合成控制法簡(jiǎn)介及代碼

合成限制法經(jīng)濟(jì)學(xué)家常要評(píng)估某政策或事務(wù)的效應(yīng)。此政策可能實(shí)施于某國(guó)家或地區(qū)（省、州或城市）。最簡(jiǎn)潔（天真）的方法是考察政策實(shí)施前后的時(shí)間序列，看所關(guān)切的結(jié)果（outcomeofinterest）如何改變。但此結(jié)果還可能受其原有改變趨勢(shì)的影響，或其他同時(shí)發(fā)生的混淆性事務(wù)（confounder）的作用。為此，常運(yùn)用“魯賓的反事實(shí)框架”（Rubin'scounterfactualframework），即假想該地區(qū)如未受政策干預(yù)將會(huì)怎樣，并與事實(shí)上受到干預(yù)的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，二者之差即為“處理效應(yīng)”（treatmenteffect，借用醫(yī)學(xué)術(shù)語(yǔ)）。困難之處在于，我們無(wú)法觀測(cè)到“該地區(qū)如未受政策干預(yù)將會(huì)怎樣”（反事實(shí)）。選擇限制組是門(mén)藝術(shù)常用解決方法是，找尋適當(dāng)?shù)南拗平M（controlgroup），即在各方面都與受干預(yù)地區(qū)相像卻未受干預(yù)的其他地區(qū)，以作為處理組（treatedgroup，即受到干預(yù)的地區(qū)）的反事實(shí)替身（counterfactuals）。但通常不易找到最志向的限制地區(qū)（controlregion），在各方面都接近于處理地區(qū)（treatedregion）。比如，要考察僅在北京實(shí)施的某政策效果，自然會(huì)想到以上海作為限制地區(qū)；但上海終歸與北京不完全相同?；蚩捎闷渌痪€城市（上海、廣州、深圳）構(gòu)成北京的限制組，比較上海、廣州、深圳與北京在政策實(shí)施前后的差別，此方法也稱“比較案例探討”（comparativecasestudies）。但如何選擇限制組通常存在主觀隨意性（ambiguity），而上海、廣州、深圳與北京的相像度也不盡相同。為此，AbadieandGardeazabal(2003)提出“合成限制法”（SyntheticControlMethod）。其基本思想是，雖然無(wú)法找到北京的最佳限制地區(qū)，但通?？蓪?duì)中國(guó)的若干大城市進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€性組合，以構(gòu)造一個(gè)更為優(yōu)秀的“合成限制地區(qū)”（syntheticcontrolregion），并將“真實(shí)北京”與“合成北京”進(jìn)行對(duì)比，故名“合成限制法”。合成限制法的一大優(yōu)勢(shì)是，可以依據(jù)數(shù)據(jù)（data-driven）來(lái)選擇線性組合的最優(yōu)權(quán)重，避開(kāi)了探討者主觀選擇限制組的隨意性。（一）Abadie論文西班牙恐怖活動(dòng)引發(fā)的計(jì)量方法AbadieandGardeazabal(2003)的初衷是以合成限制法探討西班牙巴斯克地區(qū)（Basquecountry）恐怖活動(dòng)的經(jīng)濟(jì)成本。MIT經(jīng)濟(jì)系教授AlbertoAbadie（此前長(zhǎng)期任教于哈佛高?？夏岬蠈W(xué)院），正是來(lái)自于巴斯克地區(qū)，一個(gè)毗鄰法國(guó)的西班牙自治地區(qū)。巴斯克人長(zhǎng)期居住于巴斯克地區(qū)，擁有獨(dú)特的語(yǔ)言與文化，在歷史上多次勝利對(duì)抗強(qiáng)敵入侵。在1970年頭初，巴斯克地區(qū)的人均GDP在西班牙17個(gè)地區(qū)中排第三。之后，由于民族獨(dú)立的訴求未獲滿意，從1975年起先，巴斯克地區(qū)陷入有組織的恐怖活動(dòng)之中?？植阑顒?dòng)重創(chuàng)巴斯克經(jīng)濟(jì)，至1990年頭末，巴斯克地區(qū)的人均GDP在西班牙排名降為第六。然而，70年頭末至80年頭初，西班牙整體經(jīng)濟(jì)也下行，故不易區(qū)分恐怖活動(dòng)的單獨(dú)效應(yīng)。而且，巴斯克地區(qū)在恐怖活動(dòng)之前的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)潛力明顯與西班牙其他地區(qū)也不盡相同。