2024屆高考物理第一輪復(fù)習(xí)重難點練習(xí)：第一章 強化二　追及相遇問題

專題強化二追及相遇問題

【目標要求】1.掌握處理追及相遇問題的方法和技巧2會在圖像中分析追及相遇問題.3.熟練

運用運動學(xué)公式結(jié)合運動學(xué)圖像解決追及相遇的綜合問題.

題型一追及相遇問題

追及相遇問題的實質(zhì)就是分析兩物體在相同時間內(nèi)能否到達相同的空間位置.追及相遇問題

的基本物理模型：以甲追乙為例.

1.二者距離變化與速度大小的關(guān)系

(1)無論。中增大、減小或不變，只要。，陣。乙，甲、乙的距離就不斷增大.

(2)若。甲=。乙,甲、乙的距離保持不變.

(3)無論。邛增大、減小或不變，只要。單>。乙，甲、乙的距離就不斷減小.

2.分析思路

可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關(guān)系”.

(1)一個臨界條件：速度相等.它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，

也是分析、判斷問題的切入點；

(2)兩個等量關(guān)系：時間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系.通過畫草圖找出兩物體的位移關(guān)系是解題

的突破口.

3.常用分析方法

(1)物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關(guān)鍵，認真審題，挖掘題目中

的隱含條件，建立物體運動關(guān)系的情境圖.

(2)二次函數(shù)法：設(shè)運動時間為根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于二者之間的距離At與時間r的

二次函數(shù)關(guān)系，Ax=O時，表示兩者相遇.

①若△>(),即有兩個解，說明可以相遇兩次；

②若A=0,一個解，說明剛好追上或相遇；

③若△<(),無解，說明追不上或不能相遇.

當(dāng)'=一昱時，函數(shù)有極值，代表兩者距離的最大或最小值.

(3)圖像法：在同一坐標系中畫出兩物體的運動圖像.位移一時間圖像的交點表示相遇，分析

速度一時間圖像時，應(yīng)抓住速度相等時的“面積”關(guān)系找位移關(guān)系.

4.常見追及情景

⑴速度小者追速度大者：當(dāng)二者速度相等時，二者距離最大.

⑵速度大者追速度小者（避碰問題）：二者速度相等是判斷是否追上的臨界條件，若此時追不

上，二者之間有最小值.

物體8追趕物體A：開始時，兩個物體相距沏，當(dāng)%=%時，若油>以+&，則能追上；若

XB=XA+XO,則恰好追上；若X8<XA+XO，則不能追上.

特別提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停

止運動.

【例1】一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以〃=3m*的加速度開始加速行駛,

恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛過，從后邊超過汽車.則汽車從路口啟動后，在

追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時兩車的距離是多少？

答案2s6m

解析解法一（分析法）：汽車與自行車的速度相等時相距最遠，設(shè)此時經(jīng)過的時間為f,兩車

間的距離為Ax,則有v=at

v1

所以f=Z=2s,Ax="-/af0=6m.

解法二（二次函數(shù)法）：設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過時間t兩車相距最遠，則\x=vt—^ai1

代入已知數(shù)據(jù)得Ar=6/一1

由二次函數(shù)求極值的條件知：，=2s時，Ax有最大值為6m

所以f=2s時兩車相距最遠，為6m.

解法三（圖像法）：自行車和汽車的o一，圖像如圖所示，由圖可以看出，在相遇前，人時刻兩

車速度相等，兩車相距最遠，此時的距離為陰影三角形的面積，V]=6m/s

所以有人="=§s=2s,

v\t\6X2

Ax=^-=2m=6m.

【例2】汽車A以外=4m/s的速度向右做勻速直線運動，發(fā)現(xiàn)前方相距x°=7m處，有以辦

=10m/s的速度同向運動的汽車3正開始剎車做勻減速運動直到靜止后保持不動，其剎車的

加速度大小。=2m*.從剛剎車開始計時.求：

（1）4追上3前，A、B間的最遠距離；

⑵經(jīng)過多長時間A恰好追上B.

