湖南省永州市2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省永州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、若復(fù)數(shù)Z滿足z（l+i）=2i（其中i為虛數(shù)單位），則z=（）

A.l-iB.l+iC.—D.—

22

2、若向量。，8滿足M=l,W=ab=l,則。與b的夾角為（）

A.-B.-C.塞D?里

4334

3、△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=2,c=y/l,cosB=—,

4

則6=（）

A.73B.2C.2V3D.4

4、袋中有大小質(zhì)地完全相同的5個球，其中紅球3個，黃球2個，從袋中任意取2個

球，則取出的2個球都是紅球的概率為（）

1933

A.—B.-C.—D.-

105105

5、在長方體ABCD-ABCA中，AB=AD=2。A4,=2,則異面直線A"與Ag

所成角的余弦值為（）

A.旦B.@C正D.逅

4444

6、圖1是宋代五大名窯中汝窯制造的雙耳罐，它裝物的有效部分可近似看成由兩個圓

臺拼接而成（如圖2所示）在圖2中，已知下底面圓的直徑是6,中間圓的直徑是

10,上底面圓的直徑是4,上下底面圓的距離是5,且上、下兩圓臺的高之比是2:3,

若不考慮罐壁的厚度，則該汝窯雙耳罐的容積為（）

圖I圖2

A.69兀B.72兀C.75HD.78兀

7、已知。4,OB,0C均為單位向量，04+2OB+2OC=O,則的值為（）

A.-B.-C.-D.—

8888

8、在△ABC中，BD平分ZABC,且8。交AC于O,若BO=1,cosZABC=-,則

3

4AB2+1BC^+l曰?出4/、

-------+------的1V最l小值為（）

ABBC

A25760297603176「35m

A?----JD.----C.----D,----

12121212

二、多項選擇題

9、分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A="第一枚出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，事件8=

“第二枚出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（A）=-B.P（AB）=J

22

C.事件A與8互斥D.事件A與8相互獨立

10、下列說法中正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z=l-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限

B.若兩個復(fù)數(shù)的積是實數(shù)，則它們一定互為共朝復(fù)數(shù)

C.若向量a=（x,3）,〃=（2,-1）的夾角為銳角，則實數(shù)x的取值范圍為

D.^OA^xOB+yOC（x,yeR）,且x+y=l,則A,B,。三點共線

11、在直三棱柱ABC-43G中，點。是SB1的中點，A41=A3=4,AC=2,

4AC=60。，點P為側(cè)面44CC（含邊界）上一點，3P〃平面AOG，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.BC1AC,

B.點A,到平面AG。的距離是6

C.直線8C與平面AG。所成角的正弦值是!

4

D.線段BP長的最小值是竽

12、在△4BC中，AB=C,BC=2,AC=y/w,BM=MC,BN=2NC,則()

A.線段AN的長度為巨

3

??14

B.AN,BC=—

3

7T

C.ZAMB+ZACB=-

4

D.存在點P在線段AB的延長線上，使得NCPM的最大值為三

4

三、填空題

13、某學(xué)校為了解高一學(xué)生每天閱讀時長，從高一男生和女生中采用分層抽樣的方法

抽取部分學(xué)生進行調(diào)查分析.已知該學(xué)校高一學(xué)生中男生和女生的比例是4:3,在抽取

的學(xué)生中男生比女生多24人，則被抽取的學(xué)生人數(shù)是.

14、已知向量a=(2,3),A=(-1,2),則。在8方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

15、一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了6km到達8地，由8地向南東30。方向騎

行了6km到達C地，從。地向北偏東60。騎行了26km到達。地，則A,。兩地的距

離是km.

16、在矩形ABC。中，43=1,BC=2,點E,尸分別為8C,AO的中點，點H為AE

的中點，將△ABE沿直線AE翻折至△A4E的位置，當(dāng)/與〃/=45。時，三棱錐

B「AED的外接球的體積是.

四、解答題

17、已知向量a=(2,l),b=(l,2),c=(3,5).

(1)若(￡+"田,求】的值;

(2)若加。+應(yīng)?與c共線，求4的值.

m

18、錦繡瀟湘?大美永州，據(jù)統(tǒng)計，零陵古城在今年“五一”當(dāng)天吸引游客達12萬人

次，同比大幅增長.當(dāng)?shù)芈糜沃鞴懿块T為了更好的為游客服務(wù)，在景區(qū)隨機發(fā)放評分調(diào)

查問卷100份，并將問卷評分?jǐn)?shù)據(jù)分成6組：[70,75),[75,,80),[80,85),[85,90),

[90,95),[95,100],繪制如圖所示頻率分布直方圖.