為此，AbadieandGardeazabal(2003)運(yùn)用西班牙其他地區(qū)的線性組合來(lái)構(gòu)造合成的限制地區(qū)，并使得合成限制地區(qū)的經(jīng)濟(jì)特征與60年頭末恐怖活動(dòng)爆發(fā)前的巴斯克地區(qū)盡可能相像，然后把此后“合成巴斯克地區(qū)”（syntheticBasquescountry）的人均GDP演化與“真實(shí)巴斯克地區(qū)”（actualBasquecountry）進(jìn)行對(duì)比。如何構(gòu)造合成限制詳細(xì)而言，假設(shè)共有(1+J)個(gè)地區(qū)，其中第1個(gè)地區(qū)為受到恐怖活動(dòng)沖擊的巴斯克地區(qū)，而其余J個(gè)西班牙地區(qū)未受沖擊（在此J=16），構(gòu)成潛在的限制組，稱為“donorpool”（原意為“器官捐獻(xiàn)庫(kù)”，再次借用醫(yī)學(xué)術(shù)語(yǔ)）。一個(gè)潛在假定是，恐怖活動(dòng)僅影響巴斯克地區(qū)，而未波及西班牙的其他地區(qū)（事實(shí)上恐怖活動(dòng)也主要集中于巴斯克地區(qū)）。將合成限制地區(qū)的權(quán)重記為以下J維列向量：其中，w2表示第2個(gè)地區(qū)在合成巴斯克地區(qū)所占的權(quán)重，以此類(lèi)推；全部權(quán)重皆非負(fù)，且權(quán)重之和為1。w的不同取值即構(gòu)成不同的合成限制地區(qū)，簡(jiǎn)稱“合成限制”（syntheticcontrol）。在此探討中，被說(shuō)明變量為人均GDP，記為y。影響y的說(shuō)明變量或預(yù)料變量（predictors）包括投資率、人口密度、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、人力資本等，詳見(jiàn)下表。在巴斯克地區(qū)爆發(fā)恐怖活動(dòng)之前，記其各預(yù)料變量的平均值為向量x1（K×1維列向量，下標(biāo)1表示“treatedregion”），即上表第(1)列的數(shù)值（除了人均GDP）。將西班牙其他地區(qū)相應(yīng)預(yù)料變量的平均值記為矩陣X0（K×J維矩陣，下標(biāo)0表示“controlregion”），其中第j列為第j個(gè)地區(qū)的相應(yīng)取值。明顯，我們希望選擇權(quán)重w，使得X0w盡可能地接近于x1，即經(jīng)過(guò)加權(quán)之后，合成限制地區(qū)的經(jīng)濟(jì)特征應(yīng)盡量接近處理地區(qū)。為度量此距離，可運(yùn)用二次型（類(lèi)似于歐幾里得空間中兩點(diǎn)之間的距離）。由于x1中的每個(gè)預(yù)料變量對(duì)于y的預(yù)料實(shí)力有大小之別，應(yīng)在距離函數(shù)中享有不同的權(quán)重，故考慮以下有約束的最小化問(wèn)題：其中，V為(K×K)維對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素均為非負(fù)權(quán)重，反映相應(yīng)的預(yù)料變量對(duì)于人均GDP的相對(duì)重要性。此最小化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)，為“二次規(guī)劃”（quadraticprogramming）問(wèn)題，一般進(jìn)行數(shù)值求解。記此約束最小化問(wèn)題的最優(yōu)解為w*(V)；明顯，它依靠于對(duì)角矩陣V。進(jìn)一步，選擇最優(yōu)的V，使得在恐怖活動(dòng)全面爆發(fā)之前，合成巴斯克地區(qū)的人均GDP與真實(shí)巴斯克地區(qū)盡量接近。詳細(xì)而言，記z1為(10×1)維列向量，包含巴斯克地區(qū)在1960-1969年間的人均GDP；記Z0為(10×J)維矩陣，其中每列為相應(yīng)限制地區(qū)在1960-1969年間的人均GDP。用Z0w*(V)來(lái)預(yù)料z1，然后選擇V，以最小化“均方預(yù)料誤差”（MeanSquaredPredictionError，簡(jiǎn)記MSPE），即將每期的預(yù)料誤差平方后再求各期的平均：求解此最小化問(wèn)題，可得構(gòu)成合成巴斯克地區(qū)的最優(yōu)權(quán)重，w*=w*(V*)。