中考數(shù)學二輪復習考點培優(yōu)專練專題七 與三角形有關常用幾何模型（原卷版）

專題七與三角形有關常用幾何模型一、角平分線模型例題1如圖，SKIPIF1<0ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷SKIPIF1<0BEG的形狀，并說明理由．練習題1．已知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，且SKIPIF1<0．（1）如圖1，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，SKIPIF1<0，點E在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交CA的延長線于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．2．在SKIPIF1<0中，BE，CD為SKIPIF1<0的角平分線，BE，CD交于點F．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0．①如圖1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求CE的長；②如圖2，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大?。?．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝SKIPIF1<0CD．4．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點D，過D作DE⊥BA于點E，點F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．6．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．7．已知：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，點E在SKIPIF1<0上．用等式表示線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三者之間的數(shù)量關系，并證明．8．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，延長SKIPIF1<0至點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的度數(shù)．9．在平面直角坐標系中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點C為x軸正半軸上一動點，過點A作SKIPIF1<0交y軸于點E．（1）如圖SKIPIF1<0，若點C的坐標為（3，0），試求點E的坐標；（2）如圖SKIPIF1<0，若點C在x軸正半軸上運動，且SKIPIF1<0，其它條件不變，連接DO，求證：OD平分SKIPIF1<0（3）若點C在x軸正半軸上運動，當SKIPIF1<0時，試探索線段AD、OC、DC的數(shù)量關系，并證明．10．四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．（1）如圖1，若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．（2）如圖2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．（3）如圖3，在（2）的條件下，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長度．二、一線三等角模型例題2（1）課本習題回放：“如圖①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的長”，請直接寫出此題答案：SKIPIF1<0的長為________．（2）探索證明：如圖②，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)部的射線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．（3）拓展應用：如圖③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面積為15，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）練習題1．如圖，點P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<02．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方是（

）．A．SKIPIF1<0cm2 B．SKIPIF1<0cm2 C．SKIPIF1<0cm2 D．SKIPIF1<0cm23．【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當∠BAC=90°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當0°<∠BAC<180°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關系是否變化，若不變，請證明：若變化，寫出它們的關系式；【拓展應用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點C的坐標為（-2，0），點B的坐標為（1，2），請求出點A的坐標．4．（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．5．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關系，并給予證明．6．感知：（1）數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0______．我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．應用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0；②當點P為BC中點時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當SKIPIF1<0為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：DE＝AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系（不寫證明過程）；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系（不寫證明過程）．8．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）如圖①所示，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．（2）如圖②所示，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是否成立？請說明理由．9．問題背景：（1）如圖①，已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線m經(jīng)過點A，SKIPIF1<0直線m，SKIPIF1<0直線m，垂足分別為點D，E，易證：SKIPIF1<0______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，A，E三點都在直線m上，并且有SKIPIF1<0，請求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關系，并證明．（3）實際應用：如圖③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點C的坐標為SKIPIF1<0，點A的坐標為SKIPIF1<0，請直接寫出B點的坐標．10．探究：（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．請直接寫出線段BD，DE，CE之間的數(shù)量關系是．拓展：（2）如圖（2），將探究中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．應用：（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請直接寫出△DEF的形狀是．三、手拉手模型例題3如圖，在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為鄰邊作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合時（圖1），易得SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時，請直接寫出線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的數(shù)量關系________；(2)若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時，試判斷線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；(3)若SKIPIF1<0為任意角度，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)一周（圖4），當SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，請直接寫出SKIPIF1<0的長度．練習題1．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BCSKIPIF1<0，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長線交AB'于點D，則BD的長為_____．2．已知，如圖，等腰?ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一點，且AD＝6，E為AC邊上一動點，以DE為邊向右側(cè)作等邊三角形DEF．（1）當F在AC邊上時，AF長為______；（2）連結(jié)BF，則BF的取值范圍為______．3．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．4．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．5．【理解概念】當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中有一個三角形是等腰直角三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“等腰直角線”，把這個四邊形叫做“等腰直角四邊形”，當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中一個三角形是等腰直角三角形，另一個三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“真等腰直角線”，把這個四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．(1)【鞏固新知】如圖①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3SKIPIF1<0，則四邊形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四邊形．(2)【深度理解】在圖①中，如果四邊形ABCD是真等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，對角線BD是這個四邊形的真等腰直角線，當AD=4，AB=3時，則邊BC的長是______．(3)如圖②，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，對角線BD、AD分別是這兩個四邊形的等腰直角線．求證：AC=BE．(4)【拓展提高】在圖3中，已知：四邊形ABCD是等腰直角四邊形，對角線BD是這個四邊形的等腰直角線．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一條直角邊，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的長．6．如圖，已知點P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，點E、F分別在AD、BC上運動，且∠EPF＝45°，連接EF．(1)求證：△APE∽△BFP；(2)若△PEF是等腰直角三角形，求SKIPIF1<0的值；(3)試探究線段AE、BF、EF之間滿足的等量關系，并證明你的結(jié)論．7．如圖，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，連接BD，點M、N分別是BD，BC的中點，連接MN．（1）如圖1，當頂點D在邊AC上時，請直接寫出線段BE與線段MN的數(shù)量關系是，位置關系是．（2）當△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)時，連接BE，上述結(jié)論是否依然成立，若成立，請就圖2情況給出證明；若不成立，請說明理由．（3）當AC＝8時，在△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，以D，E，M，N為頂點可以組成平行四邊形，請直接寫出AD的長．8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0_______°；（2）當SKIPIF1<0時，①如圖2，連接AD，判斷SKIPIF1<0的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足SKIPIF1<0．P為直線CF上一動點．當SKIPIF1<0的值最大時，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關系為_______，并證明．9．如圖，SKIPIF1<0為等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，M為BD的中點，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2SKIPIF1<0+2，∠ABD＝45°，求SKIPIF1<0的面積；(2)如圖2，過點M作SKIPIF1<0與AC交于點E，與BC的延長線交于點N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將SKIPIF1<0沿AM翻折得SKIPIF1<0，連接B'N，當B'N取得最小值時，直接寫出SKIPIF1<0的值．

