第9章 (組合變形-6wang)

第9章組合變形三種基本變形桿件的拉壓：桿件的扭轉(zhuǎn)：梁的彎曲：FFFFγTT縱線軸線φwAByxppCCθθeoyzfcFφxxFqolxxzyeFylaABCzF拉、彎彎、彎壓彎扭、彎§9-1概述由兩種或兩種以上基本變形的組合

——組合變形。本章要討論的內(nèi)容（常見的組合變形）：彎、彎組合（斜彎曲）拉（壓）彎組合偏心壓縮（拉伸）彎扭組合研究方法：利用簡單（基本）變形的結(jié)果進(jìn)行疊加

——疊加原理例題1：懸臂梁：所受外力過彎曲中心但與形心主慣性平面不平行。研究橫截面上的應(yīng)力及梁的變形?！?-2斜彎曲xeoyzfcFφxA(y，z)xeoyzfcFφxFzFy研究方法：將F分解成作用于形心主慣性平面內(nèi)的兩個(gè)力Fy、Fz。Fy、Fz單獨(dú)作用下都將發(fā)生平面彎曲。在兩個(gè)互相垂直的形心主觀性平面內(nèi)的平面彎曲變形的組合——斜彎曲或雙向彎曲。φMyz一、正應(yīng)力計(jì)算A(y，z)xeoyzfcFφxFzFyFy=FcosφFz=FsinφMz

=Fy（l-x）=F（l-x）cosφ=McosφMy=Fz（l-x）=F（l-x）sinφ=MsinφMyMz任意橫截面上的彎矩——橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式。A(y，z)xeoyzfcFφxyzA（y，z）MyMzMz

=McosφMy=Msinφyzyz+yz中性軸=yzA（y，z）MyMzA(y，z)xeoyzfcFφxMzMyMz+My二、中性軸的位置和最大正應(yīng)力中性軸上任一點(diǎn)（y0，z0）應(yīng)滿足：——中性軸方程（過截面形心的直線）.yz中性軸（y0，z0）yzαφdb中性軸F設(shè)中性軸與水平對稱軸z的夾角為α，則：注：①當(dāng)Iy≠Iz

時(shí)，則α≠φ，中性軸與外力作用線不垂直，各橫截面的中性軸互相平行。②當(dāng)Iy

=Iz

時(shí)，則α=φ。與平面彎曲結(jié)果一致。如何確定橫截面上的最大正應(yīng)力？yzyzyz中性軸=最大拉最大壓多邊形截面，最大正應(yīng)力必出現(xiàn)在角點(diǎn)處。對橢圓形截面，按作圖法確定最大正應(yīng)力的點(diǎn)。對有凸角的截面，最大正應(yīng)力必出現(xiàn)在角點(diǎn)處。強(qiáng)度條件為：zyD1D2中性軸切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般不考慮。三、變形計(jì)算自由端截面的形心c

在xy

平面和xz

平面內(nèi)的撓度分別為：設(shè)總撓度與y軸成β角zyα中性軸φFβwcwzwyA(y，z)xeoyzfcFφx撓度與中性軸垂直。當(dāng)Iz≠Iy時(shí)，wc

與F作用方向不重合，但垂直于中性軸，由于各截面的中性軸平行，故軸線彎曲后（撓曲線）必是一條平面曲線，但其所在平面與外力不平行（斜彎曲的特例）。當(dāng)Iz=Iy時(shí)，wc與F方向重合（平面彎曲）。A(y，z)xeoyzfcFφxzyα中性軸βφFwcwzwy討論題（第二個(gè)例題）：qF研究方法與上題相同，但變形有何不同？變形有何特點(diǎn)？例題2斜彎曲（雙向彎曲）§9-3拉伸（壓縮）與彎曲的組合當(dāng)桿受軸向力和橫向力共同作用時(shí)，桿將產(chǎn)生拉伸（壓縮）和彎曲組合變形。FqxFqolA（y，z）x在F

作用下，σ′=FN/A=F/A在q

作用下，σ″=-M（x）y

/Izx

截面上A（y，z）的正應(yīng)力為：σ=σ′+σ″=F/A-M（x）y

/IzyzA（y，z）M(x)xFqolA（y，z）xσ=F/A-M（x）y

/Iz=F/A±

Mmax

/Wzσmaxσmin（a）（b）（c）（d）（e）yzA（y，z）危險(xiǎn)截面為固定端截面。危險(xiǎn)點(diǎn)為截面上、下邊緣處各點(diǎn)。強(qiáng)度條件為：=F/A±

Mmax

/Wzσmaxσminyz最大正應(yīng)力處xFqolA（y，z）x例：圖示托架，F(xiàn)=45kN，AC為工字鋼，[σ]=160MPa，試選其型號(hào)。ADBCF30°3m1mBCAFFByFBxFAyFAx解:(1)

