2023年高考押題必刷仿真模擬數(shù)學(xué)試卷10（解析版）

決勝2023年高考數(shù)學(xué)押題必刷仿真模擬卷10（新高考地區(qū)

專用）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜€(wěn)2|/一3W0},8={1，2},則AUB=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{-2,-1,1,2}D.{-1,0,1,2}

K答案』D

K解析】由題，A={XGZ|X2_34O}={-1,0,1},B={1,2},

則473={-1,0,1,2}.故選：D.

2.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)4=l+i,z,=2-i,Z3=l+〃?i（加eR）分別表示向量

04，OB-OC1若A6J,0C，則閭=（）

A.V2B.&C.與D.卓

K答案》C

K解析』由題意可得，Q4=（1，D，QB=（2,-1）,OC=（1/W）,所以

又A8J.0C，所以鉆。。=（1,一2＞（1,m）=1-2m=0,所以機(jī)=；

則閭=J1+加2=,+,）=y-.故選：C.

3.在二項(xiàng)式（f一2）5的展開式中，x的系數(shù)為（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

K答案HA

K解析》由題意，二項(xiàng)式（丁-2）5的展開式的通項(xiàng)為

X

&=產(chǎn)(_4)，=(―2)(3j,

X

令r=3,可得7；=(—2)3C；X=-8()X,即展開式中x的系數(shù)為一80,故選：A.

4.在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，如圖所示，則tanA=()

432

R答案》A

K解析》依題意|4目=斤萬=36，|AC|=V22+32=V13.\BC\=>]32+52=V34.

由余弦定理“2=C?+力2一2ACOSA，即

(V34)2=(3^)2+(Vl3)2-2x375x713cosA,

解得cosA=,顯然A為銳角，所以sinA=Jl—cos~A=,

7655/65

<inA7

所以tanA=業(yè)三='.故選：A.

cosA4

5.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)

用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB,作一個等邊三

角形ABC,然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)O(第一

段圓弧)，再以點(diǎn)C為圓心，CZ)為半徑逆時針畫圓弧交線段4c的延長線于點(diǎn)E,再以點(diǎn)

A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，

“蚊香”的長度為(

蚊香

A.14TIB.18KC.30兀D.44兀

K答案』D

2兀

K解析》由題意每段圓弧的中心角都是彳，第〃段圓弧的半徑為"，弧長記為明,

2兀27r

則為=3-.〃，所以S”=T（1+2++11）=44K.故選：D.

6.爆竹聲聲辭舊歲，銀花朵朵賀新春.除夕夜里小光用3。投影為家人進(jìn)行虛擬現(xiàn)實(shí)表演，

表演分為“燃爆竹、放煙花、辭舊歲、迎新春”4個環(huán)節(jié).小光按照以上4個環(huán)節(jié)的先后順序

進(jìn)行表演，每個環(huán)節(jié)表演一次.假設(shè)各環(huán)節(jié)是否表演成功互不影響，若每個環(huán)節(jié)表演成功的

概率均為;，下列說法不正確的有（）

4

A.事件“成功表演燃爆竹環(huán)節(jié)”與事件“成功表演辭舊歲環(huán)節(jié)”互斥

B.“放煙花”、“迎新春”環(huán)節(jié)均表演成功的概率為二

16

C.表演成功的環(huán)節(jié)個數(shù)的期望為3

3

D.在表演成功的環(huán)節(jié)恰為3個的條件下“迎新春”環(huán)節(jié)表演成功的概率為二

4

［答案DA

K解析》事件“成功表演燃爆竹環(huán)節(jié)”與事件"成功表演辭舊歲環(huán)節(jié)'’可以同時發(fā)生，故不互

斥，A錯誤；

339

“放煙花”、“迎新春”環(huán)節(jié)均表演成功的概率為B正確；

記表演成功的環(huán)節(jié)個數(shù)為X,則X~814,q）期望為4x5=3,C正確；

記事件M：“表演成功的環(huán)節(jié)恰為3個“，事件M“迎新春環(huán)節(jié)表演成功”.

=即撲裝"）=喏陷啜，

由條件概率公式「（N|M）=胃得=?,D正確，

故選：A.