(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[80,85)的游客為15人，求樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)，并估

計第75百分位數(shù)；

(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3:2,男游客樣本的平均值為90,方差為

10,女游客樣本平均值為85,方差為12,由樣本估計總體，求總體的方差.

參考公式：分層抽樣中兩組數(shù)據(jù)x,y的抽樣比例是二，則總樣本方差

m

習(xí)[+—其中I為總樣本平均數(shù).

19、如圖，在三棱錐A—BCD中，平面4?。，平面BCD,=點。為B。的中

點.

(1)證明：AO1BC；

(2)若△OCD是邊長為4的等邊三角形，點E為中點，且二面角的大

小為30。，求三棱錐A-BOC的體積.

20、一位外地游客到永州市旅游，其游覽陽明山、九疑山、舜皇山這3個著名景點的

概率分別為0.5,0.5,0.6,且該游客是否游覽哪個景點互不影響.設(shè)C表示該游客對上

述3個景點游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)的差.

(1)記=為事件A,求P(A)的值.

(2)記“函數(shù)/(x)=x+，，在區(qū)間［1,M)上單調(diào)遞增”為事件8,求P(B)的值.

21、如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面A3C。，正方形A8CD的邊長為2,E是

PA的中點.

(1)求證：PC〃平面3DE；

(2)若PD=4,線段PC上是否存在一點F,使Ab_L平面BDE?若存在，求出P尸

的長度；若不存在，請說明理由.

22、已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,b=c=2,

GsinC+cosC=@吆，點。，P為平面內(nèi)兩動點，|C?=1,點N是BC的中點，DN

與AC相交于點M(點M異于點A,C),點。為△ABC內(nèi)切圓圓心，且卜0卜；.

.2.22

(1)求角A和PA'+PB'+PC的值；

NM

(2)設(shè)CM=/CA(O<r<l),g(r)=----,求g⑺的最小值.

ND

參考答案

1、答案：B

解析：因為z（l+i）=2i,

2i2i（l-i）2i-2i22i-2i22i+2,.

所以z=——=---------=------=------=-----=1+1,

1+i（l+i）（l-i）1-i222

所以z=l+i.

故選B.

2、答案：A

解析：cos〈a,6〉==-=—，且〈。,力e[0,it],

|a||^|1x722

所以〈?5〉=工.

4

故選:A

3、答案：B

解析：根據(jù)余弦定理可知，Zj2=a2+c2-2accosB=4+7-2x2xV7x—=4

4

則。=2.

故選:B

4、答案：C

解析：設(shè)3個紅球為％,%,%,2個黃球為偽，打，則從袋子中任取2個球包含,

（4，%），（4，。3），（4，沙|），（4也），（。2，。3），（。2，偽），（生，仇），（。3，4），（。3也），（偽，打）

共10個基本事件，

其中兩個都是紅球，包含（4，七），（4，。3），3，%），共3個基本事件，

則取出的2個球都是紅球的概率P=士.

10

故選:C

5、答案：D

解析：如圖連接AC,CA，在長方體A8CD-A用GO中，

因為AG〃AC，所以直線AA與4G所成角等于AQ與AC所成的角;

在△ACQ中，AC=2瓜ADX=CR=4由余弦定理可得,

D^+C^-DIC242+(2>/6)2-42V6

cosZDjAC=

2ACAD,2x276x4-4

故選:D

6、答案：C

解析：由圖可知，雙耳罐是由兩個圓臺組成，

上面圓臺底面直徑分別為4,10,所以圓臺底面半徑分別為2,5；

下面圓臺底面直徑分別為10,6,所以圓臺底面半徑分別為5,3；

又因為容器上下底面圓的距離是5,且上、

下兩圓臺的高之比是2:3,

所以上面圓臺的高2,下面圓臺的高是3,

故該汝窯雙耳罐的體積為：1x2x(4+25+10)7i+|x3x(9+25+15)Ji=757r

故選:C.

