第15章 波動(dòng)教材

波動(dòng)第十五章石子落在水面產(chǎn)生水波比較常見(jiàn)的機(jī)械波-水波當(dāng)你向池塘扔一塊石子，將看到形成的水波以圓圈的形式從振源開(kāi)始擴(kuò)散。波動(dòng)推動(dòng)著水，從石子擊打水面的地方向外擴(kuò)散；因此運(yùn)動(dòng)著的水?dāng)y帶著能量向外擴(kuò)散。波僅僅使水發(fā)生上下運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生從中心向外的能量傳遞波僅僅使水發(fā)生上下運(yùn)動(dòng)，但是波可以攜帶能量從石子擊打水面的地方向外傳播。哪個(gè)說(shuō)法對(duì)呢？開(kāi)篇問(wèn)題----請(qǐng)猜一猜比較常見(jiàn)的機(jī)械波-細(xì)繩上的波其他形式的波-電磁波波與振子的運(yùn)動(dòng)速度波沿著細(xì)繩傳播的速度和細(xì)繩上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相同嗎？思考：是波將海水從遠(yuǎn)海帶到了岸上嗎？波可以傳播很遠(yuǎn)的距離，但是介質(zhì)（水和細(xì)繩）本身的運(yùn)動(dòng)范圍卻非常有限，介質(zhì)僅僅是在平衡位置附近做簡(jiǎn)諧振動(dòng)?！?5-1波動(dòng)的特征脈沖向右傳播一個(gè)傳播的波包就相當(dāng)于一個(gè)擾動(dòng)振源相鄰質(zhì)元之間的結(jié)合力導(dǎo)致了波包的向前傳播隨著手(振源)的上下快速抖動(dòng)，在繩子（彈性介質(zhì)）上形成了一個(gè)單獨(dú)的脈沖。機(jī)械波產(chǎn)生的條件：

振源+彈性介質(zhì)如果振源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且介質(zhì)具有良好彈性，那么波隨時(shí)間和空間的演變都具有正弦的形式。空間上：如果在某一時(shí)刻給波動(dòng)拍一張照片，波隨著位置的變化將具有正弦或余弦的形式。時(shí)間上：如果觀察介質(zhì)中的某一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其作某一方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。正弦波描述正弦波的物理量波形中的最高點(diǎn)叫做波峰(crest)，最低點(diǎn)叫做波谷(Trough)振幅是A：表示波峰的高度/波谷的深度兩個(gè)相鄰波峰間的距離叫做波長(zhǎng)，用希臘字母λ（lambda）表示。波長(zhǎng)等于任意兩相鄰等效點(diǎn)間的距離。頻率f：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一點(diǎn)的波峰/完整周期的數(shù)目周期T：兩個(gè)相鄰的波峰通過(guò)空間同一點(diǎn)所需要的時(shí)間波速v：波峰（或者波形上任意一點(diǎn)）向前傳播的速度。波在一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi)，向前傳播的距離是一個(gè)波長(zhǎng)λ｝例如，波長(zhǎng)5m，頻率3Hz的波，由于每秒有三個(gè)波峰通過(guò)某一點(diǎn)，而波峰與波峰之間的距離是5m，因此，第一個(gè)波峰在1s的時(shí)間內(nèi)將向前傳播15m的距離，波形中的其他任意一點(diǎn)也是如此。所以，波速是15m/s。思考題：假設(shè)水波相鄰的兩個(gè)波峰穿過(guò)碼頭的末端的時(shí)間間隔是0.5s，那么（a）頻率是0.5Hz；（b）波速是0.5m/s；（c）波長(zhǎng)是0.5m；（d）周期是0.5s§15-2波的種類(lèi)：橫波與縱波（a）橫波：波沿著繩子從左向右傳播，繩子上的質(zhì)點(diǎn)在垂直于波的傳播方向上下振蕩（b）縱波：介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向是一致的

