中考數(shù)學二輪復習考點提分特訓專題02 反比例函數(shù)與幾何綜合問題 （解析版）

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題一、【知識回顧】（1）平面直角坐標系中對稱點的坐標特征平面直角坐標系內(nèi)有一點P（a，b）點P（a，b）關于x軸的對稱點（a，-b）點P（a，b）關于y軸的對稱點（-a，b）點P（a，b）關于原點的對稱點（-a，-b）點P（a，b）關于y=x的對稱點（b，a）點P（a，b）關于y=-x的對稱點（-b，-a）（2）反比例函數(shù)k的幾何意義常見模型備注：熟練運用幾大模型：①一點一垂線②一點兩垂線③兩點一垂線④兩點兩垂線⑤兩點也原點反比例函數(shù)幾何綜合解法技巧：設點的坐標，利用點的對稱關系，表示其他點的坐標；并通過點的坐標表示線段長度，通過面積構建方程，解方程。二、【考點類型】考點1：反比例函數(shù)與直線結合典例1：（2022·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，已知正比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先根據(jù)圖象過點，坐標滿足函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱性求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵正比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象都是關于原點成中心對稱，∴SKIPIF1<0關于原點成中心對稱，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點，圖象的對稱性是解題的關鍵．【變式1】（2022春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m為常數(shù)）與雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，k為常數(shù)）交于點A，B，若SKIPIF1<0，過點A作SKIPIF1<0軸，垂足為M，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)反比例的圖象關于原點中心對稱得到點A與點B關于原點中心對稱，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入解析式求得SKIPIF1<0，然后根據(jù)反比例函數(shù)SKIPIF1<0系數(shù)k的幾何意義即可得到SKIPIF1<0，進一步得出SKIPIF1<0．【詳解】解：∵直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m為常數(shù)）與雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，k為常數(shù)）交于點A，B，∴點A與點B關于原點中心對稱，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0軸，垂足為M，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)SKIPIF1<0系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為SKIPIF1<0．【變式2】（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用整體思想代入SKIPIF1<0，求值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故選A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，以及分式求值．熟練掌握交點坐標同時滿足反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，利用整體思想，進行求值，是解題的關鍵．【變式3】（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍；（3）若點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0的坐標．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0；反比例函數(shù)為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】(1)將A點坐標代入反比例函數(shù)求得SKIPIF1<0，再將B點代入反比例函數(shù)求得n，再把A、B兩點坐標代入一次函數(shù)求得SKIPIF1<0從而得出兩函數(shù)解析式；(2)觀察圖案結合（1）題求得A、B兩點坐標即可求出所求x的范圍；(3)連接BO、AO，則△AOP和△BOP高相同，面積之比就是底邊長度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之間橫坐標差值按比例分配求得P點橫坐標，再把橫坐標代入一次函數(shù)求得縱坐標從而求出P點坐標.【詳解】解：（1）SKIPIF1<0反比例函數(shù)SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反比例函數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0；（2）觀察圖象，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0點坐標為(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，函數(shù)與不等式，三角形的面積等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.注意數(shù)形結合思想的應用.考點2：反比例函數(shù)與特殊三角形結合典例2：（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B（點B不與點M重合）．若AB⊥OM于點B，則k的值為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，設OC=x，利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求得點B(x，SKIPIF1<0x)，點A(15-2x，2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0)，再利用反比例函數(shù)的性質列方程，解方程即可求解．【詳解】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，如圖：∵△OMN是邊長為10的等邊三角形，∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，設OC=x，則OB=2x，BC=SKIPIF1<0x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，∴NA=10-MA=4x-10，DN=SKIPIF1<0NA=2x-5，AD=SKIPIF1<0DN=SKIPIF1<0(2x-5)=2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0，∴OD=ON-DN=15-2x，∴點B(x，SKIPIF1<0x)，點A(15-2x，2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0)，∵反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B，∴x?SKIPIF1<0x=(15-2x)(2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0)，解得x=5(舍去)或x=3，∴點B(3，SKIPIF1<0)，∴k=9SKIPIF1<0．故答案為：9SKIPIF1<0．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．