中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題10 二次函數(shù)綜合問(wèn)題（解析版）

專題10二次函數(shù)綜合問(wèn)題一、【知識(shí)回顧】【思維導(dǎo)圖】【類(lèi)型清單】二、【考點(diǎn)類(lèi)型】考點(diǎn)1：線段周長(zhǎng)問(wèn)題典例1：（2022·漳州）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=x2+bx+c中，得：0=9+3b+c3=c，解得：b=?4∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．（2）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把點(diǎn)點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．∵M(jìn)N∥y軸，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，∴點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，∴1＜m＜3．∵線段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣12+9∴當(dāng)m=32時(shí)，線段MN取最大值，最大值為9（3）解：假設(shè)存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n）．當(dāng)m=32時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（32，∴PB=(2?3)2+(n?0)2=1+n2，PN=△PBN為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)PB=PN時(shí)，即1+n2=解得：n=12此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，12②當(dāng)PB=BN時(shí)，即1+n2=解得：n=±142此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣142）或（2，14③當(dāng)PN=BN時(shí)，即(2?32)解得：n=3±17此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3?172）或（2，綜上可知：在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，12）、（2，﹣142）、（2，142）、（2，3?【解析】【分析】（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出線段MN的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n），結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類(lèi)討論即可求出n值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1】（2018·大慶）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE+EF的最大值；（3）點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】（1）解：把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得16+4b+c=0c=4，解得b=?5c=4∴拋物線的解析式為y=x（2）解：由B（4，0），C（0，4）易得BC的解析式為y=﹣x+4，由OB=OC，可得△BOC為等腰直角三角形，∠BCO=∠CBO=45°，由直線y=x+m可得F（0，m），與x軸的交點(diǎn)為Q（-m，0），則OF=OQ，∴∠EFC=45°，∴△ECF為等腰直角三角形，EF=22作PG∥y軸交BC于G，

△EPG為等腰直角三角形，PE=22PG，設(shè)P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），則G（t，﹣t+4），m=t2﹣6t+4∴PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，EF=22∴PE=22PG=﹣22t∴PE+EF=﹣22t2+22當(dāng)t=52時(shí)，PE+EF的最大值為25（3）解：①如圖，

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=52，設(shè)D（52，n），則BC2=42+42=32，DC2=（52）2+（n﹣4）2，BD2=（4﹣52）2+n2=94+n2，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DC2=BD2，即32+（52）2+（n﹣4）2=94+n當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+BD2=DC2，即32+94+n2=（52）2+（n﹣4）2，解得n=﹣1，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（52綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是（52，132）或（52②當(dāng)△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，DC2+DB2=BC2，即（52）2+（n﹣4）2+94+n2=32，解得n1=4+312，n2=4?312，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（52∴△BCD是銳角三角形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為4+312＜n＜132或?【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式：將B（4，0）和C（0，4）代入二次函數(shù)解析式，聯(lián)立方程解出b，c即可；（2）求PE+PF的最大值，一般可以通過(guò)幾何分析得到特殊點(diǎn)，或者將PE+PF運(yùn)用含字母的代數(shù)式表示出來(lái)，分析字母的取值范圍，得到PE+PF的最值；由點(diǎn)P是拋物線與直線y=x+m的交點(diǎn)，即點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），嘗試結(jié)合直線y=x+m及直線BCy=﹣x+4的特殊性，可得∠BCO=∠CFE=45°，用t表示出PE及EF的長(zhǎng)度，并求出PE+EF的和；（3）①直角三角形中已知B（4，0），C（0，4），且D的橫坐標(biāo)為52，∵②結(jié)合①的結(jié)論，以及當(dāng)△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，由勾股定理可求得此時(shí)D的坐標(biāo)，結(jié)合圖形將①和②所求得的點(diǎn)D的坐標(biāo)在圖中標(biāo)出來(lái)，可確定點(diǎn)D在哪些位置時(shí)，△BCD是銳角三角形．【變式2】（2022九上·東陽(yáng)月考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D做DQ⊥x軸于點(diǎn)M，DQ與BC相交于點(diǎn)M．DE⊥BC于E．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求線段DE長(zhǎng)度的最大值；（3）連接AC，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CAO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x-3），將C（0，3）代入，得：a×（0+1）×（0-3）＝3，解得：a＝-1，∴y＝-（x+1）（x-3）＝-x2+2x+3，∴拋物線解析式為y＝-x2+2x+3（2）解：設(shè)D（m，-m2+2m+3），且0＜m＜3，如圖1，在Rt△BOC中，BO＝3，OC＝3，

∴BC＝BO2設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，將B（3，0），C（0，3）代入，得：3k+n=0解得：k=?1∴直線BC的解析式為y＝-x+3，∴G（m，-m+3），∴DG＝-m2+2m+3-（-m+3）＝-m2+3m，∵DE⊥BC，∴∠DEG＝∠BOC＝90°，∵DG⊥x軸，∴DG∥y軸，∴∠DGE＝∠BCO，∴△DGE∽△BCO，∴DEDG=BOBC，∴DE＝-2∴當(dāng)m＝32時(shí)，DE取得最大值，最大值是9（3）解：存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等．∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），∴F（1，0），∴OF＝1，OC＝3，BC＝4，∴tan∠CFO＝OCOF如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝tan∠CFO＝3，∵tan∠DCE＝GBBC∴GB＝12，∵BG⊥BC，GH⊥x軸，∴∠CBG＝∠GHB＝∠BCO＝90°，∴∠CBO+∠GBH＝∠BGH+∠GBH＝90°，∴∠CBO＝∠BGH，∴△CBO∽△BGH，∴GHBO∴GH＝9，HB＝9，∴OH＝OB+BH＝3+9＝12，∴G（12，9），設(shè)直線CG的解析式為y＝k1x+b1，∴12k解得：k1∴直線CG的解析式為y＝12聯(lián)立方程組，得：y=1解得：x1當(dāng)x＝32時(shí)，y＝12×32∴D（32，15②若∠CDE＝∠CFO，∴tan∠CDE＝tan∠CFO＝3，∵BG⊥BC，DE⊥BC，∴∠CBG＝∠CED＝90°，∴GB∥DE，∴∠CDE＝∠CGB，∴tan∠CDE＝tan∠CGB＝BCGB∴GB＝13BC＝13×32＝∵△CBO∽△BGH，∴GHBO∴GH＝13BO＝1，HB＝1∴OH＝OB+BH＝3+1＝4，∴G（4，1）；同①方法，易求得直線CG的解析式為y＝-12聯(lián)立方程組，得y=解得：x1∴D（52，7綜上所述，存在點(diǎn)D使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（32，154）或（52【解析】【分析】（1）利用”兩根式“待定系數(shù)法求解，由拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x-3），再代入點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；

