湖南省長沙市第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省長沙市第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，3，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42個(gè)人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為A．11

B．12

C．13

D．14參考答案：B2.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是．（）①命題“若p，則q”的否命題是“若p，則￢q”；②xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要條件；③已知命題p，q，若“p∧q”為假命題，則命題p與q一真一假；④線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，表示兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由命題的否命題為既對(duì)條件否定，又對(duì)結(jié)論否定，即可判斷①；由命題的等價(jià)命題：x=5且y=2是xy=10的充分不必要條件，即可判斷②；運(yùn)用復(fù)合命題的真假，即可判斷③；線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，表示兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，即可判斷④．【解答】解：①命題“若p，則q”的否命題是“若￢p，則￢q”，故①錯(cuò)；②x=5且y=2是xy=10的充分不必要條件，由等價(jià)性可得xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要條件，故②對(duì)；③已知命題p，q，若“p∧q”為假命題，則命題p或q為假命題，故③錯(cuò)；④線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，表示兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，故④對(duì)．其中正確的命題個(gè)數(shù)為2．故選：B．3.已知P是拋物線x2=4y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l1：4x﹣3y﹣7=0和l2：y+2=0的距離之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（a，a2），利用點(diǎn)到直線的距離公式分別算出P到直線l1的距離d1=（a2﹣4a+7）和P到直線l2的距離d2=a2+2，得到d1+d2關(guān)于a的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出d1+d2的最小值，從而得到答案．【解答】解：由P是拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2），∴點(diǎn)P到直線l1：4x﹣3y﹣7=0的距離d1==，點(diǎn)P到直線l2：y+2=0的距離d2=a2+2．由此可得兩個(gè)距離之和為d1+d2=+a2+2=（a2﹣4a+7）+a2+2=a2﹣a+=（a﹣2）2+3，∴當(dāng)a=2時(shí)，d1+d2的最小值是3，即所求兩個(gè)距離之和的最小值是3．故選：C4.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)共有()．A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：A略5.如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正確的是(

)A． B． C．a(chǎn)b＞b2 D．a(chǎn)2＞ab參考答案：B【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由a＞b＞0，可得ab＞0且a2＞b2＞0，利用不等式的性質(zhì)2“不等式的兩邊同乘（除）一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變”，逐一分析四個(gè)答案的正誤，可得答案【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞0∴，即，故A答案正確；∴a2＞b2＞0，即＞，即，故B答案正確；∴ab＞b2，故C答案正確；∴a2＞ab，故D答案正確；故不等式中不正確的是B故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式與不等關(guān)系，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．6.已知空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點(diǎn)，則=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：D略8.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x﹣3）（x﹣6）=0}，則A∩B等于（）A．{1} B．{2，3} C．{3，6} D．{3}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；集合．【分析】求出B中方程的解確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中方程解得：x=3或x=6，即B={3，6}，∵A={1，2，3}，∴A∩B={3}，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．9.為研究某兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算得到，因?yàn)椋瑒t斷定這兩個(gè)分類變量有關(guān)系，那么這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(

)．A.0.1 B.0.001 C.0.01 D.0.05參考答案：B【分析】根據(jù)觀測值，對(duì)照臨界值表，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算得到，因?yàn)?，所以這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，其中解答中熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念和含義是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10.下列點(diǎn)在曲線上的是(

) A．（2，1） B．（﹣3，﹣2） C． D．（1，1）參考答案：C考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系將參數(shù)方程化為普通方程，再把各個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可．解答： 解：由題意得，，消去參數(shù)θ得y2+x=1，A、把點(diǎn)（2，1）代入y2+x=1不成立，A不正確；B、把點(diǎn)（﹣3，﹣2）代入y2+x=1不成立，B不正確；C、把點(diǎn)（，）代入y2+x=1成立，C正確；D、把點(diǎn)（1，1）代入y2+x=1不成立，D不正確；故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程化為普通方程，三角函數(shù)的平方關(guān)系的應(yīng)用，以及點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為

.參考答案：12.已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為_______．參考答案：1813.不等式對(duì)任意及任意恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是

