第四章流體動(dòng)力學(xué)基本方程

第四章流體動(dòng)力學(xué)基本方程第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月一、實(shí)際流體中的應(yīng)力§4—1實(shí)際流體中的應(yīng)力與變形速度

zdxApzz

xydy

zx

zyfzfyfxyxopxx

xzdz

yxpyy

yz第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二、切向應(yīng)力和變形速度之間的關(guān)系

xy

yx達(dá)朗伯原理：作用在矩形六面體上的各力對(duì)通過六面體質(zhì)心M且與z軸平行的軸的力矩之和為01.法向應(yīng)力的合力都與取矩的中心軸線相交，力矩為0注意2.在切向應(yīng)力中，第一個(gè)角標(biāo)為z的切向應(yīng)力與取矩的中心軸線相交；第二個(gè)角標(biāo)為z的切向應(yīng)力與取矩的中心軸線平行，因此其力矩為03.質(zhì)量力作用在矩形六面體的質(zhì)心M，力矩為04.轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成正比，為四階無窮小量，可以忽略力對(duì)任意軸之矩等于在垂直該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)之矩xMdxdyyo第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到三維流動(dòng)假定流體的粘度為各向同性

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律

第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月三、法向應(yīng)力和線變形速度之間的關(guān)系第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§4—2實(shí)際流體中的運(yùn)動(dòng)微分方程

dxApzz

xydy

zx

zyfyfxfzyxzopxx

xzdz

yxpyy

yz第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月

以應(yīng)力形式表示的實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月納維爾—斯托克斯方程N(yùn)-S方程，寫成矢量形式為：

質(zhì)量密度加速度＝體積力＋壓差力＋粘性力第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月討論N-S方程加連續(xù)方程聯(lián)立，成一封閉方程組。原則上可解四個(gè)未知數(shù)，

x，y，

z，p。但實(shí)際上流動(dòng)現(xiàn)象很復(fù)雜，而又是非線性的，所以，對(duì)大部分問題，N-S方程的求解，在數(shù)學(xué)上是很困難的，據(jù)有關(guān)書籍介紹，到目前為止，精確解(分析解)僅有一二十個(gè)。應(yīng)用條件：不可壓流體，且

=常數(shù)。對(duì)理想流體有：=0，則N-S方程變成歐拉方程，所以N-S方程是不可壓流體的普遍運(yùn)動(dòng)微分方程。由于在推導(dǎo)N-S方程中便用了牛頓內(nèi)摩擦定律，所以有人認(rèn)為N-S方程僅適用于層流，但也有人認(rèn)為，如美籍華人陳景仁教授就認(rèn)為N-S方程也適用于紊流。

N-S方程中的壓力為任意三個(gè)互相垂直法向應(yīng)力的算術(shù)平均值。物理意義：?jiǎn)挝涣髁苛黧w的慣性力=單位數(shù)量流體的質(zhì)量力、壓力、粘性力之和，指向作用面的內(nèi)法線方向。第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§4－3理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程對(duì)于理想流體粘性為0N-S方程為理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程適用于可壓縮流體和不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，歐拉平衡微分方程寫成矢量形式為：第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于不可壓縮流體，是常數(shù)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程連續(xù)性方程初始和邊界條件對(duì)于可壓縮流體，

是變量，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程連續(xù)性方程狀態(tài)方程初始和邊界條件

x，y，

z，p

x，y，

z，p，

第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱坐標(biāo)系(r,,z)下的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程適用于理想流體的任何運(yùn)動(dòng)，但該方程中只有表示平移運(yùn)動(dòng)的線速度,而沒有表示旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度

x,y,z第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§4－4理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分與伯努利方程由于歐拉方程是非線性方程，所以對(duì)它的積分目前在數(shù)學(xué)上還存在著困難。現(xiàn)在僅對(duì)幾種特殊的流動(dòng)情況可以進(jìn)行積分。最常見的有兩種：①定常流動(dòng)的伯努利積分②定常無旋流動(dòng)的歐拉積分兩個(gè)積分的前提條件是：(1)定常流，即(2)質(zhì)量力有勢(shì)，即滿足

(3)正壓性流體，即流體的密度只與壓力有關(guān)這時(shí)存在一個(gè)壓力函數(shù)