（2）設(shè)D（m，-m2+2m+3），且0＜m＜3，利用勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再證明△DGE∽△BCO，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，用含m的代數(shù)式表示出DE，再利用二次函數(shù)最值即可求解；

（3）△CDE中有一個(gè)角與∠CAO相等，分兩種情況：①若∠DCE＝∠CFO，②若∠CDE＝∠CFO，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于H，運(yùn)用三角函數(shù)定義和相似三角形性質(zhì)求出直線CG的解析式，再聯(lián)立方程組并求解方程組，即可求得使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等的點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式3】（2022九上·鄞州月考）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(-2，-3)在拋物線上.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求△PAD周長(zhǎng)的最小值；（3）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】（1）解：由題意得

9?3b+c=04a?2b+c=?3

解之：b=2c=?3

∴拋物線的解析式為y=x（2）解：連接BD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴AP=BP，

∴AP+PD+AD=BP+PD+AP=BD+AD，

∵兩點(diǎn)之間線段最短，

∴此時(shí)△PAD的周長(zhǎng)為BD+AD為最小，

當(dāng)y=0時(shí)x2+2x-3=0

解之：x1=-3，x2=1，

∴點(diǎn)B（1，0），

∵A(-3，0)，D(-2，-3)，

∴BD=?2?12+32=32，

（3）解：設(shè)點(diǎn)M（-1，n），

∵A(-3，0)，D(-2，-3)，

∴AM2=（-1+3）2+n2=n2+4，AD2=（-3+2）2+9=10，

MD2=（-1+2）2+（n+3）2=n2+6n+10

當(dāng)AM=AD時(shí)n2+4=10，

解之：n1=6，n2=-6，

∴點(diǎn)M（-1，6）或（-1，-6）；

當(dāng)AM=MD時(shí)n2+4=n2+6n+10

解之：n=-1，

∴點(diǎn)M（-1，-1）

當(dāng)AD=DM時(shí)n2+6n+10=10

解之：n1=0，n2=-6；

∴點(diǎn)P（-1，0），（-1，-6），

設(shè)AD的函數(shù)解析式為y=kx+b

∴?3k+b=0?2k+b=?3

解之：k=?3b=?9

∴AD的函數(shù)解析式為y=-3x-9，

當(dāng)x=-1時(shí)y=3-9=-6，

∴（-1，-6）在直線AD上，

∴點(diǎn)（-1，-6）不符合題意，舍去

∴當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，6）或（-1，-6【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于b，c的方程組，解方程組求出b，c的值，可得到拋物線的解析式.

（2）連接BD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，利用對(duì)稱軸的應(yīng)用-最短問(wèn)題及二次函數(shù)的對(duì)稱性，可知此時(shí)△PAD的周長(zhǎng)為BD+AD為最小，由y=0求出對(duì)應(yīng)的x的值，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；再利用勾股定理求出BD，AD的長(zhǎng)，然后求出△PAD的周長(zhǎng).

（3）設(shè)點(diǎn)M（-1，n），利用平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)之間的距離公式，分別求出AM2，AD2，MD2，再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當(dāng)AM=MD時(shí)；當(dāng)AM=AD時(shí)；當(dāng)MD=AD時(shí)，分別可得到關(guān)于n的方程，分別解方程求出n的值，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；再求出直線AD的函數(shù)解析式，可知點(diǎn)（-1，-6）在此函數(shù)圖象上，綜上所述可得到符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).考點(diǎn)2：面積問(wèn)題典例2：（2021九上·鄂城期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2，5)，且與直線y=?12x在第二象限交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B(?4，0).若P是直線OA上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交（1）求拋物線的解析式；（2）求△AOP的面積S的最大值；（3）連接PB交OA于點(diǎn)E，如圖2，線段PB與AD能否互相平分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）解：∵AB⊥x軸，點(diǎn)B(?4，0)，∴y=?∴A(?4，2)，又∵拋物線經(jīng)過(guò)(?2，5)，∴16a?4b=24a?2b=5∴拋物線的解析式為y=?（2）解：設(shè)點(diǎn)P(t，?t2?∴PD=(?∴S=1∴t=?2時(shí)，Smax（3）解：線段PB與AD能相互平分.理由如下：如圖，連接BD∵線段PB與AD相互平分，∴四邊形ABDP是平行四邊形，∴PD=AB，∵A(?4，2)，PD=?∴?t∴t=?2+2或當(dāng)t=?2+2時(shí)，則∵E為AD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(當(dāng)t=?2?2時(shí)，則∵E為AD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(?6+22【解析】【分析】（1）根據(jù)AB⊥x軸可得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)均為-4，將x=-4代入y=?12x中求出y，據(jù)此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)及（-2，5）代入y=ax2+bx中求出a、b，據(jù)此可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（t，-t2-92t），則D（t，?【變式1】（2022九上·岳麓開(kāi)學(xué)考）如圖，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)A(?2，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(1<m<4)，連結(jié)AC、BC、DB（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的34時(shí)，求m（3）當(dāng)m=2時(shí)，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=a(x+2)(x?4)=a(x即?8a=6，解得：a=?3故拋物線的表達(dá)式為：y=?3（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0，6)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得直線BC的表達(dá)式為：y=?3如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)D(m，?34m則S△BDC∴3即：2(?3解得：m=1或3(舍去1)，故m=3；（3）解：當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)D(2，6)，設(shè)點(diǎn)M(x，0)，點(diǎn)N(t，n)，則n=?3①當(dāng)BD是邊時(shí)，點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)D，同樣點(diǎn)M(N)向左平移1個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N(M)，故x?1=t0+6=n或x+1=t聯(lián)立①②并解得：x=3t=2n=6或故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)或(33?12②當(dāng)BD是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：12聯(lián)立①③并解得m=3n=6故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)或(33?12，0)或【解析】【分析】（1）由A、B的坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8)=ax2-2ax-8a，則-8a=6，求出a的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

（2）由拋物線的表達(dá)式知C（0，6），求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)H，設(shè)D（m，?34m2+32m+6），則H（m，?32m+6），根據(jù)三角形的面積公式表示出S△BDC，結(jié)合題意可得m的值；