【變式1】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點B在第一象限，且SKIPIF1<0OAB為等邊三角形，若反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0在第一象限的圖象經(jīng)過邊AB的中點，則k的值為___________【答案】SKIPIF1<0【分析】設AB中點為D，分別過B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，根據(jù)等邊三角形的邊長為4，利用等邊三角形的性質，算出OM和DM的長，從而得出點D的坐標，即可得出k的值．【詳解】設AB中點為D，分別過B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，垂足分別為N、M如圖所示：∵OA=4，△OAB為等邊三角形，∴AB=OA=OB=4，SKIPIF1<0，∵BN⊥OA，∴ON=AN=2，BN=SKIPIF1<02SKIPIF1<0，∵DM⊥OA，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點D為AB的中點，∴SKIPIF1<0，∴DM=SKIPIF1<0，AM=1，∴OM=OA-AM=4-1=3，∴D（3，SKIPIF1<0），∴k=3×SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0．故答案為：3SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，求反比例函數(shù)關系式和平行線分線段成比例定理，作出相應的輔助線是解題的關鍵．【變式2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=SKIPIF1<0(k＞0，x＞0)的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么點N的橫坐標為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質和已知條件，可求出OM，通過做垂線，利用解直角三角形，求出點M的坐標，進而確定反比例函數(shù)的關系式；用直線AB的關系式與反比例函數(shù)的關系式組成方程組，解出x的值即可．【詳解】過點N、M分別作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足為C、D，∵△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=3，∠AOB=∠ABO=60°，又∵OM=2MA，∴OM=2，MA=1，在Rt△MOD中，∠OMD=90SKIPIF1<0-∠MOD=30°，OD=SKIPIF1<0OM=1，MDSKIPIF1<0ODSKIPIF1<0，∴點M的坐標為(1，SKIPIF1<0)，∴反比例函數(shù)的關系式為：y=SKIPIF1<0，設OC=a，則BC=3-a，NC=SKIPIF1<0，在Rt△BCN中，∠BNC=90SKIPIF1<0-∠NBC=30°，∴NC=SKIPIF1<0BC，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(3-a)，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)，∴點N的橫坐標為SKIPIF1<0，故選：B．【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，考查了等邊三角形的性質、含30度角直角三角形的性質、待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，求得交點坐標是解題的關鍵．【變式3】（2023秋·河南許昌·九年級校考期末）已知點SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸上，若SKIPIF1<0為等腰三角形，且腰長為5，則點SKIPIF1<0坐標為______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【詳解】解：當SKIPIF1<0時，過點A作SKIPIF1<0，垂足為C，∵SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0（舍），代入SKIPIF1<0計算可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴點B的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，∵腰長為5，∴SKIPIF1<0，∴點B坐標為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，∵腰長為5，∴SKIPIF1<0，∴點B坐標為SKIPIF1<0；綜上：點B的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，考查分類討論的思想，當SKIPIF1<0時，求出點SKIPIF1<0的坐標是解題的關鍵．考點3：反比例函數(shù)與特殊四邊形結合典例3：（2022春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）如圖，反比例函數(shù)SKIPIF1<0點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是該反比例函數(shù)圖象上的另外兩點，且點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關于原點對稱．若已知四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，且矩形SKIPIF1<0的面積為18，則SKIPIF1<0的值為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用矩形面積以及長寬的關系，找出關系式，再利用完全平方公式算出SKIPIF1<0．【詳解】解：由題意可知，設SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，反比例函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，勾股定理，完全平方公式，解題關鍵是利用矩形的面積及長寬關系找出關系式．【變式1】（2020·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC=60°，過點C的反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與AB交于點D，則△COD的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】易證S菱形ABCO=2S△CDO，再根據(jù)tan∠AOC的值即可求得菱形的邊長，即可求得點C的坐標，可得菱形的面積和結論．【詳解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC=60°，∴tan∠AOC=SKIPIF1<0，∴設OE=x，CE=SKIPIF1<0x，∴x?SKIPIF1<0x=4SKIPIF1<0，∴x=±2，∴OE=2，CE=2SKIPIF1<0，由勾股定理得：OC=4，∴S菱形OABC=OA?CE=4×2SKIPIF1<0=8SKIPIF1<0，∵四邊形OABC為菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO=S△DFO，同理S△BCD=S△CDF，∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，∴S菱形ABCO=2（S△DFO+S△CDF）=2S△CDO=8SKIPIF1<0，∴S△CDO=4SKIPIF1<0；故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質，反比例函數(shù)的性質，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計算，本題中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解題的關鍵．