2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納（全國(guó)通用）專題34 圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型（解析版）

專題34圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4常見證明的方法：1）補(bǔ)短法：如圖2，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；2）截長(zhǎng)法：如圖3，在CD上截取DG=DB；3）垂線法：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。例1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．【答案】60°．【分析】連接OA、OC、OE，由已知條件，根據(jù)阿基米德折弦定理，可得到點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即,進(jìn)而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，則∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.【詳解】解：如圖2，連接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關(guān)鍵是掌握題中給出的關(guān)于阿基米德折弦定理的內(nèi)容并進(jìn)行應(yīng)用.例2．（2023·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點(diǎn)M是上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，從而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性質(zhì)列式可求BE的長(zhǎng)度，從而可求得AE的長(zhǎng)度．【詳解】解：延長(zhǎng)ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，如圖，∵BC為⊙O的直徑，MD⊥BC于點(diǎn)D，∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM又∠BMF=∠FAB∴∠BFM=∠FAB∴∠BFE=∠FAB∵∠EBF=∠FBA∴△BFA∽△BEF∴即∴BE=∴AE=4-=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出輔助線，得出三角形相似．例3．（2023上·河南周口·九年級(jí)?？计谀﹩栴}呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過程證明：如圖2，在上截取，連接，，和是弧的中點(diǎn)，∴，……(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為______.(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點(diǎn)，連接，，，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理，即可證明結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，根據(jù)阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，．在和中，，，又，，．（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為故答案為：．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作，由阿基米德折弦定理得：，∵∴∴，∴的周長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解“截長(zhǎng)法”是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴……請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為．（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）4【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結(jié)論；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，答案為：；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解和應(yīng)用阿基米德折弦定理解題關(guān)鍵．例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，(2)就圖3證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先證明，進(jìn)而可得，即可得到解答；（2）由（1）可知，，整理等式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取C，連接，∵是的中點(diǎn)，∴在和中，∴，∴∵，∴∴；（2）證明：在中，，在中，，由（1）可知，，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型2.婆羅摩笈多（定理）模型【模型解讀】婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)。圖1圖2圖3如圖1，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC和BD垂直相交，交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作BC的垂線EF，延長(zhǎng)FE與AD交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)。如圖2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，則G為BE中點(diǎn)。2、如圖3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延長(zhǎng)線取點(diǎn)H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F為CD中點(diǎn)，則AG⊥BE。例1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．布拉美古塔定理婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫出了這個(gè)定理的已知和求證．已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，垂足為P，過點(diǎn)P作的垂線分別交，于點(diǎn)H，M．求證：M是的中點(diǎn)．任務(wù)：(1)請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過程．(2)該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫出了另外一個(gè)命題：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是命題．（填“真”或“假”）。(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)真(3)．【分析】（1）在中，證明，再由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，可得，則；同理可證，即可得到；（2）仿照（1）的證明過程，直接證明即可；（3）求出，再由，可得，求出，再由，即可求出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∴M是的中點(diǎn)；（2）解：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊，理由如下：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，垂足為P，M是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，求證：；證明：∵M(jìn)是的中點(diǎn)；∴，∴，且，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：真；（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，同角的余角相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．任務(wù)：（1）按圖（1）寫出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過程；已知：__________________求證：_________________證明：（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．【答案】（1）見解析；（2）菱形【分析】（1）先寫出已知、求證，先證明，再證明，即可證明（2）先證明，再證明,由布拉美古塔定理證明即可證明【詳解】（1）已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)證明：，，，，，同理可證，，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)故答案為：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)（2）四邊形是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，分別是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)∴四邊形是菱形故答案為：四邊形是菱形【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、根據(jù)題意寫已知求證、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·?？既＃┰趲缀螌W(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特·西姆森發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長(zhǎng)線）所作垂線的垂足共線，這三個(gè)垂足的連線后來被稱為著名的“西姆森線”．如圖，半徑為4的為的外接圓，過圓心O，那么過圓上一點(diǎn)P作三邊的垂線，垂足E、F、D所在直線即為西姆森線，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)題意得到點(diǎn)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，然后證明出四邊形是矩形，得到，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，

