簡單復合函數(shù)的求導法則

簡單復合函數(shù)的求導法則第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月復習：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導公式。1、常見函數(shù)的導數(shù)公式：2、法則1法則2

,法則3

第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月復合函數(shù)的導數(shù)新授課函數(shù)，，構成間的關系？可由與復合得到．

例1

指出下列函數(shù)的復合關系：

（1）（2）（3）（4）

由復合而成．

解：（1）（2）由復合而成．

（3）由復合而成．

（4）由復合而成．

第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月復合函數(shù)的導數(shù)新授課例2

寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)：（1）（2）解：（1）（2）第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復合函數(shù)的概念:二、講授新課：3/23/2024第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月如何對復合函數(shù)求導呢？第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月引例

一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，其面積是半徑的函數(shù)：

油膜半徑隨著時間的增加而擴大，其函數(shù)關系為：

問：油膜面積關于時間的瞬時變化率是多少？第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：油膜面積關于時間的新函數(shù)：由于所以由導數(shù)的運算法則可得：∵∴第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

設函數(shù)

y=f(u)，u=

(x)均可導，則復合函數(shù)

y=f(

(x))也可導.且或復合函數(shù)的求導法則即：因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則

)注意：1、法則可以推廣到兩個以上的中間變量；2、求復合函數(shù)的導數(shù),關鍵在于分清函數(shù)的復合關系,合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導.第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月即證設變量x有增量

x，由于u可導，

相應地變量u有增量

u，從而y有增量

y.第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月復合函數(shù)中，令，則注意：注意：不要寫成！對x求導對求導第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月復合函數(shù)的導數(shù)若，，求

并分析三個函數(shù)解析式以及導數(shù)之間的關系．新授課函數(shù)可由復合而成．第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：求的導數(shù)分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x復合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=￠T=￠?第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月復合函數(shù)的導數(shù)例題講解例2求的導數(shù)．解：設，則第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）首先要弄清復合關系，特別要注意中間變量；（2）盡可能地將函數(shù)化簡，然后再求導；（3）要注意復合函數(shù)求導法則與四則運算的綜合運用；（4）復合函數(shù)求導法則，常被稱為“鏈條法則”，一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。復合函數(shù)求導法則的注意問題：例3第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3求函數(shù)的導數(shù)。例4求函數(shù)的導數(shù)。解析解析第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時，首先要弄清復合關系，而選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。分析：

令，則函數(shù)是由與復合而成，由復合函數(shù)求導法則可知：解：例3

例3求函數(shù)的導數(shù)。第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月解：

令，則函數(shù)是由與復合而成，由復合函數(shù)求導法則可知：例4求函數(shù)的導數(shù)。第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）分解；（2）求導；（3）相乘；（4）回代。復合函數(shù)求導的基本步驟：第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例5、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）。關于時間t（單位：s）的函數(shù)為，求函數(shù)在t=3時的導數(shù)，并解釋它的實際意義。解：函數(shù)是由函數(shù)與復合而成的，其中x是中間變量。將t=3代入得：（cm/s）。它表示當t=3時，水面高度下降的速度為

cm/s。第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例6求下列函數(shù)的導數(shù)：

前面所求的都是具體的復合函數(shù)的導數(shù)，而此題中的對應法則f是未知的，是抽象的復合函數(shù)。它們的導數(shù)如何求得？？解析第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

而對于抽象復合函數(shù)的求導,一方面要從其形式上把握其結構特征，找出中間變量，另一方面要充分運用復合關系的求導法則。分析:

求復合函數(shù)的導數(shù),關鍵在于分清函數(shù)的復合關系，合理選定中間變量，明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導。第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）函數(shù)是由與復合而成的，由復合函數(shù)的求導法則知：（2）函數(shù)由與復合而成，由復合函數(shù)的求導法則知：練習第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月1.求下列函數(shù)的導數(shù)：2.求曲線在處的切線方程。動手做一做例4第24頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月求下列函數(shù)的導數(shù)：動手做一做×第25頁，課件共26頁，創(chuàng)作于202