7.設(shè)函數(shù)/（X）在R上存在導(dǎo)數(shù)/"（x）,對任意的xeR,有X）+〃X）=2X2,且

在（0,+。）上/'（x）＜2x.若/（3-。）一/（。）29-6a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

3

A.一,+00D.[3,+oo)

2

K答案UA

K解析》因?yàn)?(T)+/(X)=2X2,所以〃-O)+〃())=O,得至了(o)=o,

令g(x)=/(X)-X2,所以

g(-x)=/(-x)-(-x)2=2爐一/(幻一%2=/一/(x)=-g(x)，

則g(x)為奇函數(shù)，且g(0)=/(0)—0=0,

又當(dāng)x>0時，g'(x)=/'(x)—2x<0,所以由奇函數(shù)的性質(zhì)知，g(x)在R上單調(diào)遞減，

又f(3—d)—f(f?)N9—6a=(3—o)'—a~,所以/(3—a)—(3—a)~Nf(a)—cr,即

g(3-a)>g(a),

3

所以3—即aN—.故選：A.

2

8.三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依據(jù).

三面角尸-ABC是由有公共端點(diǎn)P且不共面的三條射線％,PB，PC以及相鄰兩射線

間的平面部分所組成的圖形，設(shè)NA尸C=a，ZBPC=。,NAPB=y,平面A尸。與平

面BPC所成的角為。，由三面角余弦定理得cos0=-J-----.-.在三棱錐

sinar-sinp

P—ABC中，24=6,ZAPC=60°,NBPC=45。，ZAPB=90°，PB+PC=6,

則三棱錐P-ABC體積的最大值為()

A27后R27r9

D-4

442

K答案』C

K解析》由題意得：匕-8c=：S”c?忸

0_1近

vcos^cos/-cosa-cos/?=^x=_^>

sin??sinp3J23

2-V

../)_V6

..sin3=—

3

s”c=g?陷?明因110；=乎.附|

???^c=ySx,c.|BM|=1.|PB|.|PC|=1.|Pfi|（6-|PB|）

=—JP時+3|P@

..Q

當(dāng)|PB|=3時，的最大值為」

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.工廠生產(chǎn)某零件，其尺寸O服從正態(tài)分布N0O,（）.01爐）（單位：cm）.其中A由零件

的材料決定，且%>0.當(dāng)零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm時認(rèn)為該零件不合格；零件尺

寸大于9.9cm且小于10.1cm時認(rèn)為該零件為優(yōu)質(zhì)零件；其余則認(rèn)為是普通零件.已知當(dāng)隨

機(jī)變量XNJ,/）時，P（X>〃+b）。0.159,P（X>〃+2b）a0.023,

尸（乂>〃+3。）a0.001,則下列說法中正確的有（）.

A.女越大，預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件與不合格零件的概率之比越小

B.%越大，預(yù)計(jì)生產(chǎn)出普通零件的概率越大

C.若攵=1.5,則生產(chǎn)200個零件約有9個零件不合格

D.若生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件、普通零件與不合格零件盈利分別為3a,2“，-5a,則當(dāng)％=1

時，每生產(chǎn)1000個零件預(yù)計(jì)盈利2580a

K答案》AC

K解析力依題意，得〃=10,。2=（）.0次2,則b=o.ihk>0,

對于A,當(dāng)左變大時，c變大，則零件尺寸。的正態(tài)分布曲線越扁平，

所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，則其比例越小，故A

正確；

對于B,由選項(xiàng)A可知，預(yù)計(jì)生產(chǎn)出普通零件的概率越小，故B錯誤；

對于C,當(dāng)％=1.5時，b=（）.M=0.15,

則P（X>10.3）=P（X>〃+2b）B0.023,而

P（X<9.7）=P（X<〃-2cr）=P（X>〃+2b）=0.023,

所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的不合格零件的概率為尸（X>10.3）+P（X<9.7卜0.046,

故生產(chǎn)200個零件約有不合格零件的個數(shù)為2（X）x0.046=9.2a9,故C正確；

對于D,當(dāng)％=1時，cr=0.bl=0.1,

則P（X>10.3）=P（X>〃+3cr）>0.001,<9.7）?0.001,

P（9.9<X<10.1）=P（/J_b<X<//+<T）=1-2P（X>〃+o■卜0.682,

所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件的概率為0.682,不合格零件的概率為0.002,普通零件的概率

為1—0.682—0.002=0.316,

故每生產(chǎn)1000個零件預(yù)計(jì)盈利

1000x［0.682x3a+0.316x24z+0.002x（-5a）］=2668a,故D錯誤.