由題意可得，點(diǎn)E、F、D共線，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形綜合題，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．（2023山東·校考二模）阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則可用阿基米德折弦定理得，，根據(jù)中，，于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，可求出的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)，根據(jù)的周長(zhǎng)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴外接圓中，，即點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，且于點(diǎn)，∴根據(jù)阿基米德折弦定理得，，∵中，，于點(diǎn)，且，∴，，即是等腰直角三角形，則，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，等邊三角形的性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識(shí)，等腰直角三角形的性質(zhì)，幾何圖形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3.（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦．阿基米德從中看出了玄機(jī)并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論．某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此進(jìn)行了探究，如圖1，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，小明通過度量、、的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)平分折弦，即．小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)仍然成立，于是三位同學(xué)都嘗試進(jìn)行了證明：小軍采用了“截長(zhǎng)法”（如圖2），在上?取，使得，……小麗則采用了“補(bǔ)短法”（如圖3），延長(zhǎng)至，使，……小明采用了“平行線法”（如圖4），過點(diǎn)作，交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作，……(1)請(qǐng)你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；(2)如圖5，在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，內(nèi)接于（A、B、C均是格點(diǎn)），點(diǎn)A、D關(guān)于對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．①請(qǐng)用無刻度的直尺作直線，使得直線平分的周長(zhǎng)；②求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①見解析，②【分析】（1）證，得到，再由待腰三角形“三線合一”性質(zhì)得，即可得出結(jié)論（2）①作直徑，交于H，連接交于G，過點(diǎn)G、H作直線l即可；②先由勾股定理，求得，再證，得，即可求得，從而得出，則，然后由由①可知周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：選小軍采用了“截長(zhǎng)法”（如圖2），在上?取，使得，證明：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴∴，在與中，，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：①如圖所示，直線l即為所作，理由：∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，即，∴F是的中點(diǎn)，∵，，∴，由（1）得平分折弦，∴，∵，∴，∴，即l平分周長(zhǎng)；②由題意可得：，，，由勾股定理，得，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，由①知周長(zhǎng)【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，屬圓的綜合探究題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn),，與點(diǎn)E,則的周長(zhǎng)是．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）方法一、首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得出答案．方法二、先求出，再用（1）的結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴在和中∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：方法一、如圖3，截取，連接，由題意可得：，在和中，∴，∴，∵，∴，則，∵，∴，則的周長(zhǎng)是．故答案為．方法二、∵是等邊三角形，∴，∴由（1）的結(jié)論得，，∵，∴，∴，∴則的周長(zhǎng)是．故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．∵是弧的中點(diǎn)，∴．…

任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，，則折弦的長(zhǎng)是______．

【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，得，。再根據(jù)直角三角形的全等和判定，得，推出，即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，則，，根據(jù)，于點(diǎn)，，得；由題意得，，則折弦的長(zhǎng)為：，即可．【詳解】（1）∵是弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵和所對(duì)的弧是，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．（2）∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴折弦的長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓，全等三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，掌握折弦定理的運(yùn)用．6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：圖1古拉美古塔定理：如圖1，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線，垂足為點(diǎn)，并且交直線于點(diǎn)，則．證明：∵，，∴∴，．∴．∵，∴．（依據(jù)）又∵，∴．∴．……任務(wù)：（1）上述證明過程中的依據(jù)是______；（2）將上述證明過程補(bǔ)充完整；（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則．請(qǐng)證明該命題．【答案】（1）同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得結(jié)論；（2）證明為等腰三角形即可；（3）用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）同弧所對(duì)的圓周角相等（2）…，∵，，∴，∴，∴．（3）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練轉(zhuǎn)換題目中角的關(guān)系．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【答案】【思考】真命題；【探究】（1）證明見解析；（2）4．