求AC所受反力：FAy=15kN，F(xiàn)By=60kN，F(xiàn)Ax=FBx=104kN(2)

作AC內(nèi)力圖104FN

(kN)M

(kNm)45(3)

設(shè)計(jì)截面作業(yè)9-39-59-6xzyeA(yF,zF)FxFmzmy1、將F向C簡化FN=F，My=F·zF，Mz=F·yF

任一橫截面上的內(nèi)力都相同，且沒有剪力。當(dāng)桿受到與其軸線平行但不與軸線重合的外力作用時(shí)，桿將產(chǎn)生偏心壓縮（拉伸）。my=F·zF

mz=F·yF

FNMyMzyzx§9-4偏心壓縮（拉伸）2、橫截面上的正應(yīng)力yzOFN=F，My=F·zF，Mz=F·yFFNMyMzyz(y,z)慣性半徑y(tǒng)zO3、中性軸位置——中性軸方程yzO中性軸yzayaz(y0,z0)(yF,zF)4、強(qiáng)度計(jì)算σtmax

≤[σt]σcmax

≤[σc]yzD1D2azay中性軸yzayazD2D1yzOD1D2.例一端固定并有切槽的桿。試求最大的正應(yīng)力。CAzy解：梁發(fā)生拉伸彎曲組合變形。顯然，切槽處的橫截面為危險(xiǎn)截面。F向該截面形心C

處簡化：FN

=F=10kNMz

=10×103×5×10-2=500NmMy=10×103×2.5×10-2=250NmA點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)。5cm10cm10cmF=10KNAMzMy§9-5截面核心zyOay1az13③2②①1使偏心壓縮（拉伸）桿橫截面上只產(chǎn)生壓（拉）應(yīng)力的外力作用區(qū)域，這個(gè)區(qū)域稱為截面核心。中性軸方程zyO123①②③ay1az1注：截面周邊可以是凸的、凹的、空心的。但截面核心的形狀一定是凸的、實(shí)心的。截面核心常見截面的截面核心：1、矩形截面截面的對稱軸y、z就是形心主軸。以AB為中性軸①，在y、z軸上的截距分別為：同理，求得中性軸②與BC重合時(shí)，②③④zyhbABCD2413①zyhb1234①②③④ABCD中性軸③與CD重合時(shí)，中性軸④與DA重合時(shí)，B點(diǎn)是中性軸①、②的公共點(diǎn)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入中性軸方程中：∴外力作用點(diǎn)由1沿截面核心邊界移到2點(diǎn)時(shí)，（yF，zF）應(yīng)滿足以上方程，顯然這是一個(gè)直線方程。zyhb1234①②③④ABCD當(dāng)軸向力作用在矩形截面對稱軸上，且在“三分點(diǎn)”以內(nèi)時(shí)，截面上只產(chǎn)生一種應(yīng)力狀態(tài)。如砼的抗壓性比抗拉性好的多，壓力盡可能作用在截面核心內(nèi)。2、圓形截面zd1①AOy圓形截面關(guān)于圓心對稱，所以截面核心的邊界也是一個(gè)圓，因此只需定核心邊界的一個(gè)點(diǎn)。作A點(diǎn)的切線作為中性軸，它在y、z

軸上的截距為：得圓截面的核心是直徑為d/4的圓。yz組合截面的截面核心yz試確定下列截面圖形的截面核心的大致形狀。截面核心截面核心截面核心截面核心作業(yè)9-89-159-17§9-6彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合ABCPABPMx不考慮剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力ABPMxD1D2ylaABCzF（a）ABFMx=Fa（b）（c）FlMz（d）MxC1C2Aσ（e）C1C2τ（f）τσC1τσC2τσC1例題一鋼質(zhì)圓軸，直徑d=8cm，其上裝有直徑D=1m、重為5kN

的兩個(gè)皮帶輪。已知A

輪上皮帶拉力為水平方向，C

處輪上的皮帶拉力為豎直方向。設(shè)鋼的[σ]=160MPa

，試按第三強(qiáng)度理論校核該軸的強(qiáng)度。ABCD2kN5kN2kN5kN50cm50cm30cm（a）xyz解：將輪上拉力及自重向輪上簡化。如圖（b）。ABCD12kN7kN5kN1.5kNm1.5kNm12.59.14.52.1（b）(1)作內(nèi)力圖：（c）、（d）、（e）(2)由內(nèi)力圖可見：B、C兩截面為危險(xiǎn)截面。ABCD12kN7kN5kN1.5kNm1.5kNm12.59.14.52.1（b）1.5kNmMx（c）Mz1.5kNm2.25kNm（d）1.05kNm2.1k