10．【學習概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】(1)如圖1，對余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，證明你的結(jié)論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC．設SKIPIF1<0=u，點D的縱坐標為t，請在下方橫線上直接寫出u與t的函數(shù)表達，并注明t的取值范圍____________________________．四、旋轉(zhuǎn)模型例題4【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對應線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉(zhuǎn)角的關系．【問題初探】線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，其中點A與點C對應，點B與點D對應，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°．（1）如圖①，當α＝60°時，線段AB、CD所在直線夾角（銳角）為；（2）如圖②，當90°＜α＜180°時，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉(zhuǎn)角α存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角．【運用拓廣】運用所形成的結(jié)論解決問題：（3）如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝SKIPIF1<0，求AD的長．練習題1．如圖，等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0是等邊三角形；（2）將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），設直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0．①如圖，當SKIPIF1<0時，判斷SKIPIF1<0的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線時，求SKIPIF1<0的長．2．如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關系是______，位置關系是______．（2）探究證明：把SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0面積的最大值．3．在SKIPIF1<0ABC和SKIPIF1<0CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，點D在邊AC上，點E在邊BC上，如圖1將SKIPIF1<0CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°）．（1）連接AD，BE．求證：AD＝BE，AD⊥BE；（2）當旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，點A，D，E在一條直線上，連接BD，BE，若AD＝2SKIPIF1<0，CD＝1，則BD=；（3）當α＝90°時，如圖3，連接AD，BE，延長AD交BE于點F，連接CF，若DF＝1．EF＝SKIPIF1<0．則CF＝．4．如圖，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D是SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點M．（1）如圖1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；（2）如圖2，若SKIPIF1<0，點N為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（3）如圖3，若SKIPIF1<0，點D為直線SKIPIF1<0上一動點，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點M，當SKIPIF1<0為等腰三角形時，請直接寫出此時SKIPIF1<0的度數(shù)．5．綜合與實踐問題情境：一次數(shù)學課上，老師出示了課本中的一道復習題：如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．初步探究：（1）試判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關系，并說明理由；（2）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；深入探究：（3）如圖2，四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是正方形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，試判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；拓展延伸：（4）如圖3，四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0都是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，請直接寫出SKIPIF1<0的長．6．在SKIPIF1<0ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作SKIPIF1<0ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=度；（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①如圖2，當點在線段BC上移動，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；②當點在直線BC上（線段BC之外）移動，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結(jié)論．7．如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC（1）試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結(jié)論．8．如圖1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0，并用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的度數(shù)；（2）當SKIPIF1<0時，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點分別為點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖2，判斷SKIPIF1<0的形狀，并加以證明．9．（1）如圖①，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．請直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關系：__________；（2）如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線上的點，且SKIPIF1<0．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關系．10．四邊形SKIPIF1<0是由等邊SKIPIF1<0和頂角為SKIPIF1<0的等腰SKIPIF1<0排成，將一個SKIPIF1<0角頂點放在SKIPIF1<0處，將SKIPIF1<0角繞SKIPIF1<0點旋轉(zhuǎn)，該SKIPIF1<0交兩邊分別交直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交直線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點．（1）當SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在線段SKIPIF1<0上時（如圖1），請證明：SKIPIF1<0；（2）當點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0的延長線上時（如圖2），請你寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0的長為．五、相似子母圖模型例題5如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．練習題1．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB運動，速度為2cm/s，點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s，如果點P、Q兩動點同時運動，何時SKIPIF1<0QBP與SKIPIF1<0ABC相似？2．如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．（1）求證：△ACD∽△ABE；（2）若將點D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．3．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且SKIPIF1<0，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求SKIPIF1<0的值．4．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并加以證明；（2）求證：SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，⊙O的半徑為3，求OA的長．5．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于點F，且有SKIPIF1<0，過F點作SKIPIF1<0于點H．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求證：SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．6．如圖，已知矩形SKIPIF1<0的兩條對角線相交于點O，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．7．如圖：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點Р以SKIPIF1<0的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以SKIPIF1<0的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動的時間為t秒SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時，以P、Q、C為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似？（3）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與SKIPIF1<0CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．8．如圖1，四邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0．延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0．（2）當SKIPIF1<0時，①求SKIPIF1<0的長度．②如圖2，作SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．9．如果兩個相似三角形的對應邊存在2倍關系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為母子三角形，則SKIPIF1<0的值可能為（