【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計(jì)算．結(jié)論可得；（1）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；（2）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證，得到，．再進(jìn)一步說明，可得，結(jié)論可得．【詳解】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，∵，為的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．故答案為：真命題．【探究】（1）如下圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中點(diǎn)．（2）如下圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點(diǎn)添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山西太原·九年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點(diǎn)F，則AF＝FD．證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°∴∠CBD＝∠CME∴，∠CME＝∠AMF∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF…任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分短缺的條件為：；（2）請(qǐng)用符號(hào)語言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，①．求證：②．證明：【答案】（1）∠CBD=∠CAD；（2）①FA=FD，②FE⊥BC；證明見解析．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得結(jié)論．（2）把題設(shè)與結(jié)論交換可得逆命題，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）由題意：空格處為∠CBD=∠CAD．故答案為：∠CBD=∠CAD；（2）①FA=FD，②FE⊥BC．故答案為：FA=FD，F(xiàn)E⊥BC．理由：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等角的余角相等，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為，用a．c和θ表示△ABC的面積為．材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CF?BF＝QF?PF．材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．定理：如圖3，M為弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD，連結(jié)AD和BC交PQ分別于點(diǎn)E和F，則ME＝MF．證明：設(shè)∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y(tǒng)由即化簡(jiǎn)得：MF2?AE?ED＝ME2?CF?FB則有：,又∵CF?FB＝QF?FP，AE?ED＝PE?EQ，∴，即即，從而x＝y(tǒng)，ME＝MF．請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：如圖4，B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP＝CQ，A為PQ外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】材料一：；材料二：證明見解析；材料三：△PAQ的形狀為等腰三角形，證明見解析．【分析】材料一：作AD⊥BC于D，由三角函數(shù)定義得AD＝AB×sinB＝c?sinθ，由三角形面積公式得△ABC的面積＝BC×AD＝acsinθ即可；材料二：證明△CFQ∽△PFB，得出＝，即可得出結(jié)論；材料三：證S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，證△ABP∽△ACQ，由S△ABP＝S△ACQ，證出AP＝AQ，即可得出結(jié)論．【詳解】材料一：解：作AD⊥BC于D，如圖1所示：則sinB＝，∴AD＝AB×sinB＝c?sinθ，∴△ABC的面積＝BC×AD＝acsinθ，故答案為：csinθ，acsinθ；材料二：證明：∵∠C＝∠P，∠CFQ＝∠PFB，∴△CFQ∽△PFB，∴＝,∴CF?BF＝QF?PF；材料三：解：△PAQ的形狀為等腰三角形，理由如下：∵B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP＝CQ，∴CP＝BQ，∴△ABP與△ACQ等底等高，△APC與△AQB等底等高，∴S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，∵∠BAP＝∠CAQ，∴∠BAP+∠BAC＝∠CAQ+∠BAC，即∠PAC＝∠QAB，∴sin∠QAB＝Psin∠PAC，∵S△AQB＝AB?AQsin∠QAB，S△APC＝AC?APsin∠PAC，∴==1,∴=，∴△ABP∽△ACQ，∵S△ABP＝S△ACQ，∴=＝1，∴AP＝AQ，∴△PAQ的形狀為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形面積公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．9．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．【答案】(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換(2)見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換；（2）證明：如圖，連接PA，PB，PC．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦，圓周角的關(guān)系，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．(2)請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．【答案】(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C和點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)分別共圓，再說明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結(jié)論；（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE、QF，則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上；（3）如圖，連接．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）閱讀與思考；婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，ME⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EM交CD于F，求證：MF=DF證明∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中點(diǎn)．（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，F(xiàn)是AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求證：ME⊥BC（2）已知如圖2，△ABC內(nèi)接于圓O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，點(diǎn)D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD交BC于點(diǎn)P，作ON⊥CD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M，求證PM⊥BA并求PN的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析,PN=1．【詳解】試題分析：（1）由于AC⊥BD，所以∠AMD=90°，∠FAM+∠FDM=90°，由于F是AD的中點(diǎn)，所以AF=MF=DF，從而可證明∠EMC+∠MCB=90°．（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由（1）的證明過程可知：PM⊥BA，再由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AP=1，CD=2，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出PN的長(zhǎng)度．試題解析：（1）∵AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=MF=DF，∴∠FAM=∠FMA，∠FMD=∠FDM，∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，∠FAM+∠FDM=90°∴∠EMC+∠MCB=90°，∴ME⊥BC；（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，∴∠ACD=45°+60°=105°，又∵∠D=∠B=30°，∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠APC=90°，∴AD⊥BC，∵ON⊥CD，∴由垂徑定理可知：N是CD的中點(diǎn)，∴由（1）的證明過程可知：PM⊥BA∵AB=2，∠B=30°，∴AP=1，∴PC=1，∵∠D=30°，∴CD=2PC=2，∵N是CD的中點(diǎn)，∠CPD=90°，∴PN=CD=1．