山西省運城市景勝中學高三上學期10月月考數(shù)學（文）試題

景勝中學20202021年度高三年級月考（10月）數(shù)學（文）試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定義計算即可．【詳解】解：由已知，則．故選：A【點睛】本題考查交集的運算，考查對數(shù)不等式，是基礎(chǔ)題．2.如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)線的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.要將函數(shù)變成，下列方法中可行的有（）①將函數(shù)圖象上點的橫坐標壓縮一半②將函數(shù)圖象上點的橫坐標伸長一倍③將函數(shù)的圖象向下平移一個單位④將函數(shù)的圖象向上平移一個單位（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】由于的解析式有和兩種形式，可知如何變換得到以上兩種形式，即可確定選項【詳解】由，其函數(shù)還可寫成：∴(1)變成：將函數(shù)圖象上點的橫坐標壓縮一半(2)變成：將函數(shù)的圖象向上平移一個單位故選：B【點睛】本題考查了通過函數(shù)解析式判斷函數(shù)平移伸縮變換的方式，注意：自變量前有系數(shù)：a、大于1：橫向壓縮；b、小于1：橫向伸長；系數(shù)為1的自變量后加上一個正數(shù)：向左平移；減去一個正數(shù)：向右平移；函數(shù)式前有系數(shù)：a、大于1：縱向伸長；b、小于1：縱向壓縮；函數(shù)式后加上一個正數(shù)：向上平移；減去一個正數(shù)：向下平移4.1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡寫的三角符號：、、（正割），1675年，英國人奧屈特最早推出余下的簡寫三角符號：、、（余割），但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中，.若，且，則（）.A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齊次化化簡可得，進一步求得，最后根據(jù)二倍角的正切公式計算即可.【詳解】∵，∴，∴，解得或.又∵，∴，∴，則，故選：D.【點睛】本題考查弦切互換以及齊次化化簡，還考查二倍角公式的應用，著重考查對公式的記憶，屬基礎(chǔ)題5.已知角和角終邊垂直，角的終邊在第一象限，且角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求出，再根據(jù)誘導公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知得，，所以，所以由任意角的三角函數(shù)定義可知，所以.故選：B.【點睛】本題考查了任意角的三角函數(shù)定義，考查了誘導公式，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)函數(shù)（e為自然底數(shù)），則使成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)，得到，解得，再根據(jù)充分不必要條件要求滿足真包含關(guān)系，從而求得結(jié)果.【詳解】，解得：，觀察選項，只有是的真子集，又“”可以推出“”所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的判斷，在解題的過程中，要掌握利用集合間的真包含關(guān)系求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)，求得，結(jié)合角的范圍，利用平方關(guān)系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以.因，，所以，所以，故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過程中，注意時刻關(guān)注角的范圍.8.已知定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)，恒有，且當時，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的周期為，求出的值即得解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的周期為.由題得，，，所以，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的周期的判斷和應用，考查函數(shù)的奇偶性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9.已知函數(shù)，則以下結(jié)論錯誤的是（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期為C.的最大值為2 D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】利用證得為偶函數(shù)，由此判斷A選項正確.利用求得的最小正周期，由此判斷B選項正確.利用的解析式，求得的最大值，由此判斷C選項錯誤.利用三角函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷D選項正確.【詳解】由題知，①，則A選項，A選項正確.B選項，，所以的最小正周期為，B選項正確.C選項，由①知，所以選項C不正確.D選項，當時，，由解得（），令可得，所以在上單調(diào)遞增，所以D選項正確.綜上所述，不正確的選項為C.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等知識，屬于中檔題.10.已知函數(shù)，曲線在處的切線的方程為，則切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，由此可得，再根據(jù)切點即在曲線上，又在切線上，可得，可得，求出切線方程，再分別令，，求出切線在軸和軸上的截距，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由得，則，得，由得加，即，∴切線的方程為，令，得到，令，得到，所求三角形面積為.故選：B.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值可能是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】當時，，，得到，得到答案.【詳解】當時，，，函數(shù)為偶函數(shù)，故，即，即，，對比選項知C滿足.故選：C.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.12.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把不等式只有一個整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為只有一個整數(shù)解，令，根據(jù)導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為只有一個整數(shù)解，即只有一個整數(shù)解，令，則的圖象在直線的上方只有一個整數(shù)解，又由，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞增；且，作出的圖象，由圖象可知a的取值范圍為，即.故選：B【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象及應用，其中解答中把不等式的解轉(zhuǎn)化為只有一個整數(shù)解，結(jié)合導數(shù)得到函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.正弦函數(shù)在上的圖象與軸所圍成曲邊梯形的面積為______.