專題06中點弦問題（設(shè)而不求與點差法）（講義）原卷版

專題06中點弦問題1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標(biāo)；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，橢圓中的中點弦解題步驟:第一步：若，是橢圓上不重合的兩點，則，第二步：兩式相減得，第三步：是直線的斜率，是線段的中點，化簡可得，此種方法為點差法。特別提醒：若是橢圓上不垂直于x軸的兩點，是的中點，為橢圓的中心，則直線與的斜率之積為定值2、同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：3、設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：題型【一】、橢圓中的中點弦問題例1、（2021·全國·高二單元測試）橢圓中，以點為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．例2、（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．例3、（2022·廣東·清遠市博愛學(xué)校高二階段練習(xí)）已知橢圓的短軸長為，焦點坐標(biāo)分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)斜率為的直線與橢圓交于?兩點，若線段的中點為，為坐標(biāo)原點，且直線的斜率存在，試判斷與的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由.例4、（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓.(1)求過點且被點平分的弦所在直線的方程；(2)過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：上存在兩點M，N關(guān)于直線對稱，且線段MN中點的縱坐標(biāo)為，則的值是（

）A． B． C． D．22．（2022·四川省資中縣球溪高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標(biāo)為，則___________.3．（2022·全國·高二）已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點．若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023上·河北石家莊·高二石家莊市第四中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，短軸長為2．(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分．求此弦所在的直線方程．題型【二】、雙曲線中的中點弦問題例5、（2022·廣東·普寧市華美實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）過點作斜率為的直線與雙曲線相交于，兩點，若是線段的中點，則雙曲線的離心率為___________.例6、（2022上·湖北孝感·高二?？计谀┮阎p曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（

）A． B． C． D．例7、（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為．（1）求雙曲線的方程．（2）過點是否存在直線，使直線與雙曲線交于，兩點，且點是線段的中點？若直線存在，請求直線的方程：若不存在，說明理由．例8、（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．1．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023上·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）已知直線過雙曲線的左焦點，且與的左?右兩支分別交于兩點，設(shè)為坐標(biāo)原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是雙曲線：上的兩點，點是線段的中點.(1)求直線的方程；(2)若線段的垂直平分線與相交于，兩點，證明：，，，四點共圓.4．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）已知雙曲線.(1)若離心率為，求的值，的頂點坐標(biāo)、漸近線方程；(2)若，是否存在被點平分的弦?如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由．題型【三】、拋物線中的中點弦問題例9、（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，直線交于，兩點，若弦的中點的縱坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．例10、（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）已知為拋物線的焦點，直線與交于，兩點，弦中點的橫坐標(biāo)為4，，則（

）A．的斜率為1 B．在軸上的截距為C．弦中點的縱坐標(biāo)為 D．例11、（2022上·北京東城·高三北京二中?？茧A段練習(xí)）已知A，B是拋物線上的兩點，線段AB的中點為，則直線AB的方程為．例12、（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，已知.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程.1．（2022上·浙江·高二校聯(lián)考期中）（多選題）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點，下列說法正確的是（

）A．為定值B．線段的中點在一條定直線上C．為定值（、分別為直線、的斜率）D．為定值（為拋物線的焦點）2．（2021上·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谀┤魭佄锞€的弦被點平分，則此弦所在直線的斜率為．3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），過線段的中點作軸的垂線，交拋物線于點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，為坐標(biāo)原點