定義為：

第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于故有：

絕熱流動(dòng)的可壓縮流體，由,則對(duì)不可壓流體則有：對(duì)等溫流動(dòng)的可壓縮流體，由

第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月將

代入蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程，則變成

第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月一、歐拉積分

條件：定常無旋流

再將上式分別乘以流場(chǎng)中任意微元線段ds的三個(gè)分量dx,dy,dz，相加，再積分，則得歐拉積分式：

對(duì)可壓或不可壓的理想流體，滿足正壓性，在有勢(shì)的力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，在流場(chǎng)中任一點(diǎn)單位質(zhì)量流體的位勢(shì)能π，壓力勢(shì)能pF和動(dòng)能之和為常數(shù)。

物理意義為：第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二、伯努利積分：(有旋流動(dòng))條件：沿流線（渦線）蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程兩側(cè)乘以流線上任一微分方程ds的三個(gè)分量dx,dy,dz

對(duì)定常流動(dòng)，流線與跡線重合，對(duì)跡線而言

第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月其物理意義為：對(duì)可壓縮或不可壓縮的理想流體，滿足正壓性，在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，沿同一流線上各點(diǎn)單位質(zhì)量流體的位勢(shì)能π，壓力勢(shì)能pF和動(dòng)能之和為常數(shù)。三種機(jī)械能可以互相轉(zhuǎn)化。但對(duì)不同流線，該常數(shù)值一般是不同的。伯努利積分式，第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月三、伯努利方程如果質(zhì)量力僅僅是重力，則對(duì)單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力，則。g的前面加負(fù)號(hào)是由重力方向垂直向下，而取z軸正向向上，則。對(duì)不可壓流，則。得：

伯努利方程z為單位重量流體具有的位勢(shì)能，又稱位置高度或位置水頭；為單位重量流體具有的壓強(qiáng)勢(shì)能，又稱壓強(qiáng)高度或壓強(qiáng)水頭；為單位重量流體具有的動(dòng)能，又稱速度水頭或動(dòng)壓頭。伯努利方程物理意義為：對(duì)不可壓理想流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，對(duì)有旋流動(dòng)，沿同一流線單位重量流體的位勢(shì)能、壓力勢(shì)能以及動(dòng)能之和為常數(shù)。對(duì)無旋流動(dòng)，整個(gè)流場(chǎng)所有各點(diǎn)的總機(jī)械能為一常數(shù)。

第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月靜水頭

總水頭z1z2基準(zhǔn)面靜水頭線總水頭線伯努利方程幾何意義：對(duì)不可壓理想流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，對(duì)有旋流動(dòng)，沿同一流線單位重量流體的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和為常數(shù)。即總水頭線是與基準(zhǔn)面相平行的水平線。第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例如果流動(dòng)在同一水平面，或流場(chǎng)中z的變化與其它流動(dòng)參數(shù)相比可忽略時(shí)，則伯努利方程沿同一流線如果壓強(qiáng)增大，則速度降低如果壓強(qiáng)降低，則速度增大吹氣p0p0第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月船吸現(xiàn)象第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§4－5粘性流體總流的伯努利方程當(dāng)粘性流體流經(jīng)固體壁面時(shí)，在固體壁面與主流之間存在由零到主流速度V的速度梯度，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流層之間存在切應(yīng)力，形成阻力。為克服阻力維持流動(dòng)，流體必然要消耗部分機(jī)械能，轉(zhuǎn)化為熱能耗散，造成不可逆損失。粘性流體沿微元流束（或流線）流動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能是減少的，必須對(duì)理想流體的伯努利方程進(jìn)行修正。理想流體----無粘性；實(shí)際流體----有粘性第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月一、粘性流體沿微元流束的伯努利方程理想不可壓流體在重力場(chǎng)下沿流線作定常流動(dòng)時(shí)，流體的總機(jī)械能沿流線不變

即總水頭線始終是一條水平線。對(duì)于粘性流體，由于存在摩擦阻力，耗掉了流體的部分機(jī)械能，所以總機(jī)械能逐步減少。

為單位重量流體自截面1到截面2的能量損失，單位：(米流體柱高）。

第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月微元流束和總流的水頭線hwz1z2基準(zhǔn)面靜水頭線總水頭線z1z2基準(zhǔn)面靜水頭線總水頭線第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二、粘性流體總流的伯努利方程總流為由無數(shù)微元流束組成，有效截面積為有限值的流束。要把沿流線的伯努利方程擴(kuò)到總流，必然要進(jìn)行修正。推導(dǎo)應(yīng)用于總流的兩緩變流截面的伯努利方程。對(duì)管道總流中每一微元流束，寫出伯努利方程：