答案(1)16m(2)8s

解析汽車A和B的運動過程如圖所示.

一()$)一一________________________________________________________________

I4a\B\V=VA

I:一()X)一一(斗》一

-------

XB27=()

r/-Ax

yj____

⑴當(dāng)A、8兩汽車速度相等時，兩車間的距離最遠，即如一，"=辦，解得，=3s

此時汽車A的位移xA=VAt=12m

汽車B的位移6一%產(chǎn)=21m

故最遠距離AXmax=XB+XO-XA=16Hl.

(2)汽車8從開始減速直到靜止經(jīng)歷的時間

運動的位移物'=五=25m

汽車4在4時間內(nèi)運動的位移

XA'=iWi=20m

此時相距\X=XR,+xo—XAf=12m

汽車A需再運動的時間t2=~=3s

VA

故A追上B所用時間/總=力+尬=8s.

［拓展延伸］(1)若某同學(xué)應(yīng)用關(guān)系式VBt-^aP+x^VAt,解得經(jīng)過t=7s(另一解舍去)時A恰

好追上B.這個結(jié)果合理嗎？為什么？

(2)若汽車A以外=4m/s的速度向左勻速運動，其后方相距x?=7m處，有以O(shè)b=10m/s的

速度同方向運動的汽車B開始剎車做勻減速運動直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小

為“=2m/s2,則經(jīng)過多長時間兩車恰好相遇？

答案見解析

解析(1)這個結(jié)果不合理，因為汽車B運動的時間最長為r=^=5s<7s,說明汽車A追上8

時汽車B已停止運動.

2

(2)由位移時間關(guān)系公式有：VBt—^at=x0+vAt,解得八=(3—也)s,f2=(3+&)s.

【例31(2023?江西贛州市高三模擬)在贛州市南河大橋擴建工程中，雙向橋梁已完成了某一通

車方向的建設(shè)，為保持雙向車輛正常通行，臨時將其改成雙向車道.如圖所示，引橋與橋面

對接處，有兩車道合并一車道的對接口，A、8兩車相距必=4m時，B車正以g=4m/s速

度勻速行駛，A車正以vA=lm/s的速度借道超越同向行駛的B車，此時A車司機發(fā)現(xiàn)前方

距離車頭s=16m處的并道對接口，A、B兩車長度均為￡=4m,且不考慮A車變道過程的

影響.

(1)若A車司機放棄超車，且立即駛?cè)肱c8車相同的行駛車道，A車至少以多大的加速度剎車

勻減速，才能避免與8車相撞.

(2)若A車司機加速超車，A車的最大加速度為a=3m/s2,請通過計算分析A車能否實現(xiàn)安

全超車.

o

答案(1)1m/s2(2)見解析

解析(1)A車減速到與8車同速時，若恰未與B車相碰，則A車將不會與B車相碰，設(shè)經(jīng)歷

的時間為t,則4車位移為|=上手與①

B車位移XR=VBt?

XA-XB=SQ?

Q

由①②③式聯(lián)立解得t=-S

則A車與3車不相碰，剎車時的最小加速度

VA-VB7—4「9

4min=---=~~^~m/s-=gm/s。

3

(2)設(shè)A車加速/時間后車尾到達5車車頭，則so+2L=。/+5/2一0/，解得/=2s

在此時間內(nèi)，A車向前運動了用］=。/'+^atr2

計算可得XAI=20m>s=16m,說明在離并道對接口16m的距離上以3m/s2的加速度加速不

能實現(xiàn)安全超車.

題型二圖像法在追及相遇問題中的應(yīng)用

1.x-r圖像、。一，圖像中的追及相遇問題：

(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算.

(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解.

2.利用v-t圖像分析追及相遇問題：在有些追及相遇情景中可根據(jù)兩個物體的運動狀態(tài)作

出。一「圖像，再通過圖像分析計算得出結(jié)果，這樣更直觀、簡捷.