注意：在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、氣體(因無(wú)剪切效應(yīng))中只能傳播縱波。振動(dòng)方向傳播方向波谷波峰波密波疏橫波和縱波橫波：縱波：縱波的特征縱波具有波長(zhǎng)、頻率和波速的概念。波長(zhǎng)是兩個(gè)相鄰的波密（或兩個(gè)相鄰的波疏）之間的距離；頻率是每秒波疏/波密穿過(guò)固定點(diǎn)的數(shù)目波速是每個(gè)波疏/波密向前移動(dòng)的速度，大小等于波長(zhǎng)和頻率的乘積，

橫波的速度波的速度取決于波傳播過(guò)程中的介質(zhì)的特性。如：被拉伸的細(xì)繩中橫波的波速，其大小依賴(lài)于細(xì)繩上的張力對(duì)于小振幅的波，波速：

以及細(xì)繩單位長(zhǎng)度的質(zhì)量（希臘字母mu，）；如圖，一列波沿著繩子向前傳播。當(dāng)一個(gè)人的手上下抖動(dòng)繩子，抖動(dòng)的頻率是2.0Hz；這時(shí)波以4.0m/s的速度向右傳播。如果手抖動(dòng)繩子的頻率由2.0Hz增加到3.0Hz，那么此時(shí)的波速是（a）1.0m/s，（b）2.0m/s，（c）4.0m/s（d）8.0m/s，（e）16.0m/s例題一根長(zhǎng)80.0m直徑2.10mm的銅導(dǎo)線(xiàn)，系在兩電線(xiàn)桿之間。一只小鳥(niǎo)落在銅導(dǎo)線(xiàn)的中央（取t=0時(shí)刻），并同時(shí)沿著銅導(dǎo)線(xiàn)向兩電線(xiàn)桿方向發(fā)送一個(gè)小的波脈沖，脈沖波在電線(xiàn)桿處發(fā)生反射后又回到小鳥(niǎo)落點(diǎn)的時(shí)刻t=0.750s.試求銅導(dǎo)線(xiàn)上張力的大小。解題思路：從公式15-2可以得到，張力速度v等于距離除以時(shí)間。銅導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量可以由銅導(dǎo)線(xiàn)的密度和尺寸來(lái)計(jì)算解：波包的傳播速度v=（80.0m/0.750s）=107m/s于是張力:縱波的波速縱波的波速和繩子上的橫波波速（公式15-2）有相似的形式，E表示材料的彈性模量是材料的密度B表示材料的體彈性模量是液體或氣體的密度例題：回聲定位是很多動(dòng)物所使用的一種感知世界的能力，比如蝙蝠、鋸齒鯨、海豚等。這些動(dòng)物發(fā)射一個(gè)聲波脈沖（縱波），這個(gè)聲波脈沖被周?chē)矬w反射以后，又再次被動(dòng)物接收、感知?；芈暥ㄎ坏穆暡l率是100,000Hz.（a）試估算海洋動(dòng)物回聲定位聲波的波長(zhǎng)；（b）如果障礙物距離海洋動(dòng)物100m，試問(wèn)，海洋動(dòng)物發(fā)射聲波以后多久能夠接收到被障礙物反射的聲波？解題思路：利用公式15-4，表12-1和表13-1，我們能夠計(jì)算縱波（聲波）在海水中的速度。波長(zhǎng)解：（a）縱波在海水（海水的密度比純凈水稍大）中的波速可以得到：（b）聲波脈沖在動(dòng)物和障礙物之間來(lái)回所需要的時(shí)間是：其他的波-地震波當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生的時(shí)候，可以產(chǎn)生橫波（S波）和縱波（P波）其他的波——海浪水波是表面波的一個(gè)例子；表面波是橫波與縱波的組合波動(dòng)。波浪如何崩塌。綠色箭頭表示局部水分子團(tuán)的運(yùn)動(dòng)速度。§15-3波的能量波動(dòng)可以將能量從一個(gè)地方傳遞到另一個(gè)地方。對(duì)于頻率為f的正弦波，當(dāng)波通過(guò)介質(zhì)中的某個(gè)質(zhì)元時(shí)，質(zhì)元將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如果假設(shè)粒子簡(jiǎn)諧振動(dòng)的最大位移（振幅）為A,每個(gè)粒子的能量可以表示成:對(duì)于一個(gè)在彈性介質(zhì)中傳播的三維波，質(zhì)量代入粒子的能量公式可以得到：波的能量和振幅的平方成正比，和頻率的平方成正比。能量傳播的平均能流P：波的強(qiáng)度I定義：垂直于波的傳播方向上單位面積能流的大小。如果介質(zhì)是各向同性的，隨著球面波向外傳播，波的能量將分布在更大的面積上。于是波的強(qiáng)度將變成：如果假設(shè)波的能流是常數(shù)，那么波的強(qiáng)度I與其到振源的距離r的平方成反比：如果考慮到振源距離分別是r1和r2的兩個(gè)點(diǎn)球面波的特征當(dāng)波傳播的距離增加一倍時(shí)，波的強(qiáng)度將減小到原來(lái)的四分之一振幅A隨著r的增大而減小例題15-4

