18.2.4 菱形的判定人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)分層作業(yè)(含答案)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.2.4菱形的判定同步練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列命題是真命題的是（

）A．有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形或菱形的定義或判定求解．【詳解】解：A．同一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，不符合題意；B．兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不符合題意；C．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，不符合題意；D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形和平行四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形或菱形的定義或判定是解題關(guān)鍵．2．已知，用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作菱形ABCD，下面的作法中正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可解答．【詳解】解：由作圖可知，選項(xiàng)C中，四邊形ABCD是菱形（理由是對(duì)角線互相平分且垂直）故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖、菱形的判定定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．添加下列條件，能判定四邊形ABCD是菱形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可．【詳解】解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定，能夠熟練運(yùn)用判定定理是解題關(guān)鍵．4．如圖，在中，、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、在上，且，若添加一個(gè)條件使四邊形是菱形，則下列可以添加的條件是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，連接交于，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：可以添加的條件是，理由：四邊形是平行四邊形，，，、分別為邊、的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，，，，，，四邊形是平行四邊形，連接交于，，，，四邊形是菱形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知O是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，作//，//，與相交于點(diǎn)E．若四邊形的周長(zhǎng)是24，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B． C． D．6【答案】B【分析】首先根據(jù)兩對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再利用已知得出菱形的邊長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】∵DE//AC，CE//BD，∴四邊形OCED為平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OD=BD，OC=AC，AB//CD，∠DCB=90°，∴OD=OC，OA=OB，∵∠AOB=60°，?OAB為等邊三角形，∴∠BAC=∠DCA=60°，?OCD為等邊三角形，∴DC=OD=OC，∴平行四邊形OCED為菱形，∴OC=CE=DE=OD，∴OC+CE+DE+OD=24，∴OD=24÷4=6，DC=6，∴BD=6×2=12，在Rt?BCD中，由勾股定理可得：BC=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四條邊都相等的四邊形是菱形，②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．6．如圖，菱形紙片中，，為的中點(diǎn)，折疊菱形紙片，使點(diǎn)落在所在的直線上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)的折痕，則的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進(jìn)而求出∠PDC=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)E，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．18 C．20 D．25【答案】A【分析】利用基本作圖得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，則，所以，從而得到，于是可判斷四邊形為菱形，于是可得到四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：由作法得，平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，而B(niǎo)E∥AF，∴四邊形為菱形，∴四邊形的周長(zhǎng)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．二、填空題：8．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)AC中點(diǎn)O的直線分別交邊BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，CF．只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)菱形的判定即可解．【詳解】是平行四邊形∴AD∥BC∴∠FAC=∠ECA，∠AFE=∠FEC，∵AO=CO∴△AOF≌△COE(AAS)∴AF=CE又∵AF=CE四邊形AECF是平行四邊形，又∵∴四邊形AECF是菱形．故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等，熟練掌握菱形判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．如圖，小華剪了兩條寬均為的紙條，交叉疊放在一起，且它們的交角為，則它們重疊部分的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】首先過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，由題意可得四邊形是平行四邊形，繼而求得的長(zhǎng)，判定四邊形是菱形，則可求得答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，根據(jù)題意得：，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∵，∴，同理：，∴，∴四邊形是菱形，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線．10．如圖，四邊形中，，，，分別是邊、、、的中點(diǎn)．若四邊形為菱形，則對(duì)角線、應(yīng)滿足條件______．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)定理分析即可求解．