（3）當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)D（2，6），設(shè)M（x，0），N（t，n），則n=?34t2【變式2】（2022九上·舟山月考）如圖，拋物線y=ax（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ΔABM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)F為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)B，【答案】（1）解：將點(diǎn)A(2，0)，B(-2，4)，C(-4，0)分別代入y=ax4a+2b+c=016a?4b+c=04a?2b+c=4，解得∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）解：如圖，作MN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M(m，?1設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，將A(2k+n=0?2k+n=4解得k=?1n=2∴直線AB的解析式為：y=?x+2，∴N(m，?m+2)∴SΔABM∵-1＜0，且-2＜0＜2，∴當(dāng)m=0時(shí)，ΔABM的面積最大，此時(shí)?1（3）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b將x=?1代入y=?x+2得y=3，∴E（-1，3），當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，構(gòu)成?BECF．∵B(-2，4)，E（-1，3），∴點(diǎn)E到點(diǎn)B向左一個(gè)單位長(zhǎng)度，向上1個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)C到點(diǎn)F也向左一個(gè)單位長(zhǎng)度，向上1個(gè)單位長(zhǎng)度，∵C(-4，0)，∴F（-5，1）．同理，當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，構(gòu)成?BCEF，可得F（1，7）；當(dāng)BF為對(duì)角線時(shí)，構(gòu)成?BCFE，可得F（-3，-1）．綜上所述點(diǎn)F得坐標(biāo)為（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）．【解析】【分析】（1）分別將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，可得到拋物線的解析式.

（2）作MN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N，利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式；利用兩函數(shù)解析式點(diǎn)M(m，?12m2?m+4)，N【變式3】（2021九上·槐蔭期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接PA，PC，求SΔPAC（3）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），∴16a?4b+4=0a+b+4=0解得：a=?1b=?3∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣3x＋4（2）解：將x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，∴點(diǎn)C（0，4），設(shè)直線AC所在直線的表達(dá)式為y=k1x+b1，則0=?4×k1+∴直線AC的表達(dá)式為y=x+4，如圖，設(shè)PD與線段AC交于點(diǎn)N，設(shè)P（t，-t2-3t+4），∵PD⊥x軸交AC于點(diǎn)N，∴N（t，t+4），∴PN=yP-yN=-t2-4t，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥PD，則CH=-t，AD=t-4，∴S△APC=S△APN+S△PCN=12PN?AD+1=12=12(?t2?4t)?(?=-2t2-8t=-2(t+2)2+8，∵a=-2＜0，∴當(dāng)t=-2時(shí)，S△APC有最大值，△PAC面積的最大值為8．（3）解：設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，∵PD∥y軸，∴∠DPB=∠OEB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OEB=2∠BCO，∴∠ECB=∠EBC，∴BE=CE，∵C（0，4），B（1，0），∴OC=4，OB=1，設(shè)OE=a，則CE=BE=4-a，在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，∴（4-a）2=a2+12，解得：a=158∴E（0，158設(shè)BP所在直線表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），∴k+b=0b=解得：k=?15∴直線BP的表達(dá)式為y=-158x+15【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)由圖可知S△APC=S△APN+S△PCN，設(shè)P（t，-t2-3t+4），過(guò)點(diǎn)C作CH⊥PD，則CH=-t，AD=t-4，則可求出S△APC的面積表達(dá)式，再求出S△APC的最大值；

（3）可根據(jù)題目已知條件，求出點(diǎn)B、點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定直線BP的表達(dá)式．考點(diǎn)3：角度問(wèn)題典例3：（2022九下·磐安期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(9，0)，與y軸交于點(diǎn)C（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2） 若點(diǎn)P在y軸上，在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在唯一的點(diǎn)Q，滿足∠AQP=90°？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3） 若點(diǎn)P在y軸上，滿足sin∠APB=23的點(diǎn)P是否存在？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)【答案】（1） 解：∵∠OAC=∠OCB，∠AOC=∠COB=90°，∴△OAC∽△OCB，∴OC∴OC∵OC>0，∴OC=3，∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0) 設(shè)y=a(x?1)(x?9)， 把C(0，3)代入得a(0?1)(0?9)=3，解得a=1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=1（2） 解：存在， 拋物線的對(duì)稱軸上是否存在唯一的點(diǎn)Q，滿足∠AQP=90°，就是指以AP為直徑的圓與對(duì)稱軸：直線x=9+1 如圖， 設(shè)AP的中點(diǎn)為M，∵A(1，0)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0.5，∴點(diǎn)M到直線x=5的距離為4.5，∴直徑AP的長(zhǎng)為9，∴OP=9∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，45)或（3） 解：存在，如圖： 當(dāng)點(diǎn)P在以AB為弦的⊙N上，圓心角∠ANB=2∠APB. 過(guò)點(diǎn)N做NH⊥AB于H，則∠ANH=∠APB.∴sin∠ANH=sin∠APB=AH∵AH=BH=4.∴AN=6，∴NH=6∴N(5，25)或 設(shè)P(0，P)，∵PN=AN=6， 當(dāng)N(5，25)時(shí)，∴P=25?11 同理，當(dāng)N(5，?25)時(shí)，p=?2 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，25?11)或(0，25【解析】【分析】（1）由已知條件知∠OAC=∠OCB，∠AOC=∠COB=90°，證明△OAC∽△OCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OC的值，設(shè)y=a(x-1)(x-9)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求出a的值，據(jù)此可得拋物線的解析式；

（2）由題意可得以AP為直徑的圓與對(duì)稱軸x=5有唯一的交點(diǎn)，即相切，設(shè)AP的中點(diǎn)為M，易得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0.5，則點(diǎn)M到直線x=5的距離為4.5，然后求出OP，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在以AB為弦的⊙N上時(shí)，根據(jù)圓周角定理可得∠ANB=2∠APB，過(guò)點(diǎn)N做NH⊥AB于H，則∠ANH=∠APB，結(jié)合三角函數(shù)的概念可得AN=6，利用勾股定理求出NH，據(jù)此可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，設(shè)P（0，p），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得p的值，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式1】（2021九上·潮安期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3過(guò)點(diǎn)A(?3，0)，B(1，0)（1）求拋物線的解析式；（2）求線段AN的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)M在第三象限拋物線上，連接MN，∠ANM=45°，則這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）解：把A(?3，0)，B(1，0)代入y=ax0=9a?3b?30=a+b?3，解得a=1故拋物線的表達(dá)式為y=x（2）解：令x=0，得y=?3，∴C(0，?3)，∵A(?3，0)，∴OA=OC=3．∵∠NAB=∠BCO，∠AOE=∠COB，∴△AEO≌△CBO．∴OE=OB=1，∴E(0，設(shè)直線AN的解析式為y=kx+n，把A(?3，0)，E(0，1)代入得：解得k=1故直線AN的解析式為y=1由y=1解得x1=4故點(diǎn)N(4過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，則ND=139，根據(jù)勾股定理得：AN=N（3）M(?【解析】【解答】解：（3）設(shè)△AMN的外接圓為圓R，過(guò)點(diǎn)R作GH⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥GR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AR，MR，NR．當(dāng)∠ANM=45°時(shí)，則∠ARM=90°，設(shè)圓心R的坐標(biāo)為(m，∵∠GRA+∠MRH=90°，∠MRH+∠RMH=90°，∴∠RMH=∠GAR，∵AR=MR，∠AGR=∠RHM=90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG=m+3=RH，RG=?n=MH，∴點(diǎn)M(m+n，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：n?m?3=(m+n)2由題意得：AR=NR，即(m+3)2+聯(lián)立④⑤并解得：m=?2故點(diǎn)M(?4【分析】（1）將A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx-3中可得a、b的值，據(jù)此可得拋物線的解析式；

