金融數(shù)學(xué)第五章套利定價理論

1第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

套利定價模型

假定證券的收益受到一些共同因子的影響，并且收益率與共同因子之間的關(guān)系如下：注：（1）若將市場證券組合作為影響證券收益率的唯一共同因子，則CAPM可以看作是單因子套利定價模型。（2）指數(shù)定價模型與套利定價模型都是假定證券收益率受到某些共同因子的影響，但是不同之處在于套利定價模型并未指出共同因子是什么以及有多少共同因子。2第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

單因子套利定價模型

假設(shè)證券收益率只受到一個共同因子F的影響，相應(yīng)收益率的表達(dá)式為：且滿足充分風(fēng)險投資組合的單因子套利定價模型

3第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

可以將證券i的風(fēng)險分解成由共同因子引起的系統(tǒng)風(fēng)險與由特殊因素引起的非系統(tǒng)風(fēng)險兩部分之和：于是，相應(yīng)的組合P的風(fēng)險可以寫成4第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

于是充分分散投資組合的收益率構(gòu)成為：

顯然，單個證券收益率與共同因子不存在完全的線性關(guān)系，但是充分分散證券組合的收益率與共同因子間具有線性關(guān)系。證明如圖所示，假設(shè)有兩個充分分散投資組合P和Q,它們的收益率分別表示為

因此，無論共同因子處于何種水平，證券組合P都要優(yōu)于證券組合Q，這樣就會產(chǎn)生一個無風(fēng)險套利機(jī)會。5第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

例如，投資者賣空100萬元的證券組合Q的同時買入價值100萬元的組合P，從而構(gòu)造了一個零投資組合，且其收益額為:=2萬元且

系統(tǒng)風(fēng)險與非系統(tǒng)風(fēng)險全部都消除了，投資者不用任何本金就可以無風(fēng)險獲利2萬元，但是這種獲利不會保持長久。6第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

證明用反證法

7第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

在市場均衡狀態(tài)下，任何充分分散投資組合都具有相同的風(fēng)險償率（單位風(fēng)險價格）：8第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

單個證券的單因子套利定價模型

首先，選擇風(fēng)險補(bǔ)償率高的證券A和風(fēng)險補(bǔ)償率低的組合C，通過賣空補(bǔ)償率低的證券C，投資于補(bǔ)償率高的證券A,并滿足：

投資組合Z沒有系統(tǒng)風(fēng)險，但需要非零的投資額，并且有非系統(tǒng)風(fēng)險。9第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

以此類推，通過賣空風(fēng)險補(bǔ)償率低的證券D和C而投資于補(bǔ)償率高的證券A和B，并且滿足：10第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

至此，構(gòu)造除了兩個無任何風(fēng)險的投資組合，但是它們的期望收益率不同，很明顯，存在無風(fēng)險套利機(jī)會，即只需要賣空一定量的低期望收益率的組合Z，同時用所得的資金投資于期望收益率高的組合Z’，就可以獲得無風(fēng)險差額利潤。這一套利機(jī)會對于任何投資者均是有利的，于是所有投資者均會試圖利用這一套利機(jī)會。

隨著投資者不斷的賣空D,C,F這樣的風(fēng)險報酬率低的證券，使得其價格隨著供給增加而下降，從而期望收益率上升，類似的不斷的買入A,B,E這樣的風(fēng)險報酬率高證券，使得需求增加，導(dǎo)致價格上升，進(jìn)而期望收益率下降，最終市場將調(diào)節(jié)到“幾乎所有”證券的風(fēng)險補(bǔ)償都一致的狀態(tài)，使得套利機(jī)會消失。因此，在市場均衡狀態(tài)下，單個證券將滿足：

或

11第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

充分分散投資組合與單個證券的套利定價的一致性

在市場均衡條件下，充分分散證券組合的APT定價模型與單個證券的APT定價模型是一致的。對比充分分散投資組合的套利定價模型，可得

12第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

多因子套利定價模型

考慮兩個共同因子的情況（三個或以上的共同因子情況，可以作類似的推廣）。設(shè)證券收益率的分解式為充分風(fēng)險投資組合的雙因子套利定價模型13第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

于是，相應(yīng)的組合P的風(fēng)險可以寫成

此時組合P的總風(fēng)險幾乎全部是系統(tǒng)風(fēng)險。14第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

與單因子討論模型的討論一樣,同樣可以從兩個命題的考察中得到充分分散投資組合的雙因子套利定價模型.單個證券的雙因子套利定價模型

可以證明單個證券的雙因子套利定價模型與充分分散投資組合的雙因子套利定價模型是一致的，即對于任意證券（或證券組合）而言，雙因子套利定價模型為:15第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

多因子套利定價模型

如果影響證券收益率的共同因子不止兩個，采用同樣的分析方法，可以得出與雙因素完全類似的均衡定價模型:16第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

套利定價模型的擴(kuò)展討論共同因子的選擇共同因子的確定方法

統(tǒng)計學(xué)中的因子分析方法常常用來確定共同因子，該方法的好處在于能夠同時確定共同因子及各證券對共同因子的敏感度。具體做法為：

首先考察如果只用一個共同因子解釋證券的收益率，各證券收益率殘差的協(xié)方差；

再考察如果用第一和第二個共同因子解釋證券的收益率，各證券收益率殘差之間的協(xié)方差比只用第一個因子解釋時下降的百分比；在APT中，共同因子起著重要的作用。若共同因子不能確定，就根本無法理論套利定價理論進(jìn)行定價分析。對共同因子選擇的討論涉及到三個問題：一是，共同因子的確定方法；二是，共同因子的數(shù)目；三是，共同因子的具體選擇。17第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