．參考答案：考點(diǎn)：基本不等式及靈活運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是基本不等式的靈活運(yùn)用等知識(shí)和方法的綜合運(yùn)用.解答時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,即求函數(shù)最小值問題,然后再運(yùn)用基本不等式求得,即求出其最小值為,從而求得.解答本題是要對(duì)所個(gè)不等式進(jìn)行巧妙變形,這是解答本題的難點(diǎn),因此要引起足夠的重視.14.下面是一個(gè)算法．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是

.參考答案：2或615.已知，，則的值為_______________.參考答案：【分析】由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，求得，再由兩角差的余弦函數(shù)的公式，即可求解．【詳解】由，即，則，又由，所以，又由．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及正弦的倍角公式和兩角差的余弦公式的化簡、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=．參考答案：【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；I6：三點(diǎn)共線．【分析】利用三點(diǎn)共線得到以三點(diǎn)中的一點(diǎn)為起點(diǎn)，另兩點(diǎn)為終點(diǎn)的兩個(gè)向量平行，利用向量平行的坐標(biāo)形式的充要條件列出方程求出k．【解答】解：向量，∴又A、B、C三點(diǎn)共線故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）∴k=故答案為17.已知A、B是橢圓+=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，C、D是橢圓上兩點(diǎn)，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積最大值是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】四邊形ABCD面積=S△ABD+S△ABC，AC是固定的直線，可判斷兩條平行直線與AB平行時(shí)，切點(diǎn)為C，D，此時(shí)h1，h2最大，面積最大時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出D（2，）再利用對(duì)稱性得出C（﹣2，），|AC|=5，最后利用點(diǎn)到直線的距離，求出即可．【解答】解：∵A、B是橢圓+=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，∴A（4，0），B（0，3），∴直線AB的方程為：3x﹣4y﹣12=0，當(dāng)如圖兩條平行直線與AB平行時(shí)，切點(diǎn)為C，D，此時(shí)四邊形ABCD面積最大值：S=AC（h1+h2），kAC=y=3，y′==x=2，y=，D（2，）根據(jù)對(duì)稱性可知：C（﹣2，），|AC|=5h1=，h2=，S=AC（h1+h2）=××=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置故關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想判斷出最值的位置，再利用導(dǎo)數(shù)求解，即可得需要的點(diǎn)，用公式求解即可．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓的圓心為，直線．圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不大于圓半徑的2倍．（I）若，求直線被所截得弦長的最大值；（II）若直線是圓心下方的圓的切線，求的取值范圍．參考答案：（I）當(dāng)時(shí)有=

（II）略19.已知過點(diǎn)P（0，2）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，求直線l的方程；（2）若線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)Q，求△POQ面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的一般式方程．【專題】綜合題．【分析】（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，由△=（4k﹣4）2﹣16k2＞0，得k＜，由=，，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=，由以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，能求出直線l的方程．（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），由，得，故線段AB的中垂線方程為，由此能求出△POQ面積的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，則由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直線l的方程為y=﹣．（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則由（1）得，，所以線段AB的中垂線方程為，令y=0，得==，又由（1）知k＜，且k≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ面積的取值范圍為（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線l的方程的求法和求△POQ面積的取值范圍．考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．20.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是，圓C的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）射線:(其中)與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為M；射線:與圓C的交點(diǎn)為O，Q，與直線l的交點(diǎn)為N．求的最大值．參考答案：（Ⅰ）直線的極坐標(biāo)方程分別是.圓的普通方程分別是，所以圓的極坐標(biāo)方程分別是.

……5分（Ⅱ）依題意得，點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和所以，，從而.同理，.所以，故當(dāng)或時(shí)，的值最大，該最大值是.

……10分21.在中，角A、B、C的對(duì)邊依次是、、，若，，．（1）求的值；（2）求的面積．參考答案：（1），

同理

由正弦定理：，（2）

22.已知命題p：方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且僅有一解．命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0．若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假．專題：計(jì)算題．分析：若命題p真，即方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且僅有一解，可求得﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2；若命題q真，即只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依題意，命題p和命題q都是假命題，從而