【詳解】因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形，所以，∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形性質(zhì)、中位線性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，菱形中，，相交于，于，連接，，則的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】【分析】由題意根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根據(jù)垂直的定義求出∠ADE=90°，∠DEB=90°，求出∠ADO，∠ODE的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出OD=OE，求出∠ODE=∠OED即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=40°，∴∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC，∴∠DOA=90°，∴∠ADO=90°-∠DAO=70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠ODE=∠AD∠E-∠ADO=20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∵DO=BO，∴OE=BD=OD，∴∠OED=∠ODE=20°，故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解答此題的關(guān)鍵．12．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，將向右平移到的位置，連接，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】證明四邊形是菱形，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：等邊的邊長(zhǎng)為，將向右平移到的位置，cm，,四邊形是菱形，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．三、解答題：13．如圖，在矩形紙片中，，，是邊上一點(diǎn)，折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，其中為折痕，連結(jié)、．若，求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】利用對(duì)稱的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，證明四邊形是菱形，再利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案．【詳解】解：∵B、E兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，∴，在中，，∴，∴解得：．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，正確應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)E，交于F，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，，，然后由四邊形是矩形，易證得，則可得，繼而證得結(jié)論；（2）由勾股定理可求，的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，是的垂直平分線，，，，四邊形是矩形，，．在和中，，，，，，，四邊形為菱形．（2）設(shè)，則，四邊形是矩形，．在中，由勾股定理得，，即，解得，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，證得是關(guān)鍵．15．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝BO，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3【分析】（1）先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證AB＝AD，即可得出結(jié)論；（2）證△ABD是等邊三角形，得∠ADB＝60°，再由菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，證∠E＝∠EAO，得OE＝OA，即可求解．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠CBD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝∠DAB＝30°，∴∠AOD＝90°，∵DE=OB，∴OD＝ED，∴∠E＝∠DOE，∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，∴∠E＝∠DOE＝30°，∴OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，∵∠DAO＝30°，∴∠E＝∠EAO，∴OE＝OA＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證出AB=AD是解題的關(guān)鍵16．如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)．，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)菱形的面積為【分析】（1）根據(jù)已知條件得出為的中位線，根據(jù)已知條件進(jìn)而得出且，得出四邊形是菱形（2）根據(jù)已知條件得出，則為等邊三角形，求得菱形的面積為面積的2倍，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）為的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形；（2），，，；四邊形是菱形，，為等邊三角形，菱形的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．能力提升篇一、單選題:1．如圖，過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE，CF．若，，則EF的長(zhǎng)是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】先利用“ASA”證明△AOF≌△COE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE＝OF，再根據(jù)“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”得到四邊形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF＝CF，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得CD＝AB，然后求出CF，從而得解．【詳解】解：∵矩形對(duì)邊AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形，∵∠DCF＝30°，∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝CF，∵AB＝，∴CD＝AB＝，∵∠DCF＝30°，∴DF=?！郈F＝2DF=2，∴EF＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于判斷出△CEF是等邊三角形，并能熟練運(yùn)用相應(yīng)性質(zhì)和判斷．