然后，不斷的重復(fù)這一過程，看增加因子后各證券收益率殘差之間協(xié)方差下降的幅度，如果增加某一因子后證券收益率殘差協(xié)方差下降的幅度低于某個事先設(shè)定的解釋精度，那么，該因子就被認(rèn)為對證券收益率不可能產(chǎn)生明顯的影響，從而剔除。再考察如果用第一，二和第三個因子來解釋證券收益率，各證券收益率殘差之間的協(xié)方差比只用第一個因子解釋時下降的百分比。

18第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

共同因子的數(shù)目

理論上，通過上述檢驗的因素都可以作為共同因子，但是雷曼和莫德斯特（Lehman&Modest,1988）運(yùn)用統(tǒng)計方法發(fā)現(xiàn)，共同因素數(shù)目一旦達(dá)到5個，資產(chǎn)收益對共同因子數(shù)目的增加就不敏感了。

法瑪和弗倫奇發(fā)現(xiàn)，因素數(shù)目從3個增加倒個，模型的效果有所提高。如果僅有股票，必須要有3個因素。如果包含債券資產(chǎn)，必須要有5個因素。因此，實際應(yīng)用過程中通常選擇3－5個共同因子。19第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

共同因子的具體選擇

影響證券期望收益率的因素有很多，究竟選取那些因素，不同的研究者可能得到不同的結(jié)果。較有代表性的如：1．羅爾和羅斯確定的共同因子：

具體包括：（1）工業(yè)產(chǎn)值增長率；（2）通貨膨脹率（預(yù)期的和未預(yù)期的）；（3）長期和短期利率的差額；（4）低級和高級債券的差別。2．伯雷、鮑梅斯特和麥克確定的共同因子：

具體包括5個因素，其中有3個因素接近于上面的后3個因素。另外2個因素是社會總銷售增長率和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)收益率。3．所羅門公司確定的共同因子：

具體包括5個因素：（1）國民生產(chǎn)總值；（2）通貨膨脹率（預(yù)期的和未預(yù)期的）；（3）利率；（4）石油價格變化率；（5）國防開支增長率。這三組共同因子有一些共同的特征：

首先，它們包括了一些總體經(jīng)濟(jì)活動指標(biāo)（工業(yè)產(chǎn)值、總銷售和國民生產(chǎn)總值）；

其次，都包括通貨膨脹；

第三，包括一些類型的利率因素（或差額或利率本身）。

20第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

APT的檢驗檢驗的內(nèi)容及難點

多因子APT解釋證券收益率的形成過程，即：

由此得到APT模型為

21第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

APT的檢驗方法類似于CAPM的檢驗方法：

羅爾和羅斯于1980年運(yùn)用1962年6月到1972年12月紐約股票交易所1260中股票收益率數(shù)據(jù)，以每組30種證券將所有證券分成42組進(jìn)行了因子分析，發(fā)現(xiàn)存在4個或5個因子有有效的解釋力，而且還發(fā)現(xiàn)證券平均收益率與風(fēng)險因子之間存在線性關(guān)系，證券的殘差與平均收益率無關(guān)。檢驗的方法

22第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

APT與CAPM

APT與CAPM的區(qū)別

1．模型的假設(shè)條件不同

APT假定證券收益率的產(chǎn)生同某些共同因子有關(guān)，但這些共同因子究竟是什么以及有多少個，模型并未事先人為的加以指定，而CAPM事先假定證券收益率同市場證券組合的收益率有關(guān)。此外CAPM模型的一個基本假定是投資者都以期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差作為分析基礎(chǔ)，并按照均值－方差準(zhǔn)則選擇投資方案，而APT無需此假定。2．建立模型的出發(fā)點不同

APT考察的是當(dāng)市場不存在無風(fēng)險套利而達(dá)到均衡時，資產(chǎn)如何均衡定價，而CAPM考察的是當(dāng)所有投資者都以相似的方法投資，市場最終調(diào)節(jié)到均衡時，資產(chǎn)如何定價。23第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

3．描述形成均衡的機(jī)理不同

當(dāng)市場面臨證券定價不合理而產(chǎn)生價格壓力時，按照APT的思想，即使是少數(shù)幾個投資者的套利行為也會使市場盡快重新恢復(fù)均衡；而按照CAPM的思想，所有投資者都將改變其投資策略，調(diào)整他們選擇的投資組合，他們共同行為的結(jié)果才促使市場重新回到均衡狀態(tài)。4．定價范圍和精度不同

CAPM是從它的假設(shè)條件經(jīng)邏輯推理得到的。它提供了關(guān)于所有證券以及證券組合的期望收益率－風(fēng)險關(guān)系的明確描述，只要模型條件滿足，以此確定的任何證券或證券組合的均衡價格都是準(zhǔn)確的。而APT是從不存在無風(fēng)險套利的角度推出的。由于市場中有可能存在少數(shù)證券定價不合理而整個市場處于均衡之中（證券數(shù)少到不足產(chǎn)生無風(fēng)險套利），所有APT提供的均衡定價關(guān)系有可能對于少數(shù)證券不成立。換言之，在滿足APT的條件下，用APT的證券或證券組合確定均衡價格，對少數(shù)證券的定價可能出現(xiàn)偏差。24第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

APT與CAPM的聯(lián)系

當(dāng)APT與CAPM模型的假設(shè)條件均成立時，兩模型是相通的。由此推出的APT的均衡關(guān)系式為：

于是

這樣就有這與CAPM所描述的均衡期望收益率－風(fēng)險關(guān)系完全一致。

從某種意義上講，CAPM是APT的一個特例。25第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章套利定價理論

【本章要點】套利單因子套利定價公式的推導(dǎo)多