（2）易得C（0，-3），則OC=3，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得OA=3，則OA=OC，證明△AEO≌△CBO，得到OE=OB=1，據(jù)此可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出直線AN的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求出x、y，課程點(diǎn)N的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，則可得ND，AD，然后利用勾股定理求解即可；

（3）設(shè)△AMN的外接圓為圓R，過(guò)點(diǎn)R作GH⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥GR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AR，MR，NR，當(dāng)∠ANM=45°時(shí)，∠ARM=90°，設(shè)圓心為（m，n），易證△AGR≌△RHM，得到AG=m+3=RH，RG=-n=MH，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中可得m與n的關(guān)系式，根據(jù)AR=NR可得m與n的關(guān)系式，聯(lián)立求解可得m、n的值，據(jù)此可得點(diǎn)M的坐標(biāo).【變式2】（2022·通遼）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC=1（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）解：對(duì)于直線BC解析式y(tǒng)=x-3，令x=0時(shí)，y=-3，則C（0，-3），令y=0時(shí)，x=3，則B（3，0），把B（3，0），C（0，-3），分別代入y=?x?9+3b+c=0c=?3，解得：b=4∴求拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3；（2）解：對(duì)于拋物線y=-x2+4x-3，令y=0，則-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，∴A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3，AB=2，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，如圖，∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，AB=2，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴AN=2，∵S△PBC∴PM=22過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，交y軸于E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EF=PM=22∴CE=1∴點(diǎn)P是將直線BC向上或向下平移1個(gè)單位，與拋物線的交點(diǎn)，如圖P1，P2，P3，P4，∵B（3，0），C（0，-3），∴直線BC解析式為：y=x-3，∴平移后的解析式為y=x-2或y=x-4，聯(lián)立直線與拋物線解析式，得y=?x2+4x?3解得：x1=3+52y=?1+∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+52，?1+52）或（3?52，?1?52）或（（3）解：如圖，點(diǎn)Q在拋物線上，且∠ACQ=45°，過(guò)點(diǎn)Q作AD⊥CQ于D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于E，∵∠ADC=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴CD=AD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，∴△CDE≌△DAD（AAS），∴DE=AF，CE=DF，∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，∴四邊形OCEF是矩形，∴OF=CE，EF=OC=3，設(shè)DE=AF=n，∵OA=1，∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3-n，∴n+1=3-n解得：n=1，∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，∴D（2，-2），設(shè)直線CQ解析式為y=px-3，把D（2，-2）代入，得p=12∴直線CQ解析式為y=12聯(lián)立直線與拋物線解析式，得y=解得：x1=7∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（72，?【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式；

（2）令y=0，則-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得出OB=OC=3，AB=2，由S△PBC=12S【變式3】（2021九上·海珠期末）如圖，已知直線y＝﹣2x+m與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(1，4)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）解：將點(diǎn)A（1，4）代入y=-2x+m，∴-2+m=4，∴m=6，∴y=-2x+6，令y=0，則x=3，∴B（3，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+4，將B（3，0）代入y=a（x-1）2+4，∴4a+4=0，∴a=-1，∴y=-x2+2x+3；（2）解：設(shè)P（0，t），∵A（1，4），B（3，0），∴AB=25∵∠APB=90°，∴MP=5，∴4+（t-2）2=5，∴t=1或t=3，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或（0，3）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；

（2）設(shè)P（0，t），則可求出AB=25，AB的中點(diǎn)M（2，2），再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可以得出4+（t-2）2考點(diǎn)4：特殊三角形問(wèn)題典例4：（2022·湘西）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，

∴9a?6a+c=0c=?1，解得a=13c=?1，

∴y＝13x2+23x﹣1，

在y＝x2（2）解：設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，13t2+23t?1），N（t，0），

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=（3）解：存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，

理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，

∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，

∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），

①當(dāng)EG＝EF時(shí)，∵G（0，﹣3），

∴EG＝22，

∴22＝(x+2)2+1，

解得x＝7﹣2或x＝﹣7﹣2，

∴F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；

②當(dāng)EG＝FG時(shí)，22＝9+x2，此時(shí)x無(wú)解；【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A，H的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于a，c的方程組解方程組求出a，c的值，可得到二次函數(shù)解析式；由x=0可求出對(duì)應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)G的坐標(biāo).

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），可得到D（t，13t2【變式1】（2021九上·南充期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，?3)，OB=OC.（1）求拋物線的解析式.（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）設(shè)拋物線上的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且在直線BC的下方，求使△BCP的面積為最大整數(shù)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）解：∵C(0，?3)，OB=OC，∴OB=OC=3，∴B(3，0)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax?b2a=1∴拋物線解析式為y=x（2）解：存在點(diǎn)Q，使得△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，理由如下：①當(dāng)∠BCQ=90°時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，∵∠BCQ=90°，∴∠HCQ=45°，∴△HCQ是等腰直角三角形，∴HC=HQ，設(shè)點(diǎn)Q(t，t2?2t?3)∴t=?t2+2t∴點(diǎn)Q(1，?4)；②當(dāng)∠CBQ=90°時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，然后過(guò)點(diǎn)Q、C分別作QE⊥BE于點(diǎn)E，CF⊥BE于點(diǎn)F，∴CF=BF=3，∴△BFC是等腰直角三角形，∴∠CBF=45°，∵∠CBQ=90°，∴∠EBQ=45°，∴△QEB是等腰直角三角形，∴EQ=EB，設(shè)點(diǎn)Q(t，t2?2t?3)∴3?t=t2?2t?3∴點(diǎn)Q(?2，5)；綜上所述：當(dāng)△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)Q(1，?4)或Q(?2，5)；（3）解：由（1）可知：B(3，0)，C(0，?3)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：3k+b=0b=?3，解得：k=1∴直線BC的解析式為y=x?3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，如圖所示：∴P(m，m∴M(m，m?3)，∴PM=m?3?m∴S△BCP∵?3∴S△BCP∴△BCP的面積為最大整數(shù)時(shí)的值為3，∴?3解得：m1∴點(diǎn)P(1，?4)或P(2，?3).【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)可得OC，結(jié)合OB=OC可得OB的值，據(jù)此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，將B（3，0）、C（0，-3）、對(duì)稱軸為x=?b2a=1代入可得a、b、c的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