地震強(qiáng)度地震波穿越地殼在距離振源100km的地方被探測(cè)到的地震波強(qiáng)度是試求：距離振源400km的地方探測(cè)到的地震波強(qiáng)度是多少？解題思路：首先假設(shè)地震波是球面波，因此地震波的輻射強(qiáng)度隨著到振源距離的平方

成反比。解：400km是100km距離的4倍，因此其地震波的輻射強(qiáng)度是100km地點(diǎn)輻射強(qiáng)度的§15-4波函數(shù)讓我們來(lái)考察沿著x軸傳播的一維正弦波，波的傳播方向上的x點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移用D(x)表示，其波長(zhǎng)是λ頻率是f；A表示波的振幅（即：振動(dòng)的最大位移）假設(shè)波以速度v向右傳播，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間t之后，波的每一部分都向前移動(dòng)了vt的距離，如圖所示：考慮t=0時(shí)刻的任意一點(diǎn)，如波峰位置:其位置坐標(biāo)x，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后，波峰向前運(yùn)動(dòng)了vt的距離。新的波形還是正弦波，為了描述波形中同一點(diǎn)的振動(dòng)，將（x-vt）代換公式中的x,即可得到：上式代表沿著x軸向右（x軸正方向）傳播的正弦波的數(shù)學(xué)表達(dá)式——波函數(shù)根據(jù)可以將上式寫(xiě)成如下的形式：波函數(shù)給出了t時(shí)刻波的傳播方向上，坐標(biāo)為x的任意一點(diǎn)偏離平衡位置的位移其中周期

可化簡(jiǎn)為：其中是角頻率，波數(shù)：這幾種表達(dá)形式是等價(jià)在的，公式中的表示相位。

波速v通常叫做相速度，因?yàn)樗硎玖瞬ǖ南辔粋鞑サ目炻??？梢员硎緸椋簩?duì)于沿著x軸向左（x軸負(fù)方向）傳播的波t=0時(shí)，x=0時(shí)，正弦的角度通常包含一個(gè)初相角于是波動(dòng)方程可化為——振動(dòng)方程波與振動(dòng)的關(guān)系一、波函數(shù)數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系.二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波.xy

平面簡(jiǎn)諧波傳播時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同一頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在任一時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)相位一般不同，它們的位移也不相同。據(jù)波陣面的定義可知，任一時(shí)刻在同一波陣面上的各點(diǎn)有相同的相位，它們離開(kāi)各自的平衡位置有相同的位移。typO點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移為：

波動(dòng)方程：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系.P處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移為：

因此，波線(xiàn)上任一點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿x軸正方向前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。

