遼寧省沈陽市新世紀(jì)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省沈陽市新世紀(jì)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在（0，4）內(nèi)取值的概率為0.6，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為

（

）A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.6參考答案：B2.曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），M是曲線C上的動點，若曲線T極坐標(biāo)方程2ρsinθ+ρcosθ=20，則點M到T的距離的最大值（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】先求出曲線C的普通方程，使用參數(shù)坐標(biāo)求出點M到曲線T的距離，得到關(guān)于α的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出距離的最值．【解答】解：曲線T的普通方程是：x+2y﹣20=0．點M到曲線T的距離為=，∴sin（α+θ）=﹣1時，點M到T的距離的最大值為2+4，故選B．3.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為()A、 B、

C、1

D、參考答案：A4.已知二次函數(shù)，若在區(qū)間[0，1]內(nèi)存在一個實數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.圓O的半徑為定長，A是平面上一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為（）A．一個點 B．橢圓C．雙曲線 D．以上選項都有可能參考答案：C【考點】軌跡方程．【分析】結(jié)合雙曲線的定義及圓與直線的相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)新的結(jié)論，熟練掌握雙曲線的定義及圓與直線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【解答】解：∵A為⊙O外一定點，P為⊙O上一動點線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，則QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即動點Q到兩定點O、A的距離差為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可知點Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點，OP為實軸長的雙曲線故選：C．6.若，，，則，2，，中最大的一個是A．

B．2

C．

D．參考答案：A略7.已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，則cosB的最小值為（）A． B． C． D．﹣參考答案： A【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】利用二倍角公式化簡為sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，結(jié)合基本不等式可得答案．【解答】解：由cos2A+cos2B=2cos2C，得1﹣2sin2A+1﹣2sin2B=2（1﹣2sin2C），即sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，∴cosC=，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）∴cosC的最小值為，故選A．8.方程表示的圖形是A.以(1,－2)為圓心，11為半徑的圓 B.以(－1,2)為圓心，11為半徑的圓C.以(－1,2)為圓心，為半徑的圓 D.以(1,2)為圓心，為半徑的圓參考答案：C【分析】將方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可確定方程表示以（-1，2）為圓心，為半徑的圓.【詳解】已知方程x2+y2+2x-4y-6=0,可轉(zhuǎn)化為：（x+1）2+（y-2）2=11故方程表示以（-1，2）為圓心，為半徑的圓故選C【點睛】本題考查了二元二次方程表示圓的條件，考查了圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程;判斷二元二次方程表示圓時，若方程能夠轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式：，即可知方程表示圓心為，半徑為r的圓.9.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）A．232 B．252 C．472 D．484參考答案：C【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】排列組合．【分析】不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，由此可得結(jié)論．【解答】解：由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故選C．【點評】本題考查組合知識，考查排除法求解計數(shù)問題，屬于中檔題．10.已知向量,，若，則實數(shù)m的值為（

）A. B. C. D.?參考答案：C【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算解得.【詳解】由，得．即.故選C．【點睛】本題考查向量的平行條件，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A、B兩點，若|AB|=8，則線段AB中點的橫坐標(biāo)為．參考答案：3【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線y2=4x，可得焦點F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設(shè)直線l的方程為：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．與拋物線方程聯(lián)立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長公式：|AB|=，解得m．再利用中點坐標(biāo)公式即可得出．【解答】解：由拋物線y2=4x，可得焦點F（1，0），若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4，不符合條件，舍去．設(shè)直線l的方程為：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，化為y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化為m2=1，解得m=±1，當(dāng)m=1時，聯(lián)立，化為x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1時，=3．∴線段AB中點的橫坐標(biāo)為3．故答案為：3．12.在△ABC中，∠A的角平分線交BC于點D，且AD=1，邊BC上的高AH=，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，則BC=．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【分析】由題意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=，設(shè)DC=x，則BD=2x，可得+（2x+）2=4[+（x﹣）2]，求出x=，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=設(shè)DC=x，則BD=2x，∴+（2x+）2=4[+（x﹣）2]，∴x=，∴BC=3x=．故答案為．【點評】本題考查三角形角平分線的性質(zhì)，考查勾股定理的運用，屬于中檔題．13.已知點，是坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)滿足，設(shè)z為