故選：AC.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：kx-y-k=0,橢圓C：

22

鼻+方=1（。>匕>0）,則下列說法正確的有（）

A./恒過點(diǎn)（1,0）

B.若/恒過。的焦點(diǎn)，則〃+〃=1

C.對任意實(shí)數(shù)左，/與C總有兩個互異公共點(diǎn)，則a21

D.若a<1,則一定存在實(shí)數(shù)左，使得/與C有且只有一個公共點(diǎn)

［答案UACD

K解析D方程玄-y-k=?？苫癁閥=Z（x—l）,

所以直線/恒過點(diǎn)(1,0),A正確;

設(shè)橢圓的半焦距為c(c>0),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)可能為(c,0)或(―c,0),

若直線恒過點(diǎn)(―c,0),則0=Z(—c—1),故c=—1,矛盾，

直線恒過點(diǎn)(c,0),則0=k(c—l),故c=l，所以恒一/=1，B錯誤;

—+—=1

聯(lián)立b2,消y可得,

y=kx-k

(a2k2+Z?2)x2-Ic^lCx+crk2-a2b2=0,

由對任意實(shí)數(shù)左，/與?？傆袃蓚€互異公共點(diǎn)，

可得方程卜/爐+6川—2//左2—/〃=。有2個不相等實(shí)數(shù)解,

所以△=(—2八2『-4(-2+〃)左2_a2")>0,

所以左2(/_1)+。2>0,

所以a21,C正確；

因?yàn)榘?(—2/2丫—4(-2+或(八2—九2)=4,2(/_])+/],

所以a<1時，則Z2=_^,即人時，

1-av-a2

可得A=0,此時方程組有且只有一組解，

故/與。有且只有一個公共點(diǎn)，D正確.

故選：ACD.

11.1807年法國數(shù)學(xué)家傅里葉指出任何音樂聲都是形如y=Asin(a+0)的純音合成的復(fù)

=sin[3+2x)+sinx,則(

合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/(x))

A.的最小正周期為兀

B./(x)的圖象關(guān)于直線x=］對稱

7t71

C./(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

653

71兀7兀

當(dāng)xe時,，.f(x)最小值為0，則

D.6，a2，-6~

K答案XBD

K解析X由題意，函數(shù)/(x)=sin|—71+2x|+sinx=cos2x+sinx,

2

對于選項(xiàng)A,因?yàn)?(x+;r)=COS(2X+2兀)+sin(x+兀)=cos2x-sinxh/(x),

所以兀不是函數(shù)/(x)的最小正周期，故選項(xiàng)A錯誤:

兀.71

對于選項(xiàng)B,因/(—+x)=cos(兀+2x)4-sin(—+x)=-cos2x+cosx,

f(--x)=cos(兀-2x)+sin(--x)=-cos2x+cos%=/(—+%),

所以直線x是函數(shù)f(x)的一條對稱軸，故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)?(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx--^-)2+,

當(dāng)xG(-g,￡)，y=sinx單調(diào)遞增，且sinxe[-^,

632

因?yàn)楫?dāng)sinxe時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

24

當(dāng)sinxe時，函數(shù)函x)單調(diào)遞減,

7171

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:函數(shù)/(x)在區(qū)間先增后減,故選項(xiàng)C錯誤;

6,3

對于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C可知，當(dāng)sinxe[—時，函數(shù)/(盼單調(diào)遞增，

24

當(dāng)sinxe[',l]時，函數(shù)/S)單調(diào)遞減，

4

1991

當(dāng)sinx=——時，函數(shù)f(x)=-2x—+—=0,當(dāng)sinx=一時，函數(shù)

21684

997t

f(x)=-2x0+-=-,當(dāng)時，函數(shù)/。)=0,

882

因?yàn)閟inx=一■^時，史]時，x--,

2226

(兀)z1717TC

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)xe|一(,aj時，“X)最小值為0,則。力5,不，

故選項(xiàng)D正確，

故選：BD.

