風險風險厭惡與隨機占優(yōu)

關于風險風險厭惡與隨機占優(yōu)對風險的一般認識：經(jīng)濟系統(tǒng)中狀態(tài)變量的事前不確定性對風險的厭惡引發(fā)投資人的投資組合的分散化問題以及對所需交換的資產(chǎn)的合理定價問題金融經(jīng)濟學框架的核心問題：如何分散風險如何確定風險的合理價格第二章第一節(jié)風險與風險偏好第2頁,共21頁，2024年2月25日，星期天風險厭惡、風險中性與風險偏好的數(shù)學表述

伯努利（Bernoulli）效用函數(shù)（確定值）Von-Neumann-Morgenstern預期效用函數(shù)“預期”有“期望”之義，隨機變量的數(shù)學期望例2.1。Page46第3頁,共21頁，2024年2月25日，星期天風險厭惡的數(shù)學定義如果F(x)是二項分布，則，風險厭惡——伯努利效用函數(shù)為凹函數(shù)嚴格風險厭惡——嚴格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：對任意F，有風險厭惡——效用函數(shù)為嚴格凹函數(shù)證明需要使用Jensen不等式。同樣：可以定義風險中性和風險偏好第4頁,共21頁，2024年2月25日，星期天絕對風險厭惡與風險溢價

對風險厭惡程度有大有小，絕對風險厭惡，風險溢價ρ，對風險的補償，數(shù)學定義如下Pratt(1964)定義絕對風險厭惡系數(shù)絕對風險厭惡系數(shù)越大，越厭惡風險，必需給予的溢價補償也越大第5頁,共21頁，2024年2月25日，星期天相對風險厭惡與風險溢價Pratt(1964)定義相對風險厭惡系數(shù)相對風險厭惡系數(shù)越大，所要求的單位方差的相對風險溢價補償也越高

第6頁,共21頁，2024年2月25日，星期天風險溢價和風險厭惡對投資人決策影響的實例說明

例2.2。當前財富為W=a+(W－a)今后財富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，優(yōu)化問題關于a是凹函數(shù)，一階導數(shù)＝0，（2.17）a＊是解，是W的函數(shù)，（2.17）中對W求導數(shù)，（2.18）。第7頁,共21頁，2024年2月25日，星期天隨W的變化，風險厭惡投資者的a的動態(tài)變化假設絕對風險厭惡系數(shù)不隨W增加而增加對r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）從（2.17）得（2.21）u是凹函數(shù)，得（2.21a）第8頁,共21頁，2024年2月25日，星期天最后風險厭惡的投資人投資于風險資產(chǎn)的財富隨著總財富的上升而增加

關于絕對風險厭惡系數(shù)不隨W增加而增加經(jīng)過推導可知，要求三階導數(shù)為正數(shù)度量風險厭惡在于比較不同投資人對同一風險決策的態(tài)度。在資產(chǎn)定價理論中，一般假定存在一個典型性投資人。需要處理典型投資人對不同資產(chǎn)的風險與收益的判斷，即資產(chǎn)風險的度量問題。第9頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第一章第二節(jié)隨機占優(yōu)怎樣才能認為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風險？簡化的風險比較：均值-方差效用用方差作為唯一標準不可行（期望可能越大）即使一種資產(chǎn)X預期收益等于另一資產(chǎn)Y，而X方差小于Y，風險厭惡者也不一定偏好于X

如下面的例子第10頁,共21頁，2024年2月25日，星期天E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果選擇風險厭惡效用函數(shù)第11頁,共21頁，2024年2月25日，星期天均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當包括三階矩以上為0時，均值方差效用才與真實的預期效用一致。兩端取期望（w是期望值，數(shù)值），利用第12頁,共21頁，2024年2月25日，星期天資產(chǎn)風險度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比較不同資產(chǎn)風險的分析框架比較資產(chǎn)收益的分布，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數(shù)。一階隨機占優(yōu)、二階隨機占優(yōu)以及均值不變下的分布擴展MPS假設有兩種資產(chǎn)A和B。A收益服從分布F（·），B服從G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬于區(qū)間[0，1]）。第13頁,共21頁，2024年2月25日，星期天一階隨機占優(yōu)FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定義：對任意非減的函數(shù)u：R→R，定理2.1是FSD的等價條件。注意不等號方向第14頁,共21頁，2024年2月25日，星期天FSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z第15頁,共21頁，2024年2月25日，星期天二階隨機占優(yōu)SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定義：F二階占優(yōu)于G，當且僅當且對某些X值的集合，不等號成立。符號可以證明，如果SSD成立，則，投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風險SSD的三個等價條件第16頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共21頁，2024年2月25日，星期天SSD其他特性SSD的3個等價表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念第18頁,共21頁，2024年2月25日，星期天均值不變下的分布展形MPSmeanpreservingspreads——MSP討論限定于兩種資產(chǎn)相同的預期收益圖形表示命題2-2命題2-3G是F的MPS，等價于F，SSD，G第19頁,共21頁，2024年2月