2023-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊-第22章二次函數(shù)培優(yōu)練習(xí)卷

人教版2023年九年級上冊第22章《二次函數(shù)》培優(yōu)練習(xí)卷

—.選擇題（共10小題）

1.如圖，拋物線y=ax?+bx+c（a#0）的頂點(diǎn)和該拋物線與y軸的交點(diǎn)在一次函數(shù)y=kx+l

（k#0）的圖象上，它的對稱軸是直線x=l,有下列四個結(jié)論：①abc>0；②aV-彳

③a=-k；④當(dāng)0<x<l時，ax+b>k,其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3D.4

2.如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax'+bx+c>0的解集是

C.-l<x<3D.x>3或x<-1

2

3.已知拋物線y=ax+bx+c(a70)與x軸的交點(diǎn)為A(1,0)和B(3,0),點(diǎn)Pi(xnyt),

P2（xz，y2）是拋物線上不同于A,B的兩個點(diǎn)，記aPiAB的面積為Si，AP2AB的面積為

S2,有下列結(jié)論：

①當(dāng)X|>X2+2時，S!>S2；

②當(dāng)X1V2-X2時，Si<S2；

③當(dāng)|X「2|>|X2-2|>1時，Si>S2；

④當(dāng)|&-2|>。2+2|>1時,S,<S2.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.②③B.①③C.①②③④D.③

4.如圖，二次函數(shù)y=ax.bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC

=30A=3,則下列結(jié)論：

①abc>0；②4ac-b2<0；③當(dāng)-2WxW2時，y隨x的增大而增大；④將拋物線在y軸

左側(cè)的部分沿過點(diǎn)C且平行于x軸的直線1翻折，拋物線的其余部分保持不變得到一個

新圖象，當(dāng)函數(shù)y=k（k為常數(shù)）的圖象與新圖象有3個公共點(diǎn)時，k的取值范圍是3V

kW4,其中正確的個數(shù)是（）

c

Al0|\Bx

A.1B.2C.3D.4

5.已知二次函數(shù)y=a(x+1)(x-m)(a為非零常數(shù)，l<m<2),當(dāng)xV-1時，y隨x的

增大而增大，說法正確的是()

A.若圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則一§VaV0

B.若x>-獅，則y隨x的增大而增大

C.若(-2020,yj(2020,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y'y?

//3

D.若圖象上兩點(diǎn)(彳yi),(~4-n,y2)對一切正數(shù)n,總有y1>y2,則

6.二次函數(shù)y=x'+2x+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(xt,0),B(x2,0),且x1Vx2,點(diǎn)

P(m,n)是圖象上一點(diǎn)，那么下列判斷正確的是()

A.當(dāng)n>0時，m<XiB.當(dāng)n>0時，m>X2

C.當(dāng)n<0時，m<0D.當(dāng)nVO時，Xj<m<x2

7.某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子0A,0恰為水面中心，

安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落

下.在過0A的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，水流噴出的高度y(m)與水

平距離X(m)之間的關(guān)系式是y=-x?+2x+3,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.柱子0A的高度為3m

B.噴出的水流距柱子1m處達(dá)到最大高度

C.噴出的水流距水平面的最大高度是3m

D.水池的半徑至少要3m才能使噴出的水流不至于落在池外

8.拋物線y=ax?+(1-2a)x+3(a>0)過點(diǎn)A(bm),點(diǎn)A到拋物線對稱軸的距離記為

d,滿足0<七,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.m23B.mW2C.2<m<3D.mW3

9.如圖，拋物線y=g2-x-次J圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,以

AB為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點(diǎn)E,圓心為I,P是半圓上一動點(diǎn)，連接DP,點(diǎn)Q

為PD的中點(diǎn).下列四種說法：

①點(diǎn)C在。I上；

②IQ_LPD；

③當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)A時，點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為n；

④線段BQ的長可以是3.2.

其中正確說法的個數(shù)為()

10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列說法：

①abc<0；

②方程ax?+bx+c=0的根為X,--1、x?=3；

!

③若直線y=2與y=ax'+bx+c的圖象相交于A(x3,yi),B(x4,y2),(x3<x，i)兩點(diǎn)則

X］、X2、X3、Xq的大小關(guān)系是Xi<X2<X3〈X.i;

④當(dāng)y>0時，-l<x<3；

@-a-4>+c>0,

填空題(共9小題)

11.已知二次函數(shù)y=-g(+7)2+3,在-2WxW4這個范圍內(nèi)，該二次函數(shù)的最大值

為?