經(jīng)過(guò)計(jì)算，AbadieandGardeazabal(2003)發(fā)覺(jué)，只有兩個(gè)地區(qū)的權(quán)重為正，即加泰羅尼亞（Catalonia，權(quán)重0.8508）與馬德里（Madrid，權(quán)重0.1492），而其他地區(qū)的權(quán)重均為0。直觀上，Catalonia與Madrid的經(jīng)濟(jì)特征也與巴斯克地區(qū)最為相像。合成限制法的“效果圖得到合成巴斯克地區(qū)的權(quán)重之后，即可計(jì)算其人均GDP在樣本期間的演化過(guò)程。記巴斯克地區(qū)在樣本期間（假設(shè)為T(mén)期）的人均GDP為向量y1（T×1維列向量）。記其他地區(qū)在樣本期間的人均GDP為矩陣Y0（T×J維矩陣），其中每列為相應(yīng)地區(qū)的人均GDP。由此可得合成巴斯克地區(qū)的人均GDP序列y1*=Y0w*。最直觀的方法是將y1與合成限制的y1*畫(huà)時(shí)間趨勢(shì)圖，參見(jiàn)下圖。從上圖可知，在1975年大規(guī)模恐怖活動(dòng)爆發(fā)之前，真實(shí)巴斯克（實(shí)線）與合成巴斯克（虛線）的人均GDP特別接近。二者在1975年后即起先分岔；而在1980與1990年頭，真實(shí)巴斯克的人均GDP比合成巴斯克低約10%。換言之，巴斯克恐怖活動(dòng)的經(jīng)濟(jì)成本是損失了約10%的人均GDP反事實(shí)的分析框架假設(shè)共有(1+J)個(gè)地區(qū)，其中第1個(gè)地區(qū)受到政策干預(yù)（如有多個(gè)地區(qū)受到干預(yù)，可合并為一個(gè)大地區(qū)；或分別進(jìn)行估計(jì)），而其余J個(gè)地區(qū)未受沖擊（構(gòu)成donorpool）。記yit為地區(qū)i在第t期實(shí)際觀測(cè)到的結(jié)果變量，其中i=1,...,J+1，而t=1,...,T。記yitN為地區(qū)i在第t期假如未受政策干預(yù)的結(jié)果變量（上標(biāo)N表示未受干預(yù)）。記T0為政策干預(yù)起先之前（preintervention）的時(shí)期數(shù)，且1≤T0<T。記yitI為地區(qū)i在第t期的結(jié)果變量（上標(biāo)I表示Intervention），假如地區(qū)i在第(T0+1)至第T期持續(xù)地受到政策干預(yù)。假設(shè)政策在前T0期對(duì)于結(jié)果變量沒(méi)有影響，即對(duì)于全部i與t≤T0，都有yit=yitN=yitI。假如政策在實(shí)施之前即產(chǎn)生影響（比如，通過(guò)預(yù)期效應(yīng)），則可重新定義T0為政策實(shí)際起先產(chǎn)生影響之前的那個(gè)時(shí)期。一個(gè)潛在假定是各地區(qū)之間不會(huì)相互影響（nointerferencebetweenunits）；特殊地，限制地區(qū)的結(jié)果變量不受處理地區(qū)政策沖擊的影響。我們關(guān)切當(dāng)i=1而t>T0時(shí)的處理效應(yīng)：在上式中，只要估計(jì)y1tN即可。引入因子模型假設(shè)yitN由以下“因子模型”（factormodel）所確定：其中，上式右邊第(1)項(xiàng)δt為時(shí)間固定效應(yīng)(timefixedeffects)。第(2)項(xiàng)的zi為可觀測(cè)的向量（不受政策干預(yù)影響，也不隨時(shí)間而變；比如，干預(yù)之前的預(yù)料變量之平均值）。zi對(duì)于yitN的作用隨時(shí)間而變，故zi的系數(shù)θt（未知參數(shù)）帶時(shí)間下標(biāo)t。第(3)項(xiàng)為不行觀測(cè)的“互動(dòng)固定效應(yīng)”（InteractiveFixedEffects），即個(gè)體固定效應(yīng)ui與時(shí)間固定效應(yīng)λt的乘積（Bai,2009）。第(4)項(xiàng)?it為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。依據(jù)“因子分析”（factoranalysis）的術(shù)語(yǔ)，稱第(3)項(xiàng)中不行觀測(cè)的λt為“共同因子”（commonfactors），可理解為不同地區(qū)所面臨的共同沖擊（commonshocks），比如它有兩個(gè)重量，分別表示技術(shù)沖擊（technologicalshocks）與金融危機(jī)（financialcrises）；而各地區(qū)對(duì)于共同沖擊λt的反應(yīng)并不相同，以u(píng)i來(lái)表示，稱為“因子載荷”（factorloading）。