波函數(shù)沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)什么樣?沿x軸正方向傳播沿x軸負(fù)方向傳播P點(diǎn)落后o點(diǎn)P點(diǎn)超前o點(diǎn)時(shí)間時(shí)間波函數(shù)為：

波函數(shù)其它形式角波數(shù)

利用關(guān)系式，得和波動(dòng)表式的意義：

上式代表x1處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率w作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。即x

一定：令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移y

僅是時(shí)間t

的函數(shù)。即

以y為縱坐標(biāo)、x為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線(xiàn)，它是t1時(shí)刻波線(xiàn)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線(xiàn)(波形圖)。t一定:令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移y

僅是x

的函數(shù)。沿波線(xiàn)方向，任意兩點(diǎn)x1、x2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位差為：x、t都變化:實(shí)線(xiàn)：t1時(shí)刻波形；虛線(xiàn)：t2時(shí)刻波形當(dāng)t=t1時(shí)，當(dāng)t=t1+Δt時(shí)，

在t1和t1+Δt時(shí)刻，對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)位置用x1和x2表示，則

令，得

在Δt時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形向波的傳播方向移動(dòng)了，波速u(mài)是整個(gè)波形向前傳播的速度。

沿x

軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式O點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程：y

xoP點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：例題頻率為的平面余弦波沿細(xì)長(zhǎng)的金屬棒傳播，波速為如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為試求：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）波函數(shù)；（3）離原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4）離原點(diǎn)20cm和30cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；（5）在原點(diǎn)振動(dòng)0.0021s時(shí)的波形；解：由題意波長(zhǎng)周期（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（2）波函數(shù)（3）距原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（4）兩點(diǎn)間距離相位差（5）時(shí)的波形例題

一橫波沿一弦線(xiàn)向右傳播。設(shè)已知t=0時(shí)的波形曲線(xiàn)如下圖中的虛線(xiàn)所示，波速u(mài)=12m/s。求(1)振幅；(2)波長(zhǎng)；(3)波的周期；(4)弦上任一質(zhì)點(diǎn)的最大速率；(5)圖中a、b兩點(diǎn)的相位差；(6)3T/4時(shí)的波形曲線(xiàn).

t

=0解:

由波形曲線(xiàn)圖可看出：(2)

=40cm；(1)A=0.5cm；(3)波的周期

t

=0(4)質(zhì)點(diǎn)的最大速率

(5)a、b兩點(diǎn)相隔半個(gè)波長(zhǎng)，b點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)比a點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位落后

。

(7)3T/4時(shí)的波形如下圖中實(shí)線(xiàn)所示，波峰M1和M2已分別右移

而到達(dá)