在上的射影的數(shù)量，則z的取值范圍是

參考答案：14.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，若{an}前n項和Sn=127，則n的值為

．參考答案：7【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】計算題．【分析】由等比數(shù)列的前n項和公式可得，127=解方程可求n【解答】解：由等比數(shù)列的前n項和公式可得，127=解可得，n=7故答案為：7【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式的簡單運用，屬于基礎(chǔ)試題．15.過點P(2,3)且在兩軸上的截距相等的直線方程是_________________.參考答案：16.下列程序運行結(jié)果是

.

x=1

k=0n=3DO

k=k+1

n=k+n

x=x*2LOOPUNTILx>nPRINTn;xEND參考答案：略17.下列有關(guān)命題的說法正確的有（填寫序號） ①命題“若x2﹣3x+2=0，則xx=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0” ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件 ③若p∧q為假命題，則p．q均為假命題 ④對于命題p：?x∈R使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0． 參考答案：①②④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用． 【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯． 【分析】對4個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論． 【解答】解：①命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題是：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，正確； ②若x=1，則x2﹣3x+2=1﹣3+2=0成立，即充分性成立；若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2，此時x=1不一定成立，即必要性不成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件，正確；③若p∧q為假命題，則p、q至少有一個為假命題，不正確 ④對于命題p：?x∈R使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，正確． 故答案為：①②④ 【點評】此題注重對基礎(chǔ)知識的考查，特別是四種命題之間的真假關(guān)系，復(fù)合命題的真假關(guān)系，特稱命題與全稱命題的真假及否定，是學(xué)生易錯點，屬中檔題． 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)．B肯定是受A感染的．對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是．在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機(jī)變量．寫出X的分布列（不要求寫出計算過程）,并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）．參考答案：解：隨機(jī)變量X的分布列是X123PX的均值為19.已知數(shù)列滿足：數(shù)列的前項和求數(shù)列的前項和參考答案：解析：當(dāng)時，而得又當(dāng)時，而得記①②，①－②得故20.（本題13分）為慶祝國慶，某中學(xué)團(tuán)委組織了“歌頌祖國，愛我中華”知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(成績均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題．(1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分．參考答案：(1)設(shè)第i組的頻率為fi(i＝1,2,3,4,5,6)，因為這六組的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意知，及格以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組的頻率之和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽樣學(xué)生成績的及格率是75%.故估計這次考試的及格率為75%.利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.從而估計這次考試的平均分是71分．21.(本小題滿分12分)已知,(a＞0,a≠1,t∈R).（1）若，求t的值；（2）當(dāng)t=4,x∈[1,2]，且有最小值2時，求a的值；（3）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1,2]時，有f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.參考答案：解：（1）即（2分）（2），

又在單調(diào)遞增，

當(dāng)，解得當(dāng)，

解得（舍去）

所以

（7分）

(3），即，，，，，依題意有

而函數(shù)

因為，，所以.（12分）

22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，，M為PD的中點，E為AM的中點，點F在線段PB上，且．（1）求證：EF∥平面ABCD；（2）若平面PDC⊥底面ABCD，且，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）（法一）如圖，設(shè)中點為，連接，，，則有，利用線面平行的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面，從而證得平面平面，即可求得平面.（法二）連接、、，則有，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解?！驹斀狻拷猓海?）證明：（法一）如圖，設(shè)中點為，連接，，，則有，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴平面平面，∴平面.（法二）如圖，設(shè)中點為，為線段上一點，且.連接、、，則有，∵，∴，∴，且，即為平行