【變式2】（2022·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)SKIPIF1<0（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別于AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為【】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題可從反比例函數(shù)圖象上的點E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面積與|k|的關系，列出等式求出k值．【詳解】由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則SKIPIF1<0，過點M作MG⊥y軸于點G，作MN⊥x軸于點N，則S□ONMG=|k|．又∵M為矩形ABCO對角線的交點，∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，∵函數(shù)圖象在第一象限，k＞0，∴SKIPIF1<0．解得：k=3．故選C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|，本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注．【變式3】（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預測）正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點E．在點A處建立平面直角坐標系如圖所示．（1）如圖（1），雙曲線y＝SKIPIF1<0過點E，完成填空：點C的坐標是，點E的坐標是，雙曲線的解析式是；（2）如圖（2），雙曲線y＝SKIPIF1<0與BC，CD分別交于點M，N．求證：SKIPIF1<0；（3）如圖（3），將正方形ABCD向右平移m（m＞0）個單位長度，使過點E的雙曲線y＝SKIPIF1<0與AB交于點P．當SKIPIF1<0AEP為等腰三角形時，求m的值．【答案】（1）(4，4)，(2，2)，SKIPIF1<0；（2）見解析；（3）2或2SKIPIF1<0+2【分析】（1）根據(jù)正方形的邊長可確定C點的坐標，再利用正方形的性質得出E點坐標，用待定系數(shù)法求出雙曲線解析式即可；（2）設出M點和N點的坐標，根據(jù)坐標的性質得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；（3）根據(jù)E點的坐標求出AE的長，再分三種情況討論分別求出m的值即可．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點E，∴C（4，4），E（2，2），將E點坐標代入雙曲線y＝SKIPIF1<0，得2＝SKIPIF1<0，解得k1＝4，∴雙曲線的解析式為y＝SKIPIF1<0，故答案為：（4，4），（2，2），SKIPIF1<0；（2）∵雙曲線y＝SKIPIF1<0與BC，CD分別交于點M，N，∴設M（m，4），N（4，n），∴4m＝4n，∴m＝n，∴MC＝NC，由正方形可知，∠BCD＝90°，∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，∴∠CMN＝∠CBD，∴MN∥BD；（3）∵正方形邊長為4，由（1）知E（2，2），∴AE＝SKIPIF1<0，①當AP＝AE＝2SKIPIF1<0時，∵P（m，2SKIPIF1<0），E（m+2，2），點P、E在反比例函數(shù)圖象上，∴2SKIPIF1<0m＝2（m+2），∴m＝2SKIPIF1<0+2；②當EP＝AE時，點P與點B重合，∵P（m，4），E（m+2，2），點P、E在反比例函數(shù)圖象上，∴4m＝2（m+2），∴m＝2；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0當EP＝AP時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0當EP＝AP時，點P、E不可能都在反比例函數(shù)圖象上，故此情況不存在；綜上所述，滿足條件的m的值為2或2SKIPIF1<0+2．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，正方形的性質，掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．鞏固訓練一、單選題1．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，頂點SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，則平行四邊形SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．5【答案】C【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再將點SKIPIF1<0的坐標分別代入兩個函數(shù)的解析式可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入函數(shù)SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入函數(shù)SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則平行四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、平行四邊形的面積公式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題關鍵．2．（2021秋·廣東佛山·九年級佛山市第四中學?？茧A段練習）兩個反比例函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的圖象于點A，SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的圖象于點SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上運動時，下列結論錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積相等B．當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點C．SKIPIF1<0D．只有當四邊形OCPD為正方形時，四邊形PAOB的面積最大【答案】D【分析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質，分別得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，通過計算即可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積相等；設SKIPIF1<0，根據(jù)反比例函數(shù)、坐標的性質計算，即可判斷選項B和C；根據(jù)四邊形PAOB的面積=四邊形OCPD面積-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0的關系計算，推導得四邊形PAOB的面積SKIPIF1<0，即可完成求解．