和

處。

t=3T/4練習(xí)D：一列波其中x的單位是米，t的單位是秒；試求波速是多少？（a）10m/s,(b)0.10m/s,(c)40m/s,(d)0.005m/s,(e)2.5x10-4m/s例題15-5.行波，手抓住一條水平放置的彈性長(zhǎng)細(xì)繩的左端，手上下移動(dòng)的頻率f=250Hz，幅度是2.6cm；繩子上的拉力140N，線(xiàn)密度，當(dāng)t=0時(shí)，繩子的末端有一個(gè)向上的位移，1.6cm，繩子末端此時(shí)正在向下運(yùn)動(dòng)；試求：（a）波長(zhǎng)（b）行波的方程。解：（a）波的速度：（b）在繩子的最左端，令x=0，在t=0時(shí)刻，波的相位并不等于零，向右傳播的行波表達(dá)式的一般形式是：在t=0，x=0時(shí)D=1.6cm；于是有：因此由于于是有：化簡(jiǎn)得到：§15-6波的疊加原理疊加原理：當(dāng)兩列或更多列的波同時(shí)通過(guò)空間中的同一區(qū)域時(shí)，質(zhì)點(diǎn)合振動(dòng)是它們分振動(dòng)的疊加。注意：對(duì)于機(jī)械波而言，當(dāng)其位移較小，且位移與介質(zhì)恢復(fù)力之間滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系時(shí)疊加原理成立。而如果機(jī)械波的振幅很大，甚至超過(guò)介質(zhì)的彈性范圍，疊加原理將不再成立。大多數(shù)情況下，我們所研究的系統(tǒng)都是滿(mǎn)足疊加原理的。比如：兩個(gè)石頭落在水面的不同點(diǎn)形成的水波（二維波），可以不受影響地穿過(guò)彼此而向外傳播。右圖中彈性細(xì)繩上有三列正弦波，分別具有不同的振幅和頻率。某一時(shí)刻，三列波相遇，空間位置是x的一點(diǎn)上，合成波的振動(dòng)是三個(gè)分振動(dòng)在此位置的疊加，其位移為三個(gè)分振動(dòng)位移的代數(shù)和。這一合成波不再是簡(jiǎn)單的正弦波。合成波可以看成是由許多振幅不同、波長(zhǎng)不同、頻率不同的正弦波疊加而成一個(gè)周期為T(mén)的復(fù)雜行波可以分解為若干正弦波的線(xiàn)性疊加任意形式的波都可以看作是一系列正弦波的線(xiàn)性疊加例題15-17在t=0時(shí)刻，三列波的波函數(shù)分別是：其中A=1.0m，k=10m-1,在x=-0.40m到x=+0.40m的的范圍內(nèi)畫(huà)出三列波疊加之后得到的合成波的波形。解答：第一列波第二列波第三列波作圖：一個(gè)波脈沖沿著細(xì)繩傳播。如果細(xì)繩的另一端固定，反射的波脈沖將沿著反方向傳播（圖a）如果繩子的另一端是自由的，當(dāng)一個(gè)波脈沖沿著細(xì)繩向前傳播，并發(fā)生反射（圖b）§15-7

波的反射與傳播觀察不同并解釋如果細(xì)繩的末端是自由的，反射波脈沖的振動(dòng)方向不發(fā)生反轉(zhuǎn)，還是保持原來(lái)的振動(dòng)方向而返回。如果將繩子的末端系到一個(gè)支撐點(diǎn)上，當(dāng)波脈沖到達(dá)支撐點(diǎn)時(shí)，波脈沖對(duì)支撐點(diǎn)施加一個(gè)向上的作用力；根據(jù)牛頓第三定律：支撐點(diǎn)將對(duì)波脈沖有一個(gè)反方向（向下）的反作用力。這個(gè)力使得細(xì)繩上的波脈沖產(chǎn)生了振動(dòng)方向的反轉(zhuǎn)。當(dāng)一個(gè)波脈沖沿著繩子傳播，繩子的左端是細(xì)繩（輕繩）右端是粗繩（重繩），當(dāng)脈沖由細(xì)繩一端傳遞到與粗繩一端的連接點(diǎn)時(shí)，波脈沖的一部分發(fā)生反射，另一部分繼續(xù)向前傳播反射波的半波損失當(dāng)波從波疏介質(zhì)傳播到波密介質(zhì)，分界面反射點(diǎn)不動(dòng)，表明入射波在反射點(diǎn)反射時(shí)有相位

的突變相當(dāng)于在波程上突變。這一現(xiàn)象稱(chēng)為半波損失。波線(xiàn)：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線(xiàn)。波線(xiàn)的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動(dòng)過(guò)程中，把振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面(簡(jiǎn)稱(chēng)波面)。波前：在任何時(shí)刻，波面有無(wú)數(shù)多個(gè)，最前方的波面即是波前。波前只有一個(gè)。幾個(gè)概念平面波：波面為平面球面波：波面為球面波面波線(xiàn)波線(xiàn)波面平面波球面波波線(xiàn)波陣面波陣面波線(xiàn)1、在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，波線(xiàn)和波陣面垂直。注：2、在遠(yuǎn)離波源的球面波波面上的任何一個(gè)小部份，都可視為平面波。如果滿(mǎn)足一定的條件將有可能發(fā)生干涉。兩列脈沖波相向而行，相遇區(qū)域發(fā)生疊加?！?5-8波的干涉a）水波的干涉。b）一個(gè)波峰（波谷）和另一個(gè)波峰（波谷）相遇將產(chǎn)生干涉加強(qiáng)。而當(dāng)一個(gè)波峰（波谷）和另一個(gè)波谷（波峰）相遇時(shí)，則產(chǎn)生干涉相消。兩列波同向傳播相干條件：振動(dòng)方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定