假如λt是一維且為常數(shù)，則上式簡(jiǎn)化為“雙向固定效應(yīng)模型”（two-wayfixedeffectsmodel），包含個(gè)體固定效應(yīng)ui與時(shí)間固定效應(yīng)δt。由此可知，上式是雙向固定效應(yīng)模型的推廣，它允許不同個(gè)體對(duì)于共同沖擊的異質(zhì)性反應(yīng)（heterogeneousimpacts）。合成限制的誤差記構(gòu)造合成限制的權(quán)重向量為：其中，w2表示第2個(gè)地區(qū)在合成限制所占的權(quán)重，以此類(lèi)推；全部權(quán)重皆為非負(fù)，且權(quán)重之和為1。對(duì)于隨意給定的w，可將合成限制地區(qū)的結(jié)果變量寫(xiě)為：將y1tN減去上式可得：明顯，假如能找到w，使得上式右邊的(1)式與(2)式均為0，則上式的期望為0，故合成限制為y1tN的無(wú)偏估計(jì)。但(2)式中的ui不行觀測(cè)，故不行行。Abadieetal.(2010)證明，假如能找到w使得即依據(jù)可觀測(cè)的經(jīng)濟(jì)特征與干預(yù)前結(jié)果變量所選擇的合成限制w，也會(huì)使得合成限制的不行觀測(cè)特征接近于處理地區(qū)。反之，假如無(wú)法找到w，使得合成限制能很好地復(fù)制（reproduce）處理地區(qū)的經(jīng)濟(jì)特征以及干預(yù)之前的結(jié)果變量，則不建議運(yùn)用合成限制法。合成限制法的基本性質(zhì)假如合成限制w*能很好地復(fù)制處理地區(qū)的經(jīng)濟(jì)特征與干預(yù)前的結(jié)果變量（關(guān)于如何計(jì)算w*，參見(jiàn)首篇《合成限制法（一）》），則可定義如下合成限制估計(jì)量（SyntheticControlEstimator）：Abadieetal.(2010)證明，在肯定的正則條件下，假如合成限制w*能完全地復(fù)制（perfectlyreproduce）處理地區(qū)的經(jīng)濟(jì)特征與干預(yù)前的結(jié)果變量，則當(dāng)干預(yù)前期數(shù)T0趨向無(wú)窮大時(shí)，合成限制估計(jì)量是漸近無(wú)偏（asymptoticallyunbiased）。反之，假如合成限制w*只是不完全地復(fù)制（imperfectlyreproduce）處理地區(qū)的經(jīng)濟(jì)特征與干預(yù)前的結(jié)果變量（更為常見(jiàn)的情形），則合成限制估計(jì)量將是漸近有偏的。此偏差被稱為“內(nèi)插偏差”（interpolationbias），因?yàn)檫\(yùn)用內(nèi)插法構(gòu)造的合成限制并不是處理地區(qū)的完備的反事實(shí)替身。因此，在運(yùn)用合成限制法時(shí)，一個(gè)重要的模型設(shè)定檢驗(yàn)就是，考察合成限制的經(jīng)濟(jì)特征與干預(yù)前的結(jié)果變量是否與處理地區(qū)足夠接近。合成限制法的Stata吩咐Abadieetal.(2010)還供應(yīng)了合成限制法的Stata程序synth，使得估計(jì)特別便利。打開(kāi)Stata后，可輸入以下吩咐：.sscinstallsynth,replace（下載并安裝synth程序）其中，選擇項(xiàng)“replace”表示如有此吩咐更新版本，可以新吩咐覆蓋舊吩咐。吩咐synth的基本句型為：synthyx1x2x3,trunit(#)trperiod(#)counit(numlist)xperiod(numlist)mspeperiod()figureresultsperiod()nestedalloptkeep(filename)其中，“y”為結(jié)果變量（outcomevariable），“x1x2x3”為預(yù)料變量（predictors）。必選項(xiàng)“trunit(#)”用于指定處理地區(qū)（trunit表示treatedunit）。必選項(xiàng)“trperiod(#)”用于指定政策干預(yù)起先的時(shí)期（trperiod表示treatedperiod）。選擇項(xiàng)“counit(numlist)”用于指定潛在的限制地區(qū)（即donorpool，其中counit表示controlunits），默認(rèn)為數(shù)據(jù)集中的除處理地區(qū)以外的全部地區(qū)。