【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積相等，即選項A正確；設SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴SKIPIF1<0∵點A是PC的中點，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴點SKIPIF1<0的縱坐標為：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點，即選項B正確；∵SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴點SKIPIF1<0的縱坐標為：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即選項C正確；根據(jù)題意，四邊形PAOB的面積=四邊形OCPD面積-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=四邊形OCPD面積-1；四邊形OCPD面積SKIPIF1<0∴四邊形PAOB的面積SKIPIF1<0，即無論四邊形OCPD是否為正方形，四邊形PAOB的面積均為SKIPIF1<0∴選項D不正確；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)、直角坐標系的知識；解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質，從而完成求解．3.（2022秋·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學校?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是SKIPIF1<0，點B的坐標是（0，SKIPIF1<0），直線SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的圖象交于點D，過點A作SKIPIF1<0軸與反比例函數(shù)的圖象相交于點C，若SKIPIF1<0，則k的值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設直線SKIPIF1<0的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，將點A、B代入確定直線解析式，過點D作SKIPIF1<0軸于E，根據(jù)相似三角形的判定可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，進而可得D點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式計算求值即可；【詳解】解：設直線SKIPIF1<0的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，將點A、B代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴一次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0，∴過點D作SKIPIF1<0軸于E，∵點A的坐標是SKIPIF1<0，點B的坐標是（0，SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵AC⊥x軸，∴C點橫坐標SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵DE⊥x軸，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題關鍵．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知點A是一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像在第一象限內(nèi)的交點，SKIPIF1<0軸于點B，點C在x軸的負半軸上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】先確定反比例函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，確定點SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，計算SKIPIF1<0，利用勾股定理得SKIPIF1<0，計算即可．【詳解】∵SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴反比例函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，勾股定理是解題的關鍵．5.（2021·湖北武漢·九年級專題練習）已知點A是雙曲線y＝SKIPIF1<0在第一象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限內(nèi)，隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y＝SKIPIF1<0（x＞0）上運動，則k的值是（）A．3 B．SKIPIF1<0 C．﹣3 D．﹣SKIPIF1<0【答案】C【分析】連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性質，知OA=OB，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得OC⊥AB，且OC：OA=SKIPIF1<0，過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，可證明△DOA∽△ECO，得EC=SKIPIF1<0DO，OE=SKIPIF1<0AD，把線段轉化為坐標，結合反比例函數(shù)的解析式求解即可．【詳解】如圖，連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性質，得OA=OB，∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，∠OCA=30°，∴OC：OA=SKIPIF1<0，過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，∴∠ADO=∠OEC=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠AOD+∠COE=90°，∴∠OAD=∠COE，∴△DOA∽△ECO，∴EC:DO=OE:AD=OC:AD，∴EC=SKIPIF1<0DO，OE=SKIPIF1<0AD，設點A（a，b），則DO=a，AD=b，ab=1，∵點C在第四象限，∴點C的坐標為（SKIPIF1<0b，-SKIPIF1<0a），∵點C始終在雙曲線y＝SKIPIF1<0（x＞0）上運動，∴k=（-SKIPIF1<0a）×SKIPIF1<0b=-3ab=-3，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的對稱性，等腰三角形三線合一的性質，三角形的相似，坐標與線段之間的關系，熟練掌握反比例函數(shù)的對稱性，靈活選擇方法證明三角形的相似是解題的關鍵．6.（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上任意一點，SKIPIF1<0軸交反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象于點B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中C、D在x軸上，則SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設A的縱坐標是b，則B的縱坐標也是b，即可求得A、B的橫坐標，進而可表示AB的長度，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】解：設A的縱坐標是b，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴點B的縱坐標也是b，把y=b代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴A的橫坐標是SKIPIF1<0，把y=b代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴B的橫坐標是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】本題考查了是反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合題，理解A、B的縱坐標是同一個值，表示出AB的長度是解決本題關鍵．7．