12.在某市治理違建的過程中，某小區(qū)拆除了自建房，改建綠地.如圖，自建房占地是邊長

為8m的正方形ABCD,改建的綠地是矩形AEFG,其中點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD的延長線

上，且DG=2BE.那么當(dāng)BE=m時，綠地AEFG的面積最大.

13.寫一個實(shí)數(shù)m的值,使得二次函數(shù)-(m-1)x+3,當(dāng)xV-3時，y

隨x的增大而減小.

,22

14.如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y,=x(x20)與y2=丁(x20)于B、C兩

點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交外于點(diǎn)D,直線DE〃AC,交y?于點(diǎn)E,則

15.拋物線y=ax?+bx+c與直線y=mx+n交于點(diǎn)A(-2,5)>B(3,兩點(diǎn)，則關(guān)于x的

一元二次方程a(x+1)4c-n=(m-b)(x+1)的兩根之和是.

16.一位籃球運(yùn)動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運(yùn)動，當(dāng)球

運(yùn)動的水平距離為2.5m時，達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi).已知籃圈中心距

離地面高度為3.05m,在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，則此拋物線的解析式

為_________________.

17.二次函數(shù)丫=-夕2+等(+1000的圖象經(jīng)過第一象限的格點(diǎn)(即縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的

點(diǎn))共有個.

18.如圖，直線1：y=§+，經(jīng)過點(diǎn)M(0,二)，一組拋物線的頂點(diǎn)瓦(1,y)BZ(2,

y2),B3(3,y3)…Bn(n,yQ(n為正整數(shù))依次是直線1上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正

半軸的交點(diǎn)依次是:A,(xi,0),A2(X2>0),A3(X3,0).,An+i(xn+i,0)(n為正整數(shù))，

設(shè)xi=d(0<d<l)若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則

我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”.則當(dāng)d(0<d<l)的大小變化時美麗拋物線

相應(yīng)的d的值是.

19.如圖是二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)圖象的一部分，有下列4個結(jié)論：①abc>0；②

2

b-4ac>0；③關(guān)于x的方程ax'+bx+c=O的兩個根是xi=-2,x2=3；④關(guān)于x的不等

式ax2+bx+c>0的解集是x>-2.其中正確的結(jié)論是.

三.解答題(共11小題)

20.函數(shù)y=(m2-2m)x2+(2m-3)x+1圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)，求m的值，并求公共

點(diǎn)的坐標(biāo).

21.某排球隊(duì)員站在發(fā)球區(qū)發(fā)球，排球發(fā)出后向正前方行進(jìn)，行進(jìn)高度y(m)與水平距離x

(m)之間函數(shù)的表達(dá)式是丫=一套+4+學(xué)求：

(1)已知發(fā)球點(diǎn)到排球網(wǎng)的水平距離為9m,網(wǎng)高2.43m,排球是否能打過網(wǎng)？

(2)當(dāng)排球走過的水平距離是多少時，排球距離地面最高？

(3)已知排球場地的長為18m,排球?qū)⒙湓诮鐑?nèi)還是界外？

22.某超市銷售櫻桃，已知櫻桃的進(jìn)價(jià)為15元/千克，如果售價(jià)為20元/千克，那么每天可

售出250千克，如果售價(jià)為25元/千克，那么每天可售出200千克，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天

的銷售量y(千克)與售價(jià)x(元/千克)之間存在一次函數(shù)關(guān)系.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若櫻桃的售價(jià)不得高于28元/千克，請問售價(jià)定為多少時，該超市每天銷售櫻桃所

獲的利潤最大？最大利潤是多少元？

23.如圖，拋物線y=-x?+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸與拋物線

交于點(diǎn)P,與直線BC交于點(diǎn)N,連接PB,

(1)拋物線上是否存在異于點(diǎn)P的一點(diǎn)Q,使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出

點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

(2)在第一象限對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R,使aRPM與△RMB的面積相等？

若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

24.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=a(x+1)(x-3)交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交y

軸于點(diǎn)C,且tan/CA0=3.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接BC,點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQLBC于點(diǎn)Q,P點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為t,PQ的長為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式(直接寫出自變量t的取值范圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若d=2(t>l),M為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A

作y軸的平行線直線1,連接MC并延長交直線1于點(diǎn)E,連接BE、AM、BP,BE=AM,點(diǎn)

F在線段BP上，ZFAB=ZEMA,求F點(diǎn)坐標(biāo).