選擇項(xiàng)“xperiod(numlist)”用于指定將預(yù)料變量（predictors）進(jìn)行平均的期間，默認(rèn)為政策干預(yù)起先之前的全部時(shí)期（theentirepre-interventionperiod）。選擇項(xiàng)“mspeperiod()”用于指定最小化均方預(yù)料誤差（MSPE）的時(shí)期，默認(rèn)為政策干預(yù)起先之前的全部時(shí)期。選擇項(xiàng)“figure”表示將處理地區(qū)與合成限制的結(jié)果變量畫(huà)時(shí)間趨勢(shì)圖，而選擇項(xiàng)“resultsperiod()”用于指定此圖的時(shí)間范圍（默認(rèn)為整個(gè)樣本期間）。選擇項(xiàng)“nested”表示運(yùn)用嵌套的數(shù)值方法找尋最優(yōu)的合成限制（舉薦運(yùn)用此選項(xiàng)），這比默認(rèn)方法更費(fèi)時(shí)間，但可能更精確。在運(yùn)用選擇項(xiàng)“nested”時(shí)，假如再加上選擇項(xiàng)“allopt”（即“nestedallopt”），則比單獨(dú)運(yùn)用“nested”還要費(fèi)時(shí)間，但精確度可能更高。選擇項(xiàng)“keep(filename)”將估計(jì)結(jié)果（比如，合成限制的權(quán)重、結(jié)果變量）存為另一Stata數(shù)據(jù)集（filename.dta），以便進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。更多選擇項(xiàng)，詳見(jiàn)helpsynth。（二）美國(guó)加利福尼亞州的控?zé)煼ㄓ行?？Abadieetal.(2010)隨之將合成限制法應(yīng)用于探討美國(guó)加州1988年第99號(hào)控?zé)煼ǎ≒roposition99）的效果。1988年11月美國(guó)加州通過(guò)了當(dāng)代美國(guó)最大規(guī)模的控?zé)煼ǎ╝nti-tobaccolegislation），并于1989年1月起先生效。該法將加州的香煙消費(fèi)稅（cigaretteexcisetax）提高了每包25美分，將所得收入專(zhuān)項(xiàng)用于控?zé)煹慕袒c媒體宣揚(yáng)，并引發(fā)了一系列關(guān)于室內(nèi)清潔空氣的地方立法（localcleanindoor-airordinances），比如在餐館、封閉工作場(chǎng)所等禁煙。面板數(shù)據(jù)集Abadieetal.(2010)運(yùn)用的數(shù)據(jù)為美國(guó)1970-2000年的州際面板數(shù)據(jù)。由于Massachusetts,Arizona,Oregon與Florida的州政府在1989-2000期間也引入了正式的控?zé)熈⒎ǎ瑹o(wú)法作為限制地區(qū)，故將此四州從donorpool中去掉。此外，還去掉了在1989-2000期間將香煙消費(fèi)稅提高了每包50美分及以上的州（Alaska,Hawaii,Maryland,Michigan,NewJersey,NewYork,Washington），以及首都所在地華盛頓特區(qū)。最終剩下38個(gè)州作為潛在的限制地區(qū)（即使加上去掉的州，結(jié)果也依舊穩(wěn)?。?。變量介紹該探討的結(jié)果變量為cigsale（人均香煙消費(fèi)量，包/年），預(yù)料變量包括retprice（平均香煙零售價(jià)格）、lnincome（人均收入對(duì)數(shù)）、age15to24（15-24歲人口所占總?cè)丝诒戎?，年輕人為吸煙主力）、beer（人均啤酒消費(fèi)量，煙酒不分家）。這些預(yù)料變量均為1980-1988年的州平均值，另外還運(yùn)用1975、1980與1988年的人均香煙消費(fèi)量作為三個(gè)額外的預(yù)料變量。另外，面板變量為state（州），而時(shí)間變量為year（年）。Stata操作Stata程序synth自帶了加州控?zé)煼ǖ臄?shù)據(jù)集smoking.dta。