）A．2

B．SKIPIF1<0

C．2或SKIPIF1<0（2）已知：如圖1，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為母子三角形．（3）如圖2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是中線，過射線SKIPIF1<0上點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，射線SKIPIF1<0與射線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為母子三角形．求SKIPIF1<0的值．

10．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交射線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．（1）如圖SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，求SKIPIF1<0的長．（2）如圖SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．（3）連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似時，求線段SKIPIF1<0的長．六、旋轉(zhuǎn)相似模型例題6如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點，SKIPIF1<0，點M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當Q為線段OD的中點時，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，當Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點E、F，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求EF的長．練習題1．在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，SKIPIF1<0．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．2．如圖，在正方形ABCD中，點P在對角線BD上，直線AP交CD于E，PF⊥AE交BC于點F，連接AF交BD于M．(1)判斷△APF的形狀，并說明理由；(2)連接EF，求EF:PM的值．3．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】：如圖1在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E與點A重合，易知△ACF∽△BCE．線段BE與AF有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出．（2）【拓展研究】：在（1）的條件下，將正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接BE，CE，AF．請猜想線段BE和AF的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；（3）【結(jié)論運用】：在（1）（2）的條件下，若△ABC的面積為8時，當正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B、E、F點共線時，請直接寫出線段AF的長．4．如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是有公共頂點直角三角形，SKIPIF1<0，點P為射線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點．（1）如圖1，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等腰直角三角形，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，若SKIPIF1<0，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若把SKIPIF1<0繞點A旋轉(zhuǎn)，當SKIPIF1<0時，請直接寫出SKIPIF1<0的長度5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關系并說明理由．（3）當α＝120°時，若AB＝6，BP＝SKIPIF1<0，請直接寫出點D到CP的距離．6．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點E在SKIPIF1<0的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且SKIPIF1<0．【觀察猜想】（1）如圖①，當SKIPIF1<0時，線段BD與CE的數(shù)量關系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當SKIPIF1<0時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；【拓展應用】（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0的面積．7．一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形SKIPIF1<0繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到SKIPIF1<0嗎？若能，請給出證明，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形SKIPIF1<0和菱形SKIPIF1<0，將菱形SKIPIF1<0繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小滿足怎樣的關系時，SKIPIF1<0；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如圖3），連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．試求SKIPIF1<0的值（用a，b表示）．8．數(shù)學課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學們在不同位置嘗試操作．（1）如圖1擺放，當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，得知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點互相重合放置，小三角板SKIPIF1<0繞著點SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值．（4）SKIPIF1<0不變，當SKIPIF1<0的三邊長擴大一倍后，繞點SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，請你直接寫出點SKIPIF1<0所經(jīng)過的運動路徑．9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當α＝60°時，SKIPIF1<0的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當α＝90°時，求出SKIPIF1<0的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應用：（3）如圖3，當α＝90°時，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H.若CD＝2＋SKIPIF1<0，求BD的長．10．某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上任意一點，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊作等邊SKIPIF1<0，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上任意一點，以SKIPIF1<0為腰作等腰SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，在正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上一點，以SKIPIF1<0為邊作正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的中心，連接SKIPIF1<0．若正方形SKIPIF1<0的邊長為5，SKIPIF1<0，求正方形SKIPIF1<0的邊長．七、K字型相似例題7已知正方形SKIPIF1<0的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長線交于點E、F，連接SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0．（1）如圖1，當SKIPIF1<0被對角線SKIPIF1<0平分時，求a、b的值；（2）當SKIPIF1<0是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索SKIPIF1<0繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，SKIPIF1<0的面積是否發(fā)生變化？請說明理由．練習題1．在矩形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0邊上的點SKIPIF1<0處．（1）如圖1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）如圖2，在線段SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．2．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在同一直線上時，求SKIPIF1<0的值．3．某數(shù)學興趣小組在學習了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關知識后，在等腰△ABC中，其中SKIPIF1<0，如圖1，進行了如下操作：第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于SKIPIF1<0EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關系為___；(2)①請判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．②當SKIPIF1<0時，連接DG，請直接寫出SKIPIF1<0___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當