上式兩邊同乘單位時(shí)間通過微元流束的重量流量

gdqV（dqV=V1dA1=V2dA2），對(duì)1、2兩截面總流的所有微元流束的能量進(jìn)行積分，則：

第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月在總流的任一有效截面上，流體質(zhì)點(diǎn)的位能z，速度V，壓力p均有差別。如果流動(dòng)滿足下列兩個(gè)條件，我們稱之為緩變流：1.流線的切線之間夾角很小，即流線近乎平行；2.流線的曲率很小，即流線近乎為直線。凡不符合上述條件的流動(dòng)稱為急變流。緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流急變流第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月緩變流的特點(diǎn)是：在定常緩變流的同一有效截面上，壓強(qiáng)分布規(guī)律與重力作用下流體的靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即推導(dǎo)適用于兩個(gè)緩變流有效截面的粘性流體總流的伯努利方程假定截面1和2為兩個(gè)緩變流有效截面，且流體不可壓縮第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月其中

為總流的動(dòng)能修正系數(shù)

為1、2截面總流的平均單位重量流體的能量損失

粘性流體總流的伯努利方程

適用條件：不可壓粘性流體在重力作用下，作定常流動(dòng)的任意兩緩變流截面，而緩變流之間有無急變流存在，均可適用。

第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月說明1.

為動(dòng)能修正系數(shù)，表示速度分布的不均勻性，恒大于12.粘性流體在圓管中作層流流動(dòng)時(shí)，

＝23.流動(dòng)的紊流程度越大，

越接近于14.

在工業(yè)管道中

=1.01～1.1，通常不加特別說明，均取

＝1，且用符號(hào)V代替

5.能量損失hw包括沿程損失hf和局部損失hj第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§4－6理想流體的伯努利方程一、文丘里管

文丘里管水平放置

基準(zhǔn)面Q文丘里管水平放置d11Hρmρ等壓面2d2文丘里管是由截面逐漸收縮，然后再逐漸擴(kuò)大的一段短管組成的，最小截面處稱為喉部。在文丘里管收縮段前的直管段截面1和喉部截面2兩處測(cè)量靜壓差，根據(jù)靜壓差和兩個(gè)截面的面積可計(jì)算通過管道的流量。

第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)截面1和截面2上的流速、壓力和截面面積分別為V1、p1、A1和V2、p2、A2連續(xù)性方程

截面1和2的列伯努利方程第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)際應(yīng)用中，由于實(shí)際流體都有粘性，考慮到因粘性引起的截面上速度分布的不均勻性和流動(dòng)過程中有能量損失，所以實(shí)際通過的體積流量要比上式的理論值略小一些，引入修正系數(shù)β，可得

其中β為文丘里管的流量系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定

由于收縮段的能量損失比擴(kuò)張段小得多，因此不能用擴(kuò)張段的壓強(qiáng)來計(jì)算流量，以免增大誤差。

第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月若靜壓差(p1–p2)以U型管的液柱高度差H來表示，則對(duì)圖中所示的等壓面列等壓面方程，則有

基準(zhǔn)面Q文丘里管水平放置d11Hρmρ等壓面2d2以液柱高度表示速度和體積流量

第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月文丘里管傾斜放置

文丘里管不僅可水平放置使用，也可傾斜放置，甚至可以豎直放置。假設(shè)文丘里管以某一傾斜角度放置，如圖所示。截面1和截面2上的中心線的位置高度分別為z1和z2。