（2）①當(dāng)∠BCQ=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，易得△BOC、△HCQ是等腰直角三角形，得到HC=HQ，設(shè)Q（t，t2-2t-3），表示出HQ、CH，根據(jù)HC=HQ求出t的值，據(jù)此可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)∠CBQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，然后過(guò)點(diǎn)Q、C分別作QE⊥BE于點(diǎn)E，CF⊥BE于點(diǎn)F，易得△BFC、△QEB是等腰直角三角形，則EQ=EB，同理求出t的值，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）首先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，設(shè)P（m，m2-2m-3），則M（m，m-3），表示出PM，根據(jù)S△BCP=S△CPM+S△BPM表示出S【變式2】（2021九上·遂寧期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?2，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)D（1）求拋物線及直線l的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)F為拋物線頂點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)G，使ΔAFG為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且∠ADQ=45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)【答案】（1）解：∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x?6)，∵D(4，3)在拋物線上，∴3=a(4+2)×(4?6)，解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1∵直線l經(jīng)過(guò)A(?2，0)、D(4，3)，設(shè)直線l的解析式為y=kx+m(k≠0)，則?2k+m=04k+m=3解得，k=1∴直線l的解析式為y=1（2）解：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)F(2，4)，∴AF=當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AF為腰時(shí)，AF=AG，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)F是關(guān)于x軸的對(duì)稱，故此時(shí)G(2，?4)；當(dāng)點(diǎn)F為頂點(diǎn)，AF為腰時(shí)，F(xiàn)A=FG，此時(shí)G(2，4+4當(dāng)點(diǎn)G為頂點(diǎn)，AF為底時(shí)，設(shè)G(2，y)，(2+2)2+y2綜上所述：∴G(2，0)，(2，4+4（3）解：設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q，則∠ADQ=45°，∵D(4，3)，∴直線DT的解析式為y=?1∴Q(0，13將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AT'，則直線DT'的解析式為y=3x?9，設(shè)DQ'交y軸于點(diǎn)Q'，則∠ADQ'=45°，∴Q'(0，?9)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，133)【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6)，將D（4，3）代入求解可得a的值，據(jù)此可得拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法可得直線l的解析式；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理求出AF，當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AF為腰時(shí)，AF=AG，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)F是關(guān)于x軸的對(duì)稱，據(jù)此可得點(diǎn)G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)F為頂點(diǎn)，AF為腰時(shí)，F(xiàn)A=FG，同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)G為頂點(diǎn)，A、F為底時(shí)，設(shè)G（2，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式表示出AG、AF，求出y的值，據(jù)此可得點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q，則∠ADQ=45°，求出直線DT的解析式，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AT′，求出直線DT′的解析式，設(shè)DQ′交y軸于點(diǎn)Q′，則∠ADQ′=45°，求出點(diǎn)Q′的坐標(biāo).【變式3】（2022九上·溫州月考）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PF，AF．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），∴9a+3b+3=0解得：a=?1∴該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3.（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AF于點(diǎn)Q，設(shè)直線AF的解析式為y＝kx+d，∵A（3，0），F(xiàn)（0，﹣4），∴3k+d=0d=?4，解得：k=∴直線AF的解析式為y＝43設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），則Q（t，43∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（43t﹣4）＝﹣t2+2∴S△AFP＝12PQ·OA＝12（﹣t2+23t+7）×3＝﹣32（t﹣13∵?3∴當(dāng)t＝13時(shí)，△AFP面積的最大值為32（3）解：設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F(xiàn)（0，n），∵A（3，0），∴OA＝3，OF＝|n|，①當(dāng)AP＝AF，∠PAF＝90°時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADP＝90°＝∠AOF，∴∠PAD+∠APD＝90°，∵∠PAD+∠FAO＝90°，∴∠APD＝∠FAO，在△APD和△FAO中，∠ADP=∠AOF∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD＝OA，AD＝OF，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，∴﹣m2+2m+3＝3，解得：m＝0或2，當(dāng)m＝0時(shí)，P（0，3），AD＝3，∴OF＝3，即|n|＝3，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴n＝﹣3，∴F（0，﹣3）；當(dāng)m＝2時(shí)，P（2，3），AD＝1，∴OF＝1，即|n|＝1，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴n＝﹣1，∴F（0，﹣1）；②當(dāng)AP＝PF，∠APF＝90°時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PG⊥y軸于點(diǎn)G，則∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，∴四邊形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD＝90°，∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，∴∠FPG＝∠APD，在△FPG和△APD中，∠PGF=∠PDA∠FPG=∠APD∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG＝PD，F(xiàn)G＝AD，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得：m＝1?132（舍去）或m＝當(dāng)m＝1+132時(shí)，P（1+13∴FG＝AD＝3﹣m＝3﹣1+132＝∴F（0，13﹣2）；綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，13﹣2）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即把點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求得a、b，即可求得拋物線所對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AF于點(diǎn)Q，利用待定系數(shù)法求得直線AF的解析式為y＝43x﹣4，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），則Q（t，43t﹣4），并表示出PQ的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式可得S△AFP＝12PQ·OA＝﹣32（t﹣13）2+323，最后利用二次函數(shù)增減性求得△AFP面積的最大值；