2．如圖，在中，，于點(diǎn)D，平分，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)Q．下列結(jié)論：①；②；③；④為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)平分得，根據(jù)得，利用，可得從而可得，得①正確；證明得，從而推得，利用是等腰三角形，得，可得，可知②正確；根據(jù)，得，根據(jù)得，可證明，可知③正確；連接先證明得得四邊形是菱形，要想是等邊三角形，則菱形中較小的角需要是，而題干中無(wú)法得知為，可知④不正確．【詳解】解：平分，，，，，，，可得①正確由①得，，是等腰三角形，可得②正確，，則可得③正確連接四邊形是菱形要想是等邊三角形，則菱形中較小的角需要是而題干中無(wú)法得知為故④不正確故選：C【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝12，AC＝20．以O(shè)B和OC為鄰邊作第一個(gè)平行四邊形，對(duì)角線BC與相交于點(diǎn)；再以和為鄰邊作第二個(gè)平行四邊形，對(duì)角線與相交于點(diǎn)；再以和為鄰邊作第三個(gè)平行四邊形…依此類推．記第一個(gè)平行四邊形的面積為，第二個(gè)平行四邊形的面積為，第三個(gè)平行四邊形的面積為…則是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理可得BC=16，再得到四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得到第一個(gè)平行四邊形四邊形的面積，再證得四邊形是矩形，可得到第2個(gè)平行四邊形的面積，同理得到第3個(gè)平行四邊形的面積，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，∴BC＝＝16，∴矩形ABCD的面積＝12×16＝192；∵四邊形是平行四邊形，OB＝OC，∴四邊形是菱形，∴，∴是△ABC的中位線，∴＝AB＝6，∴，∴平行四邊形四邊形的面積＝×12×16＝192；根據(jù)題意得：四邊形是矩形，∴第2個(gè)平行四邊形的面積＝8×6＝48＝×192；同理：第3個(gè)平行四邊形的面積＝×8×6＝24＝×192；．．．，∴第n個(gè)平行四邊形的面積是×192，則是×192＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題:4．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在、上，沿將翻折使頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，若，則等于__________．【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)平行線的判定，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)菱形的判定定理，得出四邊形為菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出，然后設(shè)，則，再根據(jù)直角三角形所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，進(jìn)而列出方程，并解出，再根據(jù)等邊三角形的判定，得出為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，可得：，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴四邊形為菱形，∴，設(shè)，則，∵，，∴，即，解得：，∴，∵，，∴，∴為等邊三角形，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．5．如圖，在矩形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與邊，交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)M，連接，．已知，，給出以下結(jié)論：①，；②；③四邊形是菱形；④．其中正確的是________．（填序號(hào)）【答案】①②③④【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證得△OBC是等邊三角形，從而證明BF垂直平分OC，可判斷①正確；利用ASA證明△COF≌△AOE，得CF＝AE，OE＝OF，再利用SAS即可證明△DAE≌△BCF，故②正確；利用一組對(duì)邊平行且相等可證明四邊形DEBF是平行四邊形，證明△BOF≌△BCF，可得∠BOF＝∠BCF＝90°，BO垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝BF，可知四邊形EBFD是菱形，可知③正確；利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AB＝，可知④正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，∴∠ABC＝∠DAE＝∠BCF＝90°，OA＝OC，OB＝AC＝OC，AD＝BC，∵∠BOC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝BC，∴點(diǎn)B在OC的垂直平分線上，∵OF＝CF，∴點(diǎn)F在OC的垂直平分線上，∴BF⊥OC，OM＝CM，故①正確；∵在矩形ABCD中，ABCD，∴∠FCO＝∠EAO，又∵OC＝OA，∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（ASA），∴CF＝AE，OE＝OF，∵AD＝BC，∠DAE＝∠BCF＝90°，∴△DAE≌△BCF（SAS），故②正確；∵CF＝AE，∴DF＝BE，∵DFBE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵BO＝BC，OF＝CF，BF＝BF，∴△BOF≌△BCF（SSS），∴∠BOF＝∠BCF＝90°，即BO⊥EF，∵OE＝OF，∴BO垂直平分EF，∴BE＝BF，∴四邊形EBFD是菱形，故③正確；∵∠ACB＝60°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AC＝2BC，∴AB＝，∴AB：BC＝：1，故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，分別取邊的中點(diǎn)D、E，連接，作得到四邊形，它的周長(zhǎng)記作；分別取的中點(diǎn)，連接，作，得到四邊形，它的周長(zhǎng)記作，…，照此規(guī)律作下去，則等于___________．【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線定理可求出的值，進(jìn)而可得出的值，找出規(guī)律即可得出的值．【詳解】解：∵點(diǎn)B、E為邊的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，，，∴，∵，∴四邊形是菱形，∴；同理求得：；…，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)；熟練掌握三角形中位線定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題:7．已知：四邊形中，，，點(diǎn)E在對(duì)角線上，F(xiàn)在邊上，連接，且，．(1)求證：；(2)若，，，求長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）先證明四邊形是菱形，設(shè)，，則，求得，，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論；（2）利用菱形的性質(zhì)求得，