25.隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵+單車”已成為了很多市民出行的選擇，李華從文化

宮站出發(fā)，先乘坐地鐵，準(zhǔn)備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵，再騎共享

單車回家，設(shè)他出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為x(單位：千米)，乘坐地鐵的時間為外(單

位：分鐘)是關(guān)于x的一次函數(shù)，其關(guān)系如下表：

地鐵站ABCDE

X千米891011.513

yi分鐘1820222528

(1)求力關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

(2)李華騎單車的時間y2(單位：分鐘)也受x的影響，其關(guān)系可用2=%2~10+

8。來描述，請問：李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家里所需的時間

最短？并求出最短時間.

26.己知拋物線y=ax?-2ax+c(a>0)與x軸交于點(diǎn)(2,0).

(1)求拋物線的對稱軸及c的值；

(2)若該拋物線與直線y=x-2只有一個公共點(diǎn).

①求拋物線的解析式；

②將拋物線沿X軸平移n個單位后，當(dāng)3WxW4時，y的最小值為3,請說明平移方式.

27.如圖1,拋物線=%24一2與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)(,)和直線BC的解析

式;

(2)點(diǎn)D是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線上一點(diǎn)，若以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四

邊形為平行四邊形，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線1〃BC,直線1交拋物線于點(diǎn)M、N,直線AM交y軸于點(diǎn)P,直線AN

交y軸于點(diǎn)Q,點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)為yp,y<)>求證：yp+y(?的值為定值.

28.如圖，拋物線y=ax?-2x+c與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上,且位于x軸的上方，將4ABC沿直線AC翻折得到AAB'C,

點(diǎn)B'恰好落在拋物線的對稱軸上.若點(diǎn)G為直線AC下方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)AAB'G

面積最大時點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)Q使得△

BPQ為等邊三角形，請直接寫出此時直線AP的函數(shù)表達(dá)式.

29.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于A(-1,0),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，

與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC=3OA.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使得&=鄉(xiāng)&?若存在，求出所有符合條

件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

(3)如圖2,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P(m,n)是第二象限內(nèi)拋物線上的一個點(diǎn),

分別連接BD、BC、BP,當(dāng)NPBA=NCBD時，求m的值.

30.如圖，已知拋物線y=-x'+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸相交于點(diǎn)N(0,

3),拋物線的頂點(diǎn)為D,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=kx+l與拋物線y=-x'bx+c相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,過點(diǎn)P作y軸

的平行線交AC于M,當(dāng)t為何值時，線段PM的長最大，并求其最大值；

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF

〃BD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接

寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

人教版2023年九年級上冊第22章《二次函數(shù)》培優(yōu)練習(xí)卷

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.如圖，拋物線y=ax?+bx+c（aWO）的頂點(diǎn)和該拋物線與y軸的交點(diǎn)在一次函數(shù)y=kx+l

（kWO）的圖象上，它的對稱軸是直線x=l,有下列四個結(jié)論：①abc>0；②aV-J；

③丹二-k；④當(dāng)OVxVl時，ax+b>k,其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)的性質(zhì)；

一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】利用拋物線開門方向得到aVO,利用拋物線對稱軸得到b=-2a>0,求出一次

函數(shù)y=kx+l（kWO）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到c=l,則可對①進(jìn)行判斷；利用x=-1時，，

y>0得到a-b+l>0,然后把b=-2a代入可得aV-彳拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-

a+1）,然后把（1,-a+1）代入y=kx+l可對②③進(jìn)行判斷，當(dāng)OVxVl時，利用二次

函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方得到ax2+bx+l>kx+l,則可對④進(jìn)行判斷.

【解答】解：,?拋物線開口向下，

.,.a<0,

???拋物線的對稱軸為直線x=--=1,

.,.b=-2a>0,

二?一次函數(shù)y=kx+l（kWO）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

,c=1,

???abcVO,所以①錯誤；

Vx=-1時，y<0,

BPa-b+c<0,

Aa+2a+l<0,

「?aV—g；故②正確；

當(dāng)x=1時,y=a+b+c=a-2a+l=-a+1,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-a+1）,

把（1,-a+1）代入y=kx+l得-a+l=k+l,

Aa=-k,所以③正確；

當(dāng)0<x<l時，ax2+bx+l>kx+l,

即ax2+bx>kx,

/.ax+b>k,所以④正確.