2文丘里管傾斜放置a基準(zhǔn)面Qd1Hρmρz1z21等壓面d2列伯努利方程

連續(xù)性方程

第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月如果用Ｕ形管壓差計(jì)來測(cè)量壓差

等壓面列等壓面方程可得

第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月z二、皮托管

皮托在1773年用一根彎成直角的玻璃管，測(cè)量了法國塞納河的流速。原理如圖所示，在液體管道某截面裝一個(gè)測(cè)壓管和一個(gè)兩端開口彎成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正對(duì)來流，一端垂直向上，此時(shí)皮托管內(nèi)液柱比測(cè)壓管內(nèi)液柱高h(yuǎn)，這是因?yàn)榱黧w流到皮托管入口A點(diǎn)受到阻滯，速度降為零，流體的動(dòng)能變化為壓強(qiáng)勢(shì)能，形成駐點(diǎn)A，A處的壓強(qiáng)稱為總壓，與A位于同一流線且在A上游的B點(diǎn)未受測(cè)壓管的影響，其壓強(qiáng)與A點(diǎn)測(cè)壓管測(cè)得的壓強(qiáng)相等，稱為靜壓。BAz第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月在A、B兩點(diǎn)列伯努利方程有：

實(shí)際上，由于探針頭部和小孔等因素的影響，測(cè)得的全壓有一定偏差，引入修正系數(shù)KK稱為皮托管探針的校正系數(shù)，是通過校正求得的，約在0.98~1.05。第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月若將皮托管和靜壓管組合成一體，稱為皮托靜壓管。

駐點(diǎn)第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月將皮托管與U型管連接，表示出來流的靜壓，動(dòng)壓和全壓。

靜壓全壓動(dòng)壓第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月三、孔板流量計(jì)

孔板流量計(jì)是電廠常用測(cè)量給水和蒸汽流量的節(jié)流裝置，其基本原理是流體在管道中流動(dòng)時(shí)，其流通截面突然縮小，在孔板后某一距離流速達(dá)最大，流體靜壓下降，同時(shí)伴隨有能量損失，通過測(cè)量孔板前后的壓降，可算出流體的流量。

A1V1p1’A0

d0Achp1’p1p2pcpx第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)連續(xù)性方程和伯努利方程有

流束最小截面積Ac與孔板圓孔面積A0的關(guān)系可表示為：

其中Cc為流體的收縮系數(shù)。令：

第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月由于有能量損失，且孔板上的取壓位置并非在截面A1與Ac處，另外考慮到管壁的粗糙和孔板邊緣不尖銳等因素，并用實(shí)測(cè)的p1和p2代替p1’和pc，應(yīng)加上修正系數(shù)

，即：

令

其中

為孔板的流量系數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)得到，標(biāo)準(zhǔn)孔板的流量系數(shù)可查表得到。在特殊的情況下，如果管流的實(shí)際雷諾數(shù)小于孔板的極限雷諾數(shù)，則查得的流量系數(shù)應(yīng)乘于粘度校正系數(shù)Kμ，Kμ通過查表得到。第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示,水在垂直管內(nèi)由上向下流動(dòng),在相距l(xiāng)的兩斷面間,測(cè)得測(cè)壓管水頭差為h,求兩斷面間沿程水頭損失hf(不計(jì)其它損失)lh12第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§4－7動(dòng)量方程

解決流體與固體間相互作用時(shí)產(chǎn)生的作用力的問題

一、積分形式的動(dòng)量方程由輸運(yùn)方程：令第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月由動(dòng)量方程：t時(shí)刻，流體系統(tǒng)與控制體相重合，則有對(duì)定常流動(dòng)表明：在定常流動(dòng)條件下，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過控制面的流體動(dòng)量的通量，等于作用在系統(tǒng)上外力的矢量和。第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定常管流的動(dòng)量方程假設(shè)不可壓縮流體在固定彎管內(nèi)作定常流動(dòng)A2A1A31122動(dòng)量方程CS=A1+A2+A3入口出口由于在A3不上沒有流體進(jìn)出，

n=0，沿壁面積分為0第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月一般截面上的密度視為常數(shù)，但是必須考慮速度在截面的變化，用截面平均速度計(jì)算，須引入動(dòng)量修正系數(shù)

用有效截面上的平均流速計(jì)算流體動(dòng)量，則上式可寫成：

工程計(jì)算中

一般取1第54頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)量方程適用于不可壓縮流體的緩變流截面的定常流動(dòng)（理想和粘性流體均適用）；只涉及邊界上的參數(shù)，與內(nèi)部流動(dòng)無關(guān)；是矢量方程，方程中的“–”永遠(yuǎn)為負(fù)，力和速度的方向與所選坐標(biāo)系有關(guān)；計(jì)算表面力時(shí)壓強(qiáng)用表壓。說