嗎？

還需要的條件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要證明的兩個三角形已滿足了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：矩形菱形正方形有一組鄰邊相等有一個角是直角慧眼判別如何由矩形和菱形判別正方形呢？一組鄰邊相等有一個內(nèi)角是直角一組鄰邊相等有一個內(nèi)角是直角正方形的判定一組鄰邊相等且有一個角是直角知識點：正方形的判定方法1、直接用正方形的定義判定；2、先判定一個四邊形是矩形，再判定這個矩形是_____,那么這個四邊形是正方形；3、先判定一個四邊形是菱形，再判定這個菱形是_____，那么這個四邊形是正方形.菱形矩形1、滿足下列條件的四邊形是不是正方形？（1）對角線互相垂直且相等的平行四形；（2）對角線互相垂直的矩形；（3）對角線相等的菱形；（4）對角線互相垂直平分且相等的四邊形.解：4個都是。它們都符合正方形的判定條件。2、已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求證：四邊形CFDE是正方形．證明：∵DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.∴∠CED=90°,∠CFD=90°又∠C=90°∴四邊形CFDE是矩形.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．∴DE=DF∴矩形CFDE是正方形．根據(jù)圖形所具有的性質(zhì),在下表相應(yīng)的空格中打”√”平行四邊形矩形菱形正方形對邊平行且相等四邊都相等四個角都是直角對角線互相平分對角線互相垂直對角線相等√√√√√√√√√√√√√√√√正方形不但具備一般的平行四邊形的性質(zhì)，而且同時具備矩形和菱形的性質(zhì)。正方形性質(zhì)應(yīng)用的分析方法已知條件分析思路已知只有正方形時從正方形的邊、角入手分析:分析哪些邊相等,哪個內(nèi)角等于90°.已知中出現(xiàn)正方形的“對角線”時從正方形的對角線性質(zhì)入手分析:①對角線互相垂直、互相平分,相等,特別注意每條對角線平分一組內(nèi)角.②對角線所在的直線是正方形的對稱軸.1.如圖,將正方形紙片ABCD折疊,使邊AB,CB均落在對角線BD上,得折痕BE,BF,則∠EBF的大小為 (

)

A.15° B.30°

C.45° D.60°C基礎(chǔ)訓練2.如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊△ADE,則∠BED度數(shù)是_________.

45°

★★3.(2019·鄂州模擬)如圖正方形ABCD的邊長為4,E,F分別為DC,BC中點.(1)求證:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面積.略★★4.(2019·黃岡中考)如圖,ABCD是正方形,E是CD邊上任意一點,連接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分別為F,G.求證:BF-DG=FG.證明:在△ABF和△DAG中,∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠DGA=90°,又∠DAG+∠FAB=∠DAG+∠ADG=90°,∴∠FAB=∠GDA.又AB=AD,∴△ABF≌△DAG.∴BF=AG,AF=DG.∴BF-DG=AG-AF=FG.判定正方形的一般思路1.下列命題,其中是真命題的為 (

)A.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的四邊形是矩形D.一組鄰邊相等的矩形是正方形D章節(jié)檢測★2.如圖,點E,F,G,H分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.則下列說法:①若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形;②若AC⊥BD,則四邊形EFGH為菱形;③若四邊形EFGH是平行四邊形,則AC與BD互相平分;④若四邊形EFGH是正方形,則AC與BD互相垂直且相等.其中正確的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4A★★3.(2019·呼倫貝爾模擬)如圖,在△ABC中,點D是邊BC的中點,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別是E,F,且BF=CE.(1)求證:DE=DF.(2)當∠A=90°時,試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形,并證明你的結(jié)論.解:(1)∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°,在Rt△BDF和Rt△CDE中,∵

∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),∴DE=DF.(2)四邊形AFDE是正方形.證明:∵∠A=90°,DE⊥AC,DF⊥AB,∴四邊形AFDE是矩形,又∵DF=DE,∴四邊形AFDE是正方形.【火眼金睛】已知在正方形ABCD中,點E在邊DC上,DE=2,EC=1(如圖所示)把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn),使點E落在直線BC上的點F處,則F,C兩點的距離為_________.

1或5

正解:在△ABF和△ADE中,∵∠ABF=∠ADE=90°,AB=AD,AF=AE.∴Rt△ABF≌Rt△ADE,∴BF=DE=2.當按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時,F在B點左側(cè)時,如圖:F2C=BF2+BC=BF2+DC=2+3=5,當按順時針方向旋轉(zhuǎn)時,F在B點右側(cè)時,F1C=BC-BF1=3-2=1.∴F