故選：A.

2.如圖，是二次函數(shù)y=ax'+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是

（）

A.x>3B.x<-1C.-l<x<3D.x>3或x<-l

【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）.

【分析】將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為通過圖象求解.

【解答】解：???拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3,0）,對稱軸為直線x=l,

...拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（-1,0）,

2.

Vax+bx+c>0,

Ay>0,

???對應(yīng)拋物線在x軸上方，即在（-1,0）與（3,0）之間.

-l<x<3.

故選：C.

3.已知拋物線y=ax=bx+c（a#0）與x軸的交點(diǎn)為A（1,0）和B（3,0）,點(diǎn)P/x”yj

P2（x2,y2）是拋物線上不同于A,B的兩個點(diǎn)，記aPiAB的面積為4P2AB的面積為

S2,有下列結(jié)論：

①當(dāng)X|>Xz+2時，S|>S2；

②當(dāng)xi<2-xz時，S,<S2；

③當(dāng)|X「2|>|X2-2|>1時，S,>S2；

④當(dāng)|xi-2|>鳳+2|>1時，Si<S2.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.②③B.①③C.①②③④D.③

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】不妨假設(shè)a>0,利用圖象法一一判斷即可.

【解答】解：不妨假設(shè)a>0.

①如圖1中,P”P2滿足Xi>Xz+2,

圖1

?：PR〃AB,

?"?Si—S2，故①錯誤.

②當(dāng)Xi-2,X2=-1>滿足Xj<2-X2,

則S|>S2,故②錯誤.

③??,|X「2|>|X2-2|>1,

.,.P,,P2在x軸的上方，且Pl離X軸的距離比P2離X軸的距離大，

.?.S)>S2,故③正確.

④如圖2中，P1,P2滿足|x「2|>|xz+2|>l,但是Si=Sz，故④錯誤.

4.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC

=30A=3,則下列結(jié)論：

①abc>0；②4ac-b2<0；③當(dāng)-2Wx<2時，y隨x的增大而增大；④將拋物線在y軸

左側(cè)的部分沿過點(diǎn)C且平行于x軸的直線1翻折，拋物線的其余部分保持不變得到一個

新圖象，當(dāng)函數(shù)y=k(k為常數(shù))的圖象與新圖象有3個公共點(diǎn)時，k的取值范圍是3V

kW4,其中正確的個數(shù)是()

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與

幾何變換；拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】由0B=0C=30A=3可得A(-1,0),B(3,0),C(0,3),繼而可求出拋物線

解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷①③④，由拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)可判斷②.

【解答】解：,.?OB=OC=3OA=3,

.\0B=0C=3,0A=l,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,3),

把A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax?+bx+c得：

一+=0

g+3+=0,

=3

解得：［=2,

(=3

.*.y=-x*+2x+3,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

???abc=(-1)X2X3<0,故①錯誤；

?.?拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，

.*.b2-4ac>0,即4ac-b2V0,故②正確；

當(dāng)xVl時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小，故③錯誤；

;拋物線頂點(diǎn)為(1,4),C(0,3),

??.當(dāng)函數(shù)y=k(k為常數(shù))的圖象與新圖象有3個公共點(diǎn)時，k的取值范圍是3VkV4,

故④錯誤；

故選：A.

5.已知二次函數(shù)y=a(x+1)(x-m)(a為非零常數(shù)，1VmV2),當(dāng)xV-1時，y隨x的

增大而增大，說法正確的是()

A.若圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則一gva<0

B.若x>-卯，則y隨x的增大而增大

C.若(-2020,y。，(2020,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則力<丫2

D.若圖象上兩點(diǎn)(;，yi),(二+n,y2)對一切正數(shù)n,總有y1>y2，則;WmV2

442

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項(xiàng)中的說法是否

正確，從而可以解答本題.

【解答】解：??,二次函數(shù)y=a(x+1)(x-m)(a為非零常數(shù)，lVmV2),當(dāng)xV-1時，

y隨x的增大而增大，

Aa<0,

若圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則l=a(0+1)(0-m),得1=-am,

Va<0,l<m<2,

-l<a<-1故選項(xiàng)A錯誤；

?二次函數(shù)y=a(x+1)(x-m)(a為非零常數(shù)，l<m<2),a<0,

?,?該函數(shù)的對稱軸為直線x=二

-1+

*.0<-

,?當(dāng)x<二專一時，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)B錯誤;

??若(-2020,yi),(2020,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則yi〈y2,故選項(xiàng)C正確;

，若圖象上兩點(diǎn)(;，yi),(二+n,y2)對一切正數(shù)n,總有y1>y2，1VmV2,

44

???該函數(shù)與x軸的兩個交點(diǎn)為(-1,0),(m,0),

解得故選項(xiàng)D錯誤；

故選：C.