兩個(gè)相干波波源S1和

S2的振動(dòng)方程分別為：S1和

S2單獨(dú)存在時(shí),在P點(diǎn)引起的振動(dòng)的方程為:P

點(diǎn)的合方程為:振幅A和相位f

0（合振幅最大）（合振幅最?。┊?dāng)

為其他值時(shí)，合振幅介于若f10=f20，上述條件簡(jiǎn)化為：

（合振幅最大）（合振幅最?。┖椭g波程差a中的干涉加強(qiáng)，是由于兩列分振動(dòng)的相位相同而產(chǎn)生的。b中的干涉相消，是由于一個(gè)分振動(dòng)波峰和另一個(gè)分振動(dòng)的波谷相遇造成的兩列水波的相位差通常介于（圖a和圖b）兩種情況之間；這時(shí)將會(huì)發(fā)生圖c部分干涉減弱的情況§15-9波的共振駐波

駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線(xiàn)上沿相反方向傳播時(shí)疊加而成的。uAl正向行波uAl反向行波繩子上有干涉相消的一些點(diǎn)，繩子上的這些點(diǎn)始終保持靜止——波節(jié)。繩子上也有一些干涉加強(qiáng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)始終以最大的振幅振動(dòng)——波腹。兩點(diǎn)之間產(chǎn)生駐波的最低振動(dòng)頻率如圖a所示。而圖b和圖c所示的駐波，表示的是兩倍和三倍最低頻率的駐波。除此之外，繩子也可以出現(xiàn)四個(gè)、五個(gè)...波腹，即以四倍、五倍...的最低頻率振動(dòng)。它們的頻率、波長(zhǎng)之間存在倍數(shù)的關(guān)系，故稱(chēng)基頻與倍頻。OACEFGHBD波節(jié)OBDFH波腹ACEG駐波的形成過(guò)程：考慮一條兩端固定的細(xì)繩，具有某頻率的波將沿著繩子的兩個(gè)方向傳播，然后在繩子的末端反射，反射以后又沿著相反的方向傳播。二階諧頻基頻通常也稱(chēng)為“一階諧頻”三階諧頻依次類(lèi)推下標(biāo)n表示諧頻的階數(shù)，n=1表示基頻；n=2表示二階諧頻從中可以解出：f是每種振動(dòng)模式的頻率，是基頻；每一個(gè)共振頻率都是基頻的整數(shù)倍。例題15-8琴弦

一根琴弦長(zhǎng)1.10m，質(zhì)量是9.00g。（a）如果要產(chǎn)生一個(gè)基頻是131Hz的振動(dòng)，所需琴弦上的張力是多大？（b）前四階諧頻分別是多少？解：（a）基頻的波長(zhǎng)，琴弦上的波速｛得到：（b）二、三、四階諧頻分別是262Hz，393Hz和524Hz.駐波的數(shù)學(xué)表示：駐波可以看作是兩列沿著相反方向傳播的波的疊加駐波的合振動(dòng)表達(dá)式可以寫(xiě)成：根據(jù)和差化積公式上式化為：由于繩子兩端固定，因此當(dāng)x=0,x=l處

D(x,t)必須等于零第一個(gè)條件（當(dāng)x=0時(shí)，D=0，自然滿(mǎn)