（3）設(shè)P（m，﹣m考點(diǎn)5：特殊四邊形問(wèn)題典例5：（2022九下·重慶開(kāi)學(xué)考）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），直線BC的解析式為y=12（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR.求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線沿射線C′A的方向平移25個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線y′，新拋物線y′與原拋物線交于點(diǎn)M，原拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）解：∵B點(diǎn)在x軸上，且B點(diǎn)在y=12∴B（8，0），∵A（-2，0），B（8，0），都在拋物線y=ax2+bx-4上，∴x=-2，x=8是方程ax2+bx-4=0的兩個(gè)根，∴-16=-4a，?∴a=14，b=-3∴y=14x2-3（2）解：∵AD∥BC，直線BC的解析式為y=12設(shè)直線AD的解析式為y=12x+b1把A（-2，0）代入得：0=12×(?2)+b解得：b1=1，∴直線AD的解析式為y=12過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD交點(diǎn)G，∵QR⊥BC，∴QR=BG，在Rt△ABG中，AB=10，tan∠BAG=12∴由勾股定理得：BG=25，設(shè)P（m，14m2-32m-4），R（n，12∵QR=25，∴（25）2=（m-n）2+(12m?12n+5)∴n-m=2，∴R（m+2，12S△PQR=12×（12m+1-14m2+32m+4）×2=-14m2∴當(dāng)m=4時(shí)，S△PQR有最大值9，∴P（4，-6）；（3）解：存在，以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，K點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-65）或（7，36【解析】【解答】解：（3）∵點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′，∴C'（0，4），∴直線AC的解析式為y=2x+4，∵拋物線沿射線C′A的方向平移25個(gè)單位長(zhǎng)度，∴拋物線沿著x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，沿著y軸負(fù)方向平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，∵y=14x2-32x-4=14（x-3）2∴y'=14（x-1）2-41聯(lián)立14（x-3）2-254=14（x-1）2∴M（6，-4），聯(lián)立12x+1=14x2-∵D異于點(diǎn)A，∴D（10，6），∵y=14x2-3設(shè)N（3，t），K（x，y），①當(dāng)DM與KN為矩形對(duì)角線時(shí)，DM的中點(diǎn)與KN的中點(diǎn)重合，∴8=3+x2，1=t+y∴x=13，t=2-y，∵DM=KN，∴16+100=（3-x）2+（t-y）2，∴y=-1或y=3，∴K（13，-1）或K（13，3）；②當(dāng)DN與MK為矩形對(duì)角線時(shí)，DN的中點(diǎn)與MK的中點(diǎn)重合，∴132=6+x2，∴x=7，t=y-10，∵DN=MK，∴49+（6-t）2=（6-x）2+（y+4）2，∴y=365∴K（7，365③當(dāng)KD與MN為矩形對(duì)角線時(shí)，KD的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)重合，∴10+x2=9∴x=-1，t=10+y，∵KD=MN，∴（x-10）2+（6-y）2=9+（t+4）2，∴y=-65∴K（-1，-65綜上所述：以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，K點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-65）或（7，36【分析】（1）易得B（8，0），根據(jù)點(diǎn)A、B在拋物線圖象上結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得a、b的值，據(jù)此可得拋物線的解析式；

（2）首先求出直線BC、AD的解析式，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD交點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求出BG，設(shè)P（m，14m2-32m-4），R（n，12n-4），則Q（m，12m+1），根據(jù)QR=25結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得n-m=2，則R（m+2，12m-3），根據(jù)三角形的面積公式表示出S△PQR，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；

（3）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′（0，4），求出直線AC的解析式，易得平移后拋物線的解析式為y'=14(x-1)2-414【變式1】（2022九上·浦江期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：由題意得

c=0?16+4b+c=0

解之：b=4c=0

∴二次函數(shù)解析式為：y＝﹣x（2）解：如圖，

∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，4），

∴設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4

∴4k+4=0，

解之：k=-1，

∴直線AB的解析式為y=-x+4；

設(shè)點(diǎn)N（m，-m2+4m），點(diǎn)M（m，-m+4）

∵點(diǎn)M是線段AB上的一點(diǎn)，

∴0＜m＜4，

MN=|-m2+4m-（-m+4）|=|-m2+5m-4|=2

∴-m2+5m-4=±2，

當(dāng)-m2+5m-4=2時(shí)，

解之：m1=3，m2=2，

當(dāng)m=3時(shí)-m+4=1；

當(dāng)m=2時(shí)-m+4=2；

∴點(diǎn)M（2，2）或（3，1）；

當(dāng)-m2+5m-4=-2，

解之：m3=5?172，m4=5+172>4（舍去），

∴?m+4=?5?（3）解：存在

當(dāng)AC為矩形的邊時(shí)，

∵-x2+4x=-x+4

解之：x1=4，x2=1，

當(dāng)x=1時(shí)y=-1+4=3，

∴點(diǎn)C（1，3），

∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴點(diǎn)D（2，4）

當(dāng)x=2時(shí)y=-2+4=2，

∴點(diǎn)R（2，2）

過(guò)點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)P1，P2，

∵C（1，3），D（2，4），

∴CD2＝（1-2）2＋(4?3)2＝2，CR2＝1，RD＝2，

∴CD2＋CR2＝DR2，

∴∠RCD＝90°，

∴點(diǎn)P1與點(diǎn)D重合，

當(dāng)CP1∥AQ1，CP1＝AQ1時(shí)，四邊形ACP1Q1是矩形，

∵C（1，3）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到P1（2，4），

∴A（4，0）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到Q1（5，1），

此時(shí)直線P1C的解析式為：y＝x＋2，

∵直線P2A與P1C平行且過(guò)點(diǎn)A（4，0），

∴直線P2A的解析式為：y＝x?4，

∵點(diǎn)P2是直線y＝x?4與拋物線y＝?x2＋4x的交點(diǎn)，

∴?x2＋4x＝x?4，

解之：x1＝?1，x2＝4（舍），

∴P2（?1，?5），

當(dāng)AC∥P2Q2時(shí)，四邊形ACQ2P2是矩形，

∵A（4，0）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到C（1，3），

∴P2（?1，?5）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到Q2（?4，?2）；

當(dāng)AC是矩形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)P3（m，?m2＋4m）

當(dāng)∠AP3C＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P3作P3H⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥P3H于K，

∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，

∴△P3CK∽△AP3H，

∴P3KCK＝AHP3H

∴?m2＋4m?3m?1＝4?m?m2＋4m，

∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，

∴m≠1或m≠4，

∴?m2?3m＋1＝0，

∴m=3±52，

∴如圖，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，即P33+52，5+52，P43?52，5?52