6.二次函數(shù)y=x、2x+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1，0),B(x2,0),且x1Vx2,點(diǎn)

P(m,n)是圖象上一點(diǎn)，那么下列判斷正確的是()

A.當(dāng)n>0時，m<XiB.當(dāng)n>0時，m>x2

C.當(dāng)n<0時，m<0D.當(dāng)nVO時，xi<m<x2

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項(xiàng)中的結(jié)論是否

正確，從而可以解答本題.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=x2+2x+c,

,該函數(shù)圖象開口向上，

,二次函數(shù)y=x—2x+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(X],0),B(x2,0),且XiVx?,點(diǎn)

P(m,n)是圖象上一點(diǎn)，

.,.當(dāng)n>0時，mVxt或m>X2，故選項(xiàng)A、B錯誤；

當(dāng)nVO時，xi<m<x2>故選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確；

故選：D.

7.某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子OA,0恰為水面中心，

安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落

下.在過0A的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，水流噴出的高度y(m)與水

平距離x(m)之間的關(guān)系式是y=-x?+2x+3,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.柱子0A的高度為3m

B.噴出的水流距柱子1m處達(dá)到最大高度

C.噴出的水流距水平面的最大高度是3m

D.水池的半徑至少要3m才能使噴出的水流不至于落在池外

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)解析式可以判斷各個小題中的說法是否正確，從而可以

解答本題.

【解答】解：'.'y--x?+2x+3=-(x-1)2+4,

.,.當(dāng)x=0時,y=3,即OA=3m,故A選項(xiàng)正確,

當(dāng)x=l時，y取得最大值，此時y=4,故B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤，

當(dāng)y=0時，x=3或x=-l(舍去)，故D選項(xiàng)正確，

故選：C.

8.拋物線y=ax?+(1-2a)x+3(a>0)過點(diǎn)A(1,m),點(diǎn)A到拋物線對稱軸的距離記為

d,滿足OVd4,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.m23B.mW2C.2<m<3D.mW3

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】求得拋物線的對稱軸，根據(jù)點(diǎn)A到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足OVdW4,

即可得到0V1+《:一工。解得a21,把A(1,m)代入y=ax*+(1-2a)x+3(a>

0)得：4-a=m,得至!|a=4-m,所以4-m21,解得即可.

【解答】解：???拋物線丫=2/+(1-2a)x+3(a>0),

對稱軸為直線x=一與二一，

?.?點(diǎn)A(1,m)到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0<dW%

把A(1,m)代入y=ax'+(1-2a)x+3(a>0)得：

a+1-2a+3=m,

4-a=m,

.*.a=4-m,

???4-mNl,

故選：D.

9.如圖，拋物線y=*-x—費(fèi)勺圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,以

AB為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點(diǎn)E,圓心為I,P是半圓上一動點(diǎn)，連接DP,點(diǎn)Q

為PD的中點(diǎn).下列四種說法：

①點(diǎn)C在。I上；

②IQUD；

③當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)B運(yùn)動至點(diǎn)A時，點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為IT；

④線段BQ的長可以是3.2.

其中正確說法的個數(shù)為()

y

vry.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【分析】由拋物線y=^-x-匏A(-1,0),B(3,0),C(0,一務(wù)可得I(1,0),

頂點(diǎn)D(1,-2),

①根據(jù)勾股定理求出IC,即可求解；

②根據(jù)垂徑定理即可求解；

③點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為以I為圓心的半圓，則點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡為以R為圓心的半圓，即可

求解；

④根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：拋物線y=g-x—制圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,C,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-J),

.?.點(diǎn)I(1,0),OI的半徑為2,

?.?y=夕-x-§=g(x-1)2-2,

，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(1,-2),

.\ID=2,

???點(diǎn)D在。I上.

①IC=V―q2=“+(務(wù)=等彳2,故點(diǎn)C不在。I上，故①不正確；

②?.?圓心為I,P是半圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)D在。I上，點(diǎn)Q為PD的中點(diǎn).