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)“X)與g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為/'(x)與g〈x),已知

/(x)=g(3-x)-l,_f(x+l)=g'(x),且/'(x)關(guān)于直線x=l對稱，則下列結(jié)論一定成立

的是()

A./(力+〃2-力=0B.(⑵=0

C.g(l-x)=g(l+x)D.g，(x)+g，(2—x)=0

K答案』BCD

K解析』因?yàn)椤▁)=g(3-x)—l,

所以〃x)T(3_x)

所以r(x+l)=-g12-x)=g1x),

所以-g'(2-x)-g<x)=0=>g，(2-x)+g，(x)=0,

故D正確，

令x=l時，g，(2—l)+g，(l)=2g〈l)=。，

所以g'⑴=。，

由r(x+l)=_g'(2_x)=g〈x),

所以r(i+i)=—gT2-i)=g〈i)or(2)=g<i)=o,

所以B選項(xiàng)正確,

因?yàn)間'(2-x)+g'(x)=0,

所以g[l-x)=-g〈l+x),

所以函數(shù)g'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

則函數(shù)g'(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，即g'(x+l)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)g(x+l)+C(C為常數(shù))為偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=0對稱，

所以函數(shù)g(x)+C的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

所以g(l-x)+C=g(l+x)+C=g(l—x)=g(l+x),

故C選項(xiàng)正確，

函數(shù)〃力=(》-1)3+1,則函數(shù)/'(x)=3(x-l)2圖象關(guān)于直線x=l對稱，符合題意，

所以/(x)+/(2-x)=(x-l)3+l+(l-xy+l=2,

故選項(xiàng)A不正確，

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某工廠月產(chǎn)品的總成本)(單位：萬元)與月長量x(單位：萬件)有如下一組數(shù)據(jù),

從散點(diǎn)圖分析可知y與X線性相關(guān).如果回歸方程是y=x+3.5,那么表格中數(shù)據(jù)。的值為

X/萬件1234

》/萬件3.85.6a8.2

K答案》6.4

K解析]由題意及表知,

—1+2+3+45—1,o17.6+

x=-------------=-,y=-(3.8+5.6+a+8.2)=--------

424、74

..?回歸方程是y—x+3.5，

-------=2.5+3.5，

4

?*.a=6.4.

故K答案U為：6.4.

14.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),

這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)

R答案』312

K解析D偶數(shù)包含2,4,6,奇數(shù)包含1,3,5,1,

1.若四位數(shù)沒有偶數(shù)，則都是奇數(shù)，有A：=24個；

2.若四位數(shù)有一個偶數(shù)，三個奇數(shù)，有C；C；A：=288個，

綜上可知，共有24+288=312個.

故K答案H為：312

22

15.已知雙曲線E：二y=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為凡過尸的直線交E的左支于

a~丁

點(diǎn)P,交E的漸近線于點(diǎn)M,N,且P,M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，則雙曲線E的離心

率為.

K答案U拒

bb

K解析H由題意，點(diǎn)M在漸近線、=一一x上，點(diǎn)N在漸近線y=一元上,

aa

（b

設(shè)Mm,——m,F（-c,O）

Ia

因?yàn)镻,M恰為線段方N的三等分點(diǎn),

所以P為線段FM的中點(diǎn)，N為線段PN的中點(diǎn),

…-fn-cbmbm\3m+c3bm

,則N12加------一五｝即小丁

72a

又點(diǎn)N在漸近線y=上，

a

ll-3m+cb3bm1

所以「------,所以"z=一：c,

2a2a6

.y2

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線

2

49c2

所以所以34=c2,

144a2

所以e=￡=百.

a

故K答案》為：4

16-底邊和腰長之比為空的等腰三角形被稱為“黃金三角形"，四個面都為“黃金三角形"

的四面體被稱為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為.

23+3石

K答案H

2

K解析》如圖，設(shè)四面體A—BG。為“黃金四面體”,

目任_絲_任_任_也」_機(jī)

ADBD4C!BC\2

得A。=BD=4cl=g=n,

又因四個面都“黃金三角形"，則=AfB=t.

注意到四面體4對棱相等，則將其補(bǔ)形為如圖所示長方體ABC。-ASGA，則

該長方體外接球與該四面體外接球重合.

設(shè)然=a,AB=b,AD=c,

則長方體外接球半徑A為長方體體對角線長度的一半，有RM"卡，’,又注意到：

2

a1+b2=A]?=t

a2+cz=\D-

b2+c2=BD2

22+/+c：

得/+Z?2+C?=—+n2,又==加2,得R

注音至ilV=Vv+Vv4-yV+VV+vV

/土思利\-BCfi丁B-A}BiClD-\Cfix丁Ci-BCD丁Ai-ABD?