3.若為x-f圖像，注意交點的意義，圖像相交即代表兩物體相遇；若為圖像，可轉(zhuǎn)化

為v-t圖像進行分析.

考向1x-f圖像、。一r圖像中的追及相遇問題

m41(2023?山東泰安市月考)如圖所示為甲、乙兩車在平直公路上做直線運動的位移一時間

(x—r)或速度一時間(。一。圖像，力時刻兩車恰好到達同一地點.關(guān)于兩車在外?/2時間內(nèi)的運

動，下列說法正確的是()

A.若是x-f圖像，則當(dāng)甲車速度為零時，兩車的距離最大

B.若是x-f圖像，則甲、乙兩車的速度相等時，兩車間的距離最小

C.若是。一，圖像，則兩車間的距離先增大后減小

D.若是。一r圖像，則兩車間的距離不斷增大

答案D

解析若是x-r圖像，當(dāng)甲、乙兩車的速度相同時，相對速度為零，距離最遠，故A、B錯

誤；若是0—1圖像，因為圖像與橫軸所圍圖形面積表示位移，則在。?f2時間內(nèi)，兩車間的

距離不斷增大，故C錯誤，D正確.

【例5】(多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其。一，圖像如圖所示.已知兩車在f=3s

時并排行駛，貝1()

A.在r=ls時，甲車在乙車后

B.在f=0時，甲車在乙車前方7.5m處

C.兩車另一次并排行駛的時刻是f=2s

D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40m

答案BD

解析根據(jù)o-f圖像知，甲、乙兩車都沿正方向運動.r=3s時，甲、乙兩車并排行駛，此

時。甲=30m/s,。乙=25m/s,由。-f圖線與時間軸所圍“面積”表示位移知，0?3s內(nèi)甲車

位移"=卜3X30111=4501,乙車位移xJ=￡X3X(10+25)m=52.5m,故f=0時，甲、

乙兩車相距&1=》1.一苫甲=7.5m,即甲車在乙車前方7.5m處，選項B正確；0?1s內(nèi)，X/

=^X1X10m=5m,xa'=1x1X(10+15)m=12.5m,AA2=XC'~XV'=7.5m=A%i,

說明在f=ls時甲、乙兩車第一次并排行駛，選項A、C錯誤：甲、乙兩車兩次并排行駛的

位置之間的距離為x=xv—x單'=45m—5m=40in,選項D正確.

考向2利用v-t圖像分析追及相遇問題

【例6】假設(shè)高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛.甲車在前，乙車在后，速度均為

oo=30m/s.甲、乙相距刈=100m,1=0時刻甲車遭遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時

間變化關(guān)系分別如圖甲、乙所示.取運動方向為正方向.下列說法正確的是()

a/(ms-2)

5

°S3_9^

-5-----------------------

乙

A.r=3s時兩車相距最近

B.f=6s時兩車速度不相等

C.f=6s時兩車距離最近，且最近距離為10m

D.兩車在。?9s內(nèi)會相撞

答案C

解析由題給圖像畫出兩車的。一f圖像如圖所示，由圖像可知，f=6s時兩車等速，此時距

離最近，圖中陰影部分面積表示。?6s內(nèi)兩車位移之差，Ax=[1x30X3+1x30X(6-3)]m

=90m<xo=lOOm,即兩車在f=6s時距離最近，最近距離為尤o—Ax=10m,故A、B錯誤,

C正確；/=6s時，兩車相距10m,且甲車在前、乙車在后，在6?9s內(nèi)，甲車速度大于乙

車速度，兩車間距離越來越大，故在0?9s內(nèi)，甲車一直在前，兩車不會相撞，故D錯誤.