AIQ1PD,故②正確；

③圖中實(shí)點(diǎn)G、Q、I、F是點(diǎn)N運(yùn)動中所處的位置，

則GF是等腰直角三角形的中位線，GF=2B=2,ID交GF于點(diǎn)R,則四邊形GDFI為正方

形，

當(dāng)點(diǎn)P在半圓任意位置時，中點(diǎn)為Q,連接IQ,則IQLPD,連接QR,

則QR=3D=IR=RI)=RG=RF=^F=1,則點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡為以R為圓心的半圓，

則Q運(yùn)動的路徑長=gx2nr=n,故③正確；

④由③得，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)G的位置時，BQ的長最大,

最大值為J4+產(chǎn)=，仍<3.2,

???線段BQ的長不可以是3.2,故④不正確.

故正確說法有：②③.

故選：B.

10.二次函數(shù)y=ax*+bx+c的圖象如圖所示，給出下列說法：

①abcV0；

②方程ax”+bx+c=0的根為Xi=-1、X2=3；

③若直線y=2與y=ax'+bx+c的圖象相交于A(x3,yD，B(x4,y2),(x3<x4)兩點(diǎn)則

Xi、X2、X3、X4的大小關(guān)系是Xi〈X2Vx3Vx.1；

④當(dāng)y>0時，-l<x<3；

%+c>0,

C.3個D.4個

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的

交點(diǎn)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)：開口方向、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸等來對①②③④

進(jìn)行判斷，從而求解.

【解答】解：①由題意函數(shù)的圖象開口向下，與y軸的交點(diǎn)大于0,

Aa<0,c>0,

函數(shù)的對稱軸為x=l,

一~"2"""=1>0，

Ab>0,

Aabc<0,正確；

②???函數(shù)圖象知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)為(-1,0)、(3,0),

，方程ax」+bx+c=0的根為Xi=-1、X2=3,正確;

2

③若直線y=2與y=ax+bx+c的圖象相交于A(x3,yi),B(x4,y2),(x3<x4)兩點(diǎn)則

X1>X2Xx3>X4的大小關(guān)系是X1〈X3Vx4VX2,錯誤;

④由函數(shù)圖象知，當(dāng)-1VXV3時，y>0,正確；

(§),?,~-2-=1.

/.b=-2a,

:函數(shù)圖象知函數(shù)與X軸交于點(diǎn)為(-1,0),

.*.a-b+c=0,

??c-3a,

.?.ja-夕+c=4+a-3a=--^a>0,正確；

綜上①②④⑤正確，

故選：D.

二.填空題(共9小題)

11.已知二次函數(shù)y=—或(+7)2+3,在-2<xW4這個范圍內(nèi)，該二次函數(shù)的最大值為

3.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值.

【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-l,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【解答】解：二次函數(shù)y=+7)2+3的對稱軸為直線x=-1,

Va=-§<0,

...當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最大值3,

：-2<-1<4,

...在-2WxW4內(nèi)，x=-l時，y有最大值3,

故答案為：3.

12.在某市治理違建的過程中，某小區(qū)拆除了自建房，改建綠地.如圖，自建房占地是邊長

為8m的正方形ABCD,改建的綠地是矩形AEFG,其中點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD的延長線

上，且DG=2BE.那么當(dāng)BE=2m時,綠地AEFG的面積最大.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】設(shè)BE=xm,則DG=2BE=2xm,綠地AEFG的面積為ym\根據(jù)題意得y關(guān)于x的

二次函數(shù)，然后寫成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：設(shè)BE=xm,則DG=2BE=2xm,綠地AEFG的面積為ynA根據(jù)題意得：

y=AE,AG

=(8-x)(8+2x)

=-2x?+8x+64

=-2(x-2)2+12.

?.?二次項(xiàng)系數(shù)為-2,

...當(dāng)x=2時，y有最大值72.

故答案為：2.

13.寫一個實(shí)數(shù)m的值-5,使得二次函數(shù)y=x2-(m-1)x+3,當(dāng)x<-3時，y隨x

的增大而減小.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線的開口方向及對稱軸，進(jìn)而求解.

【解答】解：Vy=x'-（m-1）x+3,

.,.拋物線開口向上，對稱軸為直線x=—二寫2=f乜，

；.xV—時，y隨x增大而減小，

一1

-N-3,

解得m2-5,

故答案為：-5.（答案不唯一）

2

2

14.如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y,=x（x^O）與y2=夕（x>0）于B、C兩

點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交y（于點(diǎn)D,直線DE/7AC,交y?于點(diǎn)E,則----=_V5_.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【分析】設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,a）,利用兩個函數(shù)解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后求出BC

的長度，再根據(jù)CD〃y軸，利用力的解析式求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用力求出點(diǎn)E的坐

標(biāo)，從而得到DE的長度，然后求出比值即可得解.