12．（2023·北京昌平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和，的半徑為4，交軸于點(diǎn)A，，對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)叫做關(guān)于的“折弦點(diǎn)”．(1)若，①點(diǎn)，，中是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”的是______；②若直線（）上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，求的值；(2)點(diǎn)在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①、；②k的值是.(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得到P為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離進(jìn)行判斷即可；②由①可知,點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為,過點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，求得，，，證明，根據(jù)相似性質(zhì)列式計(jì)算即可得到答案；（2）由（1）可知點(diǎn)P在以為直徑的圓上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，則直線與相交或相切，分兩種情況利用勾股定理求出b的最大值和最小值即可．【詳解】（1）解：①如圖，∵P為MN的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，∵，∴點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，∵，，，∴點(diǎn)，在該圓上，不在該圓上，∴點(diǎn)，是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”故答案為，②由①可知,點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為,∵直線（）上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，∴直線（）與相切，過點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，當(dāng)，，解得，當(dāng)，，∴直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，∴，解得；（2）由（1）可知點(diǎn)P在以為直徑的圓上，∵直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，∴直線與相交或相切，點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，∵直線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，b有最大值，此時(shí),∴,解得或（舍去），當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，b有最小值，此時(shí),∴,解得（舍去）或∴當(dāng)時(shí)，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，圓的切線性質(zhì)定理，弄清定義，會(huì)畫圖分析是解題的關(guān)鍵.13．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．連結(jié)AD，AC，BD．（1）寫出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．（2）判斷AE，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．【答案】（1）；（2），見解析；（3）40【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可求得；（2）在線段上截取，根據(jù)是的中垂線，，可得，進(jìn)而可得，；（3）根據(jù)即可求得．【詳解】（1）是的中點(diǎn)，故答案為：（2）理由如下：如圖，在線段上截取，∵∴是的中垂線∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，∴∵∴，∵，∴，∴，∴，∴即（3）∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023.浙江九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫出證明過程；（3）如圖3，．組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．【解答】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，，，，為等腰三角形，，；（2）如圖2，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接，是圓內(nèi)接四邊形，，是劣弧的中點(diǎn)，，，為等腰三角形，，，，，（3）．連接，，，、相交于點(diǎn)，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．15．（2023.重慶九年級(jí)期中）先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題．命題：如圖1，在正方形中，已知：，角的兩邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接．求證：．證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至．，，與重合．，，點(diǎn)、、是一條直線．根據(jù)，得證，得．（1）特例應(yīng)用：如圖1，命題中，如果，，求正方形的邊長(zhǎng)．（2）類比變式：如圖3，在正方形中，已知，角的兩邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接．寫出、、之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．（3）拓展深入：如圖4，在中，、是的弦，且，、是上的兩點(diǎn)，．①如圖5，連接、，求證：，；②若點(diǎn)在（點(diǎn)不與點(diǎn)、、、重合）上，連接、分別交線段、或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，直接寫出、、之間的等式關(guān)系．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則有，．由材料可知：．在中，，．．解得：，（舍去）所以正方形的邊長(zhǎng)為6．（2）．理由如下：在上取一點(diǎn)，使得．連接，如圖3．四邊形是正方形，，．．在和中，．．，．．，．在△和中，．△．．．（3）①延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖5．，，．在和中，．．．．，．．，，，．，．②Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6、7．同理可得：．Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖8．同理可得：．16．（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則______；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，，則______________．【答案】（1）3；（2）證明見解析；（3）；（4）或【分析】（1）根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出，再由所給的定義求出的長(zhǎng)即可；（2）在上截取，連接、、、，可證明，得到，再由垂徑定理得到，則有，即可證明是折弦的中點(diǎn)；（3）仿照（2）的方法，在上截取，連接、、、，證明，可得到；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出．【詳解】解：（1）是的切線，為切點(diǎn)，，，，，，，是折線段的中點(diǎn)，，故答案為：3；（2）證明：在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，是折弦的中點(diǎn)；（3），理由如下：在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，；（4）是的直徑，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖5，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；綜上所述：的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023·福建泉州·九年級(jí)?？计谥校┎牧希喝鐖D1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D