第六章測量誤差基礎(chǔ)知識

第六章測量誤差基礎(chǔ)知識1第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第六章

測量誤差基本知識2第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-1觀測誤差及其分類觀測誤差的來源（或產(chǎn)生的原因）1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響3第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月一.產(chǎn)生測量誤差的原因產(chǎn)生測量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗,等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光)

結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件:

上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進(jìn)行的各次觀測，稱為等精度觀測。4第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)在符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例：誤差

鋼尺尺長誤差Dk鋼尺溫度誤差Dt水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C……處理方法計算改正計算改正操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均)

……5第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差的特性和消除方法1.特性:統(tǒng)一性誤差的絕對值保持恒定或有一定規(guī)律單向性誤差的符號不變，總朝一個方向偏離

累積性誤差的絕對值隨觀測值的大小成比例累積2.消除方法：檢校儀器把系統(tǒng)誤差降到最低限度求改正數(shù)對某些誤差應(yīng)求其大小，將觀測值加以改正，消除其影響。對稱觀測采出合理的觀測方法，使誤差執(zhí)行消除或減少6第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”粗差——特別大的誤差（錯誤）例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差

。7第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差8第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-2偶然誤差的統(tǒng)計特性

1.偶然誤差的定義：

設(shè)某一量的真值為X，對該量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值，則產(chǎn)生了n個真誤差：(6-1)真誤差真值觀測值9第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差

i為

i

=180–(i+i+i)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差

i的規(guī)律。

10第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然誤差的統(tǒng)計

11第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=

k/d有限性：偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。12第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。13第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月偶然誤差的削弱方法1.適當(dāng)提高儀器等級；2.多余觀察：評定精度和分配閉合差；3.求最可靠值或者最或是值。14第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月偶然誤差的特性和消除方法1.特性:有界性在相同的觀測條件下，其絕對值不超過一定界限。

單峰性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率大。

對稱性絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率相等。

補(bǔ)償性觀測次數(shù)無限增多其算術(shù)平均值趨近于零。2.消弱方法：適當(dāng)提高儀器等級多余觀測求最可靠值

15第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

§6-3評定精度的標(biāo)準(zhǔn)

所謂精度：就是指誤差分布的密集或離散程度。衡量精度的指標(biāo)有多種，常用的有以下幾種一、中誤差：誤差的概率分布函數(shù)即正態(tài)分布

曲線方程而σ就是標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）即而我們測量上就叫中誤差（條件是：觀測次數(shù)是有限的，由有限個觀測值的真誤差只能求得標(biāo)準(zhǔn)差的估值。）

所以中誤差的公式為：這是由真誤

差計算的中誤差公式。

另外：這就是用改正數(shù)求中誤差的白塞爾公式。16第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月一、中誤差正態(tài)分布曲線方程

用真誤差計算中誤差的公式真誤差：標(biāo)準(zhǔn)差公式：中誤差公式為：17第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)觀測值的真值未知時：設(shè)某未知量的觀測值為：則該量的算術(shù)平均值為：

則該量的改正數(shù)：用改正數(shù)計算中誤差的公式計算得：觀測值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差18第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、容許誤差由偶然誤差的第一特性知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會越過一定的限值。大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在(-σ，+σ)、(-2σ，+2σ）、(-3σ，+3σ)的概率分別為

可見絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為0.3％、概率接近于0，因此通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值Δ限，并稱為極限誤差或容許誤差。實踐中．也常用2m作為容許誤差。

即19第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三、相對誤差

誤差的絕對值與觀測值之比稱為相對誤差。

通常將分子化為1的形式。相對誤差是個無名數(shù)，有相對中誤差、相對容許誤差、相對真誤差。

所謂相對中誤差(簡稱相對誤差)就是中誤差之絕對值（設(shè)為|m|）與觀測值（設(shè)為D）之比，并將分子化為1表示：

用絕對誤差無法比較不同測量結(jié)果的可靠程度，于是人們用測量值的絕對誤差與測量值之比來評價，并稱它為相對誤差，用表示，并可化成百分比，也叫百分誤差。絕對誤差=測量值-真實值