Vy=Vv=V=VY=—abc,

B-\BXCXD-A^C^YC\-BCDABD(⑷人，

又在VA3G中，GA=C,B,取A1中點(diǎn)為E,

則GE±\B,故s=L、〃2_匚，

Ag2y4

又由前面分析可知四面體A-Bq。的四個面全等,

則四面體A—BG。的表面積S=4S=2tjn

AgA/

設(shè)四面體A—5CQ的內(nèi)切球半徑為人則匕「go=jSr,

3V

r=—CQ

得一S

注意到AC=BQ，則\jh2+c2=y/a2+c2na=b，

222

a+b=A]B=r-----------

a2+c2=A。~n，得ab=——，又一=m,

b2+c2=BD2

—mn

rn

則“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為：

/22,2、2

im、m、

4n21+——1——41+—

[2J4J12J

4nR-■+々+4,

2、2

4nr22mm，n

mn1——2J

代入3個'得比值為：生3

故K答案》為：23+3—

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,且滿足q=l,%,生，%成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

2"”,〃為奇數(shù)

⑵若數(shù)列出｝滿足a=1%便新求數(shù)列出｝的前2〃項(xiàng)的和

.44+2

解：（1）因?yàn)椋?a2,%成等比數(shù)列，所以a；=qa4.

即(l+d)2=lx(l+3d),

解得4=0或。=1.

因?yàn)?>0,所以d=l,

所以a.=l+lx(n-l)=n.

2",〃為奇數(shù),

⑵由⑴得2為偶數(shù),

2",〃為奇數(shù),

所以仇=?

，〃為偶數(shù)

nn+2?

所以T2n=4+仇+4+…+%I+b2n=(4+…+么,1)+電+為+…+%,)

1-2*12-3+2\2~2n+2

_22n+l____1____鼻

一--4〃+4―五’

所以數(shù)列｛2｝的前2〃項(xiàng)的和J

18.己知aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acos3=2c—Z?.

(1)求A；

(2)若ZkABC的面積為生叵，點(diǎn)。在線段8c上，且8。=,8,求AD的最小值.

42

解：(1)因2acos8=2c-。，由正弦定理得2sinAcos3=2sinC-sinB,

所以2sinAcosB=2sin(A+B)—sinB=2(sinAcosB+cosAsin3)—sinB,

所以2cosAsin3-sinB=0,又sinBwO,

1兀

所以cosA=—，因?yàn)?<4<兀，所以A=；；

23

(2)由(I)sinA=>所以S.?r=—Z?csinA-^-bc->

所以歷=9.

點(diǎn)。在線段3C上，且

2

所以A￡>=A6+6O=A8+-6C=A8+—(AC—A8)=-AB+-AC,則

33、'33

-24-21-24144142

AD~=-AB+-AC+-ABAC=-b2+-c2+-bccosA=-h2^-c2-^-hc

999999999

>2.—b2?—c2+—bc=—bc-6,所以AON卡.

V9999

23J2

當(dāng)且僅當(dāng)-9b=9-c\即6=3后L，c=之絲時等號成立.

be=9,2

所以AZ）的最小值為指.

19.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC=O,43=1，E,F分別為A。，8用的中

點(diǎn)，且EEL平面AAG。.

（1）求棱BC的長度；

（2）若84_14片，且△AFC的面積5斗叱=￥，求二面角4一4/一。的正弦

值.

解：（1）取AC中點(diǎn)。，連接ED,BD,

分別為AC,AC的中點(diǎn)，則。石AA且。E=；AA，

又???ABC-AMG為三棱柱，且尸分別為8月的中點(diǎn)，則M44|且8F=；A4,,

可得OEBF且DE=BF,即四邊形。EF8為平行四邊形，故所DB，

又???斯工平面441G。，則平面"GC，

ACu平面A4.GC，可得。8_LAC，

又?.?。為AC的中點(diǎn)，則AABC為等腰三角形，

BC=AB=\.

（2）由（1）可知：BC=AB=1,且AC=V^，即A8?+SC?=AC?,

則可得E/=。8=絲，且4耳1瓦。1,

2

＜=?