安裝吩咐synth后，輸入以下吩咐即可打開(kāi)此數(shù)據(jù)集，設(shè)為面板數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行合成限制法的估計(jì)：.sysusesmoking（打開(kāi)數(shù)據(jù)集）.xtsetstateyear（設(shè)為面板數(shù)據(jù)）.synthcigsaleretpricelnincomeage15to24beercigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988),trunit(3)trperiod(1989)xperiod(1980(1)1988)figurenestedkeep(smoking_synth)其中，“cigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988)”分別表示人均香煙消費(fèi)在1975、1980與1988年的取值。必選項(xiàng)“trunit(3)”表示第3個(gè)州（即加州）為處理地區(qū)；必選項(xiàng)“trperiod(1989)”表示控?zé)煼ㄔ?989年起先實(shí)施。選擇項(xiàng)“xperiod(1980(1)1988)”表示將預(yù)料變量在1980-1988年期間進(jìn)行平均，其中“1980(1)1988”表示始于1980年，以1年為間隔，而止于1988年；其效果等價(jià)于“198019811982198319841985198619871988”，而前者的寫(xiě)法明顯更為簡(jiǎn)潔。選擇項(xiàng)“keep(smoking_synth)”將估計(jì)結(jié)果存為Stata數(shù)據(jù)集smoking_synth.dta（放在Stata的當(dāng)前工作路徑）。估計(jì)結(jié)果如下。上表顯示，大多數(shù)州的權(quán)重為0，而只有以下五個(gè)州的權(quán)重為正，即Colorado(0.161)，Connecticut(0.068)，Montana(0.201)，Nevada(0.235)與Utah(0.335)，此結(jié)果與Abadieetal.(2010)匯報(bào)的結(jié)果特別接近（微小差別或由于計(jì)算誤差）?？疾旒又菖c合成加州的預(yù)料變量是否接近：從上表可知，加州與合成加州的預(yù)料變量均特別接近，故合成加州可以很好地復(fù)制加州的經(jīng)濟(jì)特征。然后比較二者的人均香煙消費(fèi)量在1989年前后的表現(xiàn)：從上圖可知，在1989年控?zé)煼ㄖ?，合成加州的人均香煙消費(fèi)與真實(shí)加州幾乎如影相隨，表明合成加州可以很好地作為加州如未控?zé)煹姆词聦?shí)替身。在控?zé)煼▽?shí)施之后，加州與合成加州的人均香煙消費(fèi)量即起先分岔，而且此效應(yīng)越來(lái)越大。更直觀地，可打開(kāi)另一Stata程序，調(diào)用已存的數(shù)據(jù)集smoking_synth.dta，計(jì)算加州與合成加州人均香煙消費(fèi)之差（即處理效應(yīng)），然后畫(huà)圖。.usesmoking_synth.dta,clear（如不打開(kāi)另一Stata程序，則此數(shù)據(jù)集將覆蓋原有的數(shù)據(jù)集smoking.dta）.geneffect=_Y_treated-_Y_synthetic（定義處理效應(yīng)為變量effect，其中“_Y_treated”與“_Y_synthetic”分別表示處理地區(qū)與合成限制的結(jié)果變量）.labelvariable_time"year".labelvariableeffect"gapinper-capitacigarettesales(inpacks)"（為了畫(huà)圖更美麗，加上時(shí)間變量與處理效應(yīng)的標(biāo)簽，可運(yùn)用變量管理器(variablemanager)來(lái)便利地加標(biāo)簽）.lineeffect_time,xline(1989,lp(dash))yline(0,lp(dash))（畫(huà)處理效應(yīng)的時(shí)間趨勢(shì)圖，并在橫軸1989年處與縱軸0處分別畫(huà)虛線，結(jié)果見(jiàn)下圖）上圖顯示，加州控?zé)煼▽?duì)于人均香煙消費(fèi)量有很大的負(fù)效應(yīng)，而且此效應(yīng)隨著時(shí)間推移而變大。詳細(xì)來(lái)說(shuō)，在1989-2000年期間，加州的人均年香煙消費(fèi)削減了20多包，大約下降了25%之多，故其經(jīng)濟(jì)效應(yīng)特別顯著（economicallysignificant）。