課時精練

過基礎(chǔ)落實練

1.（多選）如圖，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車。和6的位移一時間（x—f）圖

線，由圖可知（）

A.在“時刻，a車追上b車

B.在會時刻，“、b兩車運動方向相反

C.在“到。2這段時間內(nèi)，人車的速率先減小后增大

D.在八到攵這段時間內(nèi)，人車的速率一直比〃車大

答案BC

解析力時刻，〃、。兩車的位置相同，此前a車在前、Z?車在后，此后Z?車在前、a車在后，

因此是人車追上“車.由于x—f圖像的斜率表示速度的大小及方向，因此。車速度不變，做

勻速直線運動，b車先做減速運動，速度減至零后又開始反方向做加速運動.打時刻兩圖像

的斜率一正一負，兩車速度方向相反，選項A、D錯誤，B、C正確.

2.（2023?四川南充市模擬）某車型在紅綠燈停啟、無保護左轉(zhuǎn)、避讓路口車輛、禮讓行人、變

道等方面都能無干預(yù)自動駕駛.某次試乘時，甲、乙兩車同時并排出發(fā)，沿著同一平直路面

行駛，它們的速度。隨時間/變化的圖像如圖所示.則下列說法中正確的是（）

A.八?及時間內(nèi)，甲、乙兩車的加速度不可能相同

B.”?f2時間內(nèi)，甲、乙兩車間的距離始終增大

C.八?及時間內(nèi)，甲、乙兩車相遇兩次

D.“?益時間內(nèi)，甲車的平均速度大于乙車的平均速度

答案D

解析由于。一，圖像的斜率表示加速度，則由題圖可看出，圖線甲的斜率先減小后反向增大,

存在某一時刻圖線甲的斜率與圖線乙的斜率相同，故在A?，2時間內(nèi)，存在甲、乙兩車加速

度相同的時刻，A錯誤；由題圖可看出在0?h時間內(nèi)，乙的速度一直大于甲的速度，又根

據(jù)題知甲、乙兩車同時從同一位置出發(fā)，則二者距離先增大，且在八時刻乙在甲前面，人后

甲的速度大于乙的速度，則二者越來越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，則二

者的距離再增大，到會時甲在乙前面，故在“?f2時間內(nèi)，甲、乙兩車間的距離先減小后增

大，甲、乙兩車相遇一次，B、C錯誤：根據(jù)平均速度的計算公式有。="由于v-t圖像

與橫軸圍成的面積表示位移，則在?々時間內(nèi)，x,>JCc,則甲車的平均速度大于乙車的平

均速度，D正確.

3.（多選）在2017年匈牙利航海模型帆船項目世界錦標賽上，中國選手獲得遙控帆船（F5-10）

冠軍.若。、〃兩個遙控帆船從同一位置向同一方向做直線運動，它們的。一/圖像如圖所示,

則下列說法正確的是（）

A.。船啟動時，。船在其前方2m處

B.運動過程中，6船落后”船的最大距離為1.5m

C.匕船啟動3s后正好追上a船

D.b船超過a船后，兩船不會再相遇

答案BCD

解析根據(jù)。一￡圖線與時間軸包圍的面積表示位移，可知匕在r=2s時啟動，此時a的位移

為x=^X2X1m=1m,即a在人前方1m處，故A錯誤；兩船的速度相等時相距最遠，最

大距離為Ar=；X（l+3）Xlm-〈XlXlm=1.5m,故B正確；由于兩船從同一地點向同一

方向沿直線運動，當(dāng)位移相等時兩船才相遇，由題圖可知，6船啟動3s后位移電=gx（l+

3）X2m=4m,此時a的位移x“=；X（5+3）義1m=4m,即》剛好追上a,故C正確；人船

超過a船后，由于人的速度大，所以不可能再相遇，故D正確.