【解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,a）,（a>0）,

則x?=a,解得x=V-,

_2

??.點(diǎn)B（V-,a）,—=a,

J

則x=\[3一,

?,?點(diǎn)C（萬",a）,

:.BC=y/~3—-V~,

??，CD〃y軸，

???點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，為",

**?y1=（V<?）.=3a,

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（k,3a）.

VDE/7AC,

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3a,

2

-=3a,

o

.?x=3v，

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3廠，3a）,

.".DE=3/--A/5-,

15.拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n交于點(diǎn)A(-2,5)、B(3,仃)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的

一元二次方程a(x+1)2+c-n=(m-b)(x+1)的兩根之和是?1.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；根與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;二次

函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】根據(jù)拋物線y=ax'+bx+c與直線y=mx+n交于點(diǎn)A(-2,5)^B(3,V5)兩點(diǎn)，

可以得到方程ax2+bx+c=mx+n的兩個根，然后將所求的方程變形，即可得到所求方程的

兩個根，從而可以求得所求方程兩根之和，本題得以解決.

【解答】解：?.?拋物線y=ax、bx+c與直線y=mx+n交于點(diǎn)A(-2,5)、B(3,V5)兩

點(diǎn)，

2

?二方程ax+bx+c=mx+n的兩個根為x1=-2,x2=3,

Va(x+1)”+c-n=(m-b)(x+1)可變形為a(x+1)?+b(x+1)+c=m(x+1)+n,

/.x+l=-2或x+l=3,

解得，X3=-3,x4=2,

?'?方程a(x+1)”+c-n=(m-b)(x+1)的兩根之和是-3+2=-1,

故答案為：-L

16.一位籃球運(yùn)動員在距離籃圈中心水平距離4nl處起跳投籃，球沿一條拋物線運(yùn)動，當(dāng)球

運(yùn)動的水平距離為2.5m時;達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi).已知籃圈中心距

離地面高度為3.05m,在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，則此拋物線的解析式為y=-

0.2X'2+3.5.

4m

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】由題意，先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)其解析式為y=ax?+3.5；由圖象得出

籃圈中心的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得a的值，則問題得解.

【解答】解：?.?當(dāng)球運(yùn)動的水平距離為2.5m時，達(dá)到最大高度3.5m,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3.5),

...設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2+3.5,

由圖象可知，籃圈中心與y軸的距離為：4-2.5=1.5(m),且籃圈中心距離地面高度為

3.05m,

...籃圈中心的坐標(biāo)為(1.5,3.05),代入y=ax?+3.5,得：

3.05=aXl.52+3.5,

a=-0.2,

/.y=-0.2X2+3.5.

故答案為：y=-0.2X2+3.5.

17.二次函數(shù)y=—夕+等x+1000的圖象經(jīng)過第一象限的格點(diǎn)(即縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的

點(diǎn))共有1999個.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】求得拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可求得圖象經(jīng)過第一象限的整格點(diǎn)(即縱、橫坐

標(biāo)是正整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù).

【解答】解：由二次函數(shù)=一92+號+/0仞可知：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有

(2000,0)和(0,1000),

...圖象經(jīng)過第一象限時，0WxW2000,

故一共有1999個，

故答案為1999.

18.如圖，直線1：y=《+，經(jīng)過點(diǎn)M(0,二)，一組拋物線的頂點(diǎn)瓦(1,力)，Bz(2,

y2),B3(3,y3)-Bn(n,y?)(n為正整數(shù))依次是直線1上的點(diǎn)，這組拋物線與x軸正

半軸的交點(diǎn)依次是:Ai(X1,0),A2(X2,0),A3(X3,0).,An+i(xn+i>0)(n為正整數(shù)),

設(shè)％=d(0<d<l)若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則

我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”.則當(dāng)d(0<d<l)的大小變化時美麗拋物線

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次

函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】將(0,代入直線1：y=4+，求得B值，從而得直線的解析式；分別