在運(yùn)用合成限制法時(shí)，如何進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷？合成限制法與回來(lái)法相比有何優(yōu)缺點(diǎn)？運(yùn)用合成限制法有何留意事項(xiàng)？敬請(qǐng)期盼本介紹的完結(jié)篇——合成限制法（三）。合成限制法的穩(wěn)健性檢驗(yàn)為了檢驗(yàn)上述合成限制估計(jì)結(jié)果的穩(wěn)健性，Abadieetal.(2010)加入了更多的預(yù)料變量，比如失業(yè)率、收入不同等、貧困率、福利轉(zhuǎn)移、犯罪率、毒品相關(guān)的逮捕率、香煙稅、人口密度等；發(fā)覺(jué)結(jié)果依舊穩(wěn)健。另外一個(gè)擔(dān)憂是，地區(qū)之間無(wú)相互影響（nointerferencebetweenunits）的假定可能不滿意，比如加州的反煙運(yùn)動(dòng)可能波及其他州，煙草行業(yè)或?qū)⑵渌莸南銦煆V告預(yù)算投入到加州，甚至從其他州走私便宜香煙到加州。Abadieetal.(2010)依據(jù)史實(shí)對(duì)此進(jìn)行了探討，認(rèn)為這些效應(yīng)均不大，至少不行能導(dǎo)致上文圖中如此大的處理效應(yīng)。勸慰劑檢驗(yàn)上述結(jié)果為對(duì)控?zé)煼ㄌ幚硇?yīng)的點(diǎn)估計(jì)。此點(diǎn)估計(jì)是否在統(tǒng)計(jì)上顯著（statisticallysignificant）？Abadieetal.(2010)認(rèn)為，在比較案例探討中，由于潛在的限制地區(qū)數(shù)目通常并不多，故不適合運(yùn)用大樣本理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。為此，Abadieetal.(2010)提出訪用“勸慰劑檢驗(yàn)”（placebotest）來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，這種方法類(lèi)似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“排列檢驗(yàn)”（permutationtest），適用于任何樣本容量?！皠裎縿保╬lacebo）一詞來(lái)自醫(yī)學(xué)上的隨機(jī)試驗(yàn)，比如要檢驗(yàn)?zāi)撤N新藥的療效。此時(shí)，可將參與試驗(yàn)的人群隨機(jī)分為兩組，其中一組為試驗(yàn)組，服用真藥；而另一組為限制組，服用勸慰劑（比如，無(wú)用的糖丸），并且不讓參與者知道自己服用的原委是真藥還是勸慰劑，以避開(kāi)由于主觀心理作用而影響試驗(yàn)效果，稱為“勸慰劑效應(yīng)”（placeboeffect）。勸慰劑檢驗(yàn)借用了勸慰劑的思想。詳細(xì)到加州控?zé)煼ǖ陌咐覀兿胫?，運(yùn)用上述合成限制法所估計(jì)的控?zé)熜?yīng)，是否完全由偶然因素所驅(qū)動(dòng)？換言之，假如從donorpool隨機(jī)抽取一個(gè)州（而不是加州）進(jìn)行合成限制估計(jì)，能否得到類(lèi)似的效應(yīng)？為此，Abadieetal.(2010)進(jìn)行了一系列的勸慰劑檢驗(yàn)，依次將donorpool中的每個(gè)州作為假想的處理地區(qū)（假設(shè)也在1988年通過(guò)控?zé)煼ǎ?，而將加州作為限制地區(qū)對(duì)待，然后運(yùn)用合成限制法估計(jì)其“控?zé)熜?yīng)”，也稱為“勸慰劑效應(yīng)”。通過(guò)這一系列的勸慰劑檢驗(yàn)，即可得到勸慰劑效應(yīng)的分布，并將加州的處理效應(yīng)與之對(duì)比。在此有個(gè)技術(shù)細(xì)微環(huán)節(jié)，即在對(duì)某個(gè)州進(jìn)行勸慰劑檢驗(yàn)時(shí)，假如在“干預(yù)之前”其合成限制的擬合效果很差（均方預(yù)料誤差MSPE很大），則有可能出現(xiàn)在“干預(yù)之后”的“效應(yīng)”波動(dòng)也很大，故結(jié)果不行信。類(lèi)似地，假如合成加州在干預(yù)前對(duì)于加州的擬合很差，則我們也不會(huì)信任干預(yù)之后的合成限制估計(jì)結(jié)果。其中，干預(yù)之前的MSPE可寫(xiě)為（以加州為例）：類(lèi)似地，可以寫(xiě)出干預(yù)之后的MSPE，只是預(yù)料誤差平方的平均區(qū)間不同。