7、答案：D

解析：

8,答案：D

解析：在△ABC,設(shè)ZABC=28,

則ZABD=NDBC=6,

cos20=->0,

3

.Mh-----177^2亞A_/1-cos20_G

..sin2。=—cos(2。)=———,sin0=u-------=3

SMBC-S^BD+

-ABxBCsin20^-ABxBDsin0+-BDxBCsin0

222

整理得」_+，=3色

BCAB3

^11+*=4.+工+小—4W8C+偵

ABBCABBC3

(134ABBC八33_9>/6

4AB+BC=(4AB+BC)—+------+——+5x

ABj2y[6BCAB)

當(dāng)且僅當(dāng)士竺=史，即8C=2AB=3&時，4AB+BC取得最小值

BCAB4

M...4AB2+1BC2+1XA?氏在35#

此時-------+------的最B小值為一J.

ABBC12

9、答案：AD

解析：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，其中基本事件的總數(shù)為36種,

事件展“第一枚出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，共有3x6=18種，所以P⑷4所以A正

確;

3x3卜所以不正解

由事件8="第二枚出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，所以P(AB)B

36

當(dāng)?shù)谝幻稈伋?點，第二枚拋出2點時，此時事件A與事件B同時發(fā)生，所以A與8

不互斥，所以C不正確;

史=,，可得所以事件與事件相互獨立，所以

由P(B)=8P(AB)=P(A)P(8),A8

362

D正確.

故選:AD.

10、答案:ACD

解析:

11、答案:ACD

解析:

12、答案:BCD

A5?+AC?—5c2_2也

解析：對于A選項，cosABAC=

2ABxAC5

AB-AC=|AB|X|AC|cosZBAC=4

217

AN=AB+-BC^-AB+-AC，故A錯誤.

333

對于B選項,AN-BC^^AB+^ACY^AC-AB)=—,故B正確.

'3

對于C選項,cosZABC-2_*^_1J=一，又由于ZABCG(0,7i)

2xV2x22'7

3兀

所以NABC

T

因為ZABM=NCBA,也=%，得AMftAsayiBC,得NM4B=ZACB

BCAB

■JT.

所以NAM8+NAC8=ZAMB+ZMAB=萬—NABC=上，故C正確.

4

對于D選項，如圖，過點M和點C分別作AB延長線的垂線，垂足分別為。，H

①當(dāng)點P與點”重合時，MH=MB,

71

NCPM=一；

4

②當(dāng)點P在8H的延長線上時，設(shè)NCPH=a,NMPD=0,設(shè)PB=x(x>O),

企

J?F

則tana=-----產(chǎn),tan，=―

x-y/2V2

X--------

2

也

V22

x-^2V2

x------y[2x_V2<]

tanACPM-tan(c)f-/7)=2

E2九2-3任+42x+--3V2

,V22X

1+—產(chǎn)^-=

x-42y/2

x——

2

^CZCPM<-

4

③當(dāng)點P在"8線段上時，易知NCPM<3

4

綜上所述，存在點P,使得NCPM的最大值為工，故D正確

4

13、答案：168

解析：設(shè)抽取的學(xué)生中男生人數(shù)為。，女生人數(shù)為“

/74

則一=—,JLa-b-24>解得a=96,Z?=72,

b3

則被抽取的學(xué)生人數(shù)是96+72=168.

14、答案:「相

解析：。在b方向上的投影向量為

a-bb2x(-l)+3x2.4；

---------=------—b=-b

網(wǎng)網(wǎng)75x755

所以投影向量的坐標(biāo)為\(-1,2)=

故答案為:

15>答案：2輛

解析：以A為原點，A3所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0),8(6,0)

C(6+6sin30°,-6cos30°)，即C(9,-3揚,

。(9+sin60。,-3G+273cos60°),

即。(12,-2歷，

所以40=(12,-26)，

故|AO|="2?+^2G『=2屈

所以A,。兩地距離為R輛？.

16、答案：局

解析：如圖，點P為△AED的外心，過點F作直線/,使/_L平面A8CD

又“點為RtZ\ABE的外心，過”點作fl平面AEB一

/'交/于。點，即點。為球心.