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，O為坐標原點，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，cos∠AOB=SKIPIF1<0反比例函數(shù)SKIPIF1<0在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A，與BC交于點F，則△AOF的面積等于（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】過點A作AM⊥x軸于點M，設OA=a,通過解直角三角形找出點A的坐標，結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出a的值，再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點F在邊BC上，即可得出SKIPIF1<0，結合菱形的面積公式即可得出結論．【詳解】解：過點A作AM⊥x軸于點M，如圖所示．設OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB=SKIPIF1<0，∴OM=OA?cos∠AOB=SKIPIF1<0a，AM=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0a，∴點A的坐標為（SKIPIF1<0a，SKIPIF1<0a）．∵點A在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象上，∴SKIPIF1<0a×SKIPIF1<0a=24，解得：a=5SKIPIF1<0，或a=-5SKIPIF1<0（舍去）．∴OM=3SKIPIF1<0，AM=4SKIPIF1<0，OB=OA=5SKIPIF1<0．∵四邊形OBCA是菱形，點F在邊BC上，∴SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是找出SKIPIF1<0．8．（2012春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B是雙曲線SKIPIF1<0上關于原點對稱的任意兩點，AC∥y軸，BD∥y軸，則四邊形ACBD的面積S滿足（）A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>2【答案】C【分析】連接AB，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義及等底等高的兩個三角形面積相等，即可求得結果．【詳解】解：如圖，連接AB，∵A，B是函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上關于原點O對稱的任意兩點，且AC平行于y軸，BD平行于y軸，∴S△AOC=S△BOD=SKIPIF1<0，假設A點坐標為（x，y），則B點坐標為（-x，-y），則OC=OD=x，∴S△AOD=S△AOC=SKIPIF1<0，S△BOC=S△BOD=SKIPIF1<0，∴四邊形ABCD面積=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=SKIPIF1<0，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，掌握這一知識是關鍵．9．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，點SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0圖象上一點，連結SKIPIF1<0，交函數(shù)SKIPIF1<0的圖象于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上一點，且SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0的面積為（

）A．9 B．12 C．20 D．36【答案】B【分析】根據(jù)題意可以分別設出點A、點B的坐標，根據(jù)點O、A、B在同一條直線上可以得到A、B的坐標之間的關系，由AO=AC可知點C的橫坐標是點A的橫坐標的2倍，從而可以得到△ABC的面積．【詳解】解：設點A的坐標為（a，SKIPIF1<0），點B的坐標為（b，SKIPIF1<0），∵點C是x軸上一點，且AO=AC，∴點C的坐標是（2a，0），設過點O（0，0），A（a，SKIPIF1<0）的直線的解析式為：y=kx，∴SKIPIF1<0=ak，解得，k=SKIPIF1<0，又∵點B（b，SKIPIF1<0）在y=SKIPIF1<0x上，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0?b，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=SKIPIF1<0=18-6=12．故選：B.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、三角形的面積、等腰三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，SKIPIF1<0，點A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】直接利用相似三角形的判定與性質得出SKIPIF1<0，進而得出SKIPIF1<0，即可得出答案．【詳解】解：過點B作SKIPIF1<0軸于點C，過點A作SKIPIF1<0軸于點D，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及反比例函數(shù)數(shù)的性質，正確得出SKIPIF1<0是解題關鍵．二、填空題11．（2022秋·湖南懷化·九年級校考階段練習）如圖，設直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的值為___________．【答案】10【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標并結合函數(shù)圖象上點的坐標特征來解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：10．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，重點是掌握兩點關于原點成中心對稱．12（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）?？奸_學考試）如圖，點A在雙曲線SKIPIF1<0上，點B在雙曲線SKIPIF1<0上，點A在點B的左側，SKIPIF1<0軸，點C，D在x軸上，若四邊形SKIPIF1<0為面積是9的矩形，則k的值為______．【答案】13【分析】延長SKIPIF1<0交y軸于點E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可得四邊形SKIPIF1<0的面積是4，四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，再由四邊形SKIPIF1<0的面積是9，即可求出．【詳解】解：延長SKIPIF1<0交y軸于點E，則SKIPIF1<0軸，∵點A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，∴四邊形SKIPIF1<0的面積是4，∵點B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，∴四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0的面積是9，∴SKIPIF1<0，∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0在第一象限，∴SKIPIF1<0．故答案為13．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵。13．（2019·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC＝60°，過點C的反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與AB交于點D，則△COD的面積為_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】易證S菱形ABCO＝2S△CDO，再根據(jù)tan∠AOC的值即可求得菱形的邊長，即可求得點C的坐標，可得菱形的面積和結論．