為此，Abadieetal.(2010)僅保留了干預(yù)前MSPE不超過(guò)加州干預(yù)前MSPE兩倍的19個(gè)州，并將此19個(gè)州的勸慰劑檢驗(yàn)結(jié)果畫(huà)成下圖。在上圖中，黑線表示加州的處理效應(yīng)（即加州與合成加州的人均香煙消費(fèi)之差），而灰線表示其他19個(gè)限制州的勸慰劑效應(yīng)（即這些州與其相應(yīng)合成州的人均香煙消費(fèi)之差）。明顯，與其他州的勸慰劑效應(yīng)相比，加州的（負(fù)）處理效應(yīng)顯得特殊大。假如加州的控?zé)煼úo(wú)任何效應(yīng)，則在這20個(gè)州中，碰巧看到加州的處理效應(yīng)最大的概率僅為1/20=0.05，而這正好是常用的顯著性水平。勸慰劑檢驗(yàn)的另一方式是干脆將每個(gè)州“干預(yù)后的MSPE”與“干預(yù)前的MSPE”相比，即計(jì)算二者的比值。其基本邏輯如下。對(duì)于處理地區(qū)加州而言，假如控?zé)煼ㄓ行Ч?，則合成限制將無(wú)法很好地預(yù)料真實(shí)加州干預(yù)后的結(jié)果變量，導(dǎo)致較大的干預(yù)后MSPE。然而，假如在干預(yù)之前，合成加州就無(wú)法很好地預(yù)料真實(shí)加州的結(jié)果變量（較大的干預(yù)前MSPE），這也會(huì)導(dǎo)致干預(yù)后MSPE增大，故取二者的比值以限制前者的影響。假如加州控?zé)煼ǖ拇_有較大的處理效應(yīng)，而其他州的勸慰劑效應(yīng)都很小，則應(yīng)當(dāng)觀測(cè)到加州的“干預(yù)后MSPE”與“干預(yù)前MSPE”之比值明顯高于其他各州，而這為下圖所證明。從上圖可知，加州的干預(yù)后MSPE是干預(yù)前MSPE的大約130倍，高于全部其他38個(gè)州。假如加州控?zé)煼ㄍ耆珶o(wú)效，而由于偶然因素使得此比值在全部39州中最大的概率僅為1/39=0.026。合成限制法與回來(lái)法的對(duì)比合成限制法并不運(yùn)用任何回來(lái)，它與傳統(tǒng)的雙重差分法（固定效應(yīng)模型）有何區(qū)分呢？首先，依據(jù)Abadieetal.(2010)的因子模型（factormodel），合成限制法對(duì)雙向固定效應(yīng)模型作了推廣。詳細(xì)來(lái)說(shuō)，雙重差分法僅允許個(gè)體固定效應(yīng)ui與個(gè)體時(shí)間效應(yīng)λt以相加（additive）的形式存在，隱含假設(shè)全部個(gè)體的時(shí)間趨勢(shì)λt都相同（paralleltrendassumption）；而合成限制法的因子模型，則允許“互動(dòng)固定效應(yīng)”（interactivefixedeffects）λt′ui，即可以存在多維的共同沖擊（commonshocks）λt，而每位個(gè)體對(duì)于共同沖擊的反應(yīng)ui（factorloading）可以不同，故允許不同個(gè)體有不同的時(shí)間趨勢(shì)。其次，Abadieetal.(2015)指出，回來(lái)法也可以視為對(duì)限制地區(qū)作了線性組合，且權(quán)重之和也為1；而不同之處在于，合成限制法的權(quán)重必需非負(fù)，但回來(lái)法的權(quán)重可能出現(xiàn)負(fù)值，即出現(xiàn)過(guò)格外推（extrapolation）而離開(kāi)了樣本數(shù)據(jù)的取值范圍（supportofthedata）。比如，在跨國(guó)探討中，將很不相同的國(guó)家放在一起進(jìn)行回來(lái)，就可能出現(xiàn)過(guò)格外推，而導(dǎo)致“外推偏差”（extrapolationbias）。由于合成限制法的權(quán)重必需非負(fù)，故避開(kāi)了過(guò)格外推。運(yùn)用合成限制法的留意事項(xiàng)Abadieetal.(2015)進(jìn)一步探討了運(yùn)用合成限制法的前提與局限性。在構(gòu)建潛在限制地區(qū)（donorpool）時(shí)尤其應(yīng)當(dāng)心。首先，也受到此政策影響的地區(qū)應(yīng)從donorpool中去掉。其次，在樣本期間受到很大特殊沖擊（idiosyncraticshocks）的地區(qū)應(yīng)解除在donorpool之外。最終，為了避開(kāi)“內(nèi)插