相對誤差=絕對誤差/真實值

相對誤差不能用于評定角度測量的精度．因為角度誤差與測角大小無關(guān)。20第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-4誤差傳播定律及其應(yīng)用已知：mx1,mx2,……mxn求：my=？

y=?21第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測值函數(shù)的中誤差——誤差傳播定律一.觀測值的函數(shù)例：高差平均距離實地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)……22第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?23第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和24第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和（差）函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和25第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?26第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?和平方27第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?28第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例量得地形圖上兩點(diǎn)間長度=168.5mm

0.2mm,計算該兩點(diǎn)實地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式29第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾種常用函數(shù)的中誤差（三）線性函數(shù)已知：mxi,求：mz=?30第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）線性函數(shù)特殊31第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例6距離誤差例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對中誤差：

凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。32第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二.誤差傳播定律(四)一般函數(shù)的中誤差公式——誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)xi為獨(dú)立觀測值對上式全微分33第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月中誤差關(guān)系式：小結(jié)第一步：寫出函數(shù)式第二步：對各觀測值取偏導(dǎo)數(shù)第三步：套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。34第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

35第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例已知某矩形長a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。36第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月思考與作業(yè)

1.偶然議差和系統(tǒng)誤差有什么區(qū)別?偶然誤差具有哪些特性?2.何謂中誤差、容許誤差、相對誤差?3.某水平角以等精度觀測4個測回，觀測值分別為55°40′47″、55°40′40″、55°40′42″、

55°40′46″

．試求觀測值的一測回的中誤差、算術(shù)平均值x及其中誤差。37第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD§6-4誤差傳布定律

應(yīng)用舉例38第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD39第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差傳播定律

應(yīng)用舉例算術(shù)平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx40第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差傳播定律的應(yīng)用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例：要求三角形最大閉合差

，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差。41第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月§6-5直接觀測平差一、同精度直接觀察平差

42第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值A(chǔ)組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各組的平均值A(chǔ)組：

B組：

C組：二、不等精度直接觀測平差

（一）加權(quán)平均值——最或然值43第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月加權(quán)平均值

（二）權(quán)的定義各組的平均值及其權(quán)A組：123.360權(quán)PA=3B組：123.333PB=4C組：123.356PC=5所以不同精度的觀測值不能簡單地用算術(shù)平均值，而應(yīng)該根據(jù)其本身的精度的高低決定其應(yīng)占的比例數(shù)。精度越高，可靠程度愈大，占的比例也應(yīng)愈大。這個比例在測量上稱為“權(quán)”，通常用P表示。44第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月由上式可以看出，μ值表示權(quán)等于1時觀測值的中誤差。等于1的權(quán)，稱為單位權(quán)，權(quán)為1的觀測值，稱為單位權(quán)觀測值。由于μ值相對應(yīng)的觀測值權(quán)為1，所以μ稱為單位權(quán)觀測值中誤差，即單位權(quán)中誤差。實際上就是在一組n個不同精度的觀測值中，以權(quán)為1的觀測值中誤差的μ值精度作標(biāo)準(zhǔn)，其它觀測值的精度都是與它比較，而得出一組相對應(yīng)權(quán)的比例關(guān)系來表示觀測值間的相對可靠程度。45第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）確定權(quán)的常用方法1.同精度觀測值之和（差）的權(quán)（1）水準(zhǔn)測量的權(quán)

設(shè)在圖6—5中，有n條水準(zhǔn)路線(圖中n＝3)，每條路線測得的高差為hi，各路線的測站數(shù)為Ni，設(shè)每站測高差精度相同，其中誤差均為m站，由式(6—25)知，各路線的觀測高差中誤差為：

若以Pi代表hi的權(quán)，并以C個測站的觀測中誤差作為單位權(quán)中誤差，即令則由式(6—34)得：46第46頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月47第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)距離丈量的權(quán)若單位距離丈量的中誤差相等設(shè)為m．則各邊長Si的丈量中誤差為

令c個單位距離丈量中誤差為單位權(quán)中誤差則令．由式(6—34)得48第48頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月49第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月50第50頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月51第51頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月52第52頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月53第53頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例：對某水平角進(jìn)行了三組觀測，各組分別觀測2