四川省遂寧市大安中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

四川省遂寧市大安中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，a1=2d，若ak是a1與a2k+1的等比中項，則k=（）A．2 B．3 C．6 D．8參考答案：B【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式表示出ak與a2k+1，由ak是a1與a2k+1的等比中項，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)公差d不為0，化簡后得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：由a1=2d，得到ak=2d+（k﹣1）d=（k+1）d，a2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，又ak是a1與a2k+1的等比中項，所以[（k+1）d]2=2d[（2k+2）d]，化簡得：（k+1）2d2=4（k+1）d2，由d≠0，得到：（k+1）2=4（k+1），即k2﹣2k﹣3=0，k為正整數(shù)，解得：k=3，k=﹣1（舍去），則k的值為3．故選：B．2.已知角的終邊與單位圓相交于點，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點】三角函數(shù)的定義【答案解析】D解析：解：，所以選D.【思路點撥】一般知道角的終邊位置求角的三角函數(shù)值，可用定義法解答.3.一動圓與圓O：x2＋y2＝1外切，與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是（A）圓

（B）橢圓

（C）雙曲線的一支

（D）拋物線參考答案：C略4.圓柱挖去兩個全等的圓錐所得幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）A．30π B．48π C．66π D．78π參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】利用三視圖的數(shù)據(jù)直接求解幾何體的表面積即可．【解答】解：由三視圖可知幾何體的表面積為=78π．故選：D．5.下列敘述錯誤的是（

）

A．若事件發(fā)生的概率為，則

B．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件

C．兩個對立事件的概率之和為1

D．對于任意兩個事件A和B，都有參考答案：D6.已知函數(shù)f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），則（）A．當x＜0，有極大值為2﹣ B．當x＜0，有極小值為2﹣C．當x＞0，有極大值為0 D．當x＞0，有極小值為0參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．【解答】解：f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），∴f′（x）=xex﹣1﹣1，x＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，故f（x）極小值=f（1）=0，故選：D．7.設(shè)a=dx，b=dx，c=dx，則下列關(guān)系式成立的是（）A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜參考答案：C【考點】定積分；不等關(guān)系與不等式．【分析】利用微積分基本定理就看得出a=ln2，b=ln3，c=ln5．再利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案．【解答】解：∵，∴=ln2，=ln3，c==ln5．∵，，，∴，∴，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴．∴．故選C．8.若滿足，則與滿足()A.

B.為常數(shù)C.=0

D.為常數(shù)參考答案：B略9.∣x-2|≥0的解集為（

）

A．{x|－2≤x≤2}

B．{x|x＜－2或x≥2}

C．{x|x∈R且x≠2}

D．R參考答案：D略10.在等差數(shù)列中，若，則的值為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若命題p：，則是______.參考答案：

12.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3+2n，則數(shù)列{an}的通項公式為．參考答案：【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】當n=1時，直接由前n項和求首項，當n大于等于2時，由an=Sn﹣Sn﹣1求解．【解答】解：由Sn=3+2n，當n=1時，a1=S1=5．當n≥2時，．所以．故答案為．【點評】本題考查了數(shù)列的概念及簡單表示法，考查了由前n項和求通項，注意分類討論，是基礎(chǔ)題．13.已知直線與函數(shù)的圖象恰有三個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：14.不等式x(|x|-1)(x+2)<0的解集為。參考答案：（-2，-1）∪（0，1）

解析：x(|x|-1)(x+2)<0

0<x<1或-2<x<-1∴原不等式解集為（-2，-1）∪（0，1）15.設(shè)全集是實數(shù)集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是。

參考答案：16.兩圓和的公共弦所在直線方程為

；參考答案：17.若函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個零點，則的取值范圍是．參考答案：（3，6）【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；函數(shù)零點的判定定理．【分析】由題意可得，畫出可行域，如圖所示，目標函數(shù)z=2+，表示2加上點（a，b）與點M（0，4）連線的斜率．數(shù)形結(jié)合求得的范圍，可得z的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個零點，∴，即，畫出可行域，如圖所示：表示△ABC的內(nèi)部區(qū)域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目標函數(shù)z=2+，即2加上點（a，b）與點M（0，4）連線的斜率．數(shù)形結(jié)合可得，的最小值趨于KAM==1，的最大值趨于KBM==4，故z的最小值趨于2+1=3，最大值趨于2+4=6，故答案為（3，6）．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃，斜率公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）給定正數(shù)，且，設(shè)，．（１）比較的大小；（２）由（１）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并給出證明．參考答案：(1)當n＝1時，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得=a1＝，當n＝2時，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1，又S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，∴(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.猜想Sn＝(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．①當n＝1時，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時結(jié)論成立，即Sk＝.當n＝k＋1時，Sk＋1＝＝.即當n＝k＋1時結(jié)論成立．由①②知Sn＝對任意的正整數(shù)n都成立．19.已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．參考答案：(1)(2)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；在(5，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．極小值f(5)＝－ln5.無極大值．試題分析：（1）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線可得，可求出a的值；（2）根據(jù)（1）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．試題解析：（1）對求導(dǎo)得，由在點處的切線垂直于直線知，解得．（2）由（1）知，則，令，解得或．因為不在的定義域內(nèi)，故舍去．當時，，故在上為減函數(shù)；當時，，故在上為增函數(shù)．由此知函數(shù)在時取得極小值，．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值20.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間[]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】（1）由條件利用三角恒等變換求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期為=π．（2）在區(qū)間上，2x+∈[，]，故當2x+=時，f（x）取得最小值為1+×（﹣）=0，當2x+=時，f（x）取得最大值為1+×1=1+．21.已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證：．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），而，∵a＞0，x＞﹣1，∴當時，f'（x）＜0，當時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

（2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0．要證明，只須證明成立．

設(shè)，x∈（0，+∞）．

則，∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．取得到成立．

設(shè)ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．取得到成立．因此，．22.已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F（﹣，0），且右頂點為D（2，0）．設(shè)點A的坐標是（1，）．（1）求該橢圓的標準方程；（2）過原點O的直線交橢圓于點B、C，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；點到直線的距離公式；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由左焦點為，右頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．（2）當BC垂直于x軸時，BC=2，S△ABC=1；當BC不垂直于x軸時，設(shè)該直線方程為y=kx，代入橢圓方程，求得B，C的坐標，進而求得弦長|BC|，再求原點到直線的距離，