當(dāng)P3C∥AQ3，P3C＝AQ3時(shí)，四邊形AP3CQ3是矩形，

∵P33+52，5+52向左平移?1+52個(gè)單位，向下平移?1+52個(gè)單位得到C（1，3），

∴A（4，0）向左平移1+52個(gè)單位，向下平移?1+52個(gè)單位得到Q3【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)O的坐標(biāo)代入，可得到關(guān)于b，c的方程組，解方程組求出b，c的值，可得到函數(shù)解析式.（2）利用待定系數(shù)法及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求出直線AB的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)N（m，-m2+4m），點(diǎn)M（m，-m+4），同時(shí)可得到m的取值范圍，利用MN=2可得到關(guān)于m的方程為：|-m2+5m-4|=2，解方程求出符合題意的m的值，可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）分情況討論：當(dāng)AC為矩形的邊時(shí)，將兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，可求出點(diǎn)C，D，R的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)P1，P2，利用勾股定理的逆定理證明∠RCD=90°，可知點(diǎn)P1與點(diǎn)D重合；當(dāng)CP1∥AQ1，CP1＝AQ1時(shí)，四邊形ACP1Q1是矩形，利用點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律可得到點(diǎn)P1，Q1的坐標(biāo)，同時(shí)可求出直線P1C的解析式和直線P2A的解析式，再求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)，當(dāng)AC∥P2Q2時(shí)，四邊形ACQ2P2是矩形，利用點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律，可得到點(diǎn)Q2的坐標(biāo)；AC是矩形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)P3（m，?m2＋4m），當(dāng)∠AP3C＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P3作P3H⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥P3H于K，易證△P3CK∽△AP3H，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，可得到滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)P3C∥AQ3，P3C＝AQ3時(shí)，四邊形AP3CQ3是矩形，利用點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律可求出點(diǎn)Q3及點(diǎn)Q4的坐標(biāo)；綜上所述可得到符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo).【變式2】21．（2022九上·海曙期中）如圖，拋物線y=?x2+bx+c交y軸于點(diǎn)A(0，2)，交x軸于點(diǎn)B(4，0)（1）求拋物線的解析式；（2）連接AN和BN，當(dāng)△ABN的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△ABN的最大面積；（3）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以AM為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）解：將點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)B∴c=2?16+4b+c=0∴b=7∴拋物線的解析式為：y=?x（2）解：∵點(diǎn)A(0，2)∴直線AB的解析式為：y=?1設(shè)D(t，0∵DM⊥x軸，點(diǎn)M在直線AB上，點(diǎn)N在拋物線上，∴M(t，∴MN=?t∴△ABN的面積=1∵?2<0，0<t<4，∴當(dāng)t=2時(shí)，△ABN有最大值，最大值為8，此時(shí)D(2，0（3）解：存在，如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∴ME∥OB，∴∠AEM=∠AOB=90°，∠AME=∠ABO，∴△AEM∽△AOB，∴AE：RtΔAOB中，OA=2，OB=4，∴AB=25∴AE2∴AE=1根據(jù)題意，需要分兩種情況討論：①AM=MN時(shí)，如圖，此時(shí)52解得t=8?∴AM=8∴AP=AM=8∵AP∥MN，∴點(diǎn)P在y軸上，∴OP=2+8∴P(0，②當(dāng)AM=AN時(shí)，如圖，此時(shí)AP與MN互相垂直平分，設(shè)AP與MN交于點(diǎn)F，∴MF=1∵M(jìn)F=AE=1∴12解得t=3或t=0（舍），∴AP=2t=6，∴P(6，2綜上，存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以AM為邊的四邊形是菱形，此時(shí)P(0，85【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)分別代入y=-x2+bx+c中，得關(guān)于b、c的方程組，求解可得b、c的值，從而得出拋物線的解析式；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，設(shè)D（t，0），根據(jù)直線、拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，并結(jié)合垂直x軸直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，用含t的式子表示出M、N的坐標(biāo)，從而個(gè)表示出MN的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式得S△ABN=12MN·x【變式3】（2022九上·義烏月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為Q．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，QA，QB，求四邊形PAQB面積的最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)；（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），∴9?3b+c=?4c=?1，∴∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1；（2）解：設(shè)直線AB的關(guān)系式為y＝kx+b，將A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入，?3k+b=?4b=?1，∴k＝1，b＝﹣1，∴過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線AB交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P（a，a2+4a﹣1），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，a﹣1），S△PAB＝12|PF|?|xB﹣xA|＝32（a﹣1﹣a＝32（﹣a2﹣3a）＝﹣32（a+32）2當(dāng)a＝﹣32時(shí)，S△PAB取得最大值為278，∵△QAB的面積為∴四邊形PAQB面積的最大值為638，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣32，﹣（3）解：拋物線y＝x2+4x﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，平移后的拋物線為y＝x2﹣5，由y=x2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，t），以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，即△BDC是等腰三角形，①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E（1，﹣5﹣t），∵BD＝CD，∴12+（﹣4﹣t）2＝22+（﹣1﹣t）2，解得t＝﹣2，∴E（1，﹣3）；②當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E（﹣1，t+3），∵BC＝CD，∴（﹣1）2+（﹣3）2＝（﹣1）2+（t+4）2，解得t1＝﹣1，t2＝﹣7（舍去），∴E（﹣1，2）；③當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E（﹣3，﹣3+t），∵BC＝BD，∴（﹣1）2+（﹣3）2＝（﹣2）2+（t+1）2，解得t1＝﹣1+6，t2＝﹣1﹣6，∴E（﹣3，﹣4+6）或（﹣3，﹣4﹣6），綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，﹣3）或（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+6）或（﹣3，﹣4﹣6）．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，建立關(guān)于b，c的方程組，解方程組求出b，c的值，可得到函數(shù)解析式.