4.（多選）近期，一段特殊的“飆車”視頻紅遍網(wǎng)絡(luò)，視頻中，一輛和諧號動車正和一輛復(fù)興

號動車互相追趕（如圖甲）.兩車并排做直線運動，其。一/圖像如圖乙所示，1=0時，兩車車

頭剛好并排，貝W）

甲乙

A.10s末和諧號的加速度比復(fù)興號的大

B.圖乙中復(fù)興號的最大速度為78m/s

C.0到32s內(nèi)，在24s末兩車車頭相距最遠

D.兩車頭在32s末再次并排

答案BC

72_601

解析。一1圖像的斜率表示加速度，可得和諧號的加速度為〃i=-24—m/s2=gm/s?,復(fù)興

號的加速度為m/s2=^m/s2,則10s末和諧號的加速度比復(fù)興號的小，故A錯

誤；題圖乙中復(fù)興號的最大速度為。m=72m/s+〃2><（32—24）m/s=78m/s,故B正確；因f

=0時兩車車頭剛好并排，在。到24s內(nèi)和諧號的速度大于復(fù)興號的速度，兩者的距離逐漸

增大，速度相等后兩者的距離縮小，則在24s末兩車車頭相距最遠，故C正確；由o—/圖

像中圖線與f軸所圍的面積表示位移，則在0?24s兩者的最大距離為八￥=父亞|一■-m=

48m,而在24?32s內(nèi)縮小的距離為Ax'=°二72）,（32-24）m=24m<Ax,即32s末復(fù)

興號還未追上和諧號，故D錯誤.

5.（多選）（2023?福建省三明一中模擬）甲、乙兩車在平直的公路上同時從同一地點同向行駛，兩

車的速度。隨時間，的變化關(guān)系如圖所示，其中兩陰影部分的面積相等⑸=S）,則（）

A.甲、乙兩車均做直線運動

B.在0~玄時間內(nèi)，甲、乙兩車相遇兩次

C.在0?打時間內(nèi)，甲的加速度先減小后增大

D.在0?&時間內(nèi)（不包括及時刻），甲車一直在乙車前面

答案AD

解析甲、乙兩車均做直線運動，A正確；從圖像可知，在0?f2時間內(nèi)，甲、乙兩車圖線與

f軸所包圍的“面積”相等，即兩車的位移相等，所以這時刻，甲、乙兩車相遇且只相遇一

次，B錯誤：在0?介時間內(nèi)，甲車的0—f圖線斜率不斷增大，所以加速度不斷增大，C錯

誤；在0?々時間內(nèi)（不包括12時刻），甲車圖線與/軸所包圍的“面積”大于乙車圖線與/軸

所包圍的“面積”，即甲車的位移大于乙車的位移，且甲、乙兩車在平直的公路上同時從同

一地點出發(fā)，所以甲車一直在乙車前面，D正確.

用能力綜合練

6.（2023?湖南懷化市模擬）甲、乙兩輛汽車同時同地出發(fā)，沿同方向做直線運動，兩車速度的

平方V2隨位移x的變化關(guān)系圖像如圖所示，下列說法正確的是（）

A.汽車甲停止前，甲、乙兩車相距最遠時，甲車的位移為8m

B.汽車甲的加速度大小為4m*

C.汽車甲、乙在f=4s時相遇

D.汽車甲、乙在x=6m處的速度大小為3m/s

答案A

解析根據(jù)v2-v（r—2ax并根據(jù)題給圖像可推知甲、乙兩車的初速度大小分別為vof—6m/s,

uoc=o,02-X圖像的斜率的絕對值表示汽車加速度大小的2倍，所以甲、乙兩車的加速度

大小分別為。V=2m/s?,ac=1m/s2,且甲做勻減速直線運動，乙做勻加速直線運動，故B

錯誤；汽車甲停止前，甲、乙兩車相距最遠時二者速度相同，設(shè)共經(jīng)歷時間為小則adi=

Vo^—avh,解得。=2s,此時甲車的位移為x單=如甲力一甲力2=8m,故A正確；甲車總

甲1*Q

運動時間為f2=~=3s,甲停下時位移為9m,而此時乙車的位移為x乙=呼乙*=]m<9m,

所以甲、乙兩車相遇一定發(fā)生在甲車停下之后，設(shè)相遇時刻為/,則有/7匕尸=901,解得/=

3陋s,故C錯誤：汽車甲、乙在x=6m處的速度大小為v=yj2acx=1\]vov2—2a?>x=2y/3m/s,

故D錯誤.