【詳解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC＝60°，∴tan∠AOC＝SKIPIF1<0，∴設OE＝x，CE＝SKIPIF1<0,∴x?SKIPIF1<0，∴x＝±2，∴OE＝2，CE＝2SKIPIF1<0，由勾股定理得：OC＝4，∴S菱形OABC＝OA?CE＝4×2SKIPIF1<0，∵四邊形OABC為菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO＝S△DFO，同理S△BCD＝S△CDF，∵S菱形ABCO＝S△ADO＋S△DFO＋S△BCD＋S△CDF，∴S菱形ABCO＝2（S△DFO＋S△CDF）＝2S△CDO＝8SKIPIF1<0，∴S△CDO＝4SKIPIF1<0；故答案為4SKIPIF1<0.【點睛】本題考查了菱形的性質，反比例函數(shù)的性質，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計算，本題中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解題的關鍵．14．（2021春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）圖，已知在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的直角頂點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，點SKIPIF1<0在第一象限，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0．交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面積是3，則四邊形SKIPIF1<0的面積是______．【答案】5【分析】作輔助線，構建直角三角形，利用反比例函數(shù)SKIPIF1<0的幾何意義得到SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，利用中線的性質和三線合一得到△OCE和△OAB的面積比為SKIPIF1<0，代入可得結論．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴CE⊥OB，∴OE=BE，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故答案為：5．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)SKIPIF1<0的幾何意義：在反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象中任取一點，過這一個點向SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值SKIPIF1<0．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是SKIPIF1<0，且保持不變．15．（2022·江蘇淮安·模擬預測）如圖，一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像交坐標軸于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，交反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖像的一個分支于點SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0的值是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由一次函數(shù)解析式可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標，再由點SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的中點求得SKIPIF1<0的坐標，然后代入SKIPIF1<0求得k即可解答．【詳解】解：SKIPIF1<0一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像交坐標軸于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖像過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)圖像上點的坐標特征、運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識點，求得點SKIPIF1<0的坐標是解題的關鍵．16.（2021春·福建廈門·九年級廈門市湖濱中學?？计谥校┤鐖D，已知A、B兩點都在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，若AB=6，則k的值為____．【答案】－9【分析】根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)圖象的軸對稱性，可知：A、B兩點關于直線y=-x軸對稱，從而設A(m，n)，則B(-n，-m)，結合兩點間的距離公式，即可求解．【詳解】∵A、B兩點都在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，∴A、B兩點關于直線y=-x軸對稱，設A(m，n)，則B(-n，-m)，∵AB=OA=6，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，化簡整理得：-4mn=36，∴mn=-9，即：k=-9．故答案是：-9【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質，等邊三角形的性質，掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)圖象的軸對稱性以及兩點間的距離公式，是解題的關鍵．三、解答題17．（2022秋·福建福州·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形SKIPIF1<0為矩形，C，A兩點分別在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上，D為線段SKIPIF1<0的中點，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點B．(1)當點C坐標為SKIPIF1<0時，求點D的坐標；（用含k的代數(shù)式表示）(2)若一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過C，D兩點，求k的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)k的值為6【分析】（1）先由B點的橫坐標為1，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點B，求得SKIPIF1<0，進而根據(jù)D為線段SKIPIF1<0的中點即可得解；（2）根據(jù)求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而得SKIPIF1<0，又由點D為SKIPIF1<0的中點，得點SKIPIF1<0，再由點D在直線SKIPIF1<0上，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形SKIPIF1<0為矩形，C，A兩點分別在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上，點C坐標為SKIPIF1<0，∴B點的橫坐標為1，∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點B，∴SKIPIF1<0，∵D為線段SKIPIF1<0