（2）設(shè)直線AB的關(guān)系式為y＝kx+b，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到一次函數(shù)解析式；過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線AB交于點(diǎn)F，利用兩函數(shù)解析式設(shè)點(diǎn)P（a，a2+4a﹣1），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，a﹣1），可表示出PF的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式，可得到S△PAB與a之間的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出△PAB的面積的最大值，然后求出四邊形PAQB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）利用二次函數(shù)解析式求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)圖象平移規(guī)律可得到平移后的二次函數(shù)解析式，將兩個(gè)二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，解方程組求出x，y的值，可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，t），利用以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可知△BDC是等腰三角形，分情況討論：當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)BD=CD，可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，同理可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，同理可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；綜上所述可得到符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo).考點(diǎn)6：相似三角形問(wèn)題典例6：（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開(kāi)學(xué)考）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)、B(1，（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）解：∵該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0，∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax將A(4，0)，得16a+4b?2=0a+b?2=0解得a=?1∴此拋物線的解析式為y=?（2）解：存在．如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?1當(dāng)1<m<4時(shí)，AM=4?m，PM=?1又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①當(dāng)AMPM∵C在拋物線上，∴OC=2，∵OA=4，∴AM∴△APM∽△ACO，即4?m=2(?1解得m1=2，m2∴P(2，②當(dāng)AMPM=OCOA=12解得m1=4，m∴當(dāng)1<m<4時(shí)，P(2，當(dāng)m>4時(shí)，AM=m?4，PM=1①PMAM=把P(m，?12m解得：第一個(gè)方程的解是m=?2?23<4(舍去)第二個(gè)方程的解是m=5，m=4(舍去求出m=5，?1則P(5，當(dāng)m<1時(shí)，AM=4?m，PM=1①PMAM=則：2(12m解得：第一個(gè)方程的解是m=0(舍去)，m=4(舍去)，第二個(gè)方程的解是m=4(舍去)m=?3時(shí)，?1則P(?3，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，1)或(5，（3）解：如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0<t<4)，則過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．由題意可求得直線AC的解析式為y=1∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，∴DE=?1∴S∴S∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大，∴D(2，【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx-2，將A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m，?12m2+52m-2），當(dāng)1<m<4時(shí)，AM=4-m，PM=?12m2+52m-2，然后分①AMPM=AOOC，②AMPM=OCOA=12【變式1】（2022九下·長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(ac≠0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.若線段OA、OB、OC的長(zhǎng)滿足OC（1）求拋物線的解析式；（2）若P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D.①求PD的最大值；②連接PC，當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）解：令y=ax設(shè)OB=x(x>0)，則OA=4OB=4x，∵y=ax∴OC4=4x2，解得x=1(負(fù)值舍去)，∴OB=1，OA=4，∴B(1，0)，A(-4，0)代入y=ax∴0=a+b+20=16a?4b+2，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：①過(guò)P點(diǎn)作PH⊥x軸于H點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)，如下圖所示：則∠PDE=∠DHA=90°，∠PED=∠AEH，∴∠P=∠CAO，∴cos∠P=∴PDPE=故要使得PD最大，只要PE最大即可，接下來(lái)求PE的最大值，設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，∴0=?4m+n2=n，解得：m=∴直線AC解析式為：y=1設(shè)P(x，?12x∴PE=(?1∵P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，∴?4<x<0，∴當(dāng)x=?2時(shí)，PE有最大值為2，此時(shí)PD有最大值為25故PD的最大值為45②分類(lèi)討論：情況一：當(dāng)△ACO∽△CPD時(shí)，此時(shí)∠CAO=∠PCD，如下圖所示：此時(shí)PC∥x軸，∴P點(diǎn)與C點(diǎn)縱坐標(biāo)相等為2，將y=2代入y=?1∴?12x2?∴此時(shí)P坐標(biāo)為(?3，2)；情況二：當(dāng)△ACO∽△PCD時(shí)，∠ACO=∠ACP，如下圖所示：此時(shí)AC為∠PCO的角平分線，將△ACO沿AC翻折，使得點(diǎn)O落在點(diǎn)G處，此時(shí)G、P、C三點(diǎn)共線，設(shè)G(x，y)，則GO的中點(diǎn)I坐標(biāo)為(x2，y2)在直線AC：由折疊得到GC2=OC2，∴x2聯(lián)立①、②兩式解得x1=?8∴G(?8設(shè)直線GC解析式為：y=kx+t，代入G(?85，∴165=?8∴直線GC解析式為：y=?34x+2y=?34x+2y=?1又P在第二象限，故x2∴此時(shí)P坐標(biāo)為(?3綜上所述，P坐標(biāo)為(?3，2)或(?3【解析】【分析】（1）先求出C（0，2）可得OC=2，根據(jù)黃金拋物線及OA=4OB，可求出OB=1，OA=4，即得A、B坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中求出a、b值即可；

（2）①過(guò)P點(diǎn)作PH⊥x軸于H點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和可求出∠P=∠CAO，從而得出cosP=PDPE=cos∠CAO=AOAC=255，即得PD=255PE，故要使得PD最大，只要PE最大即可.求出直線AC解析式為y=12【變式2】（2022九上·金東期末）已知拋物線y=1（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求△ABC的面積.（2）如圖，當(dāng)AP∥BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，求BQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似時(shí)（不包括兩個(gè)三角形全等），求m的值.【答案】（1）解：由拋物線y=1令x=0，則y=-2，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），OC=2令y=0，則0=1∴OA=2，OB=m∴AB=m+2由勾股定理可得AC2=（-2-0）2+[0-（-2）]2=8，BC2=（m-0）2+[0-（-2）]2=m2+4∵當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，僅有∠ACB=90°∴AB2=AC2+BC2，即（m+2）2=8+m2+4，解得m=2∴AB=m+2=4∴△ABC的面積為：12·AB·OC=1（2）解：設(shè)BC所在直線的解析式為：y=kx+b則0=mk+b?2=b，解得∴BC所在直線的解析式為y=2m設(shè)直線AP的解析式為y=2m則有：0=2m×（-2）+c，即c=∴線AP的解析式為y=2mx+聯(lián)立y=1∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+2，2m+8m∴OQ=m+2∴BQ=OQ-OB=m+2-m=2.（3）解：∵點(diǎn)P為拋物線y=1∴設(shè)P（x，1m∵在△ABC中，∠BAC=45°∴當(dāng)以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似時(shí)，有三種情況：①（?。┤簟鰽BC∽△BAP∴BP又∵BP=AC∴△ABC∽△BAP不符合題意；（?、。┤簟鰽BP∽△CAB，∴BP過(guò)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則∠PQB=90°∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°∴PQ=BQ=m-x由于PQ=1∴m?x=∴(∴x-m=0或1∴x=m（舍去），x=-m-2∴BQ=m-（-m-2）=2m+2∵PB=∴2∴m2-4m-4=0，解得：m=2?22或m=2+2∴m=2?22②當(dāng)∠PAB=∠BAC=45°時(shí)，分兩種情況討論：（?。┤簟鰽BP∽△ABC，則APAB（?、。┤簟鰽BP∽△ACB，則APAB過(guò)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則∠PQA=90°∴∠APQ=90°-∠PAB=45°∴PQ=AQ=x+2由于PQ=1∴x+2=∴x+21mx?m?1∴x=-2（舍去），x=2m∴AQ=2m+2∵AP=∴2∴m2-4m-4=0，解得：m=2?22（舍去）或m=∴m=2+22③當(dāng)∠APB=∠BAC=45°時(shí)，分兩種情況討論：?。┻^(guò)點(diǎn)A作PM//BC交拋物線于點(diǎn)M，則∠MAB=∠ABC，∵∠MAB≠∠PAB，∴∠PAB≠∠ABC，∴△PAB與△BAC不相似；ⅱ）取點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接并延長(zhǎng)B∵∠PBA≠∠NBA，∴∠PBA≠∠CBA，∴△PAB與△BAC不相似；綜上，m的值為m=2?22或m=2+2【解析】【分析】（1）先求出C（0，-2）A（-2，0），點(diǎn)B（m，0），可得OA=2，OB=m，OC=2，從而得出AB=m+2，根據(jù)勾股定理AB2=AC2+BC2，據(jù)此建立關(guān)于m方程，求出m值即得AB，利用三角形的面積公式求解即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC為y=2mx-2，根據(jù)AP∥BC可求出AP為y=2mx+4m，聯(lián)立拋物線解析式為方程組并解之，可得點(diǎn)P（m+2，2m+8m），即得OQ=m+2，利用BQ=OQ-OB即可求解；

（3）由于∠BAC=45°，分三種情況：①當(dāng)∠PBA=∠BAC=45°分兩種情況：若△ABC∽△BAP或若△ABP∽△CAB