???石尸工平面MC。，4。平面4410。，則￡7_14。，

?.?S”H=：4C-ER=；ACX￥=孝，解得AC=2，

由（1）知￡出_1_平面AAG。，A4,U平面AAG。，則。81A41,

XVMBBl，則。81陰

又?.?BB]1A4，ABAfii，則BB]1AB,

ABDB=B,AB,u平面ABC,

BB[_L平面ABC,

ACu平面ABC,則BBt1AC,

且A4BB「可得A411AC,

.?.△AAC為直角三角形，則A4,=AMIC2—AC2=血,

以用為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量4a,,耳3方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐

標(biāo)系BI-xyz,

則用(0,0,0),A(ojo),c,(1,0,0),c(i,o,V2),B(O,O/，F(xiàn)0,0，等)，

可得A^=0,-1,,AC=(1,-1,V2),

I2)

.萬近C

設(shè)平面A/c的一個法向量為〃i=(%,y,z),則J2,

"iAjC=x-y+y/2z-0

令y=l,則x=—l,z=0,可得n,=(—1,1,3),

?.?平面B^F的一個法向量為%=（1,0,0）,

設(shè)二面角B,-\F-C的平面角為0e（0,7i）,

ITIII

可得|cos6|=

sin。=71-cos2d--

2

故二面角By-\F-C的正弦值為"

2

20.由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年

電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟,

給予中國青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的

社會問題，受到了青年觀眾的喜愛.為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機(jī)調(diào)查了A,

B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下所示的2x2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計(jì)

A3015

BXy

合計(jì)

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”

的概率為0.35.

(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽

取喜愛程度為“非常喜歡'’的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少？

(2)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)

有關(guān)系.

(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”

的觀眾的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

卜2n(ad-bcf

附：K=,〃-Q+b+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.001

P(K，＞%)0.050.010

3.8416.63510.828

X

解：(1)由題意得——=0.35,解得x=35,

100

所以應(yīng)從A地抽取30x——=6(人)，從B地抽取35x——=7(人).

100100

(2)完成表格如下：

非常喜歡喜歡合計(jì)

A301545

B352055

合計(jì)6535100

零假設(shè)為"o：觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無關(guān).

l00x(30x20-35xl5)2100.,.,,

K-=--------------------------=------?0.1<3.8o41,

65x35x45x551001

所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

302

(3)從A地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為一二—,

453

從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，則X?8(3,2),X的所有可能取值為0,1,2,3,

3

則尸(x=o)=U，

2

P(X=1)=C；

9

(八3

8

P(X=3)=-

27

所以X的分布列為

X0123

1248

P

279927

1248

方法1：E(X)=Ox—+lx-+2x-+3x—=2.

279927

2

方法2：E(X)=np=3x—=2.

21.已知A,8是拋物線E：y=f上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，用與拋物線E交于

|PAl附

點(diǎn)C,PB與拋物線E交于點(diǎn)O,且滿足鬲=易=4，其中力是常數(shù)，且

(1)設(shè)AB,C￡>的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N,證明：MN垂直于x軸;

(2)若點(diǎn)P為半圓/+);2=1(>,<0)上的動點(diǎn)，且4=2,求四邊形A8DC面積的最大

值.

iPAl\PB\,

解:(1)因?yàn)榫W(wǎng)=兩=九，且P,A,C共線，P,B,。共線，所以A3〃CQ,

所以直線AB和直線CO的斜率相等，即心8=與。，

設(shè)A(%,石),5(%2,%2)，C(尤39,^3)9。(”49“4)，

則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)了川=玉滬,

由”弘得(三合

(X2-X,)(x7+X1)(x4-x/)(x4+xj

因式分解得,二",約分得々+%=%+品，

drHIX,+X9X-,+X.

陰以2~=~^~2，即%"-XN'

所以MN垂直于x軸.

(2)設(shè)尸(x0,九)，則片+y：=i，且T<%<0,

當(dāng)；1=2時，C為心中點(diǎn)，則%=""，

2/\2

因?yàn)镃在拋物線上，所以&±±=也土土，整理得，:一2%斗+2%一片=0,

2<2)

當(dāng)2=2時，D為PB中點(diǎn)、,同理得4一2%%+2%一片=。，

所以西,々是方程』-2xox+2yo-x^=（）的兩個根，

因?yàn)椤?4片一4（2%一片）=8（x：-加）>0，

由韋達(dá)定理得玉+￡=2%（），=2%—X：,

所以/=五歲=x"，所以PM也垂直于x軸，

所以|PM|=智區(qū)f=