易知NFHO=45。,則0/=也，

2

在Rt△尸0。中：R=0D=y/0F2+FD2

2

4r-

所以球的體積為V=-7lRy=瓜

3

4

17、答案：(1)一二

(2)7

解析：(1)4萬=(2,1)+〃1,2)=(2+41+24)

由(上+。)±b9得(a+丸。)?。二0

即2+兄+2(1+2幾)=0

解得％=-3

5

(2)ma+nh=m(2,1)+n(l,2)=(2m+〃,/%+2n)

由ma+nb與c共線，得5(2m+〃)-3(m+2n)=0

化簡得7〃z=〃

故二=7

m

18、答案：(1)94

⑵弓

解析：(1)由頻率分布直方圖可知分?jǐn)?shù)在［85,100］內(nèi)的頻率為

(0.06+0.05+0.04)x5=0.75

故分?jǐn)?shù)在［85,100］內(nèi)的人數(shù)為100x0.75=75

所以分?jǐn)?shù)小于80分的人數(shù)為100-75-15=10

由題意可設(shè)第75百分位數(shù)為尤，xe［90,95)

r-..ix—900.2

則------=-----

50.25

解得x=94

故樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94

(2)由已知可得總樣本平均值為三=」-^+』-5

m+nm+n

32

——x90+——x85=88

2+32+3

又由

n+m

，^[10+(88—90)2]+A^[12+(88—85月

424284

=--1--

555

所以用樣本估計總體，總體的方差約為空

5

19、答案：(1)見解析

⑵8

解析：(1)證明：=點。為8。中點

AO1BD

又平面平面BC。，平面:平面3Q)=B￡>,A0u平面ABD,

平面BCD

又BCu平面8co

:.AOLBC

（2）過點E作EF//AO交BD于點、F,過點尸作FM，BC,垂足為M,連接EM

AOJ_平面BCD,EFHAO

平面BCD

又BCu平面8CO

:.EF±BC.

FMLBC,FMEF=F

.,.BC_L平面EFM

又￡Mu平面EFM

.-.BC1EM

r.二面角E-3C—。的平面角為NEMr

且N￡M/=30。

BO=OD,△OCD為正三角形

??.△88為直角三角形，ABCD=90°

.?.尸河〃。短，點尸為8。的靠近點。四等分點

33

：.FM=-CD^-x4=3

44

h

EF=FMtan3O0=3x—=73

3

AO=2EF=2百

■.AO,平面BCD

=；SB℃xAO=；xgx4x4x￥x26=8

20、答案：⑴0.75

(2)0.85

解析：(1)由條件可知。的取值為-3,-1,1,3

當(dāng)C=1時，表示的事件為該游客游覽了兩個景點，有一個景點沒有游覽

其概率為P(C=1)=0.5X0.5X0.4+0.5X0.6x0.5x2=0.4

當(dāng)C=-l時，表示的事件為該游客游覽了一個景點，有兩個景點沒有游覽

其概率為尸(C=_I)=0.5x0.5x0.4+0.5x0.5x0.4+0.5x0.5*0.6=0.35

故P(A)=P(C=1)+P(C=-1)=0.4+0.35=0.75

(2)當(dāng)C=—1時，/(x)=x-1在［1,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)。=一3時，=3在［1,+00)上單調(diào)遞增

當(dāng)C=1時，f(X)=X+(在［1,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)C=3時，/(X)=X+［在［1,+8)上不是單調(diào)遞增

P(C=3)=0.5X0.5X0.6=0.15

故P(8)=1-P(C=3)=1—0.15=0.85

21、答案：(1)見解析

(2)存在，理由見解析

解析：(1)證明：連接AC交8。于點。，連接OE

■四邊形ABC。是正方形，

.?.點。是AC的中點

又點E是出的中點，

OE//PC

OEu平面BOE,PC.平面BDE

PCH平面BDE

(2)存在，理由如下：

過點A作AE_LPC,垂足為點憶由(1)可知。石〃PC

AFLOE

PAJ_平面ABC。，89u平面ABC。

PALBD

四邊形ABC。為正方形

BD1AC

又巳4匚平面4。尸，ACu平面ACP,PAAC=A

30,平面ACP

又，/Fu平面ACP

BD±AF

又BDu平面BOE,OEu平面BOE,BDOE=O,

AFL平面BDE

AP^Plf-Ab1=26,AC=2叵,PC7Ap'AC?=2石

APxAC2A/3X2^2x/30

在RtAPAC中，由等面積法可得AF

265

/.PF=RAP2-AF?=

.??存在點F,使得AE_L平面BOE,PF=W~

13

22、答案：(1)—

3

(2)2>/3-3

解析：(1)由已知gsinC+cosC=a”,b=c=2

c

根據(jù)正