【答案】【解析】【分析】由題意可知，，再根據(jù)定積分的運算法則求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查定積分在求不規(guī)則圖形面積上的應用，熟練掌握定積分的運算法則是解題的關(guān)鍵，考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．【答案】2【解析】【分析】將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡單題.15.在處取得極值，則______.【答案】【解析】【分析】對求導，代入，使得，變形整理得到，利用三角函數(shù)的有界性，可得，再利用倍角公式可求．【詳解】解：由已知，因為在處取得極值，，即，因，，，即，．故答案為：．【點睛】本題考查導數(shù)的運算，考察三角公式的應用，關(guān)鍵是對的整理變形，考查了學生的因式分解的能力，是一道中檔題．16.對于任意實數(shù)，當時，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，再利用導數(shù)可得到結(jié)果.【詳解】當時，恒成立等價于恒成立，等價于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因為當時，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)處理不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列的前n項和，其中．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求其通項公式；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數(shù)列的遞推公式，即可得到是等比數(shù)列及的通項公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前項和，結(jié)合的值，建立方程可求得的值．試題解析：（Ⅰ）由題意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得.【考點】數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系，等比數(shù)列的定義、通項公式及前項和.【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項法，即證明．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解．18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡得，再根據(jù)，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.試題解析：（1）由題意知，，化簡得：即，因，所以，從而，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.考點：三角恒等變換的應用；正弦定理；余弦定理.【方法點晴】本題主要考查了三角恒等變換的應用、正弦定理與余弦定理的應用，涉及到三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角形中的性質(zhì)和基本不等式的應用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學生的推理與運算能力，以及知識間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數(shù)恒等變換的公式是解答問題的關(guān)鍵.19.如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點是的中點．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）4【解析】【分析】（1）設(shè)，利用三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；（2）取的中點，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)等體積法以及利用錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則點是的中點．又因為是的中點，所以，又因為平面，平面所以平面．（2）因為四邊形是菱形，且，所以．又因為，所以三角形是正三角形．取的中點，連接，則又平面⊥平面，平面，平面平面，所以平面．即是四棱錐的一條高而所以．綜上，三棱錐的體積為4.【點睛】本題考查線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔基礎(chǔ)題.20.設(shè)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）1.【解析】【分析】（1）直接求導，由得單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）判斷的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】解：（1）定義域為，，由得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），由得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.【點晴】此題考利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值，屬于簡單題.21.函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值；（2）證明：的最小值大于.【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，利用切線的向量以及切線方程，列出方程，即可求實數(shù)的值；（2）通過兩次求導，利用導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最小值即可證明的最小值大于．【詳解】（1）對求導可得，所以（1）．由曲線在處的切線方程為可知，故．（2）證明：由（Ⅰ）知，得，又再次求導易知，所以在上單調(diào)遞增．又，由零點存在性定理可知存在，使得，即，即．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．于是，易知在上單調(diào)遞減，所以．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程以及函數(shù)的最值的求法，二次導函數(shù)的應用，考查計算能力，屬于中檔題．請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上，將所選題號對應的方框涂黑.選修44：極坐標和參數(shù)方程選講22.以直角坐標系的原點為極點，軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，），曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點，當變化時，求的最小值.【答案】（1）（2）2【解析】試題分析：（1）本問考查極坐標與直角坐標互化公式，根據(jù)可得，所以曲線C的直角坐標方程為；（2）本問考查直線參數(shù)方程標準形式下的幾何意義，即將直線參數(shù)方程的標準形式，代入到曲線C的直角坐標方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，設(shè)兩點對應的參數(shù)分別為，列出，，，于是可以求出的最小值.試題解析：（I）由由，得曲線的直角坐標方程為（II）將直線的參數(shù)方程代入，得設(shè)兩點對應的參數(shù)分別為則，，當時，的最小值為2.考點：1.極坐標方程；2.參數(shù)方程.選修45：不等式選講23.已知函數(shù)，為不等式的解集.（