43

取X等于1,2和3,計(jì)算出相應(yīng)的縱坐標(biāo)值，可判斷頂點(diǎn)只有瓦，再根據(jù)等腰直角

三角形的三線合一性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：將(0,代入直線1：y=《+得：

4J

.1,I

..y=3+彳

7

'??當(dāng)x=l時，y=-^><1

7

，Bi(1,—)

:當(dāng)x=2時，y=%o

11

ABa(2,—)

5

當(dāng)x=3時，y=彳>1

???美麗拋物線的頂點(diǎn)只有B”B,

75

若B1為頂點(diǎn)，則d=l-方

若B?為頂點(diǎn)，則d=1-[(2—%)-1]=J7)

故答案為：自

19.如圖是二次函數(shù)y=ax'+bx+c(a#0)圖象的一部分，有下列4個結(jié)論：①abc>0；②

2

b'-4ac>0；③關(guān)于x的方程ax+bx+c=0的兩個根是x1=-2,x2=3；④關(guān)于x的不等

式ax2+bx+c>0的解集是x>-2.其中正確的結(jié)論是②③.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(組)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn).

【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置以及與y軸的交點(diǎn)可對①減小判斷；利用

拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；利用

圖象則可對④進(jìn)行判斷.

【解答】解：???拋物線開口向下，交y軸的正半軸，

Aa<0,c>0,

??_1

,

，b=-a>0,

/.abc<0,所以①錯誤；

???拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，

A=b2-4ac>0,

即b?>4ac,所以②正確；

???拋物線y=ax=bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),

而拋物線的對稱軸為直線X=1

...點(diǎn)(-2,0)關(guān)于直線x=#ltJ對稱點(diǎn)(3,0)在拋物線上，

，關(guān)于x的一元二次方程ax、bx+c=0的兩根是Xi=-2,x2=3,所以③正確.

由圖象可知當(dāng)-2VxV3時，y>0,

，不等式ax2+bx+c>0的解集是-2Vx<3,所以④錯誤；

故答案為②③.

三.解答題(共11小題)

20.函數(shù)y=(m2-2m)x2+(2m-3)x+1圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)，求m的值，并求公共

點(diǎn)的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【分析】需要分類討論：該函數(shù)是一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況.

【解答】解：①當(dāng)命-2!!1=0,且2m-3#0,即m=0或2時，該函數(shù)是一次函數(shù)，則其

圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)；

此時該一次函數(shù)為：y=-3x+l或y=x+l,

與x軸的公共點(diǎn)為：4，0)或(-1,0)；

?J

②當(dāng)m2-2mW0,即mWO或2時,，該函數(shù)是二次函數(shù)，則

△=(2m-3)2-4(m2-2m)=0,

解得m=1

此時解析式為丫=耘+玄+1,與X軸的交點(diǎn)為(-y0),

9/4

綜上，m=0或2或7與x軸的公共點(diǎn)為：(]0)或(-1,0)或(一？0).

21.某排球隊(duì)員站在發(fā)球區(qū)發(fā)球，排球發(fā)出后向正前方行進(jìn)，行進(jìn)高度y(m)與水平距離x

(m)之間函數(shù)的表達(dá)式是丫=一套+4+學(xué)求：

(1)已知發(fā)球點(diǎn)到排球網(wǎng)的水平距離為9m,網(wǎng)高2.43m,排球是否能打過網(wǎng)？

(2)當(dāng)排球走過的水平距離是多少時;排球距離地面最高？

(3)已知排球場地的長為18m,排球?qū)⒙湓诮鐑?nèi)還是界外？

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)計(jì)算當(dāng)x=9時的函數(shù)值，根據(jù)y值與2.43m的大小關(guān)系可得出答案；

(2)將二次函數(shù)解析式配方，寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

(3)計(jì)算當(dāng)x=18時的函數(shù)值，當(dāng)y<0時，排球?qū)⒙湓诮鐑?nèi)；當(dāng)y=0時，排球落在邊

界上；當(dāng)y>0時，排球落在界外.

【解答】解：(1)把x=9代入y=-%2+幺+與得，

y=—x81+3x9+43,

故排球不能打過網(wǎng)；

⑵,?"一方+4+當(dāng)

1,5.215

=-75<X-5)+7

當(dāng)排球走過的水平距離是攝時，排球距離地面最高%

(3)當(dāng)x=18時，

1、1、。、10184小

y=-7JX18+5XI8+后=<0>

???排球落在界內(nèi).

22.某超市銷售櫻桃，已知櫻桃的進(jìn)價(jià)為15元/千克，如果售價(jià)為2