7.（2023?浙江省模擬）甲、乙兩名運動員在泳池里訓(xùn)練，r=0時刻從泳池的兩端出發(fā)，甲、乙

的速度一時間圖像分別如圖甲、乙所示，若不計轉(zhuǎn)向的時間且持續(xù)運動，兩運動員均可視為

質(zhì)點，下列說法正確的是（）

A.泳池長50m

B.兩運動員一定不會在泳池的兩端相遇

C.從(=0時刻起經(jīng)過1min,兩運動員共相遇了3次

D.在0?30s內(nèi)，甲、乙運動員的平均速度大小之比為8：5

答案C

解析根據(jù)。一/圖線與時間軸圍成的面積表示位移，可知泳池長度￡,=1.25X20m=25m,

故A錯誤；如圖所示，由甲、乙的位移一時間圖線的交點表示相遇可知，甲、乙在f=100s

時在泳池的一端相遇，故B錯誤；在。?60s內(nèi)甲、乙相遇3次，故C正確；在0?30s內(nèi)，

甲的位移大小為x1=1.25X20m-1.25X10m=12.5m,乙的位移大小為x2=1.0X25m-

1.0X5m=20m,在0?30s內(nèi)，甲、乙運動員的平均速度大小之比為s:。2=聲-:乎=5:8,

故D錯誤.

?x/m

050100150t/s

8.(2023?廣東省華南師大附中模擬)如圖甲所示，A車原來臨時停在一水平路面上，3車在后

面勻速向4車靠近，A車司機發(fā)現(xiàn)后啟動A車，以A車司機發(fā)現(xiàn)B車為計時起點。=0),A、

B兩車的。一r圖像如圖乙所示.已知8車在第1s內(nèi)與A車的距離縮短了即=12m.

⑴求B車運動的速度辦和A車的加速度a的大小.

(2)若A、B兩車不會相撞，則A車司機發(fā)現(xiàn)B車時。=0)兩車的距離刈應(yīng)滿足什么條件？

答案(1)12m/s3m/s2(2)xo>36m

解析(1)在fi=ls時，A車剛啟動，兩車間縮短的距離為2車的位移，可得xi=vnh,解得

B車的速度大小為OB=12m/s,圖像斜率表示加速度，可得A車的加速度大小為〃=一"二，

t2-h

其中B=5S,解得4車的加速度大小為a=3m/s?.

(2)兩車的速度達到相同時，兩車的距離達到最小，對應(yīng)o—/圖像的攵=5s時刻，此時兩車

已發(fā)生的相對位移為梯形的面積，則》=士班(八+/2),代入數(shù)據(jù)解得x=36m,因此，若A、B

兩車不會相撞，則兩車的距離應(yīng)滿足條件為xo>36m.

9.(2023?山東省實驗中學(xué)月考)足球比賽中，經(jīng)常使用“邊路突破，下底傳中”的戰(zhàn)術(shù)，即攻

方隊員帶球沿邊線前進，到底線附近進行傳中，某標準足球場長105m,寬68m.攻方前鋒

在中線處將足球沿邊線向前路踢出，足球的運動可視為在地面上做初速度為12m/s的勻減速

直線運動，加速度大小為2m/s2,試求：

5m

10

—底

線

由線

68m

…

??

邊線

(1)足球從開始做勻減速運動到停下來的位移為多大；

(2)足球開始做勻減速直線運動的同時，該前鋒隊員沿邊線向前追趕足球.他的啟動過程可以

視為初速度為零、加